Плоские задачи для упругой среды с жесткопластическими включениями

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК 539. 3
Плоские задачи для упругой среды с жесткопластическими
включениями
И.Ю. Цвелодуб
Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, Новосибирск, 630 090, Россия
Рассматриваются плоские задачи об определении напряженно-деформированного состояния изотропной упругой области с различными жесткопластическими включениями. Показано, что поля напряжений и пластические зоны определяются однозначно. Рассмотрен пример плоскости с изолированными эллиптическими включениями, напряженно-деформированное состояние которых будет однородным.
Ключевые слова: плоская упругая область, жесткопластические включения, пластические зоны, однородное поле напряжений, изолированные эллиптические включения
Plane problems for an elastic medium with rigid-plastic inclusions
I. Yu. Tselodub
Lavrentiev Institute of Hydrodynamics SB RAS, Novosibirsk, 630 090, Russia
The paper considers plane problems for stress-strain states of an isotropic elastic region with various rigid-plastic inclusions. It is shown that the stress fields and the plastic zones are uniquely determined. As an example, a plane with isolated elliptical inclusions for which the stress-strain state is homogeneous is discussed.
Keywords: plane elastic region, rigid-plastic inclusions, plastic zones, homogeneous stress field, isolated elliptical inclusions
1. Общая постановка задачи
Рассмотрим находящуюся в условиях плоской деформации или обобщенного плоского напряженного состояния изотропную многосвязную упругую область 5 с т0 различными жесткопластическими включениями Si, внешними границами которых служат замкнутые контуры L и Ц (г = 1, 2,…, т0) соответственно. В области 5 справедлив закон Гука [1]:
8^й = (ж — 1) ст"А- + 4ст° & gt- (1)
СТ" = СТИ -СТпп°й/2,
0 о
где ок- и — компоненты плоских девиатора напря-
жений и единичного тензора- ц — модуль сдвига- ж = = 3 — 4v при плоской деформации и ж = (3 — v)/(1 + V) для обобщенного плоского напряженного состояния- V — коэффициент Пуассона- по повторяющимся индек-
сам проводится суммирование от 1 до 2. В уравнении (1) и далее к, I = 1, 2.
Деформации еи малы и выражаются через перемещения uk известными соотношениями Коши.
Для г-го жесткопластического включения Si, подчиняющегося деформационной теории либо теории течения идеального пластического тела, имеем соответственно [1]:
г +0, 5 & lt-^?р,
и [х 13э/Эсти, 5 & gt-стТр,
где 5 = 5 (сти) & gt- 0 — однородная выпуклая функция первой степени- - предел текучести- X1 = X1 (5) & gt- 0, Xг (5) & gt- 0 — для упрочняющегося материала и X1 & gt- 0 — неопределенный множитель для идеального пластического материала (в последнем случае второе неравенство
© Цвелодуб И. Ю., 2009
в (2) следует заменить равенством 5 = стгт), либо
? ы = •
I 0, 5 & lt-стТр или 5 = & lt-СТр и 5 & lt-0,
, (3)
I Аг 35/дсти, 5 = стТр и 5 = 0,
где X1 & gt- 0 — неопределенный множитель- точка означает дифференцирование по параметру нагружения т. В (2) и (3) принято предположение о том, что функция 5 = 5 (стк-) одинакова для всех включений Бг, но пределы текучести стТ могут быть различными. Здесь и далее (кроме п. 3) 1 = 1, 2, т0.
На внешней границе L области 5 заданы перемещения uk или нагрузки рк = стк1п1 (пк — компоненты единичного вектора нормали к L). На границах Ц областей Si и 5 непрерывны перемещения и нагрузки.
Будем считать, что заданные на L величины uk или pk возрастают пропорционально параметру нагружения т: ик = ик0т или рк = рк0т, т & gt- 0. При т& lt- Т включение Si является жестким, т. е. Егк- = 0 и ик = 0 в Si, а следовательно, и ик = 0 на Ц. Значение т = т! т соответствует возникновению пластической зоны в Бг.
Необходимо определить напряженно-деформированное состояние в области S и S1 и S2 … иБщ.
2. О единственности решения задачи
Рассмотрим две стадии процесса нагружения.
I. 0& lt-т<-тт0 = тттТ, т. е. тах5 & lt-стт0 = тшстгт, и
1 Si 1
все включения Бг являются жесткими. Для области 5 имеем задачу в перемещениях или смешанную задачу (поскольку ик = 0 на Ц, а на L заданы ик или рк), из решения которой найдем напряженно-деформированное состояние в 5, а следовательно, и нагрузки рк = = рк = стищ на Ц («к — компоненты единичного вектора нормали к Ц).
Рассматривая далее жесткое включение Бг как упругую среду с модулем сдвига ц1 (ц1 ^ ^), для функции напряжений получим бигармоническое уравнение с заданными на Ц величинами ^ и дР1/д». Эта задача изучена [2], ее решение дает поле напряжений стгк- в
Б.
II. т& gt-тт0, т. е. тах 5 & gt-стт0, и в областях Бг возникают и развиваются '-пластические зоны Бр. Покажем, что эти зоны и напряжения в них определяются однозначно. Доказательство аналогично приведенному в [3] и базируется на вытекающих из (2) и (3) условиях устойчивости деформирования каждого из т включений:
Аек-Астк- & gt- 0, Дек, = е" - е'-
к- ~
Аст1 =ст1(1) -ст1(2) асти- = сти- сти-
для соотношений (2), либо
Аек- АстИ- & gt- 0
(4)
(5)
Эти условия справедливы для любых напряжений ^'-(1) ^(2) — «
стк- и стк-'- как в пластической, так и в жесткой областях.
Знак равенства в (4), где хотя бы одна компонента ек® Ф 0 и еИ-2) Ф 0 (или в (5) при е^ Ф 0 и ек (2) Ф 0), возможен для пластически сжимаемой среды (д^дсткк Ф Ф 0) только при Аст1к1 = 0, а для несжимаемой (д^дсткк = = 0) — только при Аст1к- = Ар10к-, либо в случае е#} = екР = 0- Кроме того, ситуация, когда е]^ Ф 0,
?1(2) _ ьи-
= 0 (т.е. 51 & gt-стт, 52 & lt-стт) и ек- Астк- = 0, невозможна.
Основой при доказательстве единственности является известное уравнение виртуальных работ, которое вследствие условий непрерывности перемещений и нагрузок на Ц будет иметь вид [1]:
I еИ сти dS + ЕI егИ стк-dS = | икркd и
Б 1=1 Б Ц
(6)
dl — дифференциал длины дуги контура L.
Рассмотрим случай, когда пластические деформации в Бг определяются согласно соотношениям (2). Предполагая существование двух решений рассматриваемой задачи, для разностей соответствующих величин, которые будем обозначать с помощью символа А, из (6) получим:
I Ае и- Аст и- ^ + ЕI АекАстк ^ = °.
Б 1=1 Б.
(7)
Предположим, что в Бг существуют две зоны пластичности, соответствующие двум возможным решениям: Бр1 и Бр12 и Бр2 и Бр12, которые пересекаются по области Б'-12, т. е. ек/1^ = 0 в Б'-2, еИ2 = 0 в Б^, и среди компонент ек® и ек/2^ в Бр12 есть отличные от нуля.
Учитывая, что в новой жесткой области Б10 = = Бг (Бр1 и Бр2 и Б'-12) все компоненты е’к- = 0, из (7) найдем:
I Аеи-Асти-dБ +Е I е1 Астк-^ -
Б 1=1 Бр1
— I ек/2)Астк-dБ + I АекАстиdБ = °. (8)
БР2 БР12
Вследствие (5) и неравенства Аек Астк & gt- 0 в 5, вытекающего из (1), получим, что равенство (8) возможно лишь в том случае, если каждый из четырех интегралов обращается в нуль. Отсюда Аст^ = 0 в 5, ек® = 0 в Бр 1 = 0 в Бр2, т. е. Бр1 = Бр2 = 0, Аек-Астк- = 0 в
и е
. 1(2) _
к
для соотношений (3). В (4) и (5) суммирования по г нет.
Бр 12. Таким образом, напряжения стк- в 5 и зона пластичности Бр = Б'-12 определяются однозначно, напряжения в Бр для сжимаемой среды — однозначно, а для несжимаемой — с точностью до постоянной (как следует из уравнений равновесия) величины Ар1, т. е.
АстИ- =ар'- ои-.
Возникает вопрос об определении напряжений ст1к- в новой жесткой области Бг0 = Бг Бр. Рассмотрим три возможных случая.
A. Пусть пластическая зона Бр с границей Цр возникает внутри Бг. Тогда на границе Ц и Цр новой жесткой области Бг0 будут известны нагрузки, так как по доказанному выше в 5 и Бр однозначно определяются напряжения. Рассматривая далее Бг0 как упругую среду с модулем ц!0 ^ тс, приходим к первой основной задаче плоской теории упругости (как в п. 1).
Б. Пусть пластическая зона Бр выходит на часть Ср1 границы Ц, т. е. Цр1 и Ср2 и Цр2 и Ц Цр1 являются границами пластической Б'- и жесткой Б10 областей соответственно. На L заданы ик или рк, на Ц Ср1 ик = 0, а на Цр1 известны нагрузки рк, так как напряжения ст1к- в Б'- определяются однозначно (в указанном выше смысле). Отсюда находим напряженно-деформированное состояние в области 5 и нагрузки на Ц Ср1, а на Цр2 они известны (так как Цр2 — часть границы пластической зоны Б'-). Таким образом, на всей границе новой жесткой области Бг0 заданы нагрузки, и опять приходим к задаче в напряжениях.
B. Пусть пластическая зона Б'- выходит на всю границу Ц, следовательно, жесткая зона Бг0 окружена
пластической областью Б1, т. е. Ср и Ср и Ц являются
р р р. г
границами Б10 и Б'- соответственно. На Ср известны нагрузки, т. е. для области Бг0 имеем ту же задачу в напряжениях.
Заметим, что теорема единственности решения для напряжений в жесткой и пластической областях и для пластической зоны имеет место и при определяющих уравнениях (3). В этом случае в равенстве (8) надо заменить все деформации на их скорости, а затем проинтегрировать его по параметру нагружения т от нуля до текущего значения. Тогда с учетом равенств Дстк- |т=0 = = 0 получим:
1
Деи-(т)Асти- (г)^ +

+ЕI
1=10
I ек1 Астк-& lt-^ - I еИ-2) Астк^Б +
+ I ек-Астк^Б
р12
dт = 0.
Далее доказательство практически повторяет проведенное выше для уравнений (2).
3. Упругая плоскость с изолированными эллиптическими жесткопластическими включениями
Рассмотрим частный случай сформулированной выше задачи, когда областью 5 является упругая плоскость,
подчиняющаяся закону Гука (1) и подвергнутая действию равномерно распределенных напряжений на бесконечности, а Бг представляют собой изолированные эллиптические включения, т. е. такие эллиптические включения, для которых расстояние между центрами любых двух из них велико по сравнению с их размерами. Поэтому взаимным влиянием одного эллиптического включения на напряженно-деформированное состояние любого другого можно пренебречь.
При этих предположениях проблема сводится к независимому решению т0 задач об определении напряженно-деформированного состояния упругой плоскости с одним включением Бг (г = 1, 2, т0) под действием указанных внешних воздействий.
Учитывая вышесказанное, рассмотрим одно эллип-
ГЧ* г*
тическое включение Б, уравнение границы Ь которого в системе координат 0ху имеет вид: х2 а -2 + у 2Ь~2 = 1, а & gt- Ь. На бесконечности действуют равномерно распределенные напряжения стТС = ст^0т, а вращение отсутствует.
В [1] исследовалась аналогичная задача для случая эллиптического физически нелинейного включения с определяющими уравнениями вида:
еИ- = ?к- (стт») (к, I, т, п = 1, 2), (9)
где Рк1 — нелинейные операторы, описывающие, например, упруговязкопластические свойства среды.
Было показано, что поле напряжений во включении является однородным, и установлены следующие соотношения между напряженно-деформированным состоянием в эллиптическом физически нелинейном включении и на бесконечности:
Рг = ЫуУ] + (г = 1, 2, 3),
у1 =ст11, у2 =ст22, у3 =ст12,
х1 — иц, х2 — и22& gt- х3 _ и12& gt-
(ж + 1)(1 — т) Ж-1 …
а11 =, , а12 = а21 =, (10)
4ц (1 + т)

(ж +1)(1 + т) = ж + т
, а33 = -~ 2 ч
4ц (1 — т)
ц (1 — т)
а == (ж +1)(3 — т) о _о = ж + 1
Р11 ТПГг, в12 =Р21 = «Т ,
8ц (1 + т) 8ц
о = (ж +1)(3 + т) о = ж +1
Р22 = 0 ч, Р33 =. 2. ,
8ц (1 — т) ц (1 — т)
т = а-Ь (0 & lt- т & lt- 1),
а + Ь
остальные Ыу и ву равны нулю- суммирование в (10) проводится по j от 1 до 3.
Соотношения (9) и (10) представляют собой замкнутую систему для нахождения стИ- по заданным напряжениям ст°И- на бесконечности. Эта система однозначно разрешима относительно стИ- при указанных в [1] условиях. Зависимости, необходимые для определения напряженно-деформированного состояния в упругой области 5, также приведены в [1].
В рассматриваемом случае жесткопластического включения с определяющими уравнениями вида (2) или (3) из (10) на 1-й стадии нагружения (0& lt-т<-тт, т. е.
= 0, г = 1, 2, 3) получим систему:
ауУу + вуху = 0 (г = 1 2 3) из которой однозначно находятся уг = у10т, где (ж + 1)[(ж + 2 — т) х10 + (ж — 2 — т) х20 ]
Ло ='-
У 20 =
4ж (1 — m)
(ж + 1)[(ж — 2 + m) х10 + (ж + 2 + m) x20 ]
(11)
4ж (1 + т)
у30 = (ж +1) х30/(ж + т2).
Рассмотрим 11-ю стадию нагружения (т& gt-тт), выбрав в качестве примера идеальное жесткопластическое включение, подчиняющееся уравнениям (3), где 52 = = (у1 — у2)2 + 4у2, что соответствует критерию Треска (в обоих случаях плоской задачи).
Значение тт, соответствующее началу пластического течения в Б, найдем из условия 5 = стт и соотношений (11): тт =стт[(у10 — у20) + 4у30].
Из (3) получим выражения для скоростей пластических деформаций:
(12)
F1 = -2 = k (y1 — у2) СТТ, F3 = 4ку3^т ,
где учтено, что s = стт.
Условию пластичности, т. е. (у1 — у2)2 + 4у| = стТ, удовлетворим, полагая
у1 — у2 =CTTcos 0, 2у3 =CTTsin 0. (13)
Из (12) и (13) будем иметь равенства F1 = -F2 = = k cos 0 и F3 = 2k sin 0, подставляя которые в продифференцированные по т соотношения (10) и разрешая их относительно у1 (i = 1, 2, 3), получим систему для определения неизвестных 0 и k:
у — у2 = aT (cos 0)'- = уш — у20 — Ak cos 0,
. (14)
2у3 = CTT (sin 0) = 2у30 — Bk sin 0,
A = 4ц (жт2 + 1)/[ж (1 — m2)] & gt- 0,
B = 4ц (1 — m2)/(ж + m2) & gt- 0.
Исключая из (14) величину k и учитывая, что при т = тт имеют место равенства: у1 — у2 = стт cos 0T =
= (у10 — у20) тт и 2у3 = CTT sin 0T = 2у30тт (0T = 0(тт)), будем иметь уравнение первого порядка
0 Asin 0Tcos 0- B cos 0Tsin 0
TT (A cos2 0 + B sin2 0)
с начальным условием 0(тт) = 0T, которое дает решение 0 = 0(т) при т& gt-тт. Функция к = к (т) находится из (14).
Заметим, что согласно (13) напряжения у1 и у2 определяются с точностью до произвольного слагаемого, поскольку в рассмотренном примере среда является пластически несжимаемой.
4. Выводы
Рассмотрены новые двумерные задачи об определении напряженно-деформированного состояния упругой области, содержащей жесткопластические включения, подчиняющиеся определяющим уравнениям (2) или (3), для которых справедливы условия устойчивости (4) или (5) соответственно.
Теория жесткопластических сред, в которых пренебрегают упругими деформациями, широко используется при оценке напряженно-деформированного состояния элементов конструкций [4]. Было показано, что задача определения напряженно-деформированного состояния в многосвязной упругой области, а также напряжений и пластических зон в содержащихся в ней различных жесткопластических включениях является корректной в смысле единственности решения (вопросы существования решения не рассматривались). Это открывает возможности для разработки методов решения подобных задач для неоднородных сред, к которым относятся композиты, наноматериалы и т. п.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты №№ 08−01−168, 06−08−96 002) и Совета по грантам Президента Р Ф для поддержки ведущих научных школ (грант № НШ-3066. 2008. 1).
Литература
1. Цвелодуб И. Ю. Физически нелинейное включение в линейноупругой среде (плоская задача) // Изв. РАН. МТТ. — 2000. — № 2 5. -С. 72−84.
2. Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. — М.: Наука, 1966. — 707 с.
3. Цвелодуб И. Ю. Обратная упругопластическая задача // Изв. РАН. МТТ. — 1998. — № 1. — С. 35−43.
4. Быгковцев Г. И., Ивлев Д Д. Теория пластичности. — Владивосток: Дальнаука, 1998. — 528 с.
Поступила в редакцию 11. 12. 2008 г., после переработки 11. 03. 2009 г.
Сведения об авторе
Цвелодуб Игорь Юрьевич, зав. лаб. ИГиЛ СО РАН, itsvel@hydro. nsc. ru

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой