Индексы дефекта сингулярных ОДУ нечетного порядка

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

раздел МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
УДК 517.4. 43+517.4. 94 ББК 22. 161. 1
ИНДЕКСЫ ДЕФЕКТА СИНГУЛЯРНЫХ ОДУ НЕЧЕТНОГО ПОРЯДКА. Назирова Э. А.
(работа выполнена при поддержке грантов РФФИ № 01−01−996, № 03 — 01 — 6 079)
Изучаются индексы дефекта дифференциальных операторов, порожденных в пространстве суммируемых с квадратом на полуоси функций самосопряженным дифференциальным выражением нечетного порядка с комплекснозначными коэффициентами.
1. ВВЕДЕНИЕ
Одной из основнык задач спектральной теории линейнык обыкновенных дифференциальны" операторов является исследование их индексов дефектов в зависимости от поведения коэффициентов соответствующего дифференциального выражения /у. Такие задачи изучались М. А. Наймарком [1], Я. Т. Султанаевым [2], М. В. Федорюком [3] и другими авторами (см. библиографию в [3]). Как правило, ими рассматривались симметрические операторы с вещественными коэффициентами. Известно, что индексы дефекта определяют размерность пространств решений уравнений Іи=іу и Іи=-іу.
Целью настоящей работы является исследование индексов дефекта некоторого класса дифференциальны" операторов, порожденных на полуоси самосопряженным дифференциальным выражением нечетного порядка с комплекснозначными коэффициентами.
Итак, мы рассматриваем уравнение вида:
1у = (-1)& quot-2іу12""- +? (-1)к (р,_,(х)у (Н)(Н +
к = 0
+ і? (-1)1qn-J (х)у°))°+1) + (qn-J (х)у°+1))0) ]= іру, (а Ф 0), 0 & lt- х & lt- от, (1)
& gt-=0
где Рк (х), к = 0, п, q. (х), у = 1, п -дважды непрерывно-дифференцируемые вещественнозначные функции. Введем в рассмотрение:
^ (х, а, М) = (- 1) & quot- 2 іМ (2& quot-+1) +? (- 1) к Р п к (х)М 2к +
к = 0
+ 2і?(- ^ 3 q п-. (х)я2 31 — іа •
. = 1
Пусть коэффициенты Рк (X), q. (х) удовлетворяют следующим условиям:
1. |ри (х)| ^ ОТ при X ^ ОТ —
2. Существует достаточно большое К& gt-0, что для х& gt-К функции р'-к (х), q (х) не меняют знак и
| Рк (х)| = О{рк (х)|П) 0 & lt- у к & lt- 1 +1 /(4и — 4к + 2), к = 0, п, ^((х) | = О ^(х) [к)
0 & lt- Ц ¦ & lt- 1 +1 /(4п — 4]),. = 1, п —
3. для всех і,. = 1,2й + 1 и х^Я
*
Назирова Эльвира Айратовна — к. ф-м.н., ассистент кафедры дифференциальных уравнени й БашГУ.
О & lt- А & lt-
Лі (х, а)
& lt- Д
(х, о)
где А, В — положительные постоянные, а и '- (х, О) — корни уравнения Р (х, О, и) =0,
4. Ке (иг — и1) не меняет знак для достаточно больших х.
Известно, см. [3], что при выполнении данных условий, являющихся по сути условиями регулярности коэффициентов, уравнение (1) имеет 2п+1 линейно-независимых решений, таких, что при х ^ от справедливы асимптотические формулы:
(_. к* ^ (-½)
У (х, а) =
д Р (х, а, л д л
ехр
| Л к (і, а) & amp- & gt-, к = 1,2 п + 1 ¦
(2)
В указанной работе исследованы индексы дефекта в наиболее простом частном случае условий 1−3 при выполнении дополнительного ограничения, что интеграл
2 П 2 П + 1
х) ІЇ. Х
(3)
сходится. Они равны [(2п+г+1)/2, (2п+г+1)/2], где г=1,3,5,., 2п+1. Мы будем рассматривать случай, когда интеграл (3) расходится.
2. Построение асимптотик корней уравнения Р (Х, О, и) = 0.
Рассмотрим класс функций, которые можно разложить в асимптотические ряды по рациональным степеням некоторой функции ф (х):
2и+1−2к
к }ак тк
-л -к
Рк (х) = ф 2& quot-+1 ЕаФ
}=1
2п-2к ш
~гк
= -к & gt- О, тк, Ік є 2, к = О, п-
Чк (х) = ф 2п+х Е Ь ф
}=1
которая удовлетворяет условиям:
a) |ф (х)| ^ от, х ^ от —
b) ф'- (х) не меняет знак для достаточно больших х. Введем параметр
а =
?Рк
Рк = - & gt- О, вк, Як є 2, к = 1, п: ек
1
НОК (1 о ,¦¦, 1 п, е 1 ,¦¦, еп, 2п + 1)
Тогда ряды (4) можно переписать в виде
2п+1−2к
Рк (х) = ф 2& quot-+1
2 п — 2 к
Еа) ф
}=1
кА — Іа
а" * О, к = О, п.
Чк (х) = Ф 2и+1 Е ЬкФ ~]а, Ь" * О, к = 1, п.
і=1
при этом, конечно же, часть коэффициентов ак, Ь могут оказаться нулями Будем искать решения уравнения Р (х, а, л) = О в виде ряда:
л (х, а) = іф2 & quot-+1 Е лф
-}а
(6)
(4)
}=о
Подставим это выражение в уравнение и разделим обе его части на ф (х). Выпишем коэффициент при нулевой степени ф (х):
0(Мо) := 2/ио"+1 + Ёа0& gt-+ ЁЬ0 (х)и02к 1 = 0
к=0 к=1
Следующий член в разложении функции? л (х, о) получится при ф (х):
640 К + (и& gt- а°& gt- Ь & lt->- Ь1) = 0
Откуда
^(^0, а°, ?11,., а& quot-, Ь& quot-)
(7)
Я1
6'-(Я0
(8)
Здесь К1(и0, а10, Ь1а ", Ь") — полином от и0, а1к, Ь/, у = 1, й, к = 0, й. Пусть теперь N — такое натуральное число, что
Ыа = 1.
Аналогично (8) можно выписать уравнения для нахождения следующих поправок:
и,
г& gt-/ «0 7 1 _ 0 т 1 п 1П п
. (и 0'& quot-, -1, а0, Ь0,., а у, Ьз'-а0, Ь0 а у, Ь j J
бЧЯс
(9)
Для получаем соотношение:
, (и0 -1 ' а0 ' Ь0 аN, ЬЫ а0 ' Ь0 аN ' ЬЛТ)
им =----------------------------------: -------------------------------+ ¦
6'-(Я0) 6'-(Я0)
Замечание 1. Так как функции Рк (х), Чу (х), — вещественнозначные, то все числа ак, Ь- также вещественные. Следовательно, если корень и0 -вещественный, то и выражения
Я. (и0,., и,-1,а°, Ь0,., а0, Ь1. а», Ьп0а", Ь") — вещественные, У = 1, N
V И 0'--'Н. -1>-'-л0'и0'"-'->- У 5 У'& quot-' 0 ' и0''-& quot->- ^33 Изучим далее поведение функций
! (-½) дР (х, О, и)
ди
Пользуясь разложениями (5,6), нетрудно получить
/
дР (х, о, и ди
к = 1,2п +1.
к. (-½)
= сот1ф 4п+2 (х)(1 + о (1)).
Так как рп (х) = а"ф (х) и интеграл (3) расходится, то, очевидно, интеграл
2п
также расходится, и функции
ЛГ, ^ Л (-½)
дР (х, о, и ди
? 12(0, от).
(10)
Тогда из асимптотических формул (2) для ФСР уравнения (1) следует, что принадлежность решений у. (х, о)
пространству Ь2 (0, от) будет зависеть только от поведения функций Ке (и к (х, о)), к = 1,2п + 1
Яе (и к) = Ке (гф 2и+1 Ё и
' // 5 1
кф-]а) = ф2^
Ё) ф
за
(11)
Предположим, что уравнение (7) имеет 2 г комплексных корней (занумеруем их? л 1,?л 2г), тогда в силу
вещественности коэффициентов характеристического уравнения, они имеют вид
2к, 2к-1 ^ к | • к
и = т ± гд.
Таким образом, для J — 1, 2г
i
Яе (и2к, 2к-1) = кф 2и+'- (х)(1 + о (1)). (12)
Следовательно, ровно г решений, соответствующих корням характеристического уравнения, для которых 0 к & gt- 0, будут суммируемыми с квадратом на (0, от), и еще г решений не будут суммируемыми с квадратом.
Рассмотрим теперь случай вещественных корней уравнения (7). В силу замечания 1
1 т (и*,) =. = М и I-1) = 0 1 т (и N) = 7ТТ.
Q л& lt-
Докажем следующее несложное Утверждение 1.
к+1
Q (л 0) Q (л 0) & lt- 0 для всех к — 2 г +1, 2п
тт г-р 2 г +1 2п+1 /•'-7
Доказательство. 1 ак как числа и0, л — все различные корни уравнения (7), то для любого
к — 2 г +1, 2п, при переходе через каждую точку л о функция Q^) меняет знак, а значит, в каждом отрезке
(к к+1 Л i
(Л, Ло /данная функция имеет точки локального экстремума, откуда в свою очередь следует, что производная
к
меняет знак каждый раз при переходе через точку л о ¦
Из соотношений (11,12) теперь следует, что (п-г) (либо (п-г+1)) функций Яе (л к (X, о)) & gt- о и (п-г+1) (либо (п-г))
функций Ке (л к (X, о)) & lt- о для достаточно больших *¦ Итак, нами доказана Теорема. Пусть выполнены следующие условия:
1) функции Рк (х), q J (х) , — вещественнозначные, дважды непрерывно дифференцируемые и представимы в виде (4)
2) Существует достаточно большое R& gt-0, что для x& gt-R функции рк (х), qj (х) не меняют знак и
рк (х)| - о (рк (х)|У) о & lt- у к & lt- 1 +1 /(4и — 4к + 2), к — о, п, |qj (х)| - О (q у (х)|Щ)
о & lt- Ц ¦ & lt- 1 +1 /(4п — 4 j), J — 1, п —
3) |ф (х)| ^ от, X ^ от —
4) уравнение
^Яо) : — 2Ло2"+1 + Y ао ^ + Y bo (х)ло2к 1 — о
к-о к-1
не имеет кратных корней
Тогда индексы дефекта минимального дифференциального оператора, порожденного на полуоси выражением /у, суть (п, п+1) либо (п+1,п).
ЛИТЕРАТУРА.
1 Наймарк М А Линейные дифференциальные операторы, М^, 1969^
2^ Федорюк М^Ф^ Асимптотические методы для линейных ОДУ, М^, Наука, 1983¦
3^ Мукимов В^, Султанаев Я Х Ь2-решения сингулярных дифференциальных операторов нечетного порядка^ -Дифференциальные уравнения^ 2оо2^ т 38(2) сЛ9о-194^
4^ Мукимов В^, Султанаев Я Х Об индексах симметрического дифференциального оператора нечетного порядка^ - Дифференциальные уравнения^ 1995^ тЛ, № 12^ а2о83−2о84^
5. W.N. Everitt, A. Zettl. Generalized symmetric ordinary differential expressions 1. The general theory parallel. Niew archief voor wisKunde (3), 1979, p. 363−397.
Поступила в редакцию 04. 04. 03 г.
УДК 537.6 ББК 22. 161. 6
СОЛИТОНЫ В КУБИЧЕСКОМ ФЕРРОМАГНЕТИКЕ С НАВЕДЕННОЙ МАГНИТНОИ АНИЗОТРОПИЕИ
ВДОЛЬ ОСИ [001]
Шамсутдинов Д. М.
(Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 02−02−17 417).
Теоретически исследованы солитоны в кубическом ферромагнетике с наведенной магнитной анизотропией вдоль оси [001]. Определены зависимости скорости движения солитонов от констант магнитной анизотропии.
Солитоны в одноосном ферромагнетике исследованы достаточно хорошо (см., например [1]). При скоростях меньших предельной скорости уравнение Ландау-Лифшица для намагниченности сводится к уравнению синус-Гордон. В случае кубических ферромагнетиков возникает иная ситуация. Дело в том, что в кубических ферромагнетиках наряду с естественной кубической магнитной анизотропией может иметь место наведенная магнитная анизотропия. Настоящая работа посвящена исследованию солитонов в кубическом ферромагнетике с наведенной одноосной анизотропией.
При исследовании нелинейных волн в кубическом ферромагнетике с наведенной одноосной магнитной анизотропией свободную энергию обычно записывают в виде
w = - [ ,
V 1
F = А
д m
д х"
— К. т 2 — М «тН т — F
суб
(1)
(2)
Здесь т-единичный вектор намагниченности М = М 0 m, М0 =| М I — намагниченность насыщения- А — параметр неоднородного обменного взаимодействия, Ки — константа наведенной одноосной анизотропии вдоль
оси [001], нт — магнитостатическое поле, определяемое из уравнений магнитостатики
rot Н т = 0, div Н т = - 4 жМ 0 div m ,
F- энергия кубической кристаллографической магнитной анизотропии. В системе координат с осями
* II [110], у II [110], z II [001]
F куб = К1
2 / 2, 2 ^ ґ 2 2 2
т. (т х + т v) + - (т г — т v)
Vx У J /I v х У 7
(3)
где К1 — константа кубической кристаллографической магнитной анизотропии.
Рассмотрим распространение нелинейных волн вдоль оси у II [110]. В одномерном случае плотность полной энергии Р в угловых переменных, то есть
можно записать в следующем виде
F
m = (sin Q sin q, COS Q, sin Q cos q) +
F = А Q У + Sin 2 Q q У ]+ F (°) +
) = К u sin 2 q sin 2 q + К т cos 2 q +
(4)
+ - К 1 4 1
cos 2 q sin 2 q sin 4 q + sin 2
2 /1 7 2
cos q (1 — -3- sin q
Шамсутдинов Данир Миннахатовнч — аспирант БашГУ, кафедра дифференциальных уравнени й.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой