Инфинитезимальные изометрии синектической метрики касательного расслоения псевдоевклидовой плоскости

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

АЛГЕБРА И МАТЕМАТИЧЕСКИМ АНАЛИЗ
Таким образом, Ь3 =тх1 + «)-^ + {тх2 + ^)-т, п, ^ е Л | - алгебра Ли инфинитезимальных движений
плоскости Е2. Придавая поочередно одной из постоянных т, п, d значение 1, остальным значение 0, получим базис этой алгебры
X, =-
Х 2 =-
Х3 = х2
д, д
— + х
дх дх дх дх
Пусть а[ау) дважды ковариантное симметрическое тензорное поле плоскости Е1. В касательном расслоении ТЕ1) построим тензор [1] gs = gc + ау, где gc — полный лифт тензора g, ау — вертикальный лифт тензора а. В матричной форме компоненты метрического тензора gs запишутся:
а11 а12 1 0
а21 а22 0 -1
1 0 0 0
0 -1 0 0
Из [2] следует, что если X = ^'-(х1, х2, х3, х4)-- (/ = 1, 2,3,4) — инфинитезимальное движение риманова про-
странства ТЕ2) gs) является проектируемым на алгебру Ь3 инфинитезимальных движений плоскости Е2, то
: {уг- х2+яду + w'- ?(я = 1, 2),
причем должно выполняться условие
LWg, J + ЬУау = 0, У 6 Ь3.
Перейдем в Т Ег) к новой системе координат по формулам
= х3 + - | а^хх + ср, (х2),
х3 = х4 — - | а2^х2 + ср2 (х1)
В новой системе координат матрица, составленная из компонент тензора gs, имеет вид
(2) (3)
я
g =
Дх1, х 2)
Дх1, х 2)
0 -1
1 0 0 -1
Л
00 00
где Дх1, х2)= а21 +д2м1 -91м
Определим вид тензора gs, а также подалгебру Ь алгебры Ли инфинитезимальных движений риманова пространства (тЕ2), gs), проектируемую на алгебру
I д д 2 д 1 д Ьз Ч-тТ, х2-т + х1-т
[дх1 дх2 дх1 дх2
Обозначим через Ух, У2, У3 множества всех инфинитезимальных движений пространства (тЕг) gs), проектируемых соответственно на алгебры {ЛХ1 е л}, [АХ2е л}, [АХ3А е л}, где
Х1 =-1, Х2 =-2, Х3 = х 2−1 + х1--. дх дх дх дх
Множества У1, У2, У3 относительно операций сложения инфинитезимальных движений и умножения
на действительное число образуют векторные пространства. Поэтому Ь = У + У2 + У3 есть векторное про-
д
д
. У
g
х1 = х1
22 х = х
0
2
ИЗВЕСТИЯ ПГПУ • Физико-математические и технические науки • № 8 (12) 2008 г.
странство всех инфинитезимальных движений риманова пространства {гЕ ], gs), проектируемых на алгебру? з.
Пусть X1 е У1, X2 е У2. Тогда, согласно (2),
X1 =Х±. + Щ1 (х1, х2Ц- + Ж, 2 (х1, х2
дх дх дх
X2 + Щ (х1, х2 + Щ2 (х1, х2) —
дх дх
д_
дх 2
где
Так как X X2 — инфинитезимальные изометрии, то в силу (3)
lw, gij +^lx1 aj = 0 _ lw2 gij +MLx 2 aj = 0
gj =S1S1 -sfsj, aj = (Sl5j +8)8})• Дт1, x2) Wa = W1(x1, x2+ W, 2(x1, x2(a = 1,2).
(4)
dx
Из дифференциальных соотношений (4) получим, что
W1 =ср (x2) Wl2 = cpl (x1), ^(x1, x2) = pxlx2 + sfx1)+1(x2). Перейдем к новой системе координат по формулам
Jt (x2lx2, ~4 = x4 + J^(x1 jtfx1.
~1 = x1, ~2 = x2, ~3 = x3 + ft (x2 ]dx2, ~4 = x4 + 1 six1
В новой системе координат компоненты тензора gs в матричной форме запишутся в виде
gs =
0 12 px x 1 0
px1 x 2 0 0 -1
1 0 0 0
0 -1 0 0
а векторные поля X1, X2 выразятся следующим образом
X +й (x2 У3+й2 (x1 У*,
X 2 + $ (x 2 + 4& gt-l (x1.
c~3 4
Здесь ^ 2), & lt-p2 (x1) должны удовлетворять дифференциальным уравнениям
dq (x1) dp1 (x2)
dx
dx
lx '- + Apx2 = 0,
. МЙ + d2 (x 2) +lpx1
dx
dx
+ ?Lipx = 0.
Из дифференциальных уравнений (5) получим, что
(?p1 (x 2)=--Ap[x 2 J + c1x 2 + b1, (p =x1 + b1
2^ 2 2.1 ~2 1 /Л2,22,1
2 [x)= C2 x + C2,2 = ^ Mpx) + C2 x + C2.
Таким образом,
X1 & quot-^а?+(~ 2 Ap^x 2 ^ + c1x 2 + b11) aFx1 + b12
X2 + x2 + C2^ + ^^p (x1)'- + C22×1 + b2 J^T
21
(5)
(6) (7)
ИЗВЕСТИЯ ПГПУ • Физико-математические и технические науки • № 8 (12) 2008 г.
Дифференциальные уравнения (9) подробно запишутся:
дл^Еав в^СЕла 3 аЕлв = 0, (10)
где Елв — компоненты метрического тензора е'-. Интегрируя дифференциальные уравнения (10) относительно
~С (1 2 3 4
дх, х, х, х), получим:
^ = к3×2 + Ъ1×1, = к 1×1 — Ъхх2 + к 2,
=_Ъ1×3 + к1×4 -1 к1 р{х1)2×2 -1 к3р{х2)3 -1 к4р{х2)2 + д1×2 + д2,
г4 & gt-1 4. — 3 3. 1 — 3 и 22, 1 — 1 / А3, 1 — 2 / Л2. 111
д = Ъ х + к х ±к рх ^х) + - к рх) Н- к рх) + д х + / ,
6 4 '- 2
, д2
к'- е Л (/ = 1,4), д1, д2, Ъ'-, I1? Л.
Придавая поочередно одной из постоянных к3, Ъ1, к4, кк2, д1, д2, Г1 значение 1, остальным значение 0, получим базис алгебры Ли Ь8 инфинитезимальных движений риманова пространства (т Е ], е'-):
г1 ¦ х2 — 6 р-^213 +(х3 +1 р"1×2)2)?,
_ 1 д 2 д 3 д 4 д 2 2 — х ----х --- х ---Ь х
Эх1 Эх2 Эх3 Эх4 7 5 1 / 2 2 д
74 = х1 ^ + (х4 & quot-1 р^)2+ 6р^)3-?& gt-
д 1 / Л2 д — + - р • х --
ах2 2^ '- дх4
7 5 = ~Т + Т р • Iх
дх
7 — х2-+ х1 — 26 — х дх3 + х ах4
77 & quot-ах3,
7 8 = ^ 8 ах4
Таким образом, в работе построена синектическая метрика е'- в касательном расслоении ТЕ), алгебра Ли инфинитезимальных изометрий которой Ь8 является неразрешимой и содержит подалгебру Ь6, проектируемую на алгебру Ли Ь3 инфинитезимальных изометрий базы.
список ЛИТЕРАТУРЫ
1. Талантова Н. В., Широков А. П. Замечание об одной метрике в касательном расслоении // Известия вузов. Математика. 1984. № 6. С. 143−146.
2. Шадыев Х. Об инфинитезимальных гомотетиях в касательном расслоении риманова многообразия // Известия вузов. Математика. 1984. № 9. С. 77−79.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой