Анизотропные тензорные функции и критерии предельности

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК 152. 972
Е.А. Митюшов
Уральский государственный технический университет
АНИЗОТРОПНЫЕ ТЕНЗОРНЫЕ ФУНКЦИИ И КРИТЕРИИ ПРЕДЕЛЬНОСТИ
Abstract
The orthonormed bases for different symmetry types and anisotropic properties of sixdimensional space were found. Moreover, the phenomenological criteria of limitation for different anisotropic elasto-plastic materials were obtained.
Анизотропные тензорные пространства
Следуя работе [1], рассмотрим шестимерное пространство
S = symE ® E е T2 = E ® E симметричных тензоров второго ранга. Здесь E — векторы
3-мерного евклидова векторного пространства E3.
В шестимерном пространстве S существует такой ортонормированный базис
ш (к) (к = 1,2,…, 6), при котором любой симметричный тензор второго ранга а
представим в виде
а = У, а кш (к), ш"-ш (г)=ш5к)ш5-)={0, к *l,
к= к 13 13 [i, к=г
где, а к е R — координаты симметричного тензора в данном тензорном базисе.
При этом
а к = а • ш (к).
Помимо линейных операций сложения тензоров и умножения тензора на число введем операцию умножения двух тензоров в фиксированном базисе ш (к) (к = 1,2,…, 6).
Определение 1. Произведением двух симметричных тензоров второго ранга, а и в в базисе ш (к) (к = 1,2, …, б) называется тензор ав е S, определяемый равенством
аР = ]С аквкш (к),
к=1
где ак, вк — координаты тензоров, а и в в базисе ш (к) (к = 1,2,…, б).
Дадим еще одно определение.
Определение 2. Директором ортонормированного базиса ш (к) (к = 1,2,…, б)
называется тензор
ш = ]Г ш (к). к=1
Базис ш (к) (к = 1,2,.., б) инвариантен относительно преобразований симметрии
векторного пространства E3.
В случае ортотропной симметрии ортонормированный базис
Ш& lt-'>- 0 0 ш12) 0 0 ш1з) 0 0
Ш& lt-'>- = 0 Ш" 0, Ш (2) = 0 Ш& lt-2>- 0, Ш (з) = 0 ш2з) 0
0 0 Ш" 0 0 Ш (з2) 0 0 шзз)
(4) 1
Ш'-'- - =
42
0 0 0 0 0 1 0 1 0
0 0 1, Ш" = -≠ 0 0 0, Ш& lt-6)='- 1 0 0
42 -У2
0 1 0 1 0 0 0 0 0
Используя кватернионное представление числовых троек (ш (- составляющих ортонормированный базис в пространстве Я3 [2], имеем
(к) Ш (к)
Ш 2, Ш з
Ш (1) =
Ш (2) =
Ш (3) =
2,2 2 2 Р0 + р1 — р2 — р3
0 0
0
0
2ІРіР2 — Р0Рз) 0
0 2(0 Р2 + РьРз)
2(0 Рз + Рі Р2) 0
0
2 2,2 2 Р0 — Р1 + Р2 — Р3
00
2(1 Рз — Р0 Р2) 0
0 2(0 Рі + Р 2 Рз)
0
0
0 0
2(2Рз — Р0Рі) 0 0
2222 Р0 — Р1 — Р2 + Рз
(4) 1
Ш — = -
0 0 0 0 0 1 0 1 0
0 0 1, Ш" = -≠ 0 0 0, Ш (6& gt-=-≠ 1 0 0
42 42
0 1 0 1 0 0 0 0 0
При этом р0 + р2 + р2 + Рз = 1-
Ортотропия при объемной изотропии (один из базисных тензоров является шаровым)
Ш (1)=-^
1

1 0 0
0 1 0
0 0 1
Ш (2) =
1
42^
1 + 42 + 42
1 0 0
0 42 0
0 0 — 1 — 42
, ШМ =
1
1 + 4з + 4з
1 0 0
0 4з 0
0 0 — 1 — 4з
(4) 1
Ш — = -
1
72
0 0 0 0 0 1 0 1 0
0 0 1, Ш" = -≠ 0 0 0, Ш (6& gt- = -≠ 1 0 0
0 1 0 42 1 0 0 42 0 0 0
где 4 2, з = ґ ±
VI
+ ґ + ґ
2
Тетрагональная симметрия и трансверсальная изотропия
ш (1) =
V2+42
1 0 0 1 0 0 1 0 0
0 1 0, ш (2)=- 1 0 1 0 (3) 1, ш'-'--'- = -= 0 -1 0
0 0 41 V2+4 2 0 0 42 42 0 0 0
1
ш (4) =
0 0 0 0 0 1 0 1 0
0 0 1, ш (5)=-^ 0 0 0, ш (б)=-^ 1 0 0
' 42 ' 42
0 1 0 1 0 0 0 0 0
где ди = і ±
УІ2
+ і
Кубическая симметрия
ш (1)=-^
1
43
(4) 1
42
0 0 1 0 0 1 0 0
1 0 (2) 1 ш'-¦'- = -= 0 1 0 (3) 1, ш — = -== 0 -1 0
46 42
0 1 0 0 — 2 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 1 0
0 0 1. ши=4 0 0 0 (6) 1, ш- = -==¦ 1 0 0
л/2 42
0 1 0 1 0 0 0 0 0
Непосредственной проверкой нетрудно убедиться, что полученные базисы являются ортонормированными.
Можно также убедиться, что при соответствующих преобразованиях симметрии
пространства Е3 произведение тензоров не меняется, а скалярное произведение, а • в —
это скалярное произведение тензора ав с директором тензорного базиса, то есть:
а • в = (ав) • ю.
Определение 3. Анизотропным тензорным пространством Б называется тензорное пространство Б, в котором введена операция умножения двух тензоров в фиксированном тензорном базисе.
В пространстве Б выполняются аксиомы ассоциативно-коммутативного кольца с единицей и делителями нуля:
1. а + в = в + а-
2. (а + в) + 5 = а + (в + б) —
3. 3 0: а + 0 = а-
4. УаеБ 3(-а):а + (-а) = 0-
5. ав = ва-
6. (ав)б = а (вб) —
7. (а + в) б = а8 + в5-
8. аю — а.
Кроме того, для элементов, не являющихся делителями нуля:
9. Уае Б (Л!-! а к * 0)3 а-1: аа- = ю —
10. в = ар-' (П6=Д *0).
Директор базиса — это тензорная единица пространства S, а в силу принятых аксиом в этом пространстве можно выполнять алгебраические, функциональные, дифференциальные и интегральные операции.
Легко проверяются алгебраические тождества
(a + ?)2 = а2 + 2a? + ?2- а-1 — (а + ш)-1 = а-1 (а + ш)-1, =ак ^ 0, а ^ -ш.
В тензорном пространстве S может быть введена метрика, при этом расстояние между двумя точками (элементами) пространства определим формулой
р (а'-, а& quot-) = л/а'--а& quot-,
а также может быть введен угол разориентации между двумя тензорами а'- и а& quot- соотношением
а'--а & quot-
Ф = arccos-
л/а'--а/л/аЛа& quot-
Аналогичным образом может быть определено анизотропное пространство Т4 = Б ® Б тензоров четвертого ранга, симметричных по первым двум и последним двум индексам и парам крайних индексов. Базисом данного пространства, инвариантным относительно преобразований симметрии векторного пространства Е3, является система ш (к) ® ш (к) (= 1,2,…, б), а тензорной единицей — тензор
I = Т ш (к)®ш (к) или Іі]тп = ш (к)ш (к)
При этом
IJ mn
k-1 k-1
«& lt-kWk). «<-¦ Wi & gt--4^"4>-«?П -Г к*'-.
11, k — l
Анизотропные тензор-функции тензорного аргумента
Областью Б е Б анизотропного тензорного пространства Б назовем
6
множество тензоров, а = Г акш (к), ак є Мк е.
к=1
Будем говорить, что в области Б пространства Б задана анизотропная тензор-функция / (а) соответствующей симметрии, если указан закон, по которому каждому
тензору, а из Б ставится в соответствие тензор /(а) є Б. В базисе ш (к) (к = 1,2,., 6)
этот закон может быть представлен в виде
/(а) = Г Фк (аь, а 2, • • ^ а6) ш (к), Фк (а1, а 2, • • ^ а6) = /(а) -ш (к),
к=1
где фк (а1,а2,…, а6) — скалярные функции, определенные при ак єМк.
Введем в рассмотрение элементарные анизотропные тензор-функции тензорного аргумента, как обобщение обычных элементарных функций, равенствами:
1. Степенная функция
, р = V, а р ш (к)
а'
k-і
2. Логарифмическая функция
ln, а = ^ ln, а k ш
(к)
k=1
3. Основная показательная функция
6 ,., ak oo (k)
k=1
4. Тригонометрические функции
6 () 6 () sin, а = ^ sin, а k шк), cos, а = ^ cos, а k ш^)
k=i k=i
5. Полином
6 ()
Pn (а) = / Pn (аk)o (k), n — целая степень тензорного полинома, Pn (ak) —
k=1
полиномы над полем вещественных чисел.
6. Рациональная функция
Pn (а) Л Pn (аk) (k)
— / ч = / - / ', n, m — целые степени тензорных полиномов.
Qm (а) k=1 Qm (а k) ' ' ^
Данная функция не определена для значений аk, являющихся корнями уравнений
Qm (а k)= °.
Нетрудно убедиться, что для введенных элементарных анизотропных тензор-функций выполняются аналогичные обычным элементарным функциям свойства
n ln, а = ln, а n, ln e а=а,
eаee = eа+в, sin2 а + cos2 а = о.
Аналогично определяется анизотропная тензорная функция тензорного аргумента в пространстве T4,
f (а) = /9k (а1,а2,…, а6) co (k)®Q (k), 9k (а1,а2,…, а6) = f (а) -Q (k)®Q (k),
k=i
ае T4, f (а)е T4.
Критерии предельности
Воспользуемся предложенным математическим аппаратом для получения феноменологических критериев предельности некоторых анизотропных материалов.
Рассматривая пространство напряжений Z, элементами которого являются тензоры напряжения в данной точке анизотропного тела (оеЕс S), предельную поверхность представим равенством
f (a) -®= 1.
Для ортоторопных материалов, представляя, в частности, функцию f (a) тензорным полиномом второй степени
f (о) = ао2 +Pa
6
(а = ^аk^k), p = ?pkш (k), °=ї°kш (k), о2 =Z°2ш (k)) k=1 k=1 k=1 k=1
-3
и совмещая векторы базиса пространства E с главными осями анизотропии, имеем
а1а12 +а 2а2 +а 3а2 +а 4а 2 +а 5 а2 +а 6 а2 +
+ в. 1а1 +в 2 а 2 +в 3а 3 +в 4а 4 + в5а 5 +в 6 а 6 = 1.
В предположении, что предельное состояние инвариантно к смене заданного направления сдвига на противоположное, имеем
о о о о о о
а1а1 + а 2 а 2 + а 3 а 3 +а 4 а 4 + а 5 а 5 + а 6 а 6 + Р1а1 + в 2 а 2 + в3 а 3 = 1.
Данное феноменологическое уравнение предельной поверхности содержит девять размерных материальных констант и три безразмерных параметра,
определяющих вид базисных тензоров ш (к) (к = 1,2,3) анизотропного тензорного
пространства. При дополнительных гипотезах физического характера число
параметров, подлежащих экспериментальному определению, может быть уменьшено.
Для пространственно-армированного композита кубической симметрии, направления армирования которого совпадают с осями симметрии третьего и
четвертого порядка куба в Е3, с учетом возможного разрушения по разным
физическим механизмам (разрыв армирующих волокон при растяжении и потеря их устойчивости при сжатии) приходим, в простейшем случае, к четырехконстантной поверхности прочности в шестимерном пространстве напряжений
2 2 2 2 2 2 а1а1 +а2а2 +а3а3 +а4а4 +а5а5 +а6а6 +в1а1 = 1, а2 =а3, а4 =а5 =а6,
а1 =а-ш (1) =^= (а11 +а 22 +а 33), а 2 =а-Ш (2) =^= (а11 +а 22 — 2а 33 ^
а-ш (з)=-^(ап -а22), а4 = а-ш (4) = л/2а23, а5 = а-ш (5) =-/2с
л/2
а 6 = а-ш (б) = V4а16.
Физический смысл материальных констант этого уравнения становится ясным, если рассмотреть четыре независимых напряженных состояния:
1) а11 =а22 =а33 =, а23 =а31 = а12 = 0-
2) а11 = а22 = а33 = -, а23 = а31 = а12 = 0-
3) а11 = -а22 = Т1, а33 = а23 = а31 = а12 = 0 —
4) а 23 = Т 2, а11 = а 22 = а 33 = а 31 = а12 = 0,
где р + и р- - предельные напряжения всестороннего растяжения и сжатия- т1 и т 2 -предельные напряжения простого сдвига в плоскости, проходящей через оси симметрии второго и четвертого порядка, в направлениях осей второго и четвертого порядка соответственно.
Подстановка этих соотношений в уравнение поверхности прочности дает
3а1 р+ + л/эр1 р+ = 1- 3а1 р- - л/3р1 р- = 1- 2а2т2 = 1- 2а4т2 = 1,
откуда
1 п р- - р+ 1 1
а1 = о-- в1 ="7г-- а 2 =тг- а 4 =тг.
3 р+р- V 3 р+р- 2^ 2т2
При независимости предельного состояния от шаровой части тензора
напряжений при условии т1 = т2 = т, переходя к пятимерному пространству чистых
сдвигов [3], получаем простейшую поверхность прочности изотропного материала в
виде уравнения сферы в пятимерном пространстве
а 2 +а2 +а 2 +а2 +а2 = 2т2,
что соответствует широко применяемой энергетической теории прочности или условию текучести Губера-Мизеса-Генки математической теории пластичности.
Библиографический список
1. Рыхлевский Я. О законе Гука // ПММ. — 1984. — Т. 48. — Вып.3.- С. 420 — 435.
2. Борисов А. В., Мамаев И. С. Динамика твердого тела. — Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. — 384 с.
3. Ильюшин А. А. Пластичность. — М.: Изд-во АН СССР, 1963. — 271 с.
Получено 15. 06. 2004

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой