Интегральная Теорема Коши и классический закон взаимности

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
Физико-математические пауки
УДК 512. 626
ИНТЕГРАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА КОШИ И КЛАССИЧЕСКИЙ ЗАКОН ВЗАИМНОСТИ
C.B. Востоков, М.А. Иванов
Аннотация
Построены явные формулы для символа пормешгого вычета и произведения степенных вычетов. Это позволяет установить аналогию между законом взаимности в поле алгебраических чисел и теоремой Коши о вычетах из комплексного анализа.
Ключевые слова: закон взаимности, символ пормеппого вычета, интеграл Шпи-рельмапа.
Введение
Аналогия в математике играет чрезвычайно важную роль. С одной стороны, она двигает разные направления в математике вперед, а с другой проявляет (выявляет) суть вещей. Например, в такой классической науке, как теория чисел, которая в первооснове своей представляет нечто дискретное, есть множество понятий и фактов, которые глубоко связаны, аналогичны понятиям и результатам из такой воплощающей непрерывность математической дисциплины, как теория функций (подробнее см. [1]). Идею об аналогии чисел и функций впервые высказал Леопольд Кронекер. который говорил, что простые идеалы в теории алгебраических чисел играют ту же роль, что и точки римановой поверхности в полях алгебраических функций, при этом простым делителям дискриминанта числового поля соответствуют точки ветвления римановой поверхности и т. д. Давид Гильберт был первым, кто начал реально исследовать аналог абелевых интегралов из теории алгебраических функций в полях алгебраических чисел.
В своей 9-й проблеме он формулирует закон взаимности для локальных символов степенных вычетов:
и говорит, что он напоминает интегральную теорему Коши. согласно которой интеграл. охватывающий все особые точки, всегда равен нулю (см. [2. с. 367 368]). Позже И. Р. Шафаревич его поправляет и утверждает, что этот закон взаимности является аналогом следствия теоремы Коши о том. что сумма вычетов абелева дифференциала a dp во всех точках римановой поверхности всегда равна нулю,
(a, В
и с этой точки зрения локальный символ норменного вычета I у I является
аналогом абелева дифференциала a dfi в точке р (см. [3, с. 114]).
Чтобы прояснить аналогию закона взаимности (1) с тем. что имеется в случае римановой поверхности, рассмотрим поле алгебраических функций С (t) и точку Р па римановой поверхности над расширенной плоскостью С. Пусть t — локальный параметр в точке P. В пол е С (t) есть два простых действия: взятие производной
d = -- и вычет rest (У& quot- о,/'-) = o_i. Тогда мероморфный дифференциал ш = / dt. dt
определенный в окрестности точки P, имеет лишь конечное число полюсов и при этом имеет место равенство
res (w) = 0. (2)
С другой стороны, лишь конечное число простых идеалов ветвится в поле алгебраических чисел, значит, лишь конечное число локальных символов норменного вычета отлично от 1. Поэтому корректно определено произведение (1), которое и является аналогом равенства (2). так как каждый локальный символ аналог абелева дифференциала, а d? в точке р (см. формулу (7) ниже).
После развития теории полей классов и доказательства закона взаимности (1) в полной общности (сам Гильберт доказал его в поле Q (i), дальнейшие результаты получили Ф. Фуртванглер (Ph. Furtwangler), Т. Такаги (Т. Takagi), Э. Артин (Е. Artin), X. Хассе (Н. Hasse)) был доказан также и классический закон взаимности, который связывает произведение символов степенных вычетов с конечным произведением локальных символов норменного вычета:
11 n р|n, ^
(см. [4]). Последнее равенство должно быть аналогом интегральной теоремы о том, что абелев интеграл дифференциальной формы на римановой поверхности равен сумме вычетов этой формы в особых точках.
В настоящей работе мы показываем в явном виде аналогию локального символа
а d?
ности (см. формулу (7)), а также аналогию закона взаимности с интегральной теоремой Коши в круговом поле (см. формулу (8)).
Для этого мы определяем функцию Ф (а, ?)/s (Z) для элементов, а? и корня р& quot--й степени Z из кругового поля Q (Z) и доказываем, что корректно определен интеграл Шнирельмана от этой функции и что он равен вычету функции в особой
точке О/ Ф (а^М0 = res$(a'-?)/s'- Далее мы определяем локальный символ норменного вычета ^^^ п (символ Гильберта) и проверяем, что вычет функции Ф (а, ?)/s (Z) равен этому символу. Тем самым мы получаем основную теорему в поле Q (Z):
f? Y1 ^f$(a,?)/s
?) n V, а, … У / pn / pn
г1-евФ (а,/3)/в
C-lJpr. ^
(см. формулы (7) и (8)). Чтобы аналогия с теорией абелевых интегралов была более ясной, мы отдельно рассматриваем частный случай п = 1 (см. § 6).
1. Обозначения и определения
К — локальное поле (конечное расширение 0& gt-р) — е — абсолютный индекс ветвления поля К, е = е/(р — 1) — п — простой элемент поля К- р — простой идеал кольца целых поля К-
С — первообразный корень степени рп из 1, содержащийся в К-
Т — подполе инерции в расширении К/& lt-Ц>-р-
о — кольцо целых поля Т-
Л — автоморфизм Фробениуса в Т/0& gt-р-
й — система представителей Тайхмюллера в поле К-
Тг: Т ^ Qp — оператор следа-
(! = (1/(1X.
Пусть произвольный, а € К * разложен в степенной ряд по простому элементу п с коэффициентами из о, причем первый коэффициент лежит в й, то есть
а = впт + ат+1пт+1 + ат+2Пт+2 + • • •
Положим
а
(X) = 0Xm + am+lXm+1 + am+2X m+2 + • • •
Заметим, что этот ряд лежит в o ((X))*. Для Z = 1 + сп + С2П2 + • • • положим С (Х) = 1 + сХ + соХ2 + ¦ ¦ ¦, а С0(Х) = С (Х) — 1.
Пусть sm (X) = Z (X)p — 1. Будем обозначать sn (X) просто через s (X). Через
и (Х) обозначим •
Sn-l (X)
Определим, наконец, действие оператора Л та ряды из o ((X)):
EaiXЛ = (X) aiXЛ =? afX
Построим логарифм Артина-Хассе следующим образом. Для любого y (X) G G o ((X))* положим
Р VA J
Обратная к нему функция для ф G X o[[X]] такова:
+ ^ + ^ + (3)
Замечание 1.
1. Если, а представить в виде, а = anm е, где a G o, е — главная единица поля К. то получим ((а) = С (а) + (1--] logt.
V Р) —
2. Функция I корректно определена, так как если a G о*, то ap/aA = 1 mod p, и 1(a) G 0.
Предложение 1 [6, Предложение 1].
1. Функции I и E индуцируют гомоморфизмы
I: o ((X))* - o[[X]], E: Xo[[X]] - 1 + Xo[[X]]-
2.
1 + Xo[[X]] и Io[[I]], то есть = ?, ?{Е{а)) = а, для e G 1 + Xo[[X]'-]
¦и a G Xo[[X]].
3. Если a (X) G o ((X))* и a{X) = аХгь{Х), где a = ваЛ G о*, в G oi = 1 modp, a s (X) = 1 + X& quot-o[[X"-]], mo
E (C (a)) = oie (X).
Определим важную для наших целей функцию Ф (А, В) следующим образом:
Ф (А, В) = 1(А)й1(В) — 1(А)В-1 йВ + 1(В)А-1 ?А.
Фигурирующее в дальнейших формулах обращение в (Х) происходит в двумерном локальном кольце о{{Х}}, то есть
(z^ - 1)-1 = z
pn-i
•i z-i pn z0
i= 1
2. Интеграл Шнирельмана и его свойства
Определение 1. Последовательность многочленов g1(X), g2(X),… из Z[X] будем называется допустимой, если для нее выполняются следующие условия:
1) gj (X) не имеют кратных корней-
2) Если gj (X) = X& quot- + Cj, iX+ • • • + Cj, MXj + co, то |nj|p = 1, |co|p = 1 и
nj — nj, 1 -* nj, M -*
Обозначим корни gj через ai, a2, ¦ ¦ ¦, anj.
Определение 2. Пусть и — некоторое подмножество О3 & gt- /(х): и ^ О,^3 & gt- д^ _ допустимая последовательность. Интегралом Шнирельмана с центром х0 и радиусом г называется следующее выражение:
/ f (x) = Ит У~] -/(ж0 +
J З^ж f-^. «nj
3, — (а& lt-)=0
Предполагается, что значения / (х) в точках х0 + га определены и предел существует. Интеграл Шнирельмана является дискретным аналогом контурного интеграла
У f (z) dz.
g ((z-z o)/r) = 0
gj
происходит интегрирование.
В работе [5] были доказаны следующие утверждения:
Предложение 2. Пусть P (X) G K[[X]] - степенной ряд, сходящийся в круге радиуса |r|p, а Q (X) е K[X] - многочлен, не имеющий корней, равных по норме
Р{х)
Ш)
xo, r, g gj
|г|р. Тогда значение j ^ ^ определено и не зависит от выбора потедователь-
Предложение 3. Пусть Р (X) е К[[X]] - степенной ряд, сходящийся в
круге радиуса |г|р, а Q (X) е К[х] - многочлен, не имеющий корней, равных по
[ Р (х) Р (х)
норме И,. Тогда / '- равен сумме вычетов функции '-. по всем, полюсам .) Q (x) Q (x)
Х0, Г, 3
внутри круга радиуса |г|р.
д
вательность многочленов („контур“) такой: gj = X- 1, (nj, р) = 1.
Кроме того, из этих же результатов вытекает следующее утверждение. Предложение 4. Пусть Ф (а,/3) и в (Х) функции, определенные в предыдущем, параграфе. Тогда Ф (а, в)/» = гевх Ф (а, в)/"-о, р
3. Символ Гильберта
Пусть поле К содержит все корни степени рп го 1, — групп, а рп-х корней из 1 в Кк: К * ^ Са1(К аЬ/К) — отображение взаимности. Тогда определен символ иормеииого вычета (символ Гильберта).
Определение 3. Символом Гильберта будем называть спаривание (•, •) = (•, -)п, к: К* х К* -^ (а, в) п, к = ДФк (а)/Д,
где /Зр& quot- = в-
Пусть ш некоторый р& quot--примарный элемент в К (то есть К (р'-^/си)/К нераз-ветвлено), а — автоморфизм Фробениуса в максимальном неразветвленном расширении Кпг/К. Тогда определен характер на группе всех рп-примарных элементов О: х (ш) = р1Уйа 1 (Е (лп, и по определению 3 имеем
(п, ш) = х (ш) (4)
для любого простого элемента п толя К.
Определение 4. Под символом Гильберта будем понимать топологический гомоморфизм (•, -)п, к: К2(К)*ор -& gt- с нормализующим соотношением:
(п, ш) = Х (ш) (5)
Таким образом, (•, ^)п, к — бимультипликативное отображение, которое удовлетворяет соотношению Стейнберга (а, 1 — а) = 1 для любых, а = 0,1 и нормированное соотношением (5).
Предложение 5. Два определения сим, вола Гильберта эквивалентны.
Доказательство. Пусть (•, -)(1) — символ Гильберта из первого определения, а (•, ^)(2) _ из второго определения. Проверим сначала, что
(п, в)(1) = (п, в)(2) (6)
для любого простого элемента п и в е К *.
Кв
в = па^ П (1 — ^п'-Г • шв,
?^1, рг
где аг е Zp, в, вг — элементы системы Тайхмюллера, а шв — рп-примарный элемент, ассоциированный с в- Из соотношения Стейнберга, р-делимости группы Ж и равенства (4) следует, что (п, в)(1) = (п, шв)(1) = х (шв)•
Аналогично (п, в)(2) = (п, шв)(2) = х (шв)& gt- что дает нам (6). Общий случай сле-
К*
элементами. ?
Теперь можно сформулировать основную теорему.
Теорема 1. При р = 2 для символа Гильберта в поле К имеет место следующая формула
/Ф (а, в)/"
(а, в) п= С= СГ68х Ф (а'-в)/в. (7)
Из этой теоремы будет сразу следовать Теорема 2. Пусть а, в € Q (Cpn)• Тогда
(ЕУ1 =с™хф (а, 0)/з (8)
Доказательство Теоремы 1. Положим К = Qp (Cpn)• Тогда по классическому закону взаимности
а, А (в 1 тт, А а, в, А /а, в, А А а, в
-
п
рАVрп Р|Р"А^ р Урп V р УрЛ ~ р
V Р /рп
?
4. Основное соотношение для символа Гильберта Теорема 3. Пусть а, в € К *, тогда
(а, /3) = (тг, Я (ХФ (а,?))!*=*), гь"е Ф (а, /?) = ?{а)(1,Щ — (^?Г1 ??1+ЩоГ1 ?а.
Доказательство. 1. Для, а € р определим функцию Артина-Хассе
, ар ар2
?(а) = ехр (а -|---1--т- + …).
р р2
Тогда выполнено соотношение Кнезера [7]
(Е (а), Е (в)) ^(-в, Е (авр)) • П (-а-1,Е (арГв)) (9)
Е (арг
Действительно, из соотношения Стейнберга (А, 1 — А) = 1, используя в качестве /3(1 -а)
Л элемент --. получим равенство
1 — ав
(1 — а, 1 — в) = (1 — а, 1 — ав)(-в, 1 — ав)(1 — ав, 1 — в) —
Покажем, что отсюда следует
(1 — а, 1 — в)= П (-аа'-вт, 1 — а*в*), (10)
(?, Й) = 1
где г, к € N, а паРа (V, т) берется из равенства
г V к т
1
Равенство (10) тривиально, когда ав = 0 mod MN при достаточно большом N. Затем проводится обратная индукция, то есть, предполагая равенство верным для ав = 0 mod Mr+1, проверяем его для ав = modMr, взяв в равенстве (10) вместо пары а, в пары а, ав и ав, в-
Далее, для функции Артина Хассе справедливо соотношение
1 — а = ?(ат)™
(m, p) = 1
(см. [4]). Из этого равенства и (10) получаем (9) (подробнее см. [7]).
2. Пусть теперь Е (а) функция, определенная в (3). Тогда для, а = 07гт, в = 0'-nk, где 0, 0'- е R справедливо равенство
2
(?7(07гт), Е (в'-тгк)) = (тг, + ^ + ^ + -
_ + ^ + ^ + (И)
Это равенство следует из соотношения (9), бимультипликативности символа Гильберта и равенств Е (а) = E (а), Е (в) = E (в) для наших выбранных, а и в-
3. Рассмотрим теперь случай, когда, а = е, в = е'- _ главные единицы. Тогда г = Е (((е))х=тт, е'- = ?7(^(е/))|л-=л-, (см. Предложение 1). Разложим далее i (e) и ((e) в степенные ряды: ((e) = ^ сцХг, ((e) = ^ о'- Х^, а., а'-,? о, и далее,
представив каждый коэффициент a и aj в виде ряда с коэффициентами из R, получим разложение i (e) = J2 J2 0^ркХг, ((ь) = J2 J2 Qn? pmXj. Поэтому,
j^lfc^O ~~ j^lm^O
снова используя бимультипликативиость символа Гильберта, получим (е, е'-)= П (E (0ij) X^, E (0(m) Xj) p& quot-).
Чтобы получить равенство (9) для рассматриваемого случая, осталось применить формулу (11).
4. Общий случай вытекает из предыдущих рассуждений, если представить, а и /3 в виде, а = аттте, /3 = 1тке'-, о, b G о*, е, е'- главные единицы. ?
5. Ряд V (X)
Напомним следующий результат.
Лемма 1 [6, Лемма 12]. Для каждого натурального m существует элемент vm из кольца o, такой, что для всех в из o верно равенство
(п, Е (вХm)|x=n)= ZTr (eVm).
Элемент vm определен однозначно по модулю pn. Если p | m, то vm = 0 mod pn. Если m & gt- pe1 + (k — 1) e, k ^ 1, mo vm = 0 mod pk.
Используя элементы vm, построим ряд V (X) = vm Xm.
m& gt-0
Замечание 2.
1. Ряд V (X) зависит от выбора простого элемента п.
2. Ряд V (X) является многочленом от X-1 то модулю pn.
Из Леммы 1 и мультипликативности функции E вытекает Предложение 6. Пусть) G o[[X]]. Тогда
(п, E (X^(X))|х=п) = С1& quot-68* ^(X)V (X).
Из этого предложения и Теоремы 1 вытекает
Теорема 4. Для любых а,? G K* символ Гильберт, а удовлетворяет соотношению:
(а,/?) =СТ*гевФ (а,?)У_
В частности,
(п,?)=СТ11ввХ~1е®У,
где е G 1 + Хо[[Х]], е (тг) = е.
Вычислим ряд V (X). Сначала напомним следующий факт.
Предложение 7 [6, Предложение 6, Лемма 11]. Для каждого ряда y& gt-(X) G o[[X]] элемент
ш (^) = E (^s)|x=n (12)
является pn -примарным, и каждый pn -примарный элемент можно представить в виде (7) по модулю K*p. При этом
(п,^))= zTr v (0). (13)
5.1. Первое сравнение для ряда V (X). Лемма 2. Для ряда V (X) верны сравнения:
V (X)s (X) = 1 mod pn, deg 1, (14)
то есть V (X) = U? modp& quot- для некоторого ряда g G X& quot-o[[X"-]]. (Сравнение (14) s
означает, что все коэффициенты ряда V (X)s (X) при отрицательных степенях pn 1 pn
Доказательство. Из теоремы 4 и предложения 7 получаем
(п, с^)|х=п) = ZTrres, (15)
так как l (w (y)) = l (E (ys)) =s.
Используем тот факт, что y (X) — произвольный ряд. Пусть сперва ^(X) = = a G о. Тогда из (13) и (15) получаем Tra = TrresaX-1sV modpn, и таким образом,
res X-1s (X)V (X) = 1 mod pn. (16)
Положим теперь y (X) = ?Xm, m & gt- 1,? G о. Из (13) и (15) получаем Tr? am = 0 mod pn, где am — коэффициент ряда s (X)V (X) при xm. Из произвольности выбора? и невырожденности функции Tr получаем am = 0 mod pn, то есть s (X& quot-)V (X"-) = 0 modpn, deg0. Соединяя последнее с (16), получаем (14). ?
5.2. Второе сравнение для ряда V (X). Пусть ?(Х) = Е (и& lt-р), где y (X) — произвольный ряд из кольца o[[X]], E — функция Артина-Хассе. Так как и (тг) = 0, то е (Х& quot-)|л-=тг = Ii значит, (тг, ?(Х& quot-)|д-=тг) = 1. С другой стороны,
(п, е (Х& quot-)|л-=тг) = ^ (см. Теорему 4). Отсюда получаем второе сравне-
V
Tr resX-1 l (E (u^))V = 0 mod pn (17)
для любого ^(X) G Xo[[X]].
Из этих двух сравнений V (X) mod pn, deg0 однозначно определяется, следовательно, выполнено V (X) = 1/s (X) mod pn, deg0 (см. [6, Теорема 2]).
6. Случай n =1
Для прояснения аналогии закона взаимности (1) с абелевым дифференциалом и интегральной теоремой Коши мы рассмотрим круговое поле Q (Z), Zp = 1 • В этом случае ряд Ф (а, в)/"© mod p будет иметь вид
log (3-^- log а
Ф (& lt-*,/?)Л© = ~
Локальный символ Гильберта (а, в) равен вычету этой функции:
log bg а
(а, /3)р = resx--,
и является аналогом абелева дифференциала log/3 -- log, а в особой точке «рима-
ал
ной поверхности» — 1 = 0. Поэтому закон взаимности
(?x 1
? / V, а.
^ / р / p
= («,?)p
будет согласно теореме 1 непосредственным аналогом интегральной теоремы Коши
г log? -у- log a log /3 -i- log a / _Zidx_= ---zidx_=
J Cp — i cp -1
0, p ~~ ~
ввиду того, что абелев интеграл дифференциальной формы равен сумме вычетов этой формы в особых точках.
Авторы благодарят Санкт-Петербургский государственный университет за финансовую поддержку в рамках НИР.
Summary
S.V. Vustukuv, М.А. Ivanov. Caucliy'-s Integral Theorem and Classical Reciprocity Law. The present, paper gives explicit formulas for the local norm residue symbol and the product of power residue symbols. Using these formulas, a visible analogy can be made between the reciprocity law in the field of algebraic numbers and Caucliy'-s integral theorem from complex analysis.
Key words: reciprocity law, norm residue symbol, Sclinirelman integral.
Литература
1. Паршии A.H. Путь. Математика и другие миры. М.: Добросвет, 2002. 240 с.
2. Hilbert D. Gesammelt. e Abhandlungen. Bd. 1. Berlin: Springer, 1932. 558 S.
3. Шафареаич И.P. Общий закон взаимности // Матем. сб. 1950. Т. 26, Л'- 1. С. 113 146.
4. Hasse H. Die Normeurest.t. heorie relat. iv-abelsclier Zalilenkorper als Klassenkorpert. heorie im Kleinen // J. Reine Angew. Math. 1930. Bd. 162. S. 145 154.
5. Иванов M. A, Произведение символов pn степенных вычетов как абелев интеграл // Алгебра и анализ. 2012. Т. 24. Л» 2. С. 120 129.
6. Востоков С. В. Явная форма закона взаимности // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1978. Т. 42, Л" 6. С. 1288 1321.
7. Kneser М. Zum expliziten Reziprozitatsgesetz von I.R. Safarevic // Math. Nachr. 1951. Bd. 6. S. 89 96.
Поступила в редакцию 10. 02. 12
Востоков Сергей Владимирович доктор физико-математических паук, профессор кафедры высшей алгебры и теории чисел Санкт-Петербургского государственного университета.
Е-шаП: seryei. vustukuveym. ail. сит
Иванов Михаил Анатольевич аспирант кафедры высшей алгебры и теории чисел Санкт-Петербургского государственного университета. Е-шаП: тлсИлавутай. сит

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой