Плоская деформация неоднородных многослойных цилиндров с учетом нелинейной ползучести

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Механика


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

ВЕСТНИК 1/2010
ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ НЕОДНОРОДНЫХ МНОГОСЛОЙНЫХ ЦИЛИНДРОВ С УЧЕТОМ НЕЛИНЕЙНОЙ
ПОЛЗУЧЕСТИ
С. В. Литвинов, С. Б. Языев, С.Б. Языева
РГСУ
Рассматривается плоское деформированное состояние многослойных цилиндров, неоднородность которых обусловлена зависимостью физико-механическими свойств материала от температуры.
A plane strain state of multilayer cylinders is discussed. The material of each layer has different physical and mechanical properties, which are a continuous function of temperature.
Полимерные цилиндрические тела находят все большее практическое применение (полимерные трубы, технологические элементы и т. д.). При расчете подобных тел необходимо учитывать, что все физико-механические характеристики материала являются функцией температуры и имеет место развитие высокоэластических деформаций. Решение задачи в комплексах, подобных ANSYS, сопряжено с трудностью задания всех расчет параметров, т.к. для рассматриваемых полимерных материалов имеет место нелинейная зависимость между скоростью высокоэластических деформаций и напряженным состоянием в толще цилиндра.
В [1] приводится уравнение для полной потенциальной энергии П, которая, для минимизации, дифференцируется по {U} и приравнивается результат нулю:
щ = Х [Г ИИМи}& quot- |ИГ [d^MJv — j& gt-)f [дм]^
w —
^ (e ^
R (e
e (e]
Z ^
dV — ^ & lt-e)f
(e
pr '-
e
pe'-
dS ] -{p}= 0
(1)
где {и} - вектор перемещений- [/V] - матрица функций формы- [й] - матрица, получаемая дифференцированием надлежащим образом матрицы [V].
Интегралы в формуле (1) определяются для каждого элемента вектор нагрузки {/и матрицу жесткости к, которые можно объединить следующим образом:
|ЦН& quot-("-1и)+И. (2)
Глобальная матрица жесткости [К] и глобальный вектор-столбец {. Т7} в матричном уравнении
[К Р }=М (3)
даются соотношениями
z
К ]=! (е ]]
е=1
Компоненты вектора напряжений
{ст}т = [стг ад а* компоненты вектора деформаций
МТ =к ?в ?г Гтг ], Соотношения связи между деформациями и перемещениями имеют вид
8и и дw 8и дw
Гтг =¦
тг ] ,
т дт '- в т '- * & amp-
& amp- 5т
Матрица упругих характеристик
1

Е (1 -И)
(1 + - 2М)
И
И
И
1 -м м
1 -ц 1 -ц И
1
И
1 1 0 0
1 -И 1
0
0 0 0
1 — 2ц 2(1
и вектор начальной деформации, вызванной тепловым воздействием,
{% } = «АТ {1 1 1 0}т. Для высокоэластических деформаций имеет место соотношение
Ы=& amp- 4 ** 0) т.
Для перемещений имеет место следующее соотношение
и 2/ V и
М 0 N
0 М) 0 мк
0 м) 0 мк
2
и2,
а
и 2к а
21
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
Дифференцируя (9) и используя соотношения связи между деформациями и перемещениями (8):
1
2 А
ъ
0 С/
М 0
т
с Ъ
0 Ъ 0 ък
0
М1
1 0
0
Мк
0
Ск 0
Ъ1 Ск
и 2/ и 2/ и 21 -1 и 21 и2к-1 и
(10)
е=1
0
ъ
к
Матрица коэффициентов в (10) соответствует [в], так как = в]{и}. Матрица [в] содержит коэффициенты, являющиеся функциями координат, и не может быть выноситься за знак интеграла. Матрицу жесткости можно определить, вычислив [в] по значениям т и г в центре элемента:
Г Нв ]/.
V
При этом
V = 2лтА,
где A — площадь поперечного сечения элемента, тогда
[кМ]=[я] [Бр. (11)
Черта над [в], [Е] указывает на приближенное значение.
Вектор-столбец, связанный с тепловым расширением, определяется аналогично:
= ^ ВГ {1 1 1 0}Т 2. РА. (12)
Вектор-столбец, связанный с деформациями ползучести:

Е Ьт
[в Г
0 2жА.
(13)
1 — 2ц
Интеграл, включающий поверхностные нагрузки, вычисляется с помощью Ь -координат и имеет вид
Iм Г {р ,
где рг и р2 — компоненты поверхностной нагрузки в направлениях т и г. Рассматривая сторону между узлами / и 1, вдоль которой Мк = 0, имеет место
& quot- тЬ 0 ^ 0 тЬ1 тЬ2 0 0 тЬ2 тЬ3 0 0 тЬ3
где dS = 2лт$ 3.
При использовании Ь -координат имеет место следующее соотношение:
«|Ъ| _
Л& quot-г №
2жй,
(14)

г О.
(15)
3 (а + Ъ + 1
Радиальное расстояние т также может быть выражено через Ь -координаты:
т = ЯЬ + 1 + Ьз. (16)
Интеграл (14) вычисляется с помощью (15) после подстановки выражения (16):
(2Л- + Я,)рг
+ Я к
(Д- + Щ) Рг (я, +)р2 0 0
Если рассматривать вертикальную поверхность, то Я1 = Я, = Я
1/Р'-^ ^
(17)

2яЗ».
К
0 0}г.
(18)
'-р '- 2
В формуле (10) коэффициенты матрицы описываются следующими соотноше-
ниями:
N = 27 ^ + ЪХ +
= 27 ^+Ъ]Х+
Нк = 2а ^ + ЪкХ + Ску][
= X/ - х/, Ъ = / - /к,
С, — = Хк — X-
«= х/ - х/к, Ъ = /к — /,
. с, = Х- - Хк- «к = х/ - х/, ъ=/ - /,
Ск = X — X--
Был проведен расчет модельной задачи, представляющей собой трехслойный цилиндр, у которого внутренний и внешний слои — полимер ЭДТ-10 толщиной 20 и 8 мм соответственно, внутренний — ПММА толщиной 1 мм. На внутренней грани растет давление со скоростью 8. 33 МПа/ч, температура со скоростью 60 град/ч. Рост температуры и давления происходит в течение 1.2 ч.
Решение задачи происходит в два этапа:
1. определение температурного поля (в данной статье не рассматривается) и соответствующих ему физико-механических характеристик-
2. расчет напряженно-деформированного состояния.
Высокоэластические деформации состоят из нескольких спектров времен релаксации:
е^е'-ь, * = 1,2,3,4…
*
В задаче рассматривается только первый «старший» спектр времен релаксации, т.к. процесс рассматривается в относительно непродолжительный период времени (до 100 ч).
Скорость высокоэластических деформаций определяется уравнением Максвелла-Гуревича:
де /& quot- * два.
Ю ^ Г* № ^ №
дг

дг

где f'-s = ^ (^r — p)~ КЛ*- fi = ^ ta — p)~ E^i — & quot-4 = -4-exp 2 2 Л*

— p=-

Здесь 77^ - коэффициент начальной релаксационной вязкости, да, — модуль скорости, — модуль высокоэластичности.
Данные для определения физико-механических характеристик взяты из работы [1]. Определяются на нулевом этапе все необходимые величины (деформации, напряжения), затем скорости деформации ползучести: (даЦдг)0, (деЦдг)0.
Предполагая, что шаг по времени Дг может быть сколь угодно малым, можно осуществить линейную аппроксимацию по времени и вычислить деформации ползучести на следующем «временном слое» г = Аг:
t = t1 =At- srl =

к* Уо
At — sel =
r
OS,
Kdt
At.
Результаты расчета приведены на рис. 1−2. На рисунках обозначены графики для: 1 — 0.4 ч- 2 — 1.2 ч- 3 — 3.6 ч- 4 — 13.6 ч- 5 — 100 ч. Пунктирная линия — упругое решение.
га


1 & quot-

к™
Кч
I& quot--
1
f. *
с 1Л
Рис. 1. Окружные напряжения ав
— А
---- ¦
V -Г! ____1

Рис. 2. Перемещения u
Окружные напряжения на внутренней и внешней гранях цилиндра больше на 30% по сравнению с упругим решением. Таким образом, высокоэластические деформации сильно влияют на напряженное состояние тела.
Литература:
1. Бабич В. Ф. Исследование влияния температуры на механические характеристики полимеров: дис. … канд. техн. наук. — М., 1966.
2. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. — М.: Мир, 1979. — С. 392.
Ключевые слова: высокоэластические деформации, ползучесть, полимерные тела, много-слойностъ, неоднородность материала, жесткий цилиндр, конечные элементы.
Key words: highly elastic deformation, creep, polymer body, multi-layered, inhomogeneous material, rigid cylinder, finite elements.
Рецензент: В. И. Андреев, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Сопротивление материалов», МГСУ.
e-mail автора: litv_step@mail. ru
max

3
m
s
о

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой