Начально-конечная задача для неоднородного уравнения Буссинеска Лява

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК 517. 9
НАЧАЛЬНО-КОНЕЧНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ НЕОДНОРОДНОГО УРАВНЕНИЯ БУССИНЕСКА — ЛЯВА
А.А. Замышляева
THE INITIAL-FINISH VALUE PROBLEM FOR NONHOMOGENIOUS BOUSSINESQUE — LOVE EQUATION
A.A. Zamyshlyaeva
Рассматривается начально-конечная задача для неоднородного уравнения Буссинеска — Лява. Проводится редукция к абстрактной начальноконечной задаче для уравнения соболевского типа второго порядка. Получены достаточные условия для однозначной разрешимости исходной и абстрактной задач.
Ключевые слова: уравнения соболевского типа, MjN-функции,
начально-конечная задача.
We investigate the initial-finish value problem for the Boussinesque-Love equation by reducing it to the initial-finish value problem for the Sobolev type equation of the second order. We obtain sufficient conditions about the unique solvability of original and abstract problems.
Keywords: the Sobolev type equations, the M, N-functions, the initial-finish value problem.
Введение
Рассмотрим уравнение Буссинеска — Лява [1]
(А — A) utt = а (Д — A r) ut + в (Д — А & quot-)и + /, (1)
описывающее продольные колебания упругого стержня с учетом поперечной инерции и при внешней нагрузке, где параметры А, А'-, А& quot- € R, а & gt- 0, в & gt- 0 характеризуют среду, причем отрицательные значения параметра, А не противоречат физическому смыслу.
Задачу Дирихле для уравнения (1) удается в подходящих банаховых пространствах редуцировать к абстрактному уравнению соболевского типа [2]
AV = Bv + B0v + /. (2)
Нашей целью является изучение начально-конечной задачи для такого уравнения. Термин «начально-конечная задача& gt- появился относительно недавно, и отражает тот факт, что при постановке такой задачи для уравнения (1) часть данных задается в начале временного промежутка [0,T], а другая часть — в конце. Первоначально такая задача называлась «задачей
сопряжения& gt- и рассматривалась как обобщение задачи с данными на свободной поверхно-
сти. Именно в этом контексте была построена теория таких задач для линейных уравнений
соболевского типа первого порядка и разработаны приложения этой теории [3],[4]. Мы распространим эти идеи и методы на случай уравнений соболевского типа второго порядка.
В статье кроме Введения и Списка литературы содержится три параграфа. В п. 1 приведены основные результаты теории операторных вырожденных М, N-функций [5]. В п. 2, следуя [3], изучается абстрактная начально-конечная задача. П. 3 посвящен постановке и исследованию начально-конечной задачи для уравнения (1).
1. Вырожденные М, Ж-функции и задача Шоуолтера — Сидорова
Пусть V и (c) — банаховы пространства, операторы А, Б, Во Є С (0- (c)). Обозначим через В пучок операторов Ві и Во.
Определение 1. Множества рА (Б) = {ц Є С: (ц2А — цВ1 — В0) 1 Є ?((c) — V)} и аА (В) = СрА (В) будем называть А-резольвентным множеством, и А-спектром пучка
В.
Заметим, что множество рА (В) всегда открыто, поэтому А-спектр аА (В) пучка В всегда замкнут.
Определение 2. Оператор-функцию ЯА (В) = (ц2А — цВі - Во)-1 с областью определения рА (В) будем называть А-резольвентой пучка В.
А-резольвента пучка В всегда аналитична в своей области определения.
Определение 3. Пучок операторов В называется полиномиально ограниченным относительно оператора, А (или просто полиномиально А-ограниченным), если
За Є М+ Уц Є С (|ц| & gt-а) ^ (ЯА (В) Є ?((c) — V)).
Если существует оператор А-1 Є ?((c) — V), то пучок В полиномиально А-ограничен. і
Если кег АР|(Р| кег Вк) = {0}, то пучок В не будет полиномиально А-ограниченным.
к=0
Зафиксируем 7 = {ц Є С: |ц| = г & gt- а} - контур, ограничивающий круг, содержащий аА (В). Введем и обсудим одно важное в дальнейшем условие. Если пучок В полиномиально А-ограничен, то можно потребовать, что
IКА (В)йц = О. (А)
7
Это условие, впервые введенное в [5], оказалось ключевым при рассмотрении уравнений соболевского типа высокого порядка. Заметим, что если существует оператор А-1 Є С ((c) — V) или оператор В1 = О (уравнение неполное), то условие (А) выполняется- а если оператор, А = О и существует оператор В-1 Є ?((c) — V), то нет.
Пусть пучок В полиномиально А-ограничен, и выполнено (А). Тогда имеют смысл следующие операторы как интегралы от аналитических оператор-функций:
Р = 2- / К0) АЛц, Я = 2-^ цАЕА (В)йц.
і і
Лемма 1. Пусть пучок В полиномиально А-ограничен, и выполнено условие (А). Тогда операторы Р Є ?((c)) и ^ Є ?((c)) — проекторы.
Положим V0 = кег Р, (c)0 = кег Я, V1 = ш Р, (c)1 = 1ш Из леммы следует, что V = V0 ф V1, © = (c)° ф 01. Через Ак (Вк) обозначим сужение оператора, А (В^) на Vk, к, I = 0,1.
Теорема 1. Пусть пучок В полиномиально А-ограничен и выполнено условие (А). Тогда действия операторов расщепляются:
(г) Ак €С (^к- (c)к), к = 0,1-
(гг) Вк € С^к- (c)к), к, I = 0,1-
(ггг) существует оператор (А1)-1 € ?((c)1- V1) —
(т) существует оператор (В°)-1 € ?((c)°- V0).
Теперь рассмотрим уравнение соболевского типа второго порядка
Ау = В1{) + В0у. (3)
Вектор-функцию у € С2(М- V) назовем решением, уравнения (3), если оно обращает его
в тождество. Решение у = у (Ь) уравнения (3) называется решением задачи Шоуолтера —
Сидорова, если
Р (У (0) — у1) = 0, Р (у (0) — у0) = 0, (4)
Определение 4. Оператор-функцию V* € С^(М- ?((c))) будем, называть пропагатором уравнения (3), если для любого V € V вектор-функция у (Ь) = V1V будет решением этого уравнения.
Рассмотрим семейства операторов
V/ = 2- /)Ае^й^, Ь € М,
1
V0 = т^ [ вА (В)(М — в^й^, г € м.
2пг ] ^
Как показано в [5], оба эти семейства являются пропагаторами уравнения (3). Причем если контур 7 С рА (В) и ограничивает область Г, такую, что аА (В) П Г = 0, то в силу теоремы Коши V/ = V°t = О при всех Ь € М, и утверждение очевидно.
Определение 5. Семейства М*,№*: М ^ ?^) называются семейством, вырожденных М,№-функций уравнения (3), если
(г) М * и N * - пропагаторы уравнения (3) —
(И) М0 = № = О- М0 = № = Р.
Теорема 2. Пусть пучок В полиномиально А-ограничен, выполнено условие (А). Тогда существует единственное семейство вырожденных М,№-функций уравнения (3), причем
М = V°j, № = VI.
Определение 6. Определим семейство операторов {К^К^} следующим образом:
К = О, К2 = I К1 = Н0, К2 = -Н1 К = К-1Н0, К2 = К-1 — К2−1 Н1, д = 1, 2,…
Определение 7. Точка то называется
(1) устранимой особой точкой А-резольвенты пучка В, если К = К2 = О-
--
(и) полюсом порядка р € N А-резольвенты пучка В, если Кр = О, при некотором в, но Кр+ 1 = О, при любом в = 1, 2-
(ш) существенно особой точкой А-резольвенты пучка В, если Кр2 = О при любом р € N.
Замечание 1. В дальнейшем, если пучок В полиномиально А-ограничен, выполнено условие (А) и то является полюсом порядка р € {0} и N его А-резольвенты, будем говорить, что пучок В (А, р)-ограничен.
Теорема 3. Пусть пучок В (А, р)-ограничен. Тогда при любых Ук € V, k = 0,1, существует единственное решение задачи (3), (4), представимое в виде: у (Ь) = МгРу 1 + NгРУ0.
2. Абстрактная начально-конечная задача
Пусть V и (c) — банаховы пространства, операторы А, В1, В0 € ?^- (c)). Рассмотрим уравнение соболевского типа
АУ = В1{) + В0 V + /. (5)
Если пучок В полиномиально А-ограничен, и выполнено условие (А), то, как следует из теоремы 2, существует единственное семейство вырожденных М, N-функций однородного уравнения (5). Пусть выполнено следующее условие:
А-спектр пучка В аА (В) = & amp-А (В) У & amp-А (В), причем ак (В) = 0, к = 0,1- и существует контур 70 С С, ограничивающий область Го С С такую, что Го П *?(В) = аА (В), Го ПА (В)= 0.
Тогда существует оператор
1 2пі
(B)
Pin = 2−1 pRA (B)Adp Є L (V).
Yo
Потребуем выполнение еще одного условия
A
J R?(B)dp = O. (A°)
Y0
Аналогично лемме 1 можно получить следующее утверждение.
Лемма 2. Пусть пучок В полиномиально A-ограничен, и выполнены условия (A), (В), (A°). Тогда Pin — проектор, причем PinP = PPin = Pin.
Построим оператор Pex = P — Pin € L (V). В силу леммы 2 оператор Pex — проектор,
причем PinPex = PeXPin = O. Возьмем произвольные векторы v°, v°,, vT € V. Решение
v = v (t) уравнения (5) назовем решением начально-конечной задачи для уравнения (5), если оно удовлетворяет следующим условиям:
Pex (v (0) — v°) = 0, Pex (v (0) — v°) = 0- (6)
Pin (v (T) — vT) = 0, Pin (v (T) — v°T) = 0. (6)
Заметим, что если аА (В) = 0, то Рех = О и Р^п = Р. Тогда задача (6) для уравнения (5) превращается в задачу (4), (5).
Введем в рассмотрение следующие семейства операторов:
N*п = 2^/ КА (В)Ае^є м,
70
МІ = ^ / е?0)(М — Б1) е^й^і є м.
70
Оба семейства хоть и не являются семейством вырожденных М, N-функций в смысле определения 5 (так как не удовлетворяют условию (іі)), но тем не менее обладают рядом полезных свойств.
Лемма 3. Пусть пучок Б полиномиально А-ограничен, и выполнены условия (Б), (Ао). Тогда
(і) М*п ип — пропагаторы уравнения (5) —
(т0п = М0п = О^0п = М°п = Ргп.
Далее, построим семейства операторов Мх = МЬ — М*п,х = N — Nп.
Лемма 4. Пусть пучок Б полиномиально А-ограничен, и выполнены условия (А), (Б), (Ао). Тогда
(і)М'ех иех — пропагаторы уравнения (5) —
(т0х = МОх = о, N0 = М0х = Рех.
Теорема 4. Пусть пучок Б (А, р)-ограничен, и выполнены условия (Б), (Ао). Тогда для любых Т Є М,-и°, ут Є V, к = 0,1, вектор-функции / = /(і), і Є [0,Т], такой, что /° = (I — Я)/ Є Ср+1([0,Т]- 5°) П Ср+2((0, Т ]- 50), /гп = Ягп / Є С ([0,Т]- 5гп), /ех = Яех/ Є С ([0,Т]-5ех) существует единственное решение V = v (і) задачи (5), (6), которое к тому же имеет следующий вид:
Р й
^2/тз0Л — 1 й ?°/+ і ц/гЬ-Т», Т и/гЬ «, 0 і лтЬ-Т», Т, дтЬ «, 0
(Ш'-
v (і) = - ^ К2 (Б°) 1 (Ц /0 (і) + Т^ + Мех^ +гп Т^ + ^х1 +
q=0
+ I к~х3гШв — і яіп3гШз, (7)
гг гТ
уЬ-в. рехґ"л» I Ы-впп/
гп
где К1п = 2П / пА (Б)e|лtйV¦, Щ = 2П / еА (Б)Ае^й^ Віх = Щ —
70 7
Заметим, что если Т = 0, то задача (6) превращается в задачу (4).
3. Начально-конечная задача
для уравнения Буссинеска — Лява
Пусть О С Мп — ограниченная область с границей дО класса Сте. Введем в рассмотрение пространства V = {V Є ^|(О): v (x) =0,х Є дО} и © = І2(О). Простанство V — банахово с нормой
п
ІМІШ = (^ V2кх1 + ^хк + v'2)йx,
П к, 1=1 к=1
а пространство (c) — гильбертово со скалярным произведением {¦, ¦). Формулой
п «
{IV, w) = ^ / Vxkхк^йх, V, w Є V,
к=1 п
0
п
зададим оператор Ь: V ^ ©. Справедлива
Теорема 5. [6] Оператор Ь Є С (0- (c)), его спектр & lt-г (Ь) вещественен, отрицателен, дискретен, конечнократен и сгущается только к точке -ж.
Обозначим через [Хк} множество собственных значений оператора Ь, занумерованных по невозрастанию с учетом кратности, а через рк — множество соответствующих собственных функций, ортонормированных в смысле ©. Положим, А = Х — Ь, Б1 = а (Ь — Х'-), Б0 = в (Ь — Х& quot-). Имеет место
Теорема 6. [5] Пусть выполнено одно из следующих условий:
(і) Х Є [Хк}-
(ii) (Х Є [Хк} Л (Х = Х'-) —
(iii) (Х Є [Хк}) Л (Х = Х/) Л (Х = Х& gt-/). ^
Тогда при любых а, в Є М [0} пучок Б полиномиально А-ограничен.
Доказательство заключается в изучении А-спектра пучка Б. Во всех случаях А-спектр пучка Б составляют решения уравнений
(Х — Хк)^2 + а (Х'- - Хк) р + в (Х'-'- - Хк) = 0, к Є N.
Рассмотрим А-спектр пучка Б в зависимости от ситуации.
(i) аЛ (Б) = (^2 = а (Хк — Х'-) ^а2(Х'- - Хк)2 — 4 В (Х — Хк)(Х'-'- - Хк): к є N}.
2(Х — Хк)
(ii) ^(Б) = {/4'2: к Є N [I: Х = Хг}№ - ^): Х = Х^.
(iii) аЛ (Б) = {^2: к Є N4*: Х = Хг}}.
Замечание 2. Как нетрудно показать, в случае (Х Є [Хк}) Л (Х = Х'- = Х'-'-) пучок Б не будет полиномиально А-ограниченным.
Следствие 1. [5] Пусть выполнено условие либо (і), либо (ііі) теоремы 6. Тогда при любых а, в Є М [0} имеет место условие (А), причем ж — устранимая особая точка А-резольвенты пучка Б.
Замечание 3. В случае (іі) теоремы 6
1
2П- / 5-/((Х — Хк)^2 + а (Х'- - Хк)№ + в (Х'-'- - Х к)) 1 {¦, рк) ркй^ 7 к=1
V ^к) = о,
л7=л а (Х — Хк) и поэтому условие (А) не выполняется.
Итак, в силу теоремы 6 и следствия 1 в случаях (1), (ш) пучок В (А, 0)-ограничен. Поэтому построим семейства вырожденных М, И-функций уравнения (2):
М = X, ^ - ^ (-фк) рк,
N г = / ук (Х — Хк) + а (Х — X к)
к= V (Х — Хк)(рк- «к)
+**)Хк 1 {¦-) **
где штрих у знака суммы означает отсутствие членов с номерами к такими, что Х = Хк. Кроме М, N-функций для постановки начально-конечной задачи необходимы проекторы Р и Ріп. Построим проектор Р:
{I, если выполнено (і) —
I — {¦, Рк) Рк, если выполнено (ііі).
Л=Лк
Для построения проектора Ріп выберем область Г0 С С, содержащую конечное множество точек А-спектра аЛ (Б) и такую, что дГ ('-)аЛ (Б) = 0. Как нетрудно видеть, область Г0 можно выбрать такой, что дГ = 70 — контур. По рецептам п. 3 построим проектор
Po = ?) vk¦
Здесь {Л^ = aA (B) П|Г0, Л = Лk, где к такое, что k = Л.
Теперь у нас все готово для постановки и изучения начально-конечной задачи для уравнения (2). В цилиндре Q х (0, T), T € R+ рассмотрим уравнение
(Л — A) vtt = а (Д — X) vt + в (Д — Л& gt- + f (t), (8)
выберем произвольно векторы v0, vT € V, к = 0,1. Решение v = v (t) уравнения (8) назовем решением начально-конечной задачи, если
Pex (v (0) — v0) = 0, Pex (v (0) — v0) = 0- (9)
Pm (v (T) — vj) = 0, Pm (v (T) — vj) = 0. (9)
Здесь Pex = P — Pin.
По рецептам п. 2 построим вырожденные Min, N^-функции. Для этого введем в рассмотрение множество индексов K элементов множества {Лк}. Тогда
т,, t ST^ e^kt — e^kt / V
Min = «1 _ «2 b Pk) Pk,
k€K «k «k
N = (ук (Х — Хк) + а (Х — Хк) «1 *+
* ^ (Х — Хк)(у2 — у2)
+*а -у-)Хк 1 «*) & lt--к) -к.
Теперь в силу теоремы 4 и следствия 1 имеет место
Теорема 7. При любых а, в € М {0} и Х € М таком, что выполнено условие либо (г), либо
(ггг) теоремы 6, и любых Т € М+, у0, € V, к = 0,1, существует единственное решение
задачи (8),(9), которое к тому же имеет вид (7).
В заключение автор считает своим приятным долгом выразить искреннюю благодарность профессору Г. А. Свиридюку за постановку задачи и поддержку в работе.
Литература
1. Уизем, Дж. Линейные и нелинейные волны / Дж. Уизем. — М.: Мир, 1977.
2. Sviridyuk, G.A. Linear Sobolev type equations and degenerate semigroups of operators / G.A. Sviridyuk, V.E. Fedorov. — Utrecht- Boston- Koln- Tokyo: VSP, 2003.
3. Загребина, С.А. О задаче Шоуолтера — Сидорова / С. А. Загребина // Изв. вузов. Математика. — 2007. — № 3. — С. 22−28.
4. Манакова, Н. А. Оптимальное управление решениями начально-конечной задачи для линейных уравнений соболевского типа / Н. А. Манакова, А. Г. Дыльков // Вестн. Юж. -Урал. гос. ун-та. Сер. «Мат. моделирование и программированием — 2011. — № 17 (234), вып. 8. — С. 113−114.
5. Замышляева, А. А. Фазовые пространства одного класса линейных уравнений соболевского типа второго порядка / А. А. Замышляева // Вычислит. технологии. — 2003. — Т. 8, № 4. — С. 45 — 54.
References
1. Uizem J. Lineynye i nelineynye volny [Linear and nonlinear waves]. Moscow, Mir, 1977.
2. Sviridyuk G.A., Fedorov V.E. Linear Sobolev type equations and degenerate semigroups of operators. Utrecht, Boston, Koln, Tokyo: VSP, 2003.
3. Zagrebina S.A. On Showalter — Sidorov problem [O zadache Shouoltera — Sidorova] Izvestiya vuzov. Matematika, 2007, no. 3, pp. 22 — 28.
4. Manakova N.A., Dylkov A.G. Optimal control of solutions of initial-finish problem for the linear Sobolev type equations [Optimal'noe upravlenie resheniyami nachal’no-konechnoy zadachi dlya lineynykh uravneniy sobolevskogo tipa] Vestnik Yuzhno-Ural'skogo gosudarstvennogo universiteta. Seriya «Matematicheskoe modelirovanie i programmirovanie~& gt-, 2011, no. 17 (234), vyp. 8, pp. 113 — 114.
5. Zamyshlyaeva A.A. The phase spaces of a class of linear sobolev type equations of the second order [Fazovye prostranstva odnogo klassa lineynykh uravneniy sobolevskogo tipa]. Vychislitel’nye tekhnologii, 2003, vol. 8, no. 4, pp. 45 — 54.
Алена Александровна Замышляева, кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра «Уравнения математической физики& gt-, Южно-Уральский государственный университет (Россия, г. Челябинск), alzama@mail. ru.
Alyona Aleksandrovna Zamyshlyaeva, Candidate of Physico-mathematical Sciences, Associate Professor, Department «Equations of Mathematical Physics& gt-, South Ural State University (Russia, Chelyabinsk), alzama@mail. ru.
Поступила в редакцию 30 августа 2011 г.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой