Аналитическое решение задачи взаимодействия межфазной трещины с отслоившимся межфазным включением при наличии сосредоточенных сил

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК 539. 375
А.К. Ярдухин
АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ МЕЖФАЗНОЙ ТРЕЩИНЫ С ОТСЛОИВШИМСЯ МЕЖФАЗНЫМ ВКЛЮЧЕНИЕМ ПРИ НАЛИЧИИ СОСРЕДОТОЧЕННЫХ СИЛ
В рамках линейной теории упругости решается задача взаимодействия межфазной трещины и полностью отслоившегося тонкого жесткого гладкого остроугольного межфазного включения, расположенных на линии соединения двух разных по упругим свойствам полуплоскостей. Рассматривается плоское напряженное состояние при наличии нагрузок на бесконечности и конечного числа сосредоточенных сил, приложенных к внутренним точкам упругих полуплоскостей. В явной форме строятся комплексные потенциалы, описывающие напряженное состояние составной плоскости.
Пусть в кусочно-однородной упругой плоскости, составленной из двух различных по упругим свойствам верхней и нижней полуплоскостей, на линии раздела сред расположены открытая трещина [а, Ь], берега которой свободны от напряжений
(оу — itxy)± (0 = 0, t е (а, Ь), (1)
и полностью отслоившееся тонкое жесткое остроугольное включение [с, d]
т± (0 = 0, (Vх)± ^) = 0, t е (с, d). (2)
Верхняя полуплоскость имеет модуль сдвига т и коэффициент Пуассона V1, нижняя — /л2 и V2. Вне трещины и включения полуплоскости жестко соединены друг с другом. В конечном числе точек zk, k = 1, 2,…, п, не лежащих на линии раздела сред (1тzk Ф 0), приложены сосредоточенные силы Xk + iYk и сосредоточенные пары сил с моментами Mk относительно точки приложения. Также известны значения напряжений и вращения на бесконечности:
0у1 = 0 у 2 = 0у — Тxy1 = Тxy 2 = Тxy — 0×1, 0×2 и & amp- х1, & amp- х 2 '
связанные между собой условиями неразрывности [1].
Требуется найти плоское напряженное состояние составной плоскости.
Частный случай поставленной задачи решен в работе [2].
Рассмотрим сначала случай, когда в единственной точке z0 (1т z0 Ф 0) приложена сосредоточенная сила X0 + iY0 и сосредоточенная пара сил с моментом M0 относительно z0. Воспользуемся формулами Колосова-Мусхелишвили для кусочно-однородной плоскости [3]:
ох + о у = 4Яе Ф (z) — о у — iТxy =Ф (z) + й (z) + (z — z) Ф'-(z) —
2л1е = (1 + К'1)1т Ф (z) — 2л1(и + iv) X = к1Ф (г)-П (г) — (г — z) Ф/(z)
в верхней полуплоскости 1 т z & gt- 0 ,
ох + о у = 4Яе F (z) — о у — Т = F (z) + г) + 54 Ф (г) + (z — г) ^'-(z) —
2л2е = (1 + к2)1тF (z) — 2л2(и + ^)'-х = к^(г) — 53О (г) — 54Ф (г) — (г — г) F'-(z)^-
ч ч глг ч л1 + л2к1 Л — л2 л2 + л1к2 л1к2 — л2к1
F (г) = 51Ф (г) + 52П (г) — 51 = --С^Х- ^ = _С1-с^- 5 = ^1-сь_!- 54 = Г1 22 1
(3)
(4)
Л1(1 + Кг) Л1(1 + к2) Л1(1 + к2) лД1 + к2)
в нижней полуплоскости 1 т г & lt- 0. Функции Ф (г), П (г) — кусочно-голоморфные с линией разрыва Ь = [а, Ь] и [с, d], допускающие на концах линии особенности интегрируемого характера и имеющие в окрестности? вид:
ч Л X0 + iY0 -2ч ч 2 X0 + iY0 -2
Ф (г) = -------^--------^---0 + 0(г 2) — ОД = /2 + ^^----------------^+ О (г 2) —
Л! + Л 2к1 2лг Л 2 + ЛК 2 2лг
/1 = (оХ1 + о?)/4+i • ЛГ (1+к)-1- у 2 = о ?-^? — /1.
Кроме того, если 1 т г0 & gt- 0, то в окрестности точки г0 имеем
р 5 Р X + iY
Ф (г) = -^ + 0(1), ОД =- ---!- + 0(1) — р =- -^
г — г0 53 г — г0 2р (1 + к1)
а в окрестности точки г0 —
Ф (г) = -52О (г) + 0(1) — О (г) = р^к1р1 + (г0 г0) Р1 д + 0(1), д = - М
51 г — г0 (г — г0) 2р
Если же 1 т г0 & lt- 0, то в окрестности точки г0 функция О (г) голоморфна,
Ф (г) = 5−1Р2(г — г0)-1 + 0(1), а в окрестности точки г0 функция Ф (г) голоморфна, функция
О (г) = -
53
'- Р2 — к2 Р2 + (г0 — г0) Р2 — д Л
+ 0 (1) — Р2 =- X0 +'-Т0
2р (1 + к 2)
На основании формул (3), (4) из условий (1), (2) для нахождения функций Ф (г), О (г) получим краевые условия вида
Ф+ (^ + О- (^ = 0- 51Ф-(t) + 52О- (t) + 53О+ (t) + 54Ф+ (t) = 0 при t е (а, Ь) —
1 т (Ф+ (t) + О- (t)) = 0- 1 т (51Ф- (t) + 52О- (t) + 53О+ (0 + 54Ф+ (t)) = 0- (5)
1 т (к1Ф+(t) -О- (t)) = 0- 1 т (к 2 51Ф-(t) + к 2 52 О-(0 — 53 О+ (0 — 54 Ф+ (t)) = 0 при t е (с, d).
Введем в рассмотрение новые функции:
F1 (г) = 51Ф (г) — 53О (г) — F2 (г) = Ф (г) + О (г).
Тогда если 1 т г0 & gt- 0, то
Fl (z) = Р (г-г0)-1 + 0(1) — F2(z) = (1 -у^-1)• F1(z) + 0(1) при г ® г0-
^(г) = к^-р1 + д -(-^р + 0(1) — F2(г) = (1 -5453−1) • ^(г) + 0(1) при г ®- (6)
г — г0 (г — г0)
а если 1 т г0 & lt- 0, то
Fl (z) = Р2(г -г0)-1 + 0(1) — F2(z) = 5−1 • Fl (z) + 0(1) при г ® г0- ад = ЪЪф. + д -((го -г°2)Р + 0(1) — F2(z) = --^(г) + 0(1) при г ® 70. (7)
г — г0 (г — г0) 53
В окрестности? эти функции имеют вид
^(г) = 51/1 -53/2 --2±YL + 0(г-2) —
2р г
F°(z)=о-- тху±-Xо: t^YL+o (z-°). (8)
у у (л1 + л2к1)(л2 + Л1к2) 2р г
Из (5) для нахождения функций F1 (г), F2 (г) следуют две отдельные краевые задачи:
F1+ (t) — F1- (t) = 0, t е (а, Ь), 1тF1± (t) = 0, t е (с, d) — (9)
F2+ (t) + mF°- ^) = 0, t е (а, Ь), 1 т F2± (t) = 0, t е (с, d). (10)
Обе задачи представляют собой комбинацию краевой задачи Римана и краевой задачи Гильберта. Для решения задачи (9), следуя [4], на двулистной римановой поверхности ^ для функции w (г) = ^(г — с)(г — d), листы которой склеены друг с другом крест-накрест вдоль берегов разреза [с, d], введем функцию
[Е1(г), г е С1,
= 1 ^ С1 (11)
[F1(г*), г е С2 ,
где С1 и С 2 — верхний и нижний листы поверхности соответственно- г* - точка, симметричная с точкой г относительно линии Ь соединения листов поверхности, состоящей из верхнего [с, d]+ и нижнего, с]- берегов разреза [с, d], обходимых так, что при этом верхний лист поверхности остается слева.
Тогда для нахождения функции F1 (г) на поверхности ^ получим
F1+ (0 = F1-(0, tе /и /* иЬ, у = (а, Ь) с С1, у* = (а, Ь) с С2, Ь = [с, d]+и^, с]-, т. е. F1 (г) является мероморфной функцией на, имеющей полюсы второго порядка в точках с аффиксами г0, г0 на обоих листах поверхности и простые полюса в точках ветвления поверхности. Такая функция имеет вид
г) = А +
А2 + А г ВГ
w (г)
/
+
+
+
С-
+
С2
+w (г)
а
+
^0
а
г — го
+
+
+
Из условия симметрии р (г*) = Е1 (г) следует, что А1 = А1, А2 = -А2, А3 = -А3, В2 = В1,
С 2 = С1, В2 = -ВГ, Е2 = -ЕГ. Тогда, в силу (11) имеем
р (г) = А + і
А2 + А3 г
w (г)
+
Ві
+
Ві
г — гп
+
Сі
+
Сі
а а
+
Еі
Еі Л
+
+w (z) _ ° _ °
г0 г — г0 (г — г0) (г — г0)
V У
где А1, А2, А3 — действительные числа- В1, С1, ?& gt-1, Е1 — комплексные. Разлагая функцию F1(г) в ряд Лорана в окрестности — и используя условия (6) — (8), найдем
А = Яе (51/1 — 53 / 2) — А3 = 1 т (51/1 — 5 3 / 2 — 21) —
А2 =-Го/(2р) — 1 т (SlYl — ^ - 4 Д) — 2Іт (Ві + го В- + Еі) —
Ро + бо
Яо
і
Ві = - о '-0 — Сі = _!- Ві =
і 2 і 2 і 2w (z0)
Ро — бо +
w/(г о) w (г о)
Яо
— Еі =-
Яо
2w (г о)
іУо Xо кГ — і
Р = Р ,
о2
2р 2р кГ + і і7о Xо к2 — і
2р 2р к2 + Г
Яо =
Яо =
іМ о 2р
іМ о 2р
+ (го — го) Рі, если Іт го & gt- о —
+ (го — го) Р2, если Іт го & lt- о.
Аналогично, вводя на ^ функцию
*2(г) =
[ *2(г),
[Р2(), ^ ^ '--'-25
из (10) для ее нахождения получим однородную краевую задачу Римана
F°+ ^) + mF°- ^) = 0, t е /, mF°+ (t) + F°- (t) = 0, t е /*, F°+ (t) — F°& quot- ^) = 0, t е Ь.
Решение этой задачи, ограниченное на бесконечности, удовлетворяющее условию симметрии F°(г*) = F°(г), имеющее полюсы второго порядка в точках с аффиксами г0, г0 на обоих листах поверхности и простые полюса в точках ветвления поверхности, имеет вид
А'- + А г + і
А3 + А4 г + А г2 В'-
w (г)
+
+
В
+
+
с-
+
с-
(г — го) (г — го)
С (г) = 1
ТГ + w (г)
в- в-
г — гп
+
е-
е-
— а — w (г) + w (a) г — Ь + w (г) + w (Ь)
д/(г — а)(г — Ь)
г — Ь — w (г) + w (Ь) г — а + w (г) + w (a)
у
где Ь = (1п т)/(2р), все А'-к — действительные, В'-, С'-, В'-, Е'- - комплексные числа. Снова, разлагая функцию ?2 (г) в ряд Лорана в окрестности? и используя условия (6) — (8), найдем,
А2 = а -Яо — г? уНо- А5 =-т?уНо — а- Яо'- - А'- = + Я2Яоо-
А4 = Я 2 Я о- Я'-Яо-^4'--2Іт в- - С'- = Яо (2С (^)-'-- Е'- = -Я (2w (zо)С (^)-1-
С (г о) С (г о)
— а'- =
і
2w (Го)
71
С (го) С (го)
— Яо = Я о+ іЯ! =
Я- = -А2Nо + А5- *5Хо /(2р) — Я2 = -А5^о — А2,+ 557о /(2р) —
Ґ
с + ё — 2а — 2 т (а) с + ё — 2Ь — 2 т (Ь)
но+ іно=Я
а + Ь + і Ь (а — Ь + т (а) — т (Ь))
1 + -
(с — ё)2
(с + ё — 2а — 2 т (а))(с + ё — 2Ь — 2 т (Ь))
7
2
2
+
«(г) ^ |(г — с)(г — а)|-, 5 = -1).
(т + тлХт + мл)
Т1 = Р0 — С1Х'-(г0) — Е1 (ж '-(г 0 М г0) + Ж (г0 & gt-'-(г0)) —
Т2 = 60 -С1 /Ы -Е1 (Х'-(г0& gt-(г0) + X (?0& gt-'-(г0)) —
Р)'- = (1 — 5453−1)Р, 60 = (5251−1 -1)00, К = (5251−1 -1) • (М0 /(2р) + (^ ^)р), если 1 т ^ & gt- 0 —
Р0'- = s^lP2, 60 = -5з-100, К = -5з-1 • (1М0 /(2р) + (^ - ^0)Р2), если 1 т ^ & lt- 0.
Для нахождения последней постоянной, А используется условие однозначности горизонтальных смещений при обходе трещины или включения:
Яе | (я5 (р+ (Г) — р- (Г))+ ^2+ (Г) —- (Г))л = 0, (12)
где интеграл берется по отрезку [а, Ь] или [с, й].
В общем случае, при наличии конечного числа точек гк, к = 1, 2,…, п, к которым приложены сосредоточенные силы Хк + 1Ук и сосредоточенные пары сил с моментами Мк относительно точки приложения, функции р (г) и Р2 (г) будут иметь вид
р (z) = A + /
A2 + A3 z
+
W (Z) k=j
я f
+w (z)

+
B"
+
C"
+
C"
(z — zk)2 (z — zk)2
+
D"
D"
z — z,
z — z,
+
(z — zk)
(z — zk)2
F2(z) = Ж (z)
,, . A'- + A4 z + A5 z2 -Л
A- + A2 z + 7 --5-+X
w (z)
B'-k
+
B[
+
C
+
(z — zk)2 (z — zk)2
+
D[
z — z.
D'-k
+
К
К
(z — zk)2
ч '--к г — гк (г — гк) У* _ *к & gt-
Для нахождения постоянных, входящих в решение задачи, используются представления этих функций в окрестности каждой из точек гк, в окрестности ?, а также условие (12).
Полученные результаты можно использовать для исследования на прочность слоистых композиционных материалов с трещинами и отслоившимися включениями на линии раздела сред, которые, как правило, остаются в материале при его изготовлении и/или появляются в процессе его эксплуатации, например из-за отслоения армирующих элементов.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Rice J.R., Sih G.C. Plane problems of cracks in dissimilar media // Transactions of ASME. Journal of Applied Mechanics. 1965. V. 32. № 2. P. 418−423.
2. Сильвестров В. В., Ярдухин А. К. Межфазная трещина и отслоившееся тонкое жесткое гладкое межфазное включение при сложном нагружении // Проблемы механики неупругих деформаций: Сб. науч. ст. к 70-летию Д. Д. Ивлева. М.: Физматлит, 2001. С. 301−3l3.
3. ЧерепановГ.П. Механика разрушения композиционных материалов. М.: Наука, 1983. 296 с.
4. Зверович Э. И. Краевые задачи теории аналитических функций в гельдеровских классах на римановых поверхностях // УМН. 1971. Т. 26. Вып. 1. С. 113−179.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проекты 01−01−720 и 03−01−6 275.
Поступила 7. 06. 2003 г.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой