ПОЧТИ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ ТИПА ?1 НА ОБОБЩЕННО РИЧЧИ-СИММЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
Том 151, кн. 4
Физико-математические пауки
2009
УДК 513. 7
ПОЧТИ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ ТИПА п НА ОБОБЩЕННО РИЧЧИ-СИММЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
В. Е. Березовский, И. Микеш
Аннотация
Получены необходимые и достаточные условия для того, чтобы многообразие с лилейной связностью допускало почти геодезическое отображение типа п в смысле Н.С. Си-шокова па обобщенно риччи-симметрическое пространство.
Ключевые слова: почти геодезическое отображение типа, обобщенно риччи-сим-метрическое пространство, пространство аффшшой связности.
Введение
Настоящая статья посвящена изучению почти геодезических отображений типа П1 пространств аффинной связности на обобщенно риччи-симметрические пространства аффинной связности.
Почти геодезические отображения пространств аффинной связности ввел в рассмотрение Н. С. Сипюков, который выделил три типа таких отображений: П1, П2 и (см. [1]). В работе [2] доказано, что других типов почти геодезических отображений не существует.
В работе [1] рассматривались почти геодезические отображения типа п1 пространств аффинной связности Ап на римановы риччи-симметрические пространства. Для этого случая найдены основные уравнения в виде замкнутой системы типа Коши в ковариантных производных. Эти результаты был обобщены в работе [3]
Ап
исевдо-риманово) пространство.
В настоящей статье получено обобщение указанных выше результатов для случая канонических почти геодезических отображений типа п1 пространств аффинной связности на обобщенно риччи-симметрические пространства аффинной связности.
1. Почти геодезические отображения типа п1
Понятие почти геодезических отображений использовалось В.М. Чернышен-ко [4]. Такое же понятие (но в другом смысле) было введено в рассмотрение и изучалось Н. С. Сишоковым [1. 5. 6].
Пусть Ап и Ап — пространства аффинной связности без кручения, размерность которых п & gt- 2.
Определение 1 [1, 5, 6]. Диффеоморфизм /: Ап ^ Ап называется почти
Ап
переходит в почти геодезическую линию пространства Ап.
Почти геодезические отображения типа П1 в общей по отношению к отображению системе координат {хг} характеризуются уравнениями
РЬ) + ра р?)" = + Ч*рм, (!)
где Рг ((х) = Г ((х) — Г ((х) — тензор деформации объектов связностей Г ((х) и Г ((х) пространс тв Ап и Ап соответствен но, — символ Кроне кера, аг- и Ъг -некоторые тензоры.
Запятой здесь и далее обозначаем ковариантную производную по отношению к связности пространства Ап.
Н. С. Сишоковым были выделены канонические почти геодезические отображения, которые он обозначил через п1. Эти отображения характеризуются нулевым тензором Ъг. Таким образом, отображения типа тг1 характеризуются уравнениями
Р (1з, к) + Р (г-Рк)а = а (г- ^к) — (2)
Заметим, что любое отображение типа п можно представить в виде композиции отображения типа п1 и некоторого геодезического отображения.
2. Риччи-симметрические и обобщенно риччи-симметрические пространства
Риччи-си. м, м, етрическим пространством называют пространство аффинной связности Ап, в котором тензор Риччи абсолютно параллелен (то есть он кова-риантно постоянен):
Ргз-к = 0,
где & quot-:"- обозначает ковариантную производную по отношению к связности пространства Ап.
В [1] доказано, что множество всех отображений тт1 пространства аффинной связности Ап на риччи-симметрические (псевдо-) римановы пространства Ап, получается из решений некоторой системы дифференциальных уравнений тнпа Копти в ковариантных производных (более детально это объясняется в монографии [1, с. 34 35]). Следовательно, семейство всех рнччн-снмметрнческнх римановых пространств, па которые допускает отображение типа тг1 заданное пространство
Ап
В дальнейшем этот результат мы обобщаем на случай обобщенно риччи-симметрических пространств аффинной связности.
Обобщенно риччи-симметрическим пространством Ап называем пространство аффинной связности, в котором тензор Риччи удовлетворяет условиям
Ргз-к + Ргк-з = 0. (3)
Если тензор Риччи является симметрическим и выполняются условия (3), то он абсолютно параллельный, то есть Дг--к = 0, и, таким образом, Ап есть риччи-симметрическое пространство.
3. Почти геодезические отображения типа 7т1 на обобщенно риччи-симметрические пространства
Пусть Ап и Ап — п-мерные пространства аффинной связности. Диффеоморфизм /: Ап ^ Ап будет каноническим почти геодезическим отображением типа 7Г1 тогда и только тогда, когда в общей по отношению к отображению системе координат выполняются условия [1, 6]:
3(Ргк, к + Рка) = Щгз) к — Щгз) к + а (г-$к), №
где РЦ — тензор деформации, ац — некоторый тензор, Рцк & quot-"-"-"-"- тензоры кри-
визны пространств Ап и Ап соответственно.
Соотношение (4) можно рассматривать как систему уравнений в ковариатных производных относительно неизвестных функций Рц в Ап. Условия интегрируемости уравнений (4) имеют вид:
Щц)[к,?] = Ргц)[к,?] + $ъазк), 1 — $Цгац?), к + 3(Ргц^аМ — РцЦЩк?) —
— РЦк (Р {ц)? — Р{ц)? + $(1аз?)) + РЦ?(ЩЛк — Щц) к + $ {га]к)) —
Переходим от РЦк — к РЦк-1 и 113 условий интегрируемости системы (4) в итоге получим уравнения:
Р (ц)[к-?] = ${гаЦк),? — $гаЦ?), к + (цк? & gt- (5)
(1цЦк? = Рц)[к,?] + 3(РгЦРик? — РцЦР& lt-а)к?) —
— Р^к (Р{ц)? — Р{ц)? + $'-(газ?)) + Р0: ?(Цц)к — Щц) к + 5{газк)) —
ра о! па о! I ра о! I ра о!
Р1 (гР|аЦ)к Р? (гРЦ)ак + Рк (гР1аЦ)1 + Рк (г РЦ) а?-
Здесь символ |а| обозначает, что индекс, а не участвует в циклическом суммировании. Используя тождества Риччи, условия (5) можно записать в виде
Рикц + Рц? к-г = $(гацк),? — $(гаЦ?), к + (гцк? ¦
Свертывая последнее соотношение по индексам Н и к, получим следующее
Аоп
Рг? ц + Рц?-г = (п + 1) ащ — а?(гц) + & amp-Цае ¦ (6)
Аоп
риччи-симметрическим пространством. Поэтому тензор Риччи этого пространства удовлетворяет условиям (3). Тогда (6) можно записать в виде
(п + !)ац,? — а? гц — аЦ, г = -(%а?. (7)
Из уравнений (7) в силу (3) получим:
1 а 2
а? г, Ц + аЦ, г = - п ((Ц?аЦ) + П^^
С учетом этого равенства уравнение (7) можно записать в виде
п2 + п — 2 «= (а 1 (а (о
--- ац,? = - (ца? — п °(г1?аЦ). I»)
Аоп
Аоп
Ап
водных РР (гЦ)1. кт, получим
Щгц) к-?т — Щц)?-тк = $(га]к),?т — $гаЦ?), кт + ТЦк? т, (9)
где
Тк _ щк Ща _ Ща щк _ Ща щк _ Ща щк
т г-к?т Щатк Щ (г])? Щ? ткЩ (г])а Щ]ткЩ (га)? Щгтк Щ (]а)?
_ РкЛа1к), 1 _ Рт-5гаак), 1 _ Ртг$(аа]к),? _ Р^к$(ааг]),? _ ^^(^-к),.
Х (аа]?), к + $иаа?), к + Ф & quot-
_ Рта^{газ?), к + Р^г${ аа]?), к + Рт- $(гаа?), к + Р^к ${га-?), а _ Р1,$ [га]а), к_

_ фк I Рк фа _ Ра фк _ ра фк _ ра фк _ ра фк
фг-к?, т + Гатфъ-к? Г тгф а-к? Гт-фгак? Гткфъ-а? Г т? ф г-ка-
Проальтернируем уравнения (9) по индексам I, т. Имеем: Щг-)т-?к _ Щг-)?-тк = $%азт), Ы _ $%ао?), кт + Т-к[1т] +
-I- рк ра -I- рк ра ра рк -I- рк па I
+ Щ (гак 1г])т? + Щ (г])аЩкт? Щ (г])кЩат? + Ща (гкЩ-)т? +
+ $(аа]к) Щ'-?т + $(аагк) Щит + ${газа)Щ& lt-а?т _ $(га-к) Щ^т- (Ю)
Учитывая свойства тензора Римана Щ-к, условия (10) можно привести к виду
ЩП^т?--к + Щт?-гк = $га]?), кт _ $газт), Ы _ Щ-к?т, (И)
к к р, а р к р, а р к р, а р к ^ г-к?т = Т ЦЩт] + Щгт? Щ (а])к + Щ]т?Щ (аг)к + Щкт? Щ (г])а
_ Ррат? Щъ])к + $аазк) Щ? т + $аагк) Щ? т + $ 1{аагз)Щк?т _ а (ЦЩк)?т-
Проальтернируем (11) по ] и к. Получим
Щт?-гк _ Рркт?-г] = $га]?), кт _ $га]т), к? _ $гак?),]т + $гакт),]? _
__ N к I рк ра | пк ра + пк па _ па пк
г[]к]?т + Щат?11гк- + Щга? Щткз + ЩгтаЩ? кз Щгт? Щак- - К1^'-)
В соотношении (11) поменяем местами индексы г и к, а затем сложим с (12). В результате получим
2 Щт?-гк = $(га]?), кт _ $(га]т), к? _ $(кк а]т), И +
+ $(гакт),]? _ $(гак?),]т + $(-?ак), гт + ^%к1т, (13)
С^к _ _N к + N к _ рк ра + пк па + пк па _
г-к?т 1уг]к?т + к[г]]к?т Щат? Щ (к])г + Щза? Щтгк + ЩзтаЩ? гк
— рк ра | пк па + пк па _ пк па _ пк па + па пк
Щаг (з Щк) т? + Щза? Щтгк + ЩзтаЩ? гк Щат?11гк- Щга? Щткз + Щгт[?11а]к- -
Апп
Ап
2 Щт?, гк = $(га]?), кт _ $(га]т), к? _ $ка]т), г? +$ гакт),]? _ $(гак?),]т _ $(ка]?), 1 т +^1-к?т ,
где
сЬ _ глЬ _ 2
аг]Ыт _ 2
до рЬ _ рЬ ра _
_ О Ь Ра _ рЬ ра _ рЬ ра +
1 ]а?, 1Ртк? г]та, 1р1к р^т1,аргк +
О- (ра г& gt-в рЬ ра рЬ ра рЬ рарЬ
+ раг рат1р1] р]а1р1т Р]тарИ)рвк
(ра рЬ рЬ па рЬ ра рЬ ра рР
л0т1рав лат1рво Л]а1рвт ^тарв1)^к
(ра рЬ рЬ ра рЬ ра рЬ рар@
-nвme-Pаi ¦патерт ^вае^т 1втарИ) ртк
вт1р аi 1 ат1р вi 1 ва1р im 1 втар И) р jk
& gt-а рЬ рЬ ра рЬ ра рЬ рал рвв1раЛ 1авlPji 1jаlPвi 1jварil) ркт
_ (ра рЬ _ рЬ ра _ рЬ ра _ рЬ ра) рв
(1 тврал 1 атвр ji 1аврmi 1 ^тарвi)P к?
Введем в рассмотрение тензорное поле типа (1,4) следующим образом
¦°ЬтИ = ^ЬтЕ^, (14)
и с учетом последнего запишем ковариантную производную этого тензорного поля в пространстве Ап:
2ЩтН, к _ $(^е), кт _ $(iajm), M _ 5(kajm), U + $ акт)^1 _ $%аЫ)^т + $ kajl), im +С^к?т ¦
(15)
Заметим, что в левой части (15) можно заменить вторые ковариантные производные тензора а, ц, используя (8).
Таким образом, заключаем, что уравнения (4). (8). (14) и (15) для функций р^ (х), а^ (х), Р^к (х) и Р^кт (х) в пространстве Ап образуют систему дифференциальных уравнений в ковариантных производных типа Коши. Указанные выше функции должны также удовлетворять дополнительным алгебраическим условиям:
(х) _ Р*(х), а^(х) _ саф (х),
(16)
Щт (х) _ Щзк) (х) _ 0 Рк)1 (х) _ Щг0к)1 (х) _
Итак, справедлива
Ап
шло каноническое почти геодезическое отображение типа п на обобщенные
Арп
нем, существовало решение смешанной системы типа Коши (4), (8), (14), (15), и (16) относительно функций р^ (х), а^ (х), Р^к (х) и Р^кт (х).
Теорема 1 обобщает результаты полученные Н. С. Сишоковым [6]. Как следствие получим
Предложение 1. Семейство всех обобщенно риччи-силышпрических пространств аффинной связности, которые являются образом заданного пространства аффинной связности Ап относительно отображений типа, зависит не более чем, от 6 п (п + 1)2 (2п2 _2п + 3) параметров.
Работа выполнена при поддержке гранта МБМ 6 198 959 214 Чешской Республики.
Summary
V.E. Berezovski, J. Mikes. Almost Geodesic Mappings of Type ni onto Generalized Ricci-symmetric Spaces.
We deduce necessary and sufficient conditions in order that, a manifold with linear connection admit an almost geodesic mapping of type ni in the sense of N.S. Sinyukov onto a generalized Ricci-symmetric manifold.
Key words: almost geodesic mapping of type n1, generalized Ricci-symmetric manifold, affinely connected space.
Литература
1. Сииюкоо Н. С. Геодезические отображения римаповых пространств. М.: Наука, 1979. 256 с.
2. Berezovsky V., Mikes J. On a classification of almost geodesic mappings of affine connection spaces // Acta Univ. Palacki. Olomuc., Fac. Rerum Nat., Math. 1996. V. 35. P. 21 24.
3. Berezovski V.E., Mikes J. Vanzurova A. Canonical almost geodesic mappings of type ni onto pseudo-Riemannian manifolds // Diff. Geom. and its Appl. Proc. Conf., Olomouc, August, 2007. World Sci. PuU. Сотр., 2008. P. 65 76.
4. Чериылиеико B.M. Пространства аффинной связности с соответствующим комплексом геодезических // Науч. зап. Днепр, уп-та. 1961. Т. 55, Л'- 6. С. 105 118.
5. Сииюкоо Н. С. Почти геодезические отображения пространств аффинной связности и римаповых пространств // Докл. АН СССР. 1963. Т. 151, 4. С. 781 782.
6. Сииюкоо Н. С. Почти геодезические отображения пространств аффинной связности и римаповых пространств // Итоги пауки и техп. Сер. Проблемы геометрии. М.: ВИНИТИ, 1982. Т. 13. С. 3 26.
Поступила в редакцию 19. 08. 09
Березовский Владимир Евгеньевич кандидат физико-математических паук, заведующий кафедрой математики Умапского государственного аграрного университета, г. Умапь, Украина.
E-mail: berez. voloderambler. ru
Микеш Йозеф доктор физико-математических паук, профессор кафедры алгебры и геометрии естествешго-паучпого факультета Университета им. Ф. Палацкого, г. Оло-моуц, Чешская Республика.
E-mail: mikes Qinf. upol. ez

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой