Плоская деформация при изгибе круглого цилиндрически анизотропного неоднородного тела

Тип работы:
Реферат
Предмет:
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

МЕХАНИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА ДРЕВЕСИНЫ И ДРЕВЕСИНОВЕДЕНИЕ
УДК 694. 093. 6:413. 82
ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ ПРИ ИЗГИБЕ КРУГЛОГО ЦИЛИНДРИЧЕСКИ АНИЗОТРОПНОГО НЕОДНОРОДНОГО ТЕЛА
© В.И. Мелехов1, д-р техн. наук, проф. В.Н. Глухих2, д-р техн. наук, проф. В.Е. Бызов3, канд. техн. наук, доц.
1 Северный (Арктический) федеральный университет имени М. В. Ломоносова, наб. Северной Двины, 17, г. Архангельск, Россия, 163 002- е-mail: lti@narfu. ru 2С. -Петербургский государственный лесотехнический университет имени С. М. Кирова, Институтский пер., 5, С. -Петербург, Россия, 194 021- е-mail: public@ftacademy. ru 3С. -Петербургский государственный архитектурно-строительный университет, 2-я Красноармейская улица, 4, С. -Петербург, Россия, 190 005- е-mail: mapana@inbox. ru
Приведен вывод расчетных формул прочностных и деформативных показателей при изгибе конструкционных пиломатериалов с кольцевой макроструктурой с учетом неоднородности древесины в пределах годичных слоев. Древесина в стволе растущего дерева имеет кольцевую структуру годичных слоев. В каждом годичном слое присутствуют слои ранней и поздней древесины. Поздняя древесина плотнее, тяжелее и тверже ранней, от количества поздней древесины зависят цвет, плотность и прочность древесины в целом. Также кольцевая структура древесины способствует повышению ее прочности. В конструкционных пиломатериалах, из которых изготавливают элементы несущих строительных конструкций, целесообразно сохранять максимальное количество неперерезанных годичных слоев. Это возможно при использовании конструкционных пиломатериалов больших сечений с присутствием сердцевины. Целью работы является решение задачи расчета прочностных характеристик конструкционных пиломатериалов, макроструктура строения древесины которых представляет собой систему коаксиально нанизанных друг на друга тонкостенных оболочек, моделирующих годичные слои древесины. Для решения этой задачи разработана методика расчета прочностных и деформативных показателей бруса с кольцевой структурой. При проведении исследований прочностных свойств древесины чаще всего ее рассматривают как однородный материал, у которого не учитываются свойства ранней и поздней зон годичных слоев. На самом деле древесина — неоднородный материал, ее неоднородность заключается в изменчивости свойств в радиальном направлении, что является ее природной особенностью. Наблюдается периодичность изменения свойств за счет ранней и поздней древесины годичных слоев. Для упрощения задачи была принята одинаковая ширина обеих зон годичного слоя. На основе этих положений была разработана методика расчетов прочностных и деформативных показателей бруса с кольцевой структурой. Рассмотрена периодичность изменения свойств с учетом ранней и поздней древесины годичных слоев. Полученное решение позволяет
проводить исследования напряженного состояния элементов деревянных строительных конструкций с кольцевой структурой при изгибе с учетом неоднородности древесины в пределах годичных слоев.
Ключевые слова: круглый цилиндрически анизотропный брус, годичные слои, показатели прочности и деформативности.
Конструкционные пиломатериалы находят широкое применение при изготовлении элементов несущих строительных конструкций. В строительстве в основном применяют конструкционные пиломатериалы больших сечений. Макроструктура таких пиломатериалов максимально повторяет структуру ствола растущего дерева.
Строение древесины в стволе растущего дерева, благодаря кольцевому сечению годичных слоев, способствует повышению ее прочности. Очень важно, чтобы в пиломатериалах сохранилось максимальное количество неперере-занных годичных слоев. Однако для уточнения количественных и качественных оценок строения древесины и прочностных характеристик представляет интерес постановка задачи исследования, рассматривающей структуру древесины на макроуровне как замкнутую систему оболочек.
Круглый сортимент, из которого получают конструкционные пиломатериалы, можно схематично представить как систему коаксиально нанизанных друг на друга тонкостенных оболочек, моделирующих годичные слои древесины. Сердцевина располагается в центральной части поперечного сечения сортимента. Конструкционные пиломатериалы больших сечений, получаемые их круглых сортиментов, в наибольшей степени сохраняют кольцевую структуру годичных слоев древесины.
При решении некоторых практических задач древесину можно рассматривать как однородный материал, у которого не учитываются свойства ранней и поздней зон годичных слоев. На самом деле древесина — неоднородный материалом и ее неоднородность заключается в изменчивости свойств в радиальном направлении, что является ее природной особенностью. Наблюдается периодичность изменения свойств с учетом ранней и поздней древесины годичных слоев. В некотором приближении для упрощения задачи можно принять ширину обеих зон одинаковой.
Предполагается, что цилиндрический брус находится в условиях деформации чистого изгиба, когда напряжения зависимы только от одной координаты. На внешней поверхности усилия отсутствуют, коэффициенты деформации Ру зависят от координаты г.
Для решения задачи при этих условиях применяем дифференциальное уравнение, полученное С.Г. Лехницким*:
* Лехницкий С. Г. Теория упругости анизотропного тела. М.: Наука, 1977. 416 с.
Г^ 1а (c)
аУ^а^ р" а2е _ а2е1 ¦-и т--т+РП--1 + аг, А г аг г2 а (c)2 1 & quot-
а2 Г
±
а2 Г
^ гРб
а^
аг
а2 Г е11 Г а2
+г аг^ -
Рг
а2 е
ага (c)
ага© г)
-п
г а (c)2 а1
12 аг2. а2 е 1
аг2
, — г- I + ГЦЛАг008© + Вг81п© + С)1-
а (c)2 аг) [у /]
+ г2
а
[ (Аг 008 © + Вг 8Ш © + С)],
(1)
где
(c) — угол-
Ру — коэффициенты деформации, которые выражаются через модули упругости и коэффициенты Пуассона ,
о К г. д _ К
Р11 — ---- Р12 --

Е
гг Нг Н^. о _
— Р22 —
Е
^ - Р66 ^ Е
или в общем виде
а. «а. ,
Р, — а» -- г,] = 1, 2, 4, 5, 6… -
ау — множители у напряжений в формулах обобщенного закона Гука- Е — функция напряжений, удовлетворяющая дифференциальному уравнению (1) — А, В, С — постоянные интегрирования.
Общее решение уравнения (1) можно искать в виде
Е (г, (c)) — / (г)81п ©. (2)
Решение уравнения (1) с учетом (2) приводит к неоднородному дифференциальному уравнению для нахождения функции У (г):
— (а/+Р21 -ь /(Р-з+Ргг /л /1-
аг
аг2 г аг г2
_1 Ргг /- Ртгу 1 1 а/ Гр /_ ,
2 г аг г2) г аг (аг г
г ^ 12 аг2
— в
а2 Г а", 1 а Г а, 1
(3)
г зз аг2 (а33) аг ^ а33)
Решение этого уравнения может быть получено в виде степенных функций. Для случая, когда все коэффициенты упругости пропорциональны одной и той же степени г, С. Г. Лехницким из уравнения (4) получено дифференциальное уравнение для нахождения функции _Дг):
а
33
где
а4/ 2(1 -п)д3/ г, 1 д2/
— + ----+ [п (п -1) -а]--4т +
дг4
дг3
'-г2 дг2
+ (п + 1) а|1 ^-/] = 2 В а1з-а2з '- г3 дг г4 ]
а =
У 22 У 33
У11 + У12 (п + 2) + у 66.
ау = аиг
У11 = аи

У 22
Мл? Е, Е г 1 М
Е
1 Е
У 22 а2:



Е.

У12 = а12
у 66 = а
а13а2


2
2 Г.
ЕЕ
1 Е г Е г_ 1 ц2.
Е, Е г
МггМ".
Е Ег '- 1
: а66 = 77& quot- •
(4)
(5)
Общий интеграл дифференциального уравнения (4) имеет следующий
вид:
где
/(г) = С/ + С 2гк + С3г1+И + С 4 г + Шя (и + 2) г& quot-
(6)
п + 2 /Г п + 2
а

у22а33(и + 3-а)
Решение уравнения (5) представлено в виде степенных функций. Решение в виде простых трансцендентных функций не представляется возможным, хотя в рассматриваемой задаче изменения коэффициентов деформации с учетом различных свойств ранней и поздней древесины можно принять в виде тригонометрических функций синуса и косинуса. Применив разложение этих функций в ряд, можно решить задачу изгиба неоднородного анизотропного бруса постоянным моментом.
Функцию модуля упругости Ег, график которой приведен на рис. 1, можно представить в виде
а
33
1
а
33
а
33
2
а13 23
Рис. 1. Изменение модуля упругости Е2 по радиусу сечения г круглого сортимента
, ч Ezn + Ezp Ezn Ezp
Ez (r) = ---+
к
sin — r
2 5
(7)
где Em, E — модули упругости поздней и ранней древесины вдоль волокон-
5 — ширина годичного слоя, равная сумме ширины слоев ранней и поздней древесины, принятых в данной задаче одинаковыми. Согласно рис. 1 преобразуем уравнение (7):
Ez® = Ет + Eza sinr), (8)
где E, E — среднее и амплитудное значения модуля упругости E. Разложим функцию (8) в степенной ряд:
E ® = E + E
z У '- zm za
к
— r к v5
-r--
5 3!
5!
E ® = Em + Ea
-r — ¦
3!
5!
E ® = E + E
r v * rm re
r
3!
5!
Аналогично для других постоянных упругости:
. 3 / 5
Кгг (г) — КгТ +
%
-г -5
%
%
Кгг (г) — К
ггт г гга
3!
%
5!
К г (г) — К
гТ • К ^а
%
-г--
5 3!
%
-г -5
5!
3!
5!
С учетом этих функций можно вычислить коэффициенты деформации — 1 1
а11 — апг — -
Е"
Е + Е
гт га
, 5 5
% 1 г
а33 а33г ^
Ег
Е + Е
гт га
% Г%13 г3
5 г Чб) 3! Ш 5! 1_
% Г%1 3 г3 Г%1 5 г5
5 г Лб^ 3 + 5!
а также их значения при соответствующих степенях г и множителях ау по (5).
В соответствии с уравнением (4) получены четыре дифференциальных уравнения (при п = 0, 1, 3, 5) и их общие решения вида (6), позволяющие определить компоненты напряжений при каждом п из известных дифференциальных соотношений:
1 а^ 1 а2^ л. -2
г аг г2 а (c)2
0
1
+кпС2пгк-2 + (1 + п) С Ъпг'-п-1 + С4п — + Шп (п + 2)(п + 3) г& quot-+1 ] зт © +
+
-С 1пгх'--2 — С2пг п — С3"г-1 — С4я — В*я (и + 2) г
г
а2 е аг2
81п © }-
— ?[ ля (Л" - 1) С"гл& quot--2 + к"(к" - 1) С2пгк& quot- 2 +
+(п + 1) пС3пг& quot--1 + В еп (п + 2){п + 3)0 + 2) гп+1 ] яп 0-

о
сг = ц гг сг + ц zpt = {ц ^ + ц г
%
— r % V5
-r--
5 3!
5!
+ {ц zт + Ц г
%
— r
% V5
— r--
5 3!
5!
к-
1 d2 °F д2F
r dr д© r2 д© о
n
-В (!"-(п + 2) r& quot-+1 ]sin (c)-X [& gt-,?,
n
V Гг r-2_ с Л-2-C rn4-C
/, |_C1n'- C2n C3n C4n
^ -2, 7 k-2 ,
, r n + k" C"rn +
+(1 + «)С3яги-1 + С4я — + B?» (и + 2)(и + 3) r'-,+1 1 cos©, r
В центре сечения круглого сортимента располагается сердцевинная трубка (рис. 2). Принимаем диаметр сердцевинной трубки равным 2а.
Рис. 2. Схема поперечного сечения круглого сортимента
Тогда имеем начальные и граничные условия для определения постоянных интегрирования:
г = а- х = 0- а = 0-
'- гг '-г '-
г = Ь- х г, = 0- ^ = 0.
о
Постоянная интегрирования В из уравнения (6) определяется из условия на торце:
п 2я Ь
М = |а (гп^т (c)г
0 0 а
где суммируются интегралы для функций с показателями степени п = 0, 1, 3, 5.
Полученное решение позволит проводить исследования напряженного состояния элементов с кольцевой структурой при изгибе с учетом неоднородности древесины в пределах годичных слоев.
Поступила 17. 09. 13
УДК 694. 093. 6:413. 82
Plane Strain when Bending Round Cylindrical Anisotropic Heterogeneous Orthotropic Timber
V.I. Melekhov1, Doctor of Engineering, Professor V.N. Glukhikh2, Doctor of Engineering, Professor V.E. Byzov3, Candidate of Engineering, Associate Professor
orthen (Arctic) Federal University named after M.V. Lomonosov, Naberezhnaya
Severnoy Dviny, 17, Arkhangelsk, 163 002, Russia, e-mail: lti@narfu. ru
2Saint Petersburg State Forest Technical University named after S.M. Kirov, Institutskiy per,
5, Saint Petersburg, 194 021, Russia, e-mail: public@ftacademy. ru
3Saint-Petersburg State University of Architecture and Civil Engineering,
2-d Krasnoarmeiskaya, 4, Saint Peterburg, 190 005, Russia, e-mail: mapana@inbox. ru
It is presented the output from the calculation formulas of strength and deformation indicators by bending of constructing plank timber with ring macrostructure considering the heterogeneity of wood within the annual rings. Wood in the trunk of a growing tree is a circular structure of the annual rings. In each annual ring are autumn-wood and summer-wood. Autumn-wood is denser, heavier and harder than summer-wood. From the amount of the autumn-wood depend color, density and durability of wood. The ring structure of wood contributes to the enhancement of its strength. In constructing plank timber, from which elements of building bearing structure are made, is advisably to retain the maximum of whole annual rings. It is possible when using of constructing plank timber with large sections with the presence of the boon. The purpose of the work is the solution of the problem of calculating the strength characteristics of constructing plank timber with wood macrostructure of which represents a system of coaxially beaded thin-walled shells to each other, simulated the annual rings of wood. To solve this problem is obtained the method of calculation of strength and deformation indicators of logs with an annular structure. By the carrying out of the researches of wood strength properties it is often considered as a homogeneous material, which does not take into account properties of autumn-wood and summer-wood annual rings. Actually wood is non-uniform material and heterogeneity of its apparent in variability
of the properties in the radial direction, which is its natural feature. Frequency of changes in the properties based on the autumn-wood and summer-wood of annual rings is observed. To simplify the task was adopted the same width of both the annual ring zones. On the basis of these provisions were developed methods for calculating the strength and deformation indicators of logs with an annular structure. The periodicity of changing properties based on the autumn-wood and summer-wood of annual rings is considered. The solution will enable studies of stressed state of the building structure elements with annular structure by bending considering the heterogeneity of wood within the annual rings.
Keywords: round anisotropic cylindrical log, annual ring, strength and deformability indicators.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой