Импульсная характеристика комплексного полосового фильтра Баттерворта

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК 621. 396:681. 323 DOI: 10. 17 586/0021−3454−2015−58−8-653−658
ИМПУЛЬСНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА КОМПЛЕКСНОГО ПОЛОСОВОГО ФИЛЬТРА БАТТЕРВОРТА
С. И. Зиатдинов
Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения,
190 000, Санкт-Петербург, Россия E-mail: kaJ53@guap. ru
На основании теории вычетов в общем виде получены выражения для частотной передаточной функции комплексного полосового фильтра Баттерворта. Показано, что импульсная характеристика комплексного фильтра также является комплексной и содержит вещественную и мнимую составляющие, сдвинутые по фазе на 90°. Для преобразования вещественного фильтра низких частот в фильтр Баттерворта необходимо импульсную характеристику фильтра низких частот умножить на комплексный гармонический сигнал с заданной частотой. Предложена методика расчета вещественной и мнимой составляющих импульсной характеристики комплексного полосового фильтра Баттерворта различных порядков. Рассмотрены конкретные примеры.
Ключевые слова: комплексный полосовой фильтр, частотная передаточная функция, импульсная характеристика, полюсы.
При решении задач фильтрации полезного сигнала на фоне шумов, восстановления непрерывного сигнала по его периодическим отсчетам и т. д. используются фильтры нижних частот (ФНЧ). Среди ФНЧ можно выделить фильтры Баттерворта, обладающие гладкой амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ) в зоне прозрачности и достаточно резким спадом коэффициента передачи за ее пределами.
Вместе с тем представляет интерес построение комплексного полосового фильтра Бат-терворта, средняя частота АЧХ которого могла бы перестраиваться, принимая как положительные, так и отрицательные значения. Для исследования особенностей прохождения сигнала через полосовой фильтр необходимо знать его импульсную характеристику, нахождение которой и является целью настоящей работы.
В общем виде [1] частотная передаточная функция фильтра Баттерворта может быть представлена следующим образом:
W (p) =¦
П Pi
i=1
-, (1)
П (P — Рг)
i=1
где s — порядок фильтра- pt — полюсы передаточной функции.
После несложных преобразований уравнения (1) представим выражение для частотной передаточной функции комплексного фильтра Баттерворта нечетного порядка:
0,5roSD
W (Р) = TS-D75----ср---. (2)
П L (P -Р0) + 2aiЮср (Р -Р0) + Юср J (p -Ро + юср)
г=1
Для фильтра Баттерворта четного порядка передаточная функция имеет вид
W (p) =
0,5 ю^р
s /2
П |_(p — Ро)2 + 2a юСр (p — Po) i=1
(3)
+ ю,
ср.
В соотношениях (2) и (3) p = ую- ю — круговая частота- Юо- средняя частота АЧХ фильтра- юср — частота среза фильтра, отсчитываемая относительно средней частоты Юо- po = уЮо. При этом для фильтра четного порядка ai = cos n (i — 0,5) / s, нечетного — ai = cos ni / s.
Импульсная характеристика как реакция фильтра на 5-функцию определяется следующим соотношением [2, 3]:
С + j'-& lt-X>-
h (t) = j Ws (p)eptdp =? res, —
(4)
c-jcc
i=1
где ^ геБу — сумма вычетов в подынтегральной функции выражения.
?=1
Представим подынтегральную функцию в виде
(р)ер = Р (р)/ Q (р),
где Р (р) = ю0ерГ, а
(л-1)/2
1 + Юс
Q (p) = П [(p — p0)2 + 2агюср (p — po) '- -ср i=1
для фильтра нечетного порядка и
s/2
Q (p) = П[(p — po)2 + 2ai юср (p — po)
(p — po + юср)
+ ю:
ср
— для фильтра четного порядка.
Тогда вычеты функции Р (р)/ Q (р) в точках р= р1 определяются формулами
Р (р)
геБу = п. -, прир= р1.
dQ (p)
йр
При этом импульсная характеристика фильтра принимает вид
, ч ^ Р (р)
= 1 прир=ру.
(5)
i=1
dQ (p)
dp
(6)
Переходная характеристика фильтра как реакция на единичное входное воздействие [4] может быть найдена из выражения
g (t) = j h (T)dT.
Фильтр Баттерворта первого порядка. Из соотношения (2) находим, что
Wi (p) = ¦

(р — ро) + Юср
Эта частотная передаточная функция имеет один комплексный полюс р1 = ро — юср = = 7'-юо — Юср. Тогда Q (p) = (р — ро) + Юср, а dQ (p / йр) = 1.
В результате, согласно (6), импульсная характеристика фильтра Баттерворта первого порядка определяется выражением
h (t) = 0,5юср (е^& quot-+ eja0t) = ro^e& quot-^ (cos ro0t + j sin ro0t).
Таким образом, импульсная характеристика комплексного фильтра Баттерворта носит комплексный характер.
Фильтр Баттерворта второго порядка. Из выражения (3) находим частотную передаточную функцию рассматриваемого фильтра
0,5 roi.
W2(p) = '- ср
(Р — Р0)2 + 2а1госр (P — P0) + ro2
& quot-ХрЧ^ 1 ^ср
где ах = соб (л /4) =1/72. При этом
б (Р) = (Р — Ро)2 + 2а1юср (Р — Ро) + ®2Р и / Ф = 2Р + 2а1юср.
Частотная передаточная функция ^ (р) имеет два комплексных полюса
Р1,2 = (-а1 ± М1 — а2) юср + -/'-юо. После подстановки этих полюсов в выражение (5) получим
е (-а1 ± л/1 — а12) ®ср^ + УЮо*
ге81,2 = юср

В результате импульсную характеристику фильтра Баттерворта второго порядка можно представить следующим образом:
--г ю
h (t) = resj + res2 = -/2юсре ^ sin-1(cos ю0Г + j sin ю0Г).
л/2
Фильтр Баттерворта третьего порядка. Для этого фильтра частотная передаточная функция имеет вид
0,5 ю-р
W3(p) = ср
(Р — Р0)2 + 2а1®ср (Р — Ро) + & lt-] (Р — Ро + юср) где а1 = соб (л /3) = о, 5. Тогда
б (Р) = [(Р — Ро)2 + 2а1Юср (Р — Ро) + ®2р ] (Р — Ро + Юср) ,
Р) / Ф = 3(Р — Ро)2 + 4юср (Р — Ро) + 2ю2р. Полюсы частотной передаточной функции фильтра можно представить следующим образом:
юср ю-?р 0 ю"
Pi = jro0 -госр- Р2, з =^& quot-2L±-го2р +jro0 (-1 ±j3)^•/Ю0. При этом вычеты в точках p= Pi 2 з определяются выражениями
-0,5ro t ±j0,5/3(«t+jro0
res1 = госре ср 0 — res2,3 = госр ¦
-1,5 ± j 0,53
В результате импульсная характеристика фильтра Баттерворта третьего порядка будет иметь вид
) = геБ1 + геБ2 + геБ3 =
-0,5юсрГ (1
— С1П I 1 / ЧГ|, ,
-& quot-ср'-
= со,
ср
-юсрГ
+ e
ср
J- sin 0, 5л/3гос^ - cos0,5 & gt-/3гос^
(cos ro0t + j sin ro0t).
Фильтр Баттерворта четвертого порядка. Частотная передаточная функция для фильтра четвертого порядка имеет вид
О 5Ю4
р) =
0,5ю4
1
(р — ро)2 + 2а1Юср (р — р0) + ю2р ] |_(р — ро)2 + 2а2Юср (р — р0) + ю2р где а1 = соб (п /8), а2 = соб (зл /8).
Нетрудно показать, что функция Q (p) в этом случае записывается следующим образом:
Q (P) = (Р — Po)4 + Ъъ (Р — Po)3 + h (P — Po)2 + bi (P — P0) + ю4
ср
3 2
где b = 2(a1 + а2) юср- b2 = 2(1 + 2а1а2) юср- b3 = 2(a1 + а2) юср.
При этом
dQ (p) / dp = 4(p — P0)3 + 3Ьз (p — P0)2 + 2b2(p — P0) + ?1.
Полюсы частотной передаточной функции ^(р) определяются соотношениями р, 2 = (-а1 ±. />-/1 — а12))р + М, рз, 4 = (-а2 ±. />-/1 — а2) Юср + 7Ю0.
В результате вычеты функции ^4(р) в точках р= р12 3 4 можно найти из соотношений
4 e
res1,2 = 0,5юср-
-& lt-?+jc2 + J'-COqI
res34 = 0,5ю4 e
-С3Г±jC4 + jroQI
d1 ± jh '- ^ J ср d2 ± jk2
где c1 = -а1юср- c2 = V1 — a2 юср- сз = -а2юср- c4 = V1 — юср-
d1 = 4c3 — 12cfc1 + 3b3c2 — 3b3c2 + 2b2c1 + by-
2 3
k1 = 12c1 c2 — 4c2 + 6?3c1c2 + 2?2c2-
d2 = 4c3 — 12c|c3 + 3b3c| - 3b3c4 + 2b2c3 + b-
2 3
k2 = 12c3 c4 — 4c4 + 6?3c3c4 + 2?2c4.
Тогда импульсная характеристика фильтра принимает вид
8
h (t) = ^ resi = ю4р [(2d1 sin c2t + 2k1 cos c2t) +
i=1
/)c3i
(2d2 sin c4t + 2k2s cos c4t)] (cos ro0t + j sin ro0t).
d2 + k22
Проанализировав полученные результаты, можно отметить, что импульсная характеристика комплексного фильтра также является комплексной. Для преобразования фильтра нижних частот в комплексный полосовой фильтр достаточно импульсную характеристику фильтра нижних частот умножить на (cos root + j sin root). Рассмотренную методику получения импульсной характеристики легко распространить на комплексные полосовые фильтры Баттер-ворта более высоких порядков.
В качестве примера на рис. 1 приведены АЧХ комплексных фильтров Баттерворта первого, второго и четвертого порядков для случая /0 = ю0 /2п = 15 Гц- fср = юср /2п = 20 Гц. На
рис. 2 для такого случая приведены вещественная и мнимая составляющие импульсной характеристики фильтра Баттерворта второго порядка.
тм
0
-60 -40 -20 0 20 40 60 /, Гц Рис. 1
А (0 40
30 20 10 0 -10 -20
0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 /, с Рис. 2
Полученные теоретические результаты могут быть использованы при решении различных задач обработки сигналов.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Зиатдинов С. И., Гусев А. И., Елисеев А. А. Цифровой фильтр Баттерворта с малым динамическим диапазоном значений весовых коэффициентов // Изв. вузов. Приборостроение. 2000. Т. 43, № 9. С. 26−33.
2. Зиатдинов С. И. Импульсная и переходная характеристики системы автоматического регулирования с узкополосными сглаживающими цепями // Изв. вузов. Приборостроение. 2006. Т. 49, № 10. С. 30−32.
3. Бесекерский В. А. Цифровые автоматические системы. М.: Наука, 1976. 575 с.
4. Воробьев С. Н. Цифровая обработка сигналов. М.: Академия, 2013. 320 с.
Сведения об авторе
Сергей Ильич Зиатдинов — д-р техн. наук, профессор- Санкт-Петербургский государственный университет
аэрокосмического приборостроения- E-mail: kaf53@guap. ru
Рекомендована кафедрой Поступила в редакцию
информационно-сетевых технологий 08. 12. 14 г.
Ссылка для цитирования: Зиатдинов С. И. Импульсная характеристика комплексного полосового фильтра Баттерворта // Изв. вузов. Приборостроение. 2015. Т. 58, № 8. С. 653−658.
658
С. H. 3uamdunoe
PULSE CHARACTERISTIC OF BUTTERWORTH COMPLEX BANDPASS FILTER
S. I. Ziatdinov
Saint Petersburg State University of Aerospace Instrumentation, 190 000, Saint Petersburg, Russia E-mail: kaf53@guap. ru
General expressions for frequency transfer function of Butterworth complex bandpass filter are derived with the use of the residue theory. The pulse characteristic of a complex filter is shown to be a complex one, phase-shift between the real and imaginary components of the function equals 90°. A method is proposed for calculating the real and imaginary components of the pulse characteristic of a complex Butterworth bandpass filter of arbitrary order. Concrete examples are presented.
Keywords: complex bandpass filter, frequency transfer function, pulse characteristic, poles.
Data on author
Sergey I. Ziatdinov — Dr. Sci., Professor- Saint Petersburg State University of Aerospace Instrumentation- E-mail: kaf53@guap. ru
Reference for citation: Ziatdinov S. I. Pulse characteristic of Butterworth complex bandpass filter // Izves-tiya Vysshikh Uchebnykh Zavedeniy. Priborostroenie. 2015. Vol. 58, N 8. P. 653−658 (in Russian).
DOI: 10. 17 586/0021−3454−2015−58−8-653−658

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой