Напряженно-деформированное состояние на основе МКЭ в зоне сочленения криволинейных пластин при плоском нагружении

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Общие и комплексные проблемы технических и прикладных наук и отраслей народного хозяйства


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Н. А. Гуреева, Р. З. Киселева, В. В. Леонтьева
НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ НА ОСНОВЕ МКЭ В ЗОНЕ СОЧЛЕНЕНИЯ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ПЛАСТИН ПРИ ПЛОСКОМ НАГРУЖЕНИИ
Волгоградский государственный аграрный университет
e-mail: natalya-gureeva@yandex. ru
Для определения напряженно-деформированного состояния в зонах сочленения криволинейных пластин, находящихся в условиях плоского нагружения, используется объемный конечный элемент с поперечным сечением в форме четырехугольника с узловыми неизвестными в виде перемещений и их производных. Для конечных элементов, примыкающих к границе сочленения пластин, получены соотношения между узловыми неизвестными одной пластины, принятой за основную, и пластины, примыкающей к основной.
Ключевые слова: МКЭ, криволинейные пластины, объемный конечный элемент, узловые неизвестные, условия на границе пересечения криволинейных пластин.
For definition it is stress- the deformed condition in a zone of crossing of the curvilinear plates which are in a condition flat loadings, the volume finite element with cross-section section in the form of a quadrangle with usual unknown persons in the form of displacement and their derivatives is used. For finite elements adjoining border of a joint of plates, parities (ratio) between usual unknown persons of one plate accepted for basic, and a plate adjoining basic are received.
Keywords: method of finite elements, curvilinear plates, volume finite element, usual unknown conditions on border of crossing of the plates.
1. Геометрия криволинейной пластины и матрица жесткости конечного элемента. Положение произвольной точки М срединной поверхности криволинейной пластины в декартовой системе координат хо2 определяется радиусом-вектором
Я = хі + 2 (х)к, (1)
где і 5 У 5к — орты декартовой системы координат.
Векторы локального базиса точки М определяются выражениями
аі = Дь = Xь * + 2ьк-
(2)
Производные векторов локального базиса определяются дифференцированием выражений (2) и записываются в матричном виде
& lt-, }Т =[от]{& lt-3}, (3)
где {а,}Т = {а1,*& lt-3,*}- {а}Т = {& lt-1 а}•
Положение произвольной точки Мг криволинейной пластины, отстоящей на расстоянии г от точки М, определяется радиусом-вектором
Яг = Я + га. (4)
Векторы локального базиса точки М определяются дифференцированием (4) и с учетом (3) записываются в виде
?1 = Я * +& lt-* = а1 (1 + гт21)+ гт22а
83 = Я,* = а • (5)
Под действием нагрузки точка Мг перейдет в положение точки Мг*.
Вектор перемещения точки Мг определяется компонентами в базисе точки М выражением
V = у1а1 + уа. (6)
Производные вектора (6) с учетом (3) имеют вид
у,* = & lt-/1 + & lt-/1- у, г = а1у, г +^ 1а, (7)
где /1 = V, 1* + V1 т11 + vm21-
/1 = V1 т12 + V, * + ут22. (7а)
Векторы локального базиса точки М * определяются выражен иями
81* = К +"3, = 8 + V, * -
8 з = К +? «= 8 з + V „•
(8)
Деформации в точке М определяются как разности компонент метрических тензоров в исходном деформированном состоянии [1] и записываются в матричном виде
И=ИН (9)
где {у}= {1& gt-'- V) — {}Т = {б-м ?33 213 }•
Связь между напряжениями и деформациями определяется соотношениями механики сплошной среды [1] и плоском нагружении имеет вид
Ы=[с {{} (ю)
где {& lt-т}Т ={& lt-г11ет3313 }•
Матрица жесткости на основе соотношении (9), (10) [К{ объемного конечного элемента с поперечным сечением в форме произвольного четырехугольника с узловыми неизвестными в виде перемещений и их первых производных формируется согласно [2, 3]
[К {К }=/}, (11)
где
к Ы1
1×12
vV^vkv^v, l, V, '-^,“»,-}-
— вектор узловых неизвестных в глобальной системе координат- под {/}- вектор узловых
усилий конечного элемента.
2. Геометрия в зоне пересечения криволинейных пластин. Рассматриваются две криволинейные пластины в декартовых системах координат хог и X О 2. Связь между ортами этих систем считается известной
(рис. 1)
{Г }=[/ ]{(і2)
На основании (12) определяется соотношение между векторами локальных базисов граничной точки в системах координат хо2 и х '-о2 '- {а'- }=№}. (13)
Рис. 1. Криволинейные пластины в декартовых системах координат хог и х'- о '-г'-
В узлах на границе пересечения оболочек узловые неизвестные одной оболочки (элемент I) принимаются за основные (рис. 2, а), узловые неизвестные примыкающей оболочки (элемент II) должны быть выражены через узловые неизвестные основной оболочки (рис. 2, б). В дальнейшем величины, относящиеся к примыкающей оболочке, будут отмечаться штрихами.
а б
Рис. 2. Узловые неизвестные основной (а) и примыкающей (б) оболочки
Для конечных элементов, примыкающих к границе пересечения криволинейных пластин, выполняется перегруппировка узловых неизвестных и вводятся в рассмотрение следующие где У-3 = а
«у с
векторы узловых неизвестных для основной и примыкающей пластин
дV
ас
= аС
(17)
дг
д*с
МТ = { V,* V, —
ИТ
где о = у, к- О = I'-, I'-.
Используя (17), можно записать соотношения
(14) V'-,* = а1 У — (18)
(15) V'- г = а '-У. (19)
Равенство (18) с использованием (7) запи-
Соотношения между компонентами векто- шется в виде
ров (14) и (15) определяются с использованием следующих условий:
Векторы перемещений в точке, расположенной на границе пересечения двух пластин, равны
V1 а, 1 +v, а = v1а1 + vа,
откуда с учетом (13) получаются выражения
V1'- = vlhn + vh21- V'- = v1h21 + vh22. (16)
2. Зависимости между производными компонент вектора перемещений для двух пластин на линии пересечения можно получить, используя выражения производной вектора по на- ной пластины через узловые неизвестные ос-правлению ^
/1 а + /1 '-а'- = а [3 (/11а1 + /1а)+ а (V + а + vа){, откуда получается
/1 = /1 h11h11 + /1/1П/21 +, г h21h11 + ^ h21h11-
/1 = /1 ^12 + /1h22h11 +, г h21h12 + h21h22.
(20)
Используя выражение (7а), можно выразить из (20) производные компонент вектора перемещения v1'- '- V '- примыкающей криволиней-
новной пластины
-Ь,* = v{hnhnmn + h2lhпm22 — т21)+ V1) huhumu + - тп) +
+ ^ АЛ1 + + V, Alh2l + v, А^
7 '-, * = v (h11h12 т11 +2 ^
122 hПm22
,)+ v (/п/12тц + ^2
т
12
+ v1,* /И/12 + h21h12 + h21h22 + V,* ^2V
т12) +
(21)
Равенство (19) с использованием (7) полу- Используя выражение (7а), можно выразить
чит вид производные компонент вектора перемещения
V1'-,* = /11/п/21 + /1НУ1h21 + V1,. th22/п + v, th22h21- 'у1'-,^, v '-,'- примыкающей криволинейной пла-
1
V, г'- = /1 h12h21 + /1h12h22 +, г h22h22h22
г'- & gt- ^ & gt- г'-
стины через узловые неизвестные основной пластины
1'-, г'- = h1lm21 + h12)+ v1 (h12h1lml1 + h1lml2) +
+ V1, sh12 hп + v1, th22 М'- + v, th22 h21 + V, г/12 к
& gt-г '- 2^ 11
V '-, г '- = 4^2h12т21 + h12^2т22)+ v1 (h12^2т11 + h12h22т12) +
г 22 21
12 12 21
+, * h122 + V, г h222 + v, t h22h22 + ^ * h12h22.
(23)
На основании выражений (16), (21), (23) зависимость между векторами (14) и (15) запишется матричным выражением
И=иИ- & lt-24)
6×1 6×6 6x1
С использованием (24) формируется матрица преобразования [Т] для матрицы жесткости и вектора узловых нагрузок (11), примыкающих конечных элементов криволинейной пластины
[К{=Т{Т[К{[Т{ {/'-}=[Т{Т {/}. (25)
Пример. Определено напряженно-деформированное состояние криволинейной пластины, сочлененной с круговой пластиной. Конструкция загружалась сосредоточенной силой Q, приложенной в точке О по нормали к криволинейной поверхности круговой пластины (рис. 3).
В Р


А с

4 ь, А.
1,
1
Рис. 3. Пластина, сочлененная с круговой оболочкой, загруженная сосредоточенной силой Q точке О
Были приняты следующие исходные данные: 1- = 0,1 м, 12 = 0,05 м, /3 = 0,04 м, Q = 8 Н, h = 0,0005 м, Ь = 0,05 м, Е = 2103 МПа, у= 0,3.
Сходимость вычислительного процесса была достигнута при разбиении пластины и оболочки по толщине на 5 равных конечных элементов, по длине на 40 и на 25 одинаковых элементов соответственно.
По полученным результатам была построена эпюра нормальных напряжений & lt-ухх в сечении 1−1 (рис. 4).
напряжения, Па
Рис. 4. Эпюры нормальных напряжений гхх в сечении 1−1 пластины и круговой оболочки
Условие равновесия по силам (х = 0) выполняется с погрешностью 5 = 1. 33%, а по моментам (^Мх = О) погрешность составила 5 = 1,17%.
На основе анализа результатов выполненного расчета можно сделать вывод о корректности алгоритма определения напряженно-деформированного состояния в зонах сочленения тонкостенных плоско-нагруженных конструкций на основе объемных конечных элементов с узловыми неизвестными в виде перемещений и их производных.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Седов, Л. И. Механика сплошной среды / Л. И. Седов. — М.: Наука, 1976. — Т. 1. — 536 с.- 1976. — Т. 2. — 574 с.
2. Гуреева, Н. А. Расчет многослойной оболочки с использованием объемного конечного элемента / Н. А. Гуреева, Р. З. Киселева, А. П. Киселев // Известия ВолгГТУ: межвуз. сб. науч. ст. № 4 / ВолгГТУ. — Волгоград, 2010. -С. 125−128.
3. Николаев, А. П. К расчету оболочек на основе метода конечных элементов / А. П. Николаев, А. П. Киселев // Вестник РУДН, спец. выпуск, серия «Инженерные исследования». — 2002. — № 1. — С. 107−111.
V

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой