Первая основная задача теории упругости для области, состоящей из полосы и полуплоскости

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК 539. 3
М. Ф. Кулагина, В.И. Иванова
ПЕРВАЯ ОСНОВНАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ДЛЯ ОБЛАСТИ, СОСТОЯЩЕЙ ИЗ ПОЛОСЫ И ПОЛУПЛОСКОСТИ
Приведено решение первой основной задачи теории упругости для области, состоящей из однородно-изотропных полосы и полуплоскости, на общей границе которых заданы условия контакта с трением. Решение построено в пространстве почтипериодических в смысле Бора напряжений и перемещений с помощью обобщенного дискретного преобразования Фурье. Искомые функции представлены в виде рядов Фурье, сходящихся абсолютно и равномерно.
Почтипериодическим (п.п.) полиномом называется функция р (1), —? & lt- t & lt-? , являющаяся линейной комбинацией функций вида в1, где 1 е R. Обозначим через ПC замыкание по норме ^?(-?, ?) множества всех п. п. полиномов. Множество Пс является подалгеброй L?(-?,?), состоящей из всех п.п. функций по Бору [1,2]. Через Пш обозначим множество П с, состоящее из функций А (1) вида
А (0 = ?апвап, (1)
п=1
удовлетворяющих условию ^ |ап| & lt- ?. Множество Пш является банаховой алгеброй [3].
п=1
Каждой функции А ($) из Пж поставим в соответствие функцию
1 Т
а (1) = М{)в1 }= =ш — [А (г)в. (2)
Т ®? 2 Т -Т
Такая функция существует и может быть отличной от нуля не более чем для счетного множества значений 1: 11,12,…: а (1п) = ап Ф 0 [4]. Таким образом, каждой функции из Пш поставлена в соответствие функция а (1) или последовательность пар
а (1) = {(а1,11), (а2,12),. =, где ап е С, 1п е R.
Если А^) е Пш, то соответствующая этой функции последовательность {ап }е 11 (будем говорить, что а (1) е /1). И наоборот, для каждой функции а (1) е 11 существует функция А^), для которой выполнено (2), и А^) имеет вид (1). Ряд (1) сходится абсолютно и равномерно при
—? & lt- t & lt- ?. Следовательно, установлено взаимнооднозначное соответствие между функциями из П ш и двумерными последовательностями а (1) е 11. При этом мы считаем, что две последовательности а (1), Ь (1) е 11 совпадают, если им соответствуют одни и те же функции, т. е. последовательность а (1) не изменится, если к ней добавить счетное множество пар вида (0,1).
Равенство (1), которое последовательности а (1) е 11 ставит в соответствие функцию А (0 е Пш, назовем обобщенным дискретным преобразованием Фурье (ОДФ). Равенство (2) производит обратное преобразование. Последовательность а (1) — оригинал, функция А (0 -изображение. ОДФ будем изображать символами А (0 = Ж0а (1), а (1) = Ж0−1 А (0.
Коэффициенты последовательности а (1) могут зависеть от параметра у: а (1, у)= {(а1(У11), (а2 (у), 12),…} у е [а, Ь]. Если существует последовательность положительных чисел {ап }е 11, такая, что |ап (У)|& lt- ап, то функции А (^ у) = Ж0а (1, у) е Пш на каждой горизонтальной прямой полосе, а & lt- 1ш2 & lt- Ь (г = t + '-у). Будем считать, что функция А^, у) е П у (уе [а, Ь]).
Постановка задачи. Область, состоящая из однородно-изотропной упругой полосы (у е[0−1], —? & lt- х & lt-?) и такой же полуплоскости (у е (- ?-0], —? & lt- х & lt- ?), находится в равновесии. На прямой соединения у = 0 заданы условия контакта с трением:
1 & gt-(х, 0) = у (2& gt-(х, 0), ау1} (х, 0) = ау2) (х, 0), т% (х, 0) = тХ2} (х, 0), т? (х, 0) = Ка^ (х, 0), (3)
где K = const — коэффициент трения.
На прямой у = 1 заданы граничные условия первого рода:
а У1}(х, 1) = f (х), t ®(x, 1) = g (x). (4)
Требуется найти напряжения а (xJ)(х, у), а (у])(х, у), t (хУу)(х, у) и перемещения и (1)(х, у),
v (1)(х, у) (j = 1,2) в заданной области (здесь и далее верхний индекс 1 обозначает функции в полосе, индекс 2 — функции в полуплоскости).
Будем считать, что заданные функции f (х) и g (х) принадлежат PW и представимы в виде рядов
f (х)=fo+Х fiy1- g (х)=g о +Е g d) e1, (5)
10 10
причем последовательности f (1) и g (1) не сгущаются к нулю.
Решение задачи будем искать в таком классе, чтобы искомые механические параметры (напряжения и перемещения) принадлежали классу ПW (у е [0−1]) в полосе и классу
п W (у е (-?-0]) в полуплоскости, причем все искомые напряжения и перемещения в полуплоскости при у ® -? равномерно стремятся к нулю.
Р е ш е н и е. Воспользуемся методом, основанным на применении функций Папковича-Нейбера [5]. Искомые механические параметры, а (х]}(х, у), а (у]& gt-(х, у), t х, у), и (}(х, у),
v ()(х, у) (j = 1,2) выражаются через пары гармонических функций Ф 01)(х, у) и Ф 21)(х, у) по формулам
-.w i) т у 1 ЭF (1}(х, у)
2G (1) и (()(х, у) =------------
Эх
2G (1} v (1 (х, у) = - --(х'+ 4(1 — v (1 })Ф 2т)(х, у) —
эу
а а) (х, у) = - Э 2 Ф 0'-)(х, у) + 2v (1) ЭФ 21)(х, у) — у Э 2ф 21)(х, у) — (6)
t ху)(x, у)=-Эх
а (yl)(x, у) =Э^ Эу
Эх2 Эу Эх
+ (1 — 2v (1))
ЭФ 01)(х, у) + ЭФ 21)(х, у)
Эу Эу
2(1 — V" & gt-)Ф «(х, у) — ЭФ °'(ху)
(1)) ЭФ 21)(x, у)
Эх
Э2 Ф 21)(х, у)
у
Эу2
эу
где ^)(х, у) = Ф2-)(х, у) + уФ (/)(х, у) — V (коэффициент Пуассона- О (модуль сдвига, '- = 1,2, их мы будем считать заданными постоянными величинами.
Чтобы искомые напряжения и перемещения принадлежали нужным классам, гармонические функции Ф 0)(х, у) и Ф 2-'-)(х, у) (j = 1,2) и их частные производные до второго порядка
включительно должны принадлежать классу Пуш (у е [0−1]) в полосе и классу Пуш (у е (-? 0]) в
полуплоскости.
Применяя к уравнению Лапласа преобразование W0l и учитывая его свойства, нетрудно показать, что эти функции имеют следующую структуру: в полосе
Ф01)(х, у) = а01) + а (1)у + ?(а (1)(А)еЯу + Ьт (Х)в-1у)егЛх-
10 1*1
Ф (21)(х, у) = о™ + о1(1) у + ?(с (1)(А)еЯу + й (1)(Я)е-Яу)е, Ях,
1 ^0
в полуплоскости
Ф02)(х, у) = а02) +Х а (2) (1)е|Я|уе, Ях-
я#0 (8)
ф22)(х, у) = с02) +Х с (2)(А)е|я|уе, я х.
1 ^0
Подставляя (7) и (8) в формулы (6), получим выражение искомых функций в виде рядов Фурье с неизвестными коэффициентами, а (1)(Я), Ь (1)(Я), с (1)(Я), й (1)(Я), а (2)(Я), с (2)(Я). В полосе
2О (1) и (1- (х, у) = -? Я (а (1)(А)еЯу + Ь (1)(А)е ~Яу)егЯх — у? Я (с (1)(А)еЯу + й (1)(А)е ~Яу)егЯх —
Яф0 яф0
2О (1)у (1-(х, у) = к (1)с01) -а1(1) + к (1)с1(1)у -с (1)у -? Я (а (1)(Я)еЯу -Ьа)(Я)е~Яу)еах +
я ф0
+?(с (1)(Я)[к (1) -Яу]еЯу + й (1)(1)[к (1) + Яу]е-1у)егЯх-
я ф0
^ (X, у) = 2п (1)с1(1) +? Я2 (а (1) (Я)еЯу + Ьт (Я)е~Яу) е, Ях +
Я ф0
+? Я (са)(Я)[2п (1) + Яу]еЯу + й (1)(Я)[-2п (1) + Яу]е~Яу) —
(9)
Я ф 0
а у'-Ч х, у) = 2(1 -п (1))с0)-? Я2 (а (1)(Я)еЯ у + Ь (1)(Я)е~Я у) еіЯ х +
Я ф0
+?Я (с (1)(Я)[2−2п (1) -Яу]еЯу -й (1)(Я)[2−2п (1) + Яу]е~Яу)е, Ях-
Я ф 0
ОX, у) = -?/Я2 (а (1)(Я)еЯу -Ьт (Я)е-Яу)е/Ях +
Я ф0
+?/Я (са)(Я)[1 -2п (1) -Яу]еЯу + й (1)(Я)[1 -2п (1) + Яу]е-Яу)еЛх-
Я ф0
в полуплоскости
20(2) и (2- (X, у) = -? /Яа (2)(Я)е|Я|у еЯ — у? Я (2) (Я)е|Я|у еЯ
Яф0 Яф0
20(2)у (2- (х, у) = с02) к (2) —? | Я | а (2) (Я)е|Я|уегЯх +? (к (2) -1 Я | у) с (2) (Я)еЩуеЯ
Яф0 Яф0
а Х2)(х, у) =? (Я2 + 2п (2) | Я |) а (2)(Я)е|Я|уеЯ + у? Я2с (2)(Я)е|Я|уегЯх- (10)
Я ф 0 Я ф 0
Т™(х, у) = -? /Я | Я | а (2)(Я)е|Я|уеЯ +? /Я (-у | Я | +1 — 2п (2))с (2)(Я)е|Я|уеЯ-
& quot-ху
яф0 яф0
а2)(х, у) = -?Я2а (2)(Я)е|Я|уеа -?(уЯ2 -2(1 -V (2)) | Я |)с (2)(Я)еа|уеа,
я ф0 я ф 0
где к (1) = 3 — 4п (1), '- = 1,2.
Используя условия контакта с трением (3) и граничные условия (4), получим уравнения для нахождения неизвестных коэффициентов, а (1)(Я), Ь (1)(Я), с (1)(Я), й (1)(Я), а (2)(Я),
с (2)(Я). При Я = 0 имеем
к (1) с (1) — а (1) к (2) с (2)
2О (1)1 = ^^г- 2(1 — V (1))с1(1)=^ 2(1 -V (1))с1(1)=^ я 0 = °. (11)
Из этого представления видно, что для разрешимости задачи необходимо (а далее будет
показано, что и достаточно), чтобы /0 = я 0 = 0, т. е.
1 Т 1 Т
Т®? 2 Т 1-^(х)йх = Т™ 2 Т 1Я (х)йх = 0, (12)
-т -Т
тогда
т т О (2)(к (1)с01} -а»)
с (1) = 0 с (2) =_______-_____0_____________________________________________- (13)
с1 0, с° О (1)к (2) • (13)
Если при постановке задачи считать заданным
Т
1
}с01) — а1(1) = 20(1) • Ііт — |V (1) (х, 0) йХ, (14)
то коэффициенты при Я = 0 определяются однозначно.
При Я Ф 0 получим систему из 6 линейных уравнений с шестью неизвестными, матричная запись которой имеет вид
M (Я) • s (Я) = т (Я),
(15)
где
M (l) =
-lel — Яє-x4 e))) — n 2 — (2 — (2 — 2n (1) + Я)є 0 0
-lel le-l — 2 (-) e & gt->- (1- 2n (1) + Я)є 0 0
Я Я r (1) r (1) |Я| r (2)
G (1) G (1) G (1) G (1) G (2) G (2)
— Я2 -l2 n G- (2 n — G (2 — l2 — 21 Я | (1 —
-Я Я 1 — 2n (1) 1- 2n (1) |Я| -1 + 2n (
(2)
(K — і)Я (K + і)Я i (1 — 2n (1)) — K (2 — 2n (1)) i (1- 2n (1)) + K (2 — 2n (1)) 0
'-/(Я) g (Я) Я ' іЯ
s (A) = col (а (1) (Я), b (1) (Я), c (1) (Я), d (1) (Я), а (2) (Я), с (2) (Я)), т (Я) = col
0,0,0,0
Система (15) имеет единственное решение ^(Я), если ее определитель Д (Я) = det (М (Я))
отличен от нуля при 0 & lt-| Я |& lt- ?. Учитывая линейную независимость функций 1, Я, Я, еЯ, в~Я ,
ЯеЯ, Яг~Я, легко показать, что строки определителя Д (Я) линейно независимы. Следовательно, Д (Я) не равен нулю при 0 & lt-| Я |& lt-? , поэтому система (15) имеет единственное решение, которое можно найти, например, по формулам Крамера.
Из структуры коэффициентов, а (1)(Я), Ь (1)(Я), с (1)(Я), ё (1)(Я), а (2)(Я), с (2)(Я) следует, что если заданные функции /(х) и ?(х) принадлежат П ш, то ряды в формулах (9) и (10) сходятся абсолютно и равномерно.
Итак, справедливо утверждение.
Т е о р е м а. Пусть функции /(х) и ?(х) принадлежат Пш и представимы в виде (5), причем последовательности / (Я) и? (Я) не сгущаются к нулю, и пусть выполнено условие (12) и задано (14). Тогда первая основная задача теории упругости (4) для горизонтальной однородно-изотропной упругой полосы у є [01] , —? & lt- х & lt-? и такой же полуплоскости У є (- ?- 0] , —? & lt- х & lt- ?, разделенных прямой у = 0, на которой заданы условия контакта с трением (3), имеет единственное решение, где коэффициенты, входящие в формулы (9) и (10), находятся из (13) и (15).
Данная задача относилась к случаю плоской деформации. Для плоского напряженного со-
стояния во всех формулах следует заменить n (1) на
,(j)
-, 1 = 1,2.
1 +n (j)
П р и м е р. Рассмотрим плоское деформационное состояние однородноизотропной упру-
гой полосы (У є [01],
(У є(-?-0] , — ?& lt- x & lt-?.
= 0,3, G (1) = 7 • 1010)
и такой же полуплоскости
n
(і)
= 0,4, G (1) = 9 • 1010), на общей границе которых заданы условия
контакта с трением (3), где K = 1,5. Граничные функции в (4) заданы в следующем виде:
Ax — «-ix ?'-V2x «-гл/2x Apx. _-ipx
. ПТ в + в в — в
¦ - 2sin V2 x + cos px = -
f (x) = cos x
g (x) = -3 sln x + 2 cos V2x + 2 sln px = -3 •
2
eix — e~ 2i
. + e^ + e-/V2x +
2
eipx — e~ipx
1 T
Для однозначности решения зададим в (14) llm — I v (1 & gt- (x, 0) dx = 0.
T ®? 2T J
-T
Решив систему (15) при l = ±1, ±л/2, ± p, найдем соответствующие им коэффициенты a (1)(Я), b (1)(Я), c (1)(1), d (1)(1), a (2)(Я), с (2)(Я) и, подставив их в формулы (9) и (10), получим искомые функции в полосе и полуплоскости:
u (1)(x, у) = -0,510 • 10−11 ey sin x + 0,165 • 10−12 ey cos x — 0,625 -10−11 y sin x +
+0,332 -10−11 e-y cosx + 0,101−10−11 еГгу sinV2x — 0,213 -10−11 e4iy cosV2x +
+0,205 10−10 e-f2y sin^x + 0,73 10−11 e^2y cos 72x — 0,614 10−12 epy sin px —
0
-0,360 • 10−13epy cos px — 0,421 • 10−12e~py sln px — 0,249 • 10−11 e~py cos px --0,460 • 10−11 yey sln x — 0,203 • 10−12 yey cos x + 0,457 •і 0−11 ye~y sln x --0,214 • 10−11 ye& quot-y cos x — 0,169 • 10−11 ye'-f2y sln л/2x + 0,618 • 10−11 y^2y cos л/2x --0,187 • 10−10ye-'-j2y smV2x — 0,570 • 10−11 ye-'-By cosJlx + 0,930 • 10−12yepy slnpx + +0,483 • 10−13 yepy cos px + 0,573 • 10−12 ye-py sln px + 0,513 • 10−11 ye-py cospx —
v (1)(x, y) = -0,925 • 10−13 e-py cos px — 0,637 • 10−13 epy sln px + 0,460 • 10−11 yey cos x --0,203 • 10−12 yey sln x + 0,214 •і О-12 ye~y sln x + 0,169 •і 0−11 ye'-r2y cos л/2 x --0,187 • 10−10 ye^ cosV2x + 0,570 •і 0−11 ye-'-j2y sln л/2x — 0,930 • 10−12 yep y cos p x + +0,483 • 10−13 yepy sln px + 0,618 • 10−11 ye f2y sln л/2x + 0,457 • 10−11 ye~y cos x +
+0,573 • 10−12 ye-p y cos p — 0,513 • 10−11 ye-p y sln p x — 0,332 •і 0−11 e^ cos л/2x +
+0,253 • 10−11 e^y sln л/2x + 0,115 • 10−11 epy cos px — 0,455 • 10−12e-py sln px +
+0,534•іО-12e~y slnx-0,317 •іО-11 ey cosx + 0,530•іО-12ey slnx +
+0,197 • 10−11 e~y cos x — 0,316 • 10−11 2y cos л/2x — 0,999 • 10−11 e'-l~2y sln л/2x-
а^Чx, y) = -0,233e~py cospx + 0,012epy slnpx — 0,644yey cos x + 0,028yey sln x +
+0,63 9ye~y cos x + 0,300ye~y sln x — 0,335ye'-^y cos л/2x -1,22ye'-^2y sln л/2x --3,71ye~'-^2y cos л/2x +1,13ye~'-^2y sln л/2x + 0,409yepy cos px — 0,021yepy sln px +
+0,252ye~py cos px — 2,26ye~py sln px + 5,64e~'-^2y cos л/2x -1,42e~'-^2y sln л/2x --0,192epy cos px + 1,53e_py sln px — 0,645e~y sln x — 1,10ey cos x — 0,006ey sln x --1,26e~y cos x + 0,057e'-^2y cos л/2x — 0,098e^y sln л/2x-
tx,)(x, y) = 0,806e~py cospx — 0,322epy sln px — 0,644yey sln x — 0,028yey cos x —
-0,639ye~y sln x + 0,300ye~y cos x — 0,335ye'-^2y sln л/2x +1,22ye'-^2y cos л/2x + +3,71ye~'-^2y sln л/2x + +1,13ye~'-^2y cosл/2x + 0,409yepy sln px + 0,021yepy cospx --0,252ye~py sln px — 2,26ye-y cos px — 0,617e~^2y cos л/2x — 3,01e& quot-^2y sln yflx --0,019epy cos p x + 0,153e~py sln p x + 0,619e~y sln x + 0,035ey cos x — 0,457ey sln x --0,345e~y cos x — 0,767e'-^y cos л/2x + 0,294e'-^2y sln л/2x —
ay°(x, y) = -0,187ey cos x + 0,062ey sln x — 0,020e~y cos x + 0,045e~y sln x — 0,532e'-^2y cosл/2x —
-1,63e'-^2y sln л/2x — 0,391e~'-^2y cos л/2x — 0,181e"'-^2y sln л/2x + 0,452epy cos px --0,025epy sln px + 0,072e~py cos px — 0,087e~py sln px + 0,644yey cos x --0,028yey sln x — 0,639ye~y cos x — 0,300ye~y sln x + 0,335ye'-^y cos л/2x +
+1,22ye^y sln yflx + 3,71ye~^2y cos л/2x -1,13ye~^2y sln л/2x — 0,409yepy cos px + +0,021yepy sln px — 0,252ye~py cospx + 2,26ye~py sln px —
u (2) (x, y) = 0,849 • 10−12ey sln x — 0,229 • 10−11 ey cosx — 0,135 • 10−10e^ sln л/2x —
-0,510 • 10−11 e^ cos л/2x — 0,174 • 10−12 epy sln px + 0,171 • 10−11 epy cos px —
-0,250 • 10−12 yey sln x — 0,232 • 10−11 yey cos x — 0,202 •і О-10 yeJiy sln л/2x +
+0,238 • 10−11 ye^2y cos л/2x + 0,198 • 10−11 yepy sln px + 0,500 • 10−11 yepy cos px —
v (2)(x, y) = -0,120−10 11 ey cosx + 0,106−10 11 ey sinx — 0,649−10 11 e^y cosл/2x —
-0,746 -10−11 sin J2x + 0,105 -10−11 epy cospx — 0,518 -10−12epy sin px +
+0,250 -10−12 yey cos x — 0,232 -10−11 yey sin x + 0,202 -10−10 ye'-I~2y cos л/2x +
+0,238 -10−11 y^2y sin л^ - 0,198 -10−11 yepy cospx + 0,500 -10−11 yepy sinpx —
sx2)(x, y) = 0,117ey cosx + 0,729ey sinx — 6,36ey cosл/2x + 0,955ey sin л/2x +
+0,187epy cospx -1,69epy sin px — 0,045yey cos x + 0,418yey sin x —
-5,15ye'-^y cos л/2x — 0,607ye'-^y sin л/2x +1,12yeny cos px — 2,83yeny sin px —
tx2) (x, y) = 0,162ey sin x — 0,310ey cos x — 2,72e^2y sin л/2x -1,3 8e^2y cos л/2x —
-0,169epy sin px + 0,788epy cos px — 0,045yey sin x — 0,418yey cos x —
-5,15ye'-^2y smл/2x + 0,607ye^y cosл/2x +1,12yepy sinpx + 2,83yepy cospx —
s x, y) = -0,207ey cos x + 0,108ey sin x — 0,923e^y cosyf2x — 1,81e^y si^ V2x +
+ 0,525ep cos px — 0,113ep sin px + 0,045yey cos x — 0,418yey sin x +
+ 5,15ye^y cosa/2x + 0,607ye^y si^ V2x -1,12yep cos px + 2,83yep sin px. Графики функций при различных значениях y приведены на рис. 1−6.
Р и с. 4
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. КулагинаМ.Ф. О некоторых бесконечных системах с разностными индексами // Изв. вузов. Математика. 1992. № 3. С. 18−23.
2. Кулагина М. Ф. Об интегральных уравнениях в средних значениях в пространствах почти-периодических функций // Изв. вузов. Математика. 1993. № 8. С. 19−29.
3. ГохбергИ.П., Крупник Н. Л. Введение в теорию одномерных сингулярных интегральных операторов. Кишинев: Штиинца, 1973. 423 с.
4. Левитан Б. М. Почти-периодические функции. М.: ГИТТЛ, 1953. 396 с.
5. УфляндЛ.С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости. Л.: Наука, 1968. 406 с.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 01−01−720).
Поступила 6. 03. 2003 г.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой