Интегральное представление решения В-полигармонического уравнения

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК 517. 946
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЯ В-ПОЛИГАРМОНИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
Денисова М. Ю.
ФГАОУ ВПО «Казанский (Приволжский) федеральный университет» Казань, Россия (420 008, г. Казань, ул.
Кремлевская, д. 18), e-mail: public. mail@ksu. ru_
Вырождающиеся эллиптические уравнения представляют собой один из важных разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными. В статье в n-мерном евклидовом пространстве строятся фундаментальные решения дифференциального уравнения 2m-ro порядка с сингулярным оператором Бесселя, действующим по последней переменной. Такое уравнение называем В-полигармоническим уравнением. Для получения фундаментального решения данного уравнения с особенностью в произвольной точке применяется оператор обобщенного сдвига. Такие фундаментальные решения применяются к исследованию краевых задач с условиями типа четности на характеристической части границы. Выводятся первая и вторая формулы Грина. Далее дается интегральное представление найденного решения уравнения, для сведения краевой задачи к системе интегральных уравнений.
Ключевые слова: интегральное представление, дифференциальное уравнение, полигармоническое уравнение.
INTEGRATED SUBMISSION OF THE SOLUTION OF THE B-POLYHARMONIOUS EQUATION
Denisova M.Y.
Kazan (Volga region) Federal University, Kazan, Russia (420 008, Republic of Tatarstan, Kazan, 18 Kremlyovskaya
St.), e-mail: public. mail@ksu. ru_
The degenerating elliptic equations represent one of important sections of the modern theory of the differential equations with private derivatives. In article in n-dimensional Euclidean space fundamental solutions of the differential equation 2m-go about with Bessel'-s acting on the last variable the singulyarny operator are under construction. Such equation we call the V-polyharmonious equation. The operator of the generalized shift is applied to obtaining the fundamental solution of this equation with feature in any point. Such fundamental decisions are applied to research of regional tasks with conditions such as parity on a characteristic part of border. Green'-s first and second formulas are deduced. Further there is an integrated submission of the found solution of the equation, for data of a regional task to system of the integrated equations. Key words: integrated representation, differential equation, polyharmonic equation.
Постановка задачи
Пусть Е+ - полупространство xn & gt- 0 евклидова пространства Еп точек x = (x1,x2,…, xn). Пусть G конечная область в Еп, симметричная относительно плоскости xn = 0 и ограниченная поверхностью Г. Обозначим через G + часть G, расположенную в Е+.
Граница области G + разбивается Г (0) и Г+, расположенными соответственно на плоскости xn = 0 и в полупространстве xn & gt- 0. Поверхность Г+ является поверхностью класса Лm B, когда Ге Lm [3].
Рассмотрим краевую задачу: найти четное по xn решение уравнения
Д& gt- = 0 (1)
в области О +, (2т -1) раз непрерывно дифференцируемое в О+ и удовлетворяющее граничным условиям
БЯ = /1, I = 0, т -1,
1г+
э
где Б1 В = АВ, если I = 2р и Б1 В = В, если I = 2р +1, п* - внешняя нормаль к границе
Эп*
Г+ в точке АВ = У -э-2 + Вх, Вх = -эу +к — оператор Бесселя, к — любое
7=1 ЭХ п п Эх2 X Эхп
положительное число, т & gt- 2. Уравнение вида (1) назовем В-полигармоническим уравнением
[1].
Фундаментальное решение
Известно [2], что фундаментальные решения уравнения (1) с особенностью в начале координат имеют вид
(ст)г2т-у 1п г, 2 т & gt- у,
Чт (Х)
С (2)г 2т-г
где г =
^ X2, у = п + к.
г=1
и
Значения С1 и С^ выберем таким образом, чтобы
АВЧт = Чт-1
| д1(х)АВ0(х)хкпйх = й (0)
(2) (3)
для любой четной по хп бесконечно дифференцируемой и финитной в Е+ функции $(х).
Можно проверить, чт удовлетворяет условиям (2) и (3) при следующих значениях и С (2):
С =
у-2 (-1)2
2−1 (к +1 ^ 22т-1р 2 Г —
I 2)
(-1)т Г
-,(2)
Г (т)Г
2 т -у+ 2
2
г у-2т Л
С (2) =-
22т-1р 2 Г
к +1
V 2 у
Г (т)
С помощью непосредственного подсчета получаем, что
Е
2
г
D m-1a =¦
B 4m
v 2 y
(2 -g)p 2 Г
n-1 a+^
v 2 y
Для получения фундаментального решения с особенностью в произвольной точке X применим к функции qm (x) оператор обобщенного сдвига TX [4]:
Qm (X, X) = TXam (x) = Ck J am (X -X1,-, X"-1) sink-1 jdj,
г
a+
где Ck
V 2 У
VPr

V 2 y
Так как операторы и Ав коммутируют, то в силу формальной самосопряженности
оператора TX из формулы (3) следует, что
J Q (x, XD BmXkndX = J (x).
Формулы Грина для функций класса С2т (G+) и С2т 1(G+)
Пусть и и о четные по хп функции класса С2т (0+) и С2т~1(0+). Тогда имеют место тождества
т-?-1
АВиАтва-АВаАтви =? (АВ±иАт--о-АВ& quot--"-1оАт±+1и), (4)
1=0
i m V
D 2w
V)
-wD mw=^
2 / m m m m
j=0
+j -- j -- j-1 -+j+1 DB wDB w-DB wDB w
(5)
при четном m, и
m -1 m +1
22
DB2 wDB2 w -wDmw= ^
m-1 m+1 m-1 m+1
-+i — i — i -+1 DB2 wDB2 w- DB2 wDB2 w
j=0
V
(6)
/
когда т — нечетное число.
Нам понадобятся, для четных по хп функций и, ое С (-2т)(С+) и С (2т-1)(?+), первая формула Грина
i & lt-xABwxkdx + ГУ I — xkdx = f w- xkd Г J B n J ^ дх n J дп n
2
=113x,
dw
i J
г+ ЭпХ
и вторая формула Грина
1
E

m -1
2
+
+ г
G
G
| (иАвю-юАви) Хпдх = |
г+
дю ди Л и--ю-
V дпх дпХ)
хкЖ.
(7)
Интегрируя обе части тождеств (4)-(6) по области G+ и пользуясь формулой (7), получим обобщенные формулы Грина
А 1ю
юАтвю
т-1
х.
дх =? | В]юВ2вт-]-1юхкпёГ,
]=0 г+
для всех четных т и
т -1 т +1
11 А^юАю-юАтвю хкпйх = ?(-1)] | В]в1юВ2вт-]юхкпёГ

о) ]=1 Г+
когда т — нечетное число, а также имеет место формула
| (А& quot-виАтвю-АюАтви)хкпдх
о+
т-Б-Х
= Ы
1=0 Г+
А? ]и-Ат-] -1 ю — Ат-1−1 ю- А5+] и
где В1 В =АВ, если I = 2р и В'-в = В, если I = 2р +1, пх — внешняя нормаль к границе
дпх
д
дпх
хкпёГ (б = 0, т -1), (8)
вв дпх
Г+ в точке X.
Интегральное представление
Пусть х — внутренняя точка области В + и Г (0). Вырежем эту точку шаром с
центром в точке х и радиуса е, такого что е В+ (если х е Г (0), то точку х вырежем
полушаром). Поверхность шара 0, Е обозначим? е (). Пусть, а = а (х) — решение
уравнение (1) в области В +.
Применяя формулу (8) к функциям Qm (х, Х) и а (Х) в области В+ 0, Е, с учетом равенства (2), получим
т (х, Х) Ат Ц (Х) -Авч (Х^т (х, Х))х№ =

+
1−5-1
ы
]=0 Г+
т-б-1
И
]=0
д
Q в2т-2]-1а — В2т-2]-2а-- Q
^?т-Б-Чв Ч дп -]
ХЯГ+
д
Q В ] а — В ] а--Q
дпх

Меняя переменную суммирования, и заметив, что, А та = 0 и АBQm = 0 в В + ^ последнюю формулу можем записать в следующем виде
+
о
г

2
т
I
+
о
т-1
+
П
5=1 р+ т- 1

5=1
-
ъв1+2 5−2 д — о. Л]+25−1д
ХЧГ+
-
ъВ1+25−2да — О^в 1+25−1д
= 0.
(9)
Используя схему, предложенную в работе [5], докажем, что для хп & gt- 0 и 25 & lt- п 05 (х, X), имеет такую же особенность в точке х, что и фундаментальное решение
оператора. Вводя обозначение |х — (4хпХп) = Я2, получим
25-у
2*-гР ((?Л ~
От (х, Х) = С? Ск (4хпХп) ~ 1 [Я2 + в1п2 (
к 1
(10)
Разность между интегралом (10) и интегралом
л
у (х, Х) = (-1
0
Я2 +(

25-у
2

0 v
является регулярной функцией в точке х, то есть для Я = 0. В последнем интеграле сделаем замену переменной по формуле (= 2 Я. В результате будем иметь
72 Я
2кЯ2-п | хк-1 (1+Х2) X
0
Непосредственно вычисляется, что
25-у
л/ 2& quot-"-
/2я 2 1
лт к1+х) & lt-%=2в
25-у 2
к п — 25
Г
аг п — 2 ^
22
Г
_ V 2 у
V 2 у

'-у-25 л
Откуда
(-1)5 Г
'-и — 25 л
05 (х, Х) =
V 2 у
(х"Х") 2
|х-X2 5-п +У (1)(х, Х).
(11)
225 л2 Г (5)
Используя приближенную формулу (11) получаем, что
о", оЛ
(-1)5 Г
^ О- (х, Х)
бп
п — 25 + 2 V г -к (хх)2
2
х — X5-п-1 соб (г, п) + у5(2) (х, X), (12)
(2)/
225−1 л2 Г (5)
где г = х — X:
и
0
2
к
п
п
гп — 2 ^ + 2Л
Э
(-1)'-Г ^^ (х^ Г2
2
к
а (х, X)=-^-^-х — хГ-1 + у (3) (Х, х). (13)
Эпх 22 '-_1 я2 Г ('-)
Из приближенных формул (11)-(13) следует, что в формуле (9) первая сумма левой части не зависит от ?, во второй сумме все слагаемые, кроме слагаемого при '- = 1 и? ® 0, сходятся к нулю. Вычислим предел слагаемого при '- = 1. Его обозначим через 1?. В силу теоремы о среднем значении интеграла, приближенных формул (11)-(13) и с учетом того, что |х -Х =? при Xе ??, получаем
'- к ^
к
Г
1е (х, X) = X2 Я? Ч^Ч Х~п? | ^ + Ф'- (Х, X) = X2 ву дх~п V (1& quot-п)2 + Ф, (х, X):
2 я2 5?
то есть ВВЧ = АВч.
Таким образом, имеют место следующие интегральные представления для решения уравнения (1):
т-] т-] ЭП
А& gt-(х) = XI б'- (х, X) D2в]+2'--lq (X)XkkdxГ-В^Ч^) -ПXkkdxГ. (14)
'-=1 г+ '-=1 г+ ЭnX
Отсюда при ] = 0 имеем, что
т — М
Ч (х) = б'- (х, X) ВB'--1q (X)XnkdxГ-ВВ'--2q (X)-^XkkdxГ.
'-=1 г+ '-=1 г+ Эnx
Заключение
В работе получено интегральное представление (14) найденного решения уравнения (1), необходимое для сведения краевой задачи к системе интегральных уравнений.
Список литературы
1. Денисова М. Ю. Исследование основных краевых задач для некоторых В-полигармонических уравнений методом потенциалов: дис. … канд. физ. -мат. наук. — Казань, 2002. — 99 с.
2. Киприянов И. А., Кононенко В. И. Фундаментальные решения В-эллиптических уравнений // Дифференц. уравнения. — 1967. — Т. 3. — № 1. — С. 114−129.
3. Панич О. И. О потенциалах для полигармонического уравнения четвертого порядка // Матем. сб. — 1960. — Т. 50. — № 3. — С. 335−368.
4. Раджабов Н. Интегральные представления и граничные задачи для некоторых дифференциальных уравнений с сингулярной линией или сингулярными поверхностями. -Душанбе. — 1982. — Ч. 3. — 171 с.
5. Weinstein A. Discontinuous integrals and generalired potential theory // Trans. Am. Math. Soc. -1948. — № 63. — P. 342−354.
Рецензенты
Игнатьев Ю. Г., доктор физико-математических наук, профессор, зав. кафедрой высшей математики и математического моделирования, Казанский (Приволжский) федеральный университет, г. Казань.
Сушков С. В., доктор физико-математических наук, профессор, зав. кафедрой теории относительности и гравитации, Казанский (Приволжский) федеральный университет, г. Казань.
Криштоп Виктор Владимирович, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой «Физика», Дальневосточный государственный университет путей сообщения, г. Хабаровск, профессор Kwangwoon University, Korea.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой