АНАЛіЗ ПОШИРЕННЯ СЛАБКОНЕЛіНіЙНИХ ХВИЛЬ В ДВОШАРОВіЙ РіДИНі З ВіЛЬНОЮ ПОВЕРХНЕЮ

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Механика


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

-? ?-
Розглянута нова нелтшна задача поширення хвиль в системi «ридкий шар з твердим дном — рид-кий шар з вЫьною поверхнею». Для дослиджен-ня застосовано метод багатомасштабних розви-нень. Отримаш розв'-язки перших наближень та еволюцшт рiвняння обвгдних хвильових пакетiв на поверхнях поширення хвиль. Проведено аналiз форми хвиль на поверхш контакту та на вшь-нш поверхт. Вказаш областi, в яких хвилi мають затуплений гребть i загострену тдошву i навпаки Ключовi слова: нелтшш хвилi, двошарова риди-
на, форма хвильового пакету, вшьна поверхня ?-?
Рассмотрена новая нелинейная задача распространения волн в системе «жидкий слой с твердым дном — жидкий слой со свободной поверхностью». Для исследования применен метод многомасштабных разложений. Получены решения первых приближений и эволюционные уравнения огибающих волновых пакетов на поверхностях распространения волн. Проведен анализ формы волн на поверхности контакта и на свободной поверхности. Указаны области, в которых волны имеют затупленный гребень и острую подошву и наоборот
Ключевые слова: нелинейные волны, двухслойная жидкость, форма волнового пакета, свободная поверхность
-? ?-
УДК 532. 59
|DOI: 10. 15 587/1729−4061. 2015. 48 282]
АНАЛ1З ПОШИРЕННЯ СЛАБКОНЕЛ1Н1ЙНИХ
ХВИЛЬ В ДВОШАРОВ1Й Р1ДИН1 З В1ЛЬНОЮ ПОВЕРХНЕЮ
О. В. Авраменко
Доктор фiзико-математичних наук, професор, завщувач кафедри* E-mail: oavramenko@rambler. ru В. В. Нарадовий Викладач*
*Кафедра прикладноТ математики, статистики та економки Юровоградський державний педагопчний ушверситет iм. В. Винниченка вул. Шевченка, 1, м. Юровоград, УкраТна, 25 002 E-mail: naradvova1986@gmail. com
1. Вступ
Дослвдження хвильових pyxiB в рвдинах в залежносп ввд рiзних титв стратифжацп е одшею з важливих при-кладних задач сучасно! науки. Це обумовлено, напри-клад, тим, що щ рухи е невiд'-емною складовою вивчення динамжи Свiтового океану. Також дослвдження хвиль в стратифiкованих системах скшченного об'-ему (резер-вуари рiзного типу) мае багато практичних застосувань.
Моделювання хвильових рyхiв в шаруватих рщ-ких системах, стратифiкованих за густиною, потребуе досить складного математичного апарату та громiзд-ких аналiтичних перетворень та чисельних обчислень. Тому для задач такого класу використовують, як допо-мiжнi шструменти, комп'-ютернi математичнi пакети спецiального призначення, як то MatLab, Maple та ш.
Таким чином, актуальним е дослщження та аналiз проблеми про поширення внутршшх та поверхневих хвильових пакепв в гiдродинамiчнiй системi «шар з твердим дном — шар з в^ьною поверхнею» iз застосу-ванням методу багатомасштабних розвинень з враху-ванням сили поверхневого натягу на вшьнш поверхш та на поверхш контакту.
2. Аналiз лкературних даних та постановка проблеми
Вивчення внутршшх хвиль скшченшл амплггу-ди отримало велику увагу численних дослщниюв: Останш дослiдження довгих поодиноких хвиль як в
(c)
атмосфер^ так i в океанi надали додатково! защкавле-ностi до цього явища. Б^ьша частка виконано! теоретично! роботи була пов'-язана з аналiзом хвильових ру-хiв в системах, де внутршш хвилi е слабколiнiйними i довгими по вiдношенню до повно! товщини рiдини. Подiбнi процедури приводять до рiвняння Кортеве-га-де Врiза, що описують еволюцiю хвильових рухiв та баланс мiж нелiнiйнiстю i дисперсiею. Це рiвняння було досить добре вивчене, а також знайдеш методи, що дають точнi розв'-язки для дов^ьно визначених початкових умов.
З шшого боку, моделi для двовимiрних хвиль були виведеш лише для мшко! води (рiвняння Буссiнеска). Рiвняння Кадомцева-Петвiашвiлi для слабконелшш-них двовимiрних хвиль були запропоноваш для гли-боко! води. Всi цi моделi придатш лише для певного iнтервалу вщношень товщини i довжини хвилi.
Аналiзом поширення хвиль-вбивць та хвиль типу цунамi активно займаеться Доценко. Зокрема, у робот [1] на основi даних спостережень в пiвнiчно-захiднiй частиш Чорного моря виконано аналiз аномальних вь трових хвиль (хвиль убивць). В [2] у рамках нелшшно! теорп методом скiнченних рiзниць виконано аналiз розповсюдження хвиль цунамi з басейну в прямоль нiйний канал сталого прямокутного поперечного пере-рiзу. Виявлено, що максимальна висота хвиль у каналi реалiзуеться для осередюв цунамi, розташованих на материковому схилi навпроти входу в канал.
У [3, 4] експериментально дослщженш профШ стоячих гравiтацiйних двовимiрних хвиль. Показано, що
для даних хвиль мае м1сце система вторинних цирку-ляцшних течш, як1 охоплюють всю товщину рщини.
Найфе [5] використовував метод багатомасштаб-них розвинень для виведення пари диференщальних р1внянь у частинних похщних, як1 описують еволющю хвильових пакет1 В скшченно! амплиуди на поверхш контакту двох натвнескшченних рщин з р1зними густинами, враховуючи ефект поверхневого натягу. В результат! було отримано два альтернативш нелшшш р1вняння Шредшгера та дослщжено стшюсть хвильових пакет1 В скшченно! амплиуди.
Аналопчна задача про поширення хвильових па-кет1 В на поверхш контакту рщкого твпростору 1 рщ-кого шару над ним вивчалась в [6]. Цими авторами дослвджувалась проблема стшкост1 хвильових пакет1 В в систем! «шар — твпрост1р» методом багатомасштаб-них розвинень до третього порядку [7]. В статтях, що опублжоваш в останнш час, розглянут1 р1зш аспекти четвертого наближення проблеми еволюцп нелшш-них хвильових пакет1 В [8]. Також виведене еволюцшне р1вняння для хвильових чисел близьких до критичного [6], дослщжено стшк1сть розв'-язюв указаних р1внянь [7]. Област1 резонансу друго1 гармошки, на-прямок поширення хвиль, форма хвильового пакету в систем1 «шар — твпрост1р» описаш в статт [9].
В приведеному нижче анал1з1 представлен в основному сучасш дослщження. В [10] доведено виникнення вертикальних в1брацш при взаемодп верхньо! рвдини з нижшм селевим потоком. Даш в1брацп обумовлеш гене-руванням внутршшх хвиль в шкноклиш. В робоп [11] в рамках другого наближення теорп м1лко1 води дослвджу-еться поширення внутршшх хвиль в двошаровш рвдиш, яка обмежена зверху 1 знизу. В [12] в рамках катлярх но-грав1тацшно1 постановки дослвджуеться поширення двох хвильових пакепв в одному напрямку але р1зно1 довжини хвиль. Експериментальне дослвдження поширення хвиль в двошаровш рвдиш представлене в [13]. Хвил1 генеруються розрвдженням зверху, що призводить до формування стру1 вздовж дна. В [14] представлен експерименти по поширенню хвиль в двошаровш рвдиш з урахуванням скшчено! товщини поверхш контакту. В [15] отримаш аналиичш розв'-язки задач1 про поширення хвиль в кусково-постшнш двошаровш рвдиш, обмежено! зверху 1 знизу жорсткими границями.
Представлене в данш робой дослвдження присвячене анал1зу поширення хвиль в двошаровш рвдкш систем1 скшченно! глибини. Зокрема, в статт виведеш еволю-цшш р1вняння обввдних хвильових пакепв та проведено анал1з форми внутршшх та поверхневих хвиль.
3. ЦЫ та задачi дослщження
Метою проведених дослвджень було отримання яюс-них та юльюсних характеристик поширення внутршшх та поверхневих хвиль в двошаровш систем! «рвдкий шар з твердим дном — рвдкий шар з в1льною поверхнею».
Сформулюемо основш завдання дослщження:
— вивщ еволюцшних р1внянь обввдних хвильових пакет1 В для пдродинам1чно1 системи «шар з твердим дном — шар з в1льною поверхнею" —
— анал1з форми хвильових пакет1 В на поверхш контакту та на в1льнш поверхш-
— ф1зична штерпретащя результат1 В.
4. Постановка та методи дослщження поширення хвиль в системi „рщкий шар з твердим дном — рщкий шар з вшьною поверхнею“
Розглянемо поширення хвильових пакет1 В в двошаровш г1дродинам1чнш систем^ яка склада-еться з двох шар1 В ?1 = {(х^): |х|<-~-Ь4 & lt-<-0} та ?2 = {(х^): |х| & lt-~0 & lt-<-Ь2}. Густини шар1 В позначи-мо як р1 та р2 ввдповвдно. Дану задачу розглядаемо в плоскому вар1анть Функцп, що описують вщхилення поверхш контакту двох шар1 В та в1льно1 поверхш вве-демо як z = п (х^) та z = п0(х^). Наведемо математичну постановку задача
Э2ф ¦ Э2ф ¦
(1)
-а^^ при z =ап (x, t), ('- = 1,2) (2)
Л да Эх Эх
Эпо-Эф, =-аЭпо дф2 при z =ап0 (x, t),
дt дz дt дz
^-рЭ^ + (1 -р)п + 2а^ф)2−2ар (Уф2)2-
(3)
— Т
1+1 а
Эп
& quot-ЭХ"-
Л 2 Л2
2 Э2п
Эх
2 = 0 при z =ап (х^), (4)
2+п +1 а (уФ2)2 — Т0
z =ап 0(x, t),
Эф1 А к Ь1
-1- = 0 при z = -п1 = -1, дz L
1 +
2
а^П
V Эх ,
2 = 0 при Эх 2
(5)
(6)
тут ф^ 0 = 1,2) потенщали швидкост1 в Qj, п — в1д-хилення поверхш контакту, п0 — вщхилення в1ль-но1 поверхн1, Т та Т0 — коефщ1енти поверхневого натягу на поверхш контакту та на в1льнш поверхш, а — коефщ1ент нелшшност1, р = р1/ р2 — в1дношення густин рщких шар1 В. Вважаемо, що коефщ1ент не-л1н1йност1 а значно менший за одиницю, тому дана модель описуе слабконелшшну двошарову систему з дисперс1ею.
Для розв'-язування задач1 використаемо метод багатомасштабних розвинень до третього порядку. Представимо шукаш функц11 вщхилення поверхн1 контакту, в1дхилення в1льно1 поверхш та потенщали швидкостей у вигляд1
П (х^) =ап 1пп (х0,х1,х20^12)+ 0(а3),
(7)
П0(хЛ) =а n-1non (Хo, Хl, Х2, to, tl, t2)+ 0(а3), (8)
п=1
3
= n-1фJn (Хo, Хl, Х2, z, to, tl, t2) + 0(а3), ] = 1,2, (9)
п=1
де xj = а-'-х та tj = (j=0, 1, 2).
3
5. Результати дослщження поширення хвиль в двошаровш гщромехашчнш системi
5. 1. Першi лшшш наближення та? х розв'-язки
Шдставляючи (7)-(9) у (1)-(6) та прир1внюючи вирази при однакових степенях а, отримаемо три наближення дослщжувано! задача
задача першого наближення (при а0)
ф'-1,х0×0 + ф'-1да =0 в ^
ПЦо -фд* =0 на z = 0 П01Л -фц* =0 на Z = ^
фщ0 -рф2и0 +(1 -Р)П1 -ТП1,х0×0 =0 на z = 0,
ф210 +П01 -Т0П01,х0×0 =0 на Z = ^2,
ф1и = 0 на z = -Ь1. (10)
Задача другого наближення (при а)
ф'-2,х0×0 +Фj2,zz = -2флх0х, в
П2Л -ф'-2^ = -Пц, -П1,х0 ф'-1×0 + П'- на Z = 0
П020 -фц* =-П0и, -П01,х0 ф21, х0 + Пиф21да на Z = Ь2, ф12-Рф22 +(1 -Р)П2 -ТП2, х0×0 =-ф11 , —
+ Р (ф2″, + П1ф21)-0.5 (ф121,х0 +ф21^) +
+0. 5р (ф21 хо +ф22и) + 2ТП1, х0х, на z = 0,
ф22 ?0 + П02 — Т0П02×0×0 =-ф21 , — П01ф21, t0z --°. 5(ф21×0 +ф21^)+2Т0П01,х0х, на Z = Ц
ф12^ = 0 на z = -Ь1. (11)
Задачу третього наближення не наводимо через гром1здк1сть аналиичного запису [16, 17].
Розв'-язок задач1 першого наближення (10) одержано у вигляд1 хвиль, що б1жать
П1 = Ле1е+Ле-, е,
ф11 = -™ (Ае'-е-Ле-'-е ,
к sh (kh1)
ф21 =-

ю^Ь (к (Ь2 — z)) — (к + Т0к3) сЬ (к (Ь2 — z))
ю2сЬ (кЬ2) — (к + T0k3) sh (kh2)
х (Ле1е- Ле-1е),
П01 =
ю2 сЬ (кЬ2) — (к + Т0к3) sh (kh2)
пакету Л та обвщною хвильового пакету на в1льнш поверхш Л0
Л0 =-
ю2сЬ (кЬ2) — (к + T0k3) sh (kh2)
-А.
(13)
Шдставляючи розв'-язки (12) у динам1чну умову на в1льнш поверхш задач1 першого наближення (10), отримуемо дисперсшне р1вняння
ю2cth (kh1) + рю2 = (1 -р)к + Тк3.
ю2 — (к + Т0к3) сА (кЬ2)
т^^Ь^к^У-(к+Тк3)
(14)
Частинний розв'-язок системи (11) будемо шукати у вигляд1, записаному через нев1дом1 коефщ1енти
ф21 = B11(z + + Ь1))е1е+ B10ch (k (z + Ь1))е, е+
+В20 ch (2k (z + Ь1))е21е+сс,
ф 22= (С10 + С^У1^+С20 е21е+2к (Ь2+ +(Е10 + Е^^18−11^+Е20 е21е-2к (Ь2 ^ + сс,
П2 = D0 + D1e1е + D2 е21е+сс,
П02 = F0 + F1 е, е + F2 е2, е+сс,
(15)
де В,'-, С,'-, Е,'-, D1, F1 — невизначеш коефщ1енти, сс — оз-начае комплексно спряжену величину до попередшх вираз1 В.
Шдставляючи дал1 (12) та (15) в (11) 1 прир1внюючи вирази при однакових функщях, приходимо до двох незалежних систем р1внянь вщносно шших невщомих коефщ1ент1 В.
Система вщносно коефщ1ент1 В В10, С10, Е10, D1, F1, отримана прир1внюванням вираз1 В при функцп е, е е несум1сною [16], причому 11 умова розв'-язуваност1, за умови, що D1 = 0, мае вигляд
Л,. +ю'-Лх = 0,
(16)
(Ле1е+Ле-, е), (12)
де Л (х1, х2, tl, t2) 1 Л (х1, х2,, 2) — обвщна хвильового пакету на поверхш контакту 1 комплексно спряжена до обвщно! хвильового пакету А, 8 = кх0 -ю, 0, к — хви-льове число центру хвильового пакету та ю — частота центру хвильового пакету. З формул (12) неважко по-бачити зв'-язок м1ж обввдною внутршнього хвильового
де ю'- = dю/dk — групова швидюсть. В результат! знай-дено неаналиичш вирази для вс1х невщомих коефь щент1 В [16]. Нижче наведемо вирази для вщхилення поверхш контакту та в1льно1 поверхш у другому на-ближенш
0. 5ю2
П2 = 0ГРХ
1 -р-с. Ь2(кЬ1) + р
+Л е21е Л2 + сс,
п02 =Л0е2,еЛ2 + ^-----г-+сс.
102 0 ю2сЬ (кЬ2) — (к + Т0к& gt-Ь (кЬ2)
Умова розв'-язуваност1 третього наближення мае вигляд
(1 -р)к + Тк3-ю2с. Ь (кЬ1)
рю
ЛЛ+ (17)
0. 5ю2 (ю4 — (к + Т0к3)2)
^Л^ + W2Л, X2 + ^^зЛ, х1×1 + W4Л2Л = 0,
(18)
2
ю
де Wi (i = 1,4) коеф^енти, що залежать вщ (k, р, га, h1, h2, T, T0), якi мають досить громiздкий ви-гляд i отриманi за допомогою пакетiв символьних обчислень.
5. 2. Еволюцшш рiвняння обвiдних
Знайшовши вираз для га'-'- = d2rn/dk, умову розв'-язува-ностi третього наближення (18) можна записати у виглядi
At +ra'-Ax -0. 5rn"-Axx = iIA2A. (19)
Частинш похiднi A t, A x, A xx запишемо у виглядi сум
A, t = t"& quot-A, tn + O (a3), A, =
n=1
= tanA, xn + O (a3), Axx =a2AXix, + O (a3), (20)
n=1
де похщш Л^пта Ax визначають внесок члешв порядку an у загальне значення похщних A t та x.
Помножимо спiввiдношення (16) та (19) на a та a2 вщповщно, та додамо одне до одного. Враховуючи (20), отримаемо шукане еволюцшне рiвняння обвiдноi на поверхш контакту двох рщких шарiв
A t +ra'-A x -0. 5rn"-A „= ia2IA2A.
(21)
Враховуючи стввщношення (13) та використовую-чи рiвняння (21) легко отримати еволюцiйне рiвняння на вiльнiй поверхнi. Воно матиме вигляд
A0t + rn'-A0x -0. 5rn'-'-A0xx = ia2I0(A0)2 A0,
(га2 ch (kh2) — (k + T0k3) sh (kh2))2 I0 = & lt- I.
(22)
де ?0 =
Ю'-
Таким чином, виведеш еволюцiйнi рiвняння об-вiдних хвильових пакепв на поверхнi контакту та на в^ьнш поверхнi для дослщжувано! задачi [18].
6. Обговорення результаив проведеного дослщження та аналiз форми хвиль
Вщхилення поверхнi контакту враховуючи (7), (12) та (17) можна записати у виглядi
r|(x, t) = 2acos (kx -cot)+aa2 [2B + Лcos2(kx -cot)], (23)
Графжи L1 = 0 та L2 = 0 зображеш на рис. 1 для фжсованого значення товщини верхнього шару Ь2 = 1 i товщини нижнього шару Ь1= 10. Як бачимо, кривi розбивають площину (р, к) на чотири область В областях, S3, S4 — Л (р, к, Ь^ Ь2, Т, Т0)& gt- 0, а в обласи S1 — Л (р, к, Ь1, Ь2, Т, Т0) & lt-0. Це означае, що в областях, де Л (р, к, Ь1, Ь2, Т, Т0)& gt- 0, вщбуватиметься затуплення пiдошов та загострення гребешв хвильового пакету, а в областях, де Л (р, к, Ь1, Ь2, Т, Т0)& lt- 0 — навпаки.
Рис. 1. Обласп знакосталостi Л
На рис. 2, 3 представлеш першi двi гармошки П1(х, t) та П2(х, ^ та вiдхилення вiльно'-i поверхнi п (х, t) за таких значень параметрiв, а = 0. 1, Ь1 = 10, Ь2 = 1, Т0 = 0. 001, Т = 0, t = 0, а = 1, р = 0. 96, к = 1. 96 (рис. 2) та р = 0. 1, к = 1 (рис. 3).
Якщо розглядати розв'-язок (23) за умови модуля-цшнш стшкоси в момент, коли вже вщбувся баланс ль нiйностi i дисперсп, тодi вщхилення поверхнi контакту (x, t) е сумою двох косинусо! д, амплiтуда першо! гармонiки значно бiльше за амплиуду друго! Якщо Л (р, к, Ь1, Ь2, Т, Т0)& gt- 0, то максимуми П^, t) та t) спiвпадають (рис. 2, а), а мжмум П^, ^ накладаеть-ся на наступний максимум t). Отже, в областях S2, Sз, S4 хвиля мае и-образну форму, як на рис. 2, б. Як бачимо на рис. 2, б накладання мiнiмумiв першо! гармошки та максимумiв друго! гармошки призводить до затуплення тдошов та загострення гребешв.
де
п 0. 5га2
B =-х
1 -Р
1 -p-cth2(kh1) +р
(1 -p)k + Tk3-ra2cth (kh1)
рга
Видно, що для визначення форми поверх-нi контакту т^Л) важливий знак коеф^енту
Л (р, к, Ь1, Ь2, Т, Т0) = -, який е дробом [17]. Знак вели-L2
чини Л змiнюеться за умови переходу через криву L1=0, вздовж яко! Л (р, к, Ь1, Ь2, Т, Т0)=0, або при переходi через криву L2 = 0, вздовж яко! Л (р, к, Ь1, Ь2, Т, Т0).
X 10
Рис. 2. Вщхилення noBepxHi контакту при Л (р, k, h1,h2,T, T0)& gt- 0: а — першi двi гармонiки n1(x, t) та n2(x, t) — б — n (x, t) = n1(x, t)+an2(x, t)
а
Якщо Л (р, к, Ь1, Ь2, Т, Т0) & lt-0, то максимум п1(х, .) ствпадае з м1шмумом п2(х,.) (рис. 3, а), а м1шмум П1(х, .) ствпадае з наступним м1шмумом п2(х, ,). Таким чином, в област1 S1 поверхня контакту п (х, .) мае П-образну форму (рис. 3, б). Отже, накладання мшь мум1 В перших двох гармошк веде до загострення тдо-шов та затуплення гребешв.
Рис. 3. Вiдхилення поверхш контакту при Л (р, к, Ь1,Ь2,Т, Т0) & lt-0: а — першi двi гармошки r|i (x, t) та n2(x, t) — б — n (x, t) = n1(x, t) + an2(x, t)
Рiвняння, яким визначаеться форма хвильово-го пакету на в1льнш noBepxHi
n0(x, t) = 2a0 cos (kx -cot) + +a (a0)2 [2B0 + Л0 cos 2(kx — cot)],
де a =
c
ra2 ch (kh2) — (k + T0k3) sh (kh2)
a,
B =-
0. 5ю2 (га4 — (k + T0k3)2) ra2 ch (kh2) — (k + T0k3) sh (kh2)'-
Як бачимо, крив1 розбивають площину (р, к) на шкть областей. В областях Sl, Sз, S5 — Л (р, к, Ь1, Ь2, Т, Т0)& gt- 0, а в областях S2, S4, Sg — Л (р, к, Ь1, Ь2, Т, Т0)& lt- 0.
Якщо Л (р, к, Ь1, Ь2, Т, Т0) & lt-0, то максимум п01(х, .) ствпадае з м1тмумом п02(х,.), а м1тмум п01(х,.) ствпадае з наступним мш1мумом п02(х,). Таким чином, в областях S2, S4, Sg поверхня контакту п0(х, .) мае П-образну форму.
Якщо Л (р, к, Ь1, Ь2, Т, Т0) & gt- 0, то максимуми п01(х, .) та п02(х, .) ствпадають, а м1тмум п01(х, .) накладаеть-ся на наступний максимум п02(х, ,). Отже, в областях S1, S3, S5 хвиля мае У-образну форму.
Рис. 4. Обласп знакосталостi Л0
7. Висновки
(24)
Як i в випадку поверхш контакту, на вшьнш поверх-Hi для визначення форми вшьно'-! поверхнi n0(x, t) важ-
M1
ливий знак величини Л (р, k, h, h“, T, T») = --, який
°VK, & gt- ^ 2& gt- & gt- м2
змiнюеться за умови переходу через криву Mi=0, вздовж яко1 Л0(р, k, h1, h2, T, T0)=0, або при переходi через криву M2=0 вздовж яко! Л0(р, k, h1, h2, T, T0) Графiки M1 = 0 та M2 = 0 зображенi на рис. 4 для фжсованого значення товщини верхнього шару h2 = 1 i товщини нижнього шару h1= 10.
Шд час анал1зу поширення хвильових пакет1 В в двошаровш пдродинам1чнш систем1 «шар з твердим дном — шар з в1льною поверхнею» були отримаш еволю-цшш р1вняння обвщних хвильових пакет1 В на поверхш контакту двох рщких шар1 В та на в1льнш поверхш. Ви-ведеш еволюцшш р1вняння е нелшшними р1вняннями типу р1вняння Шредшгера другого порядку.
Анал1зуючи форму внутршшх та поверхневих хвиль було виявлено вплив урахування другого наближення, що призводить до появи областей, в яких хвил1 мають р1зну форму. Так, наявш обласп, в яких е затупленою тдошва та загострений гребшь, а також обласп, де спо-стер1гаеться протилежна картина. В1дм1тимо, що даш ефекти ввдповвдають натурним спостереженням.
Лиература
1. Доценко, С. Ф. Связь образования волн-убийц и метеорологических условий в северо-западной части Черного моря [Текст] / С. Ф. Доценко, В. А. Иванов, Ю. А. Побережный // Доповщ НАН Украни. — 2010. — № 12. — С 105−109.
2. Доценко, С. Ф. Анализ двумерного распространения волн цунами из эллиптического очага в прямолинейный канал [Текст] / С. Ф. Доценко, Н. К. В. Санникова. — МГИ НАН Украины, 2011. — С. 419−428.
3. Килиниченко, В. А. Экспериментальное исследование волн Фарадея максимальной высоты [Текст] / В. А. Килиниченко, С. Я. Секерж-Зенькович // Изв. РАН МЖГ. — 2007. — № 6. — С. 103−110.
4. Килиниченко, В. А. Экспериментальное исследование вторичных стационарных течений в поверхностных волнах Фарадея [Текст] / В. А. Килиниченко, С. Я. Секерж-Зенькович // Изв. РАН МЖГ. — 2008. — № 1. — С. 141−148.
5. Nayfeh, A. H. Nonlinear propagation of wave-packets on fluid interface [Text] / A. H. Nayfeh // Journal of Applied Mechanics. -1976. — Vol. 43, Issue 4. — P. 584−588. doi: 10. 1115/1. 3 423 936
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
V
Селезов, И. Т. Структура нелинейных волновых пакетов на поверхности контакта жидких сред [Текст] / И. Т. Селезов, О. В. Авраменко // Прикладна гщромеханика. — 2002. — Т. 4 (76). — С. 3−13.
Селезов, И. Т. Устойчивость волновых пакетов в слоистых гидродинамических системах с учетом поверхностного натяжео
ния [Текст] / И. Т. Селезов, О. В. Авраменко // Прикладна гщромеханика. — 2001. — Т. 3 (75), № 4. — С. 38−46.
Селезов, И. Т. Эволюционное уравнение третьего порядка для нелинейных волновых пакетов при околокритических волс
новых числах [Текст] / И. Т. Селезов, О. В. Авраменко// Динамические системи. — 2001. — Вып. 17. — С. 58−67.
Селезов, И. Т. Эволюция нелинейных волновых пакетов в гидродинамической системе «слой-полупространство» с учетом
поверхностного натяжения [Текст] / И. Т. Селезов, О. В. Авраменко // Математичш методи та ф1зико-мехашчш поля. -
2001. — Т. 44, № 2. — С. 113−122.
Vincze, M. Amplified internal pulsations on a stratified exchange flow excited by interaction between a thin sill and external seiche [Text] / M. Vincze, P. Kozma, B. Gyure, I. M. Janosi, K. G. Szabo, T. Tel // Physics of Fluids. — 2007. — Vol. 19, Issue 10. — P. 108 108−1-108 108−4. doi: 10. 1063/1. 2 796 182
Макаренко, Н. Н. Асимптотические модели внутренних стационарных волн [Текст] / Н. Н. Макаренко, Ж. Л. Мальцева // Прикл. механика и тех. фiзика. — 2008. — Т. 49, № 4. — С. 151−161.
Debsarma, S. Fourth-order nonlinear evolution equations for a capillarygravity wave packet in the presence of another wave packet in deep water [Text] / S. Debsarma, K. P. Das // Physics of Fluids. — 2007. — Vol. 19, Issue 9. — P. 97 101−1-97 101−16. doi: 10. 1063/1. 2 772 252 Carr, M. The motion of an internal solitary wave of depression over a fixed bottom boundary in a shallow, two-layer fluid [Text] / M. Carr, P. A. Davies // Physics of Fluids. — 2006. — Vol. 18, Issue 1. — P. 16 601−1-16 601−10. doi: 10. 1063/1. 2 162 033 Sutherland, B. S. Intrusive gravity currents propagating along thin and thick interfaces [Text] / B. S. Sutherland, J. T. Nault // Journal of Fluid Mechanics. — 2007. — Vol. 586. — P. 109−118. doi: 10. 1017/s0022112007007288
Haciyev, B. I. Unstationary waves in two-layered fluid caused by normal loading at the interface [Text] / B. I. Haciyev // Proc. IMM (Inst. Mathematics and Mechanics) NAS of Azerbaijan, 2006. — P. 119−126.
Селезов, И. Т. Нелинейное взаимодействие внутренних и поверхностных гравитационных волн в двухслойной жидкости со свободной поверхностью [Текст] / И. Т. Селезов, О. В. Авраменко, Ю. В. Гуртовый, В. В. Нарадовый // Мат. методи та ф1з. -мех. поля. — 2009. — Т. 52, № 1. — С. 72−83.
Селезов, И. Т. Математические методы в задачах распространения и дифракции волн [Текст] / И. Т. Селезов, Ю. Г. Кривонос. — К: Наукова думка, 2012. — 232 с.
Naradovyy, V. Interaction of internal and surface waves in two-layer fluid with free surface [Text] / V. Naradovyy // Challenges of Modern Tehnology. — 2013. — Vol. 3, Issue 4. — P 103−106.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой