Аналог задачи Франкля для смешанного уравнения второго порядка с переменными коэффициентами при младших членах

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК 517. 926
АНАЛОГ ЗАДАЧИ ФРАНКЛЯ ДЛЯ СМЕШАННОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
ПРИ МЛАДШИХ ЧЛЕНАХ
1Лайпанова А.М., 2Желдашева А.О., 2Лесев В.Н.
Московский государственный университет путей сообщения, Москва, e-mail: aida7@list. ru-
2ГОУ ВПО «Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х.М. Бербекова»,
Нальчик, e-mail: diff@kbsu. ru
В работе поставлена и исследована краевая задача типа задачи Франкля для обобщенного смешанного уравнения параболо-гиперболического типа с переменными коэффициентами при младших членах в конечной односвязной области. Для исходной задачи была сформулирована и доказана методом «abc» теорема единственности. Выполнение условий этой теоремы обеспечивает тривиальность соответствующей однородной задачи, что и гарантирует единственность решения исследуемой краевой задачи в целом. Доказательство существования явного аналитического решения задачи проведено для одного частного случая исходного уравнения.
При этом были использованы метод функций Грина и метод интегральных уравнений. В результате определены условия, при которых вопрос разрешимости задачи в требуемом классе функций может быть эквивалентно редуцирован к вопросу разрешимости соответствующего интегрального уравнения.
Ключевые слова: задача Франкля, смешанное уравнение, метод «abc», однозначная разрешимость
ANALOG OF THE FRANCL PROBLEM FOR THE MIXED SECOND ORDER EQUATION WITH VARIABLE COEFFICIENTS AT YOUNGER MEMBERS 1Laypanova A.M., 2Zheldasheva A.O., 2Lesev V.N.
1Moscow State University of Communications, Department of «service and tourism», Moscow, e-mail: aida7@list. ru-
2Kabardino-Balkar State University. KhMBerbekova, Nalchik, e-mail: diff@kbsu. ru
In the paper we investigate the unique solvability of the boundary value problem for the generalized Frankl mixed parabolic-hyperbolic type with variable coefficients of the lower terms in a finite simply connected domain.
The theorem of uniqueness of the solution of the investigated problem has been formulated and proved by the method of «abc». The conditions of this theorem provides the corresponding homogeneous problem is trivial, and that guarantees the uniqueness of solutions investigated boundary-value problem in general. Proof of the existence of explicit analytical solutions is carried out for one particular case of the original equation. At the same time were used Green’s function method and the method of integral equations. As a result, the conditions under which the question of the solvability of a class of functions required can be reduced is equivalent to the solvability of the corresponding integral equation.
Keywords: Frankly problem, mixed equation, «abc» method, the single-valued solvability
В связи с появлением все новых приложений уравнений смешанного типа теория краевых задач для них в последние годы получила новый импульс развития. При этом существенную роль в приложениях занимают краевые задачи для парабо-ло-гиперболических уравнений (например [1−5]), отличающиеся от иных в первую очередь специальными методами, применяемыми при их исследовании. Говоря
о задаче Франкля и ее аналогах для смешанных параболо-гиперболических уравнений, следует отметить, что их изучение
не носит систематического характера, несмотря на значительную важность подобных исследований [6].
В настоящей работе представлено доказательство единственности решения аналога задачи Франкля для смешанного параболо-гиперболического уравнения с переменными коэффициентами, а также доказано существование частного аналитического решения.
Постановка задачи
Рассмотрим уравнение
О = Lu =
ихх + а (Х& gt-у)их + (*"у)иу + С1 (х, у) и, у & gt- о,
Uyy — М& quot- ихх + а2 (Х& gt- у) иу + Ь2 (*& gt- у) и' т & gt- О, У & lt- О,
(l)
в конечной односвязной области О евкли- -1 & lt- у & lt- 1- отрезками В'-В, АВ прямых х = I,
довой плоскости независимых переменных у = 1- характеристикой А'-Ст. х, у, ограниченной отрезком, А А оси х = 0- … о //… _(т+2)/2
х + 2/(т + 2)(-Уут+^ =?,
уравнения (1), где А'-(0, -1), С (1Х, 0)
I & lt- I и отрезком СВ'- оси X, I & lt- X & lt- I,
II = 2/(т + 2).
Обозначим через ^ = ^ ^ ІУ & gt- 0}- ОР — часть характеристики уравнения (1), исходящей из точки 0(0,0) до пересечения с А'-С в точке Р-2 — область, ограниченная кривыми ОР, РС и ОС- - область, огра-
ниченная кривыми ОА, А Р и РО.
Относительно коэффициентов уравнения (1) предполагается, что
ах е С1 (01) — 61еС2(ц) — сге С (Л,) — а2, Ь2 еС1 (р21)& amp-3), причем Ь1(х, у) & lt- 0, с1(х, у) & lt- 0, а1(х, у) & lt- 0,
*2(х, у) & lt- 0.
Задача Ф. Требуется найти функцию и (х, у) со следующими свойствами.
1) и (х, у)єС (а)ПС1 (QU А’АОР)ПС2(Ц 1Ю21Ю3) —
2) Lu (x, y) = 0, (х, у) є (Qj 1Ю2 U П3)--
3) u (x, y) удовлетворяет краевым условиям:
Ux а! А =^'
ff=4& gt-l (x), & lt- x & lt- I-
I СВ'-
uB'-B=W2(yl 0 & lt-y & lt- 1-
(2)
(3)
(4)
b {Ъ[-аД)+ tf (a[ -2c,)-2b, b[2 & lt- 0- 6/(0,0)-fll (0,0)^(0,0) & lt-0- 0& lt-a2 (x, 0) & lt- m /2- b2(x, y) & lt- 0.
иф, у)-и (0,-. у) = Ду), -1 & lt-у & lt- 1, (5)
где ^1(х), ^2(у), Ау) — заданные функции, удовлетворяющие условию Гельдера.
Доказательство единственности решения задачи Ф
Покажем, что однородная задача Ф (^ = ?2 = А= 0) имеет только нулевое решение. Справедлива следующая Теорема 1. Пусть коэффициенты уравнения (!) удовлетворяют условию
aix+bly+kbl-2ci
где
к = const & lt-max|2cj -alx -bly}jb
0 = J (аи + Рих + уиуLu dxdy —Jn +F,
Тогда решение и (х, у) однородной задачи Ф в области О тождественно равно нулю.
Для доказательства теоремы 1 применим метод «аЬс». Умножим уравнение (1) на выражение
а (х, у) и + Р (х, у) их + у (х, у) иу,
где а, в, у — пока произвольные достаточно гладкие функции, и проинтегрируем полученное соотношение по области О.
В результате, принимая во внимание.
что и = х и, и = у и на В '-В, где х и у —
х п п у ^ п п? п ^ п
направляющие косинусы внешней нормали, п =т{^п,'Уп) к границе области О, С^Х = (~У) ЧУ на характеристике А'-С и учитывая однородные граничные условия, приходим к равенству
(6)
где 1п — интегралы от искомой функции, а ^ - слагаемые, содержащие квадраты искомой функции в явном виде.
Выбирая функции а, в, у таким образом, чтобы все интегралы 1п в (6) были неотрицательны. Для этого достаточно положить в О2 а = -ехр (Ау) — в = 0, у = 0, а в О / = 2, 3,
a = (l+^)a" — P = Po (-j& gt-)'-
У = Уо = const & gt- 0,
где ao = const & lt-0- Ро = const & lt- 0- Yo = const & gt- 0 таковы, что выполняются неравенства:
[(2Ь2 — а2у)(1 + у) — а2 ] а" - Р0 [(-у)тЬ2х + у~Ь2у ] & gt- 0- [к — а2 (х, -0)]ехр (& amp-у) — у~Ь2 (х, -0) + Ъх (х, +0) & gt- 0- Р" + у" & lt- 0- Ро2(2а2 + тУ) У + 8а2Уо [Уо-т ~ 2УІ1 +. У)] ^ 0-
В FUNDAMENTAL RESEARCH № В, 2014 В
а1 = С1 = «= Ь2 = 0
Тогда нетрудно убедиться в том, что при выполнении условий теоремы 1, и = 0 в О.
Следовательно, в силу тривиальности решения однородной задачи решение задачи Решение уравнения (1) при у & lt- 0, удовлет-
ф единственно. воряющее условиям Коши
Доказательство существования решения задачи Ф
Проведем доказательство существова- 0) = v (x).
ния решения для случая имеет вид [7].
и (х, 0) = т (х),
т+2
и (х& gt-у) = ъ'-1 ^ + (1 -2р)(-Д'-) 2 (2г-1)
о.
1 Г _ т+2
+у2уу х + (і-2р)(-у)2 (2/ - 1)
о |_
(7)
где
Уі=г (2р)/Г2(р) — у2=г (2−2р)/г2(1-р) — Р =
т
2 (т + 2)
Учитывая условие (6), получим соот- полученное выражение умножим на
шшетж между т (х), у (х), ф (у) = и (0, у) 2р/(2_ 2) р, проинтегрируем по у от 0
0 & lt- у & lt- 1. Для этого положим в равенстве (7) г- ^
_ -|1_2р до х и, наконец, продифференцируем полу-х = 0, затем заменим (-у) на уу /(1 — 2р^, ченное равенство по х. Получим
& lt-^) = Ро|
(х-і)

+
а г +Р'& amp-Ї
і і /4^/(1 -ад]
(8)
(х2-/)
-dy + g (x),
где
Ро = [С1 — 2Р)2? йіп Р7Г]/[2і_2І5 Уіл] ' Рі = віп Р711 [2І_2Р Уі71]-
л /& quot-ло'-/о-ад)1−2"-]
(ї2-/)
йу 0 & lt- х & lt- 1 — 2р.
Решая в параболической части О1 сме- и (1, у) = ^2(у) для уравнения (1) при у & gt- 0, шанную задачу их (0, у) = 0, и (х, 0) = т (х), получим
1−2Р
2у[тш{х, у) — | х (^)С (Е1,0-х, у)(1^ +
о
+ | х?1(^)С (^, 0-х, у)?1^-ч, 2(ц)С%(?, ц-х, у)(1г,
о
(х — ^ + 2и)2
(9)
1−2 р
где л- X, у) = (у — л) 2? і ехр
Му-гО
+ ехр
(х + % + 2 п) 4(у-ц)
-ехр
(х-5 + 2я-21)2
4СУ-Л)
+ ехр
(х + ^ + 2п — 21)2 4(У~Ч)
(10)
— функция Грина смешанной задачи уравнения теплопроводности.
Полагая в (9) х = 0 и учитывая усло- формуле ^ = (1- 2Р)? в первом интеграле, вие (2) после замены переменной? по получим
2у[пи (0^) = 2л/лф (у) = #0(у) +
+(1−2Р)| С ((1−2рХ0−0, у) х ((1−2Р)0Л, (11)
о
«оСУ)= I '-Г,& amp-а (%, 0−0,у)<-1^-]'-?2(у])вЦ, ц-0,у), 1ц.
где
1−2(3
В равенстве (11) у заменим через /Р/(-с2-/)Р и проинтегрируем от 0 до х [у / (1- 2Р)]12?, затем умножим обе части на по переменной у и, наконеЦ, полученное вы
-
dx{ (х2~У2)
ражение продифференцируем по х, получим 1−2P& quot-
У
1−2Р
dy =
1
= J 3(х, ^)т[(1 — 2р) tdt + qx (х),
(12)
где
3(х, t) =
1−2Р d
л
У

G
(l-2P)f, 0- 0,
г v-гр У
1−2Р
dy-
%
Г У-2Р У
dy.
В силу свойств функции Грина (10) и заданных функций ^1(х), ^2(у) заключаем, что
Яо (у) е С[0,1]пС2]0,1[,
. 1−2Р, ^
^(х) е С[0/]пС2]0Д, 3(х, ОеС[0/]пС2]0Д
по переменным х и.
Исключая ф (у) из (8) и (12), будем иметь
л
т (х) = р0|
v (t)dt
+
о (х О 1
+р! J 3(х, 0т[(1 — 2р) t]dt + g (x) + p, g, (х).
(13)
т (х) = J G0(x, t) v (t)dt,
Решая задачу. т& quot-(х) — у (х)= 0,
т'-(0) = %(?,) = 0, получим соотношение
между т (х) и у (х) на линии у = 0 из парабо- где вп (х, 0 — функция Грина. лической части О1 в виде Подставим значение т (х) из (14) в (13)
(14)
Ро
Pi
Ро о
(15)
¦ FUNDAMENTAL RESEARCH № 8, 2014 ¦
где
Р (х) =
Ґ Pi
vPoy
q,{x) + g{x).
Обозначая правую часть уравнения (15) через р (х) и обращая полученное уравнение Абеля, будем иметь
л.(г _sin d f p (0dt
{) к dx{(x-ty-2r
(16)
Возвращаясь от р (х) к у (х) и Р (х), в результате элементарных преобразований, получим интегральное уравнение Фредгольма второго рода относительно v (x).
Ч*) = | ?)(х, ГМОЛ + Р (х), (17)
о
где 0(х, 0 и Р (х) выражаются через заданные функции.
Таким образом, в силу единственности решения задачи Ф убеждаемся в однозначной разрешимости уравнения (17).
Определив из (17) у (х), а затем по формуле (15) и т (х), находим решение задачи Ф в области О которое будет иметь вид (9), а в области О2 — вид (7). В области О3 решение задачи Ф можно продолжить как решение задачи Дарбу.
Заключение
В работе установлены единственность решения нелокальной краевой задачи для смешанного уравнения второго порядка в замкнутой области. Для доказательства единственности решения применен метод «аЬс». Доказательство существования частного решения поставленной задачи проведено на основе методов функции Грина и интегральных уравнений.
Список литературы
1. Елеев В. А., Лайпанова А. М. О существовании и единственности решения задачи Ф. И. Франкля для смешанного уравнения гиперболо-параболического типа // Известия КБНЦ РАН. — 2000. — № 2 (5). — С. 50−56.
2. Елеев В. А., Лесев В. Н. О двух краевых задачах для смешанных уравнений с перпендикулярными линиями из-
менения типа // Владикавказский математический журнал. -2001. — Т. 3. — № 4. — С. 9−22.
3. Лайпанова А. М., Лесев В. Н. Об однозначной разрешимости краевой задачи для модельного уравнения второго порядка // Сборник научных трудов Северо-Кавказского государственного технического университета. Серия: Естественные науки. — 2007. — С. 31.
4. Лесев В. Н., Желдашева А. О. Неклассическая краевая задача для смешанного модельного уравнения второго порядка с нелокальными условиями сопряжения // Сборник научных трудов Sworld. — 2012. — Т. 2. — № 3. — С. 99−104.
5. Лесев В. Н., Желдашева А. О. Неклассическая краевая задача для смешанного уравнения второго порядка с интегральными условиями сопряжения // Известия Смоленского государственного университета. — 2013. — № 3 (23). -С. 379−386.
6. Псху А. В. Задачи Франкля для уравнений смешанного типа: автореф. канд. дис. … — Нальчик: НИИ ПМА КБНЦ РАН, 1999.
7. Смирнов М. М. Уравнения смешанного типа. — М.: Высшая школа, 1985. — 304 с.
References
1. Eleev V.A., Laypanova A.M. On the existence and uniqueness of solutions of F.I. Frankl equation for mixed hyperbolic-parabolic type // News KBSC RAS. 2000. no. 2 (5). рp. 50−56.
2. Eleev V.A., Lesev VN. Two boundary value problems for mixed equations with perpendicular lines change the type // Vladikavkaz Mathematical Journal. 2001. T. 3. no. 4. рp. 9−22.
3. Laypanova A.M., Lesev VN. On the unique solvability of the boundary value problem for second-order model equation // Proceedings of the North Caucasus State Technical University. Series: Natural Sciences. 2007. рр. 31.
4. Lesev V.N., Zheldasheva A.O. Nonclassical boundary value problem for a mixed model equation with nonlocal conditions conjugation // Proceedings Sworld. 2012. T. 2. no. 3. рp. 99−104.
5. Lesev V.N., Zheldasheva A.O. Nonclassical boundary value problem for a mixed second-order equation with integral conditions conjugation // Proceedings of the Smolensk State University. 2013. no. 3 (23). рp. 379−386.
6. Pskhu A.V. Frankl problem for equations of mixed type. Ph. D. diss. Nalchik, SRI PMA KBNSC RAN, 1999.
7. Smirnov MM Mixed-type equation. — Moscow: Higher School, 1985. 304.
Рецензенты:
Журтов А. Х., д.ф. -м.н., профессор, заведующий кафедрой ГиВА, КБГУ им. Х. М. Бербекова, г. Нальчик-
Хаширова Т. Ю., д.т.н., профессор
кафедры ИМОАС, КБГУ им. Х.М. Бербеко-ва, г. Нальчик.
Работа поступила в редакцию 28. 07. 2014.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой