Интегральные направляющие функции и периодические решения включений с каузальными операторами

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

6. Bryson E.R., Yu-Chi Ho Applied Optimal Control: Optimization, Estimation and Control. Blaisdell Publishing Company, 1969.
7. Buskens C., Maurer H. SQP-methods for solving optimal control problems with control and state constraints: adjoint variables, sensitivity analysis and real-time control // Journal of Computational and Applied Mathematics, 2000. V. 120. P. 85−108.
8. Alexandrov V.V. and Budninskiy M.A. On Kinematic Control Extremals // European Control Conference (ECC), Zurich, Switzerland, 2013. P. 210−214.
9. Dubovickij A. YA., Milyutin A.A. Neobhodimye usloviya slabogo ehkstremuma v zadachah optimal'-nogo upravleniya so smeshannymi ogranicheniyami tipa neravenstva // Zhurnal vychislitel'-noj matematiki i matematicheskoj fiziki, 1968. T. 8. № 4. S. 725−779.
10. Natanson I.P. Theory of Functions of a Real Variable // Ungar. New-York, 1955.
11. Arutyunov A.V., Karamzin D. Yu., Perejra F.L. Usloviya otsutstviya skachka resheniya sopryazhennoj sistemy principa maksimuma v zadachah optimal'-nogo upravleniya s fazovymi ogranicheniyami // Tr. IMM UrO RAN, 2014. T. 20. № 4. S. 29−37.
12. Zaharov E.V., Karamzin D. YU. K issledovaniyu uslovij nepreryvnosti mery-mnozhitelya Lagranzha v zadachah s fazovymi ogranicheniyami // Differencial'-nye uravneniya, 2015. T. 51. № 3. S. 395−401.
13. Afanas'-ev A.P., Dikusar V.V., Milyutin A.A., Chukanov S.A. Neobhodimoe uslovie v optimal'-nom upravlenii. M.: Nauka, 1990. 320 s.
Received 9 February 2016.
Gorbacheva Anna Viktorovna, Russian State Social University, Moscow, Russian Federation, Lecturer of the Applied Mathematics Department, e-mail: avgorbacheva@inbox. ru
Karamzin Dmitry Yurjevich, Dorodnicyn Computing Center of the Federal Research Center & quot-Informatics and Control& quot- of the Russian Academy of Sciences, Moscow, Russian Federation, Doctor of Physics and Mathematics, Senior Researcher, e-mail: dmitry_karamzin@mail. ru
УДК 517. 911. 5
DOI: 10. 20 310/1810−0198−2016−21−1-55−65
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ НАПРАВЛЯЮЩИЕ ФУНКЦИИ И ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ВКЛЮЧЕНИЙ С КАУЗАЛЬНЫМИ ОПЕРАТОРАМИ
© С. В. Корнев, В. В. Обуховский
В настоящей работе предлагаются новые методы решения периодической задачи для нелинейного объекта, описываемого дифференциальным включением с каузальным оператором. В первой части работы предполагается, что правая часть включения имеет выпуклые замкнутые значения. Далее мы предполагаем, что правая часть невы-пуклозначна и полунепрерывна снизу. В обоих случаях для исследования рассматриваемой задачи применяется интегральная направляющая функция. Ключевые слова: включение- каузальный оператор- интегральная направляющая функция- периодические решения- топологическая степень.
1. Введение
Изучение систем, описываемых дифференциальными и функциональными уравнениями с каузальными операторами, введенными Л. Тонелли (см. [1]) и А. Н. Тихоновым (см. [2]), привлекает внимание многих исследователей. Понятие «каузальный» пришло из техники и оказалось мощным инструментом для унификации задач в теории обыкновенных дифференциальных уравнений, интегро-дифференциальных уравнений, функционально-дифференциальных уравнений с конечным или бесконечным запаздыванием, интегральных уравнений Вольтер-ра, функциональных уравнений нейтрального типа и др. (см. [3]). Различные задачи для функционально-дифференциальных уравнений с каузальными операторами были рассмотрены в работах [4−10]. В частности, граничная и периодическая проблемы изучались в [5] и [7]. В настоящей работе мы применяем метод интегральных направляющих функций в исследовании периодической задачи для дифференциального включения с многозначным каузальным оператором.
Основные идеи метода направляющих функций были сформулированы М. А. Красносельским и А. И. Перовым еще в середине прошлого века (см [11, 12]). Будучи геометрически наглядным, этот метод первоначально применялся к изучению периодических и ограниченных решений обыкновенных дифференциальных уравнений (см, например, [13−15]). Позже этот метод был распространен на случай дифференциальных включений (см., например, [16, 17]), функционально-дифференциальных уравнений и включений (см., например, [18, 19]) и другие объекты. Сфера применения была расширена на изучение качественного поведения и бифуркации решений (см., например, [20]), асимптотики решений (см., например, [21, 22]). Эти и другие аспекты метода направляющих функций и его приложений, а также дополнительную библиографию, можно найти в недавно вышедшей монографии [23].
Работа организована следующим образом. После предварительных сведений (п. 2), где определяется, в том числе, понятие многозначного каузального оператора, мы формулируем периодическую задачу для дифференциального включения с каузальным мультиоператором, приводится основной результат работы для включений как с выпуклозначным и замкнутым каузальным мультиоператором (п. 3), так и для случая, когда правая часть включения является полунепрерывным снизу мультиотображением с невыпуклыми значениями (п. 4).
2. Предварительные сведения
В дальнейшем используются известные понятия и терминология из анализа и теории многозначных отображений (мультиотображений) (см., например, [16, 17, 24, 25]). Напомним некоторые из них.
Пусть (Х, йх) и (У, йу) — метрические пространства. Символами Р (У), С (У), К (У) обозначаются совокупности всех, соответственно, непустых, замкнутых или компактных подмножеств пространства У. Если У — нормированное пространство, то символами Сь (У) и Кь (У) обозначаются совокупности всех непустых выпуклых замкнутых и, соответственно, компактных подмножеств пространства У.
Пусть Е — сепарабельное банахово пространство- Ь1([а, Ь]- Е) обозначает банахово пространство (классов эквивалентности) суммируемых по Бохнеру функций /: [а, Ь] ^ Е.
Определение 1. Непустое множество М С Ь1([а, Ь]- Е) называется разложимым, если для любых /, д € М и любого измеримого по Лебегу множества т С [а, Ь] выполнено
/кт + дк{[адт) € М,
где кт — характеристическая функция множества т.
Определение 2. Мультиотображение Е: X ^ Р (У) называется полунепрерывным сверху (пн. св.) в точке х0 € X, если для любого е& gt- 0 найдется 5& gt- 0 такое, что из того,
что dX (x0,x) & lt-5 следует, что F (x) С Ue (F (x0)), где символ Ue обозначает е-окрестность множества.
Определение 3. Мультиотображение F: X — P (Y) называется пн. св., если оно пн. св. в каждой точке x € X.
Определение 4. Мультиотображение F: X — P (Y) называется полунепрерывным снизу (пн. сн.) в точке x0 € X, если для любого е& gt- 0 найдется 5& gt- 0 такое, что из того, что dX (x0,x) & lt-5 следует, что F (x0) С Ue (F (x)).
Определение 5. Мультиотображение F: X — P (Y) называется пн. сн., если оно пн. сн. в каждой точке x € X.
Определение 6. Если мультиотображение F полунепрерывно и сверху и снизу, то оно называется непрерывным.
Определение 7. Пусть F: X — P (Y) — некоторое мультиотображение. Множество Гр в декартовом произведении X х Y,
ГР = {(x, y) | (x, y) € X х Y, y € F (x)}
называется графиком мультиотображения F.
Определение 8. Мультиотображение F: X — P (Y) называется замкнутым, если его график Гр есть замкнутое множество в пространстве X х Y.
Мультиотображение будем называть мультифункцией, если оно определено на подмножестве числовой прямой.
Определение 9. Мультиотображение F: X — P (Y) называется компактным, если образ F (X) является относительно компактным в Y.
Определение 10. Однозначное отображение f: X — Y называется сечением мульти-отображения F, если
f (x) € F (x) для каждого x € X.
В дальнейшем будет использоваться следующая теорема Брессана-Коломбо-Фрышковско-го о непрерывном сечении (см., например, [26]).
Л е м м, а 1. Пусть X — сепарабельное метрическое пространство. Тогда любое пн. сн. мультиотображение F: X ^ L1([a, b]] E) с замкнутыми разложимыми значениями имеет непрерывное сечение.
Пусть I — замкнутое подмножество R, снабженное мерой Лебега.
Определение 11. Мультифункция F: I — K (Y) называется измеримой, если для любого открытого подмножества W С Y его прообраз
F-1(W) = {t € I: F (t) С W}
— измеримое подмножество I.
Замечание 1. Всякая пн. сн. мультифункция измерима.
Замечание 2. Всякая измеримая мультифункция F: I — K (Y) обладает измеримым сечением, т. е. существует такая измеримая функция f: I — Y, что f (t) € F (t) почти для всех (п.в.) t € I.
Определение 12. Мультиотображение F: I х X — K (Y) удовлетворяет условию подлинейного роста, если существует неотрицательная суммируемая по Лебегу на I функция а (^) такая, что п.в. t € I
||F (t, x)\ := max \y\ & lt- a (t)(l + ||x||).
y& amp-F (t, x)
В дальнейшем мы будем использовать определения и элементарные свойства топологической степени однозначных и многозначных векторных полей (см., например, [11, 17, 24, 25]).
Пусть Т& gt- 0 и, а & gt- 0 — данные числа. Символами С ([кТ — а, (к + 1) Т]- Мп) и Ь1 ((кТ, (к + + 1) Т) — Мп), где к €, мы обозначаем соответствующие пространства непрерывных и суммируемых функций с обычными нормами.
Для подмножестваС Ь1 ((кТ, (к + 1) Т) — Мп) и т € (кТ, (к + 1) Т) сужение N на (кТ, т) определяется как
N (кТ, т) = {/ (кТ, т): / €М}.
Определение 13. Будем говорить, что 2 — каузальный мультиоператор, если для каждого к € ^ мультиотображение
2: С ([кТ — а, (к + 1) Т ]- Мп) ^ Ь1((кТ, (к + 1) Т) — Мп)
задано таким образом, что для каждого т € (кТ, (к + 1) Т) и для любых
О, О € С ([кТ — а, (к + 1) Т]- Мп)
условие и 1[кт-а, т] = V [кт-а, т] влечет 0. (и) (кТ, т)= (кТ, т) ¦
Рассмотрим примеры каузальных мультиоператоров. Обозначим С банахово пространство С ([-а, 0]- Мп).
Пример 1. Пусть мультиотображение Е: М хС — Kv (Мп) удовлетворяет следующим условиям:
(Е1) мультифункция Е (•, с): М — Kv (Мп) допускает измеримое сечение для каждого с €С-
(Е2) мультиотображение Е (г, •): С — Kv (Мп) полунепрерывно сверху для п.в. г € М-
(Е3) для любого г & gt- 0 найдется локально суммируемая неотрицательная функция Пг (•) € Ь]ос (М) такая, что
\Е (г, с)\: =8пр{\у\: у € Е (г, с)}& lt- Пг (г) п.в. г € М ,
для всех с € С, ||с\ & lt- г.
Известно (см., например, [24, 25]), что при условиях (Е1) — (Е3) для каждого к € ^ определен мультиоператор суперпозиции
Тр: С ([кТ — а, (к + 1) Т]- Мп) ^ Ь1 ((кТ, (к + 1) Т) — Мп),
Те (и) = {/ € Ь1 ((кТ, (к + 1) Т]- Мп): / (г) € Е (г, и*) п.в. I € (кТ, (к + 1) Т)}.
Здесь иг €С определено как и*(в) = и (г + в), в € [-а, 0]. Мультиоператор Те является каузальным.
Пример 2. Пусть Е: М хС — Kv (Шn) — мультиотображение, удовлетворяющее условиям (Е1) — (Е3) примера 1. Пусть ^(г, в): -ж & lt-в & lt- г& lt- - непрерывное семейство линейных
операторов в Мп и т € Ь1ос (М- Мп) — данная локально суммируемая функция. Для каждого к € ^ рассмотрим интегральный мультиоператор типа Вольтерра д: С ([кТ — а, (к + 1) Т]- Мп) ^ Ь1 ((кТ, (к + 1) Т) — Мп), определенный как
д (и)(г) = т (г) + / K (г, в) Е (в, и3) йз,
кТ
т. е.
д (и) = {у € Ь1 ((кТ, (к + 1) Т) — Мп): у (г) = т (г) + / * K (г, в)/(в)йв: / € Те (и)}.
кТ
Мультиоператор д также является каузальным.
Пример 3. Пусть мультиотображение Е: М х С — K (Мп) удовлетворяет следующему условию почти полунепрерывности снизу:
(Fl) найдется последовательность непересекающихся замкнутых множеств {Jn}, Jn Q R n = = 1, 2,… такая, что: (i) meas (R (J n Jn) = 0- (ii) сужение F на каждое множество Jn xC полунепрерывно снизу.
При условиях (Fl), (F3) (см., например, [24, 25]) для каждого к € Z мультиоператор суперпозиции
Pf: C ([кТ — а, (к + 1) Т]- Rn) ^ L1 ((кТ, (к + 1) Т) — Rn) также определен и каузален.
3. Периодическая задача для включений с каузальными мультиоператорами
Обозначим Ct пространство непрерывных Т -периодических функций x: R ^ Rn с нормой \x\c = sup \x (t)\. Через 11x2 мы обозначаем норму функции x в пространстве L2, te[0,T ]
!ti 4 2
\x\2 = I J x (s)2 ds
Для определения понятия периодического каузального мультиоператора, рассмотрим для к € Z следующий оператор сдвига jk: L1 ((кТ, (к + 1) Т) — Rn) ^ L1 ((0, Т) — Rn):
jk (f)(t) = f (t + кТ).
Определение 14. Каузальный мультиоператор Q называется Т -периодическим, если для каждых x € Ct и к € Z выполнено
jk (Q (x[kT-r,(k+1)T])) = Q (x[-T, T]) —
Для обеспечения периодичности каузальных мультиоператоров в вышеуказанных примерах, достаточно полагать, что мультиотображения F являются Т -периодичными по первому аргументу:
F (t + Т, c) = F (t, c)
для всех (t, c) € R x C ив примере 2 дополнительно считать, что функция m (t) и семейство K (t, s) также Т -периодичны:
m (t + Т) = m (t) для всех t € R-
K (t + Т, s + Т) = K (t, s) для всех -то & lt-s & lt- t& lt-
Ясно, что условие Т -периодичности каузального мультиоператора позволяет рассматривать его только на пространстве C ([-г, Т]- Rn).
Сформулируем теперь нашу основную задачу:
Для заданного Т -периодического каузального мультиоператора Q, найти решение следующего операторного включения:
x € Q (x), (1)
где x € Ct — абсолютно непрерывная функция.
3.1. Случай выпуклозначного каузального мультиоператора
Обозначим Ь Т пространство суммируемых Т -периодических функций /: М — Мп. В этом разделе мы предполагаем, что Т -периодический каузальный мультиоператор 2: Ст — Cv (ЬT) имеет выпуклые значения и удовлетворяет следующим условиям:
(21) для любого ограниченного линейного оператора А: ЬТ — Е, где Е — банахово пространство, композиция, А о 2: Ст — Cv (E) — замкнутый мультиоператор-
(22) существует неотрицательная Т -периодическая суммируемая функция а (г) такая, что
\2(х)(г) & lt- а (г)(1 + \х (г)\) п.в. г € м, для каждой функции х € Ст.
Для обеспечения условия (21) в примерах 1 и 2 достаточно предполагать, что помимо вышеуказанных условий периодичности, мультиотображение Е удовлетворяет условиям (Е1)
— (Е3) (см. [16], теорема 1.5. 30), а для выполнения условия (22) мы можем предположить в примере 1 выполненным условие подлинейного роста, а в примере 2 следующее условие глобальной интегральной ограниченности
\Е (г, с)\ & lt- 7(г) п.в. г € [0,Т],
для некоторой неотрицательной суммируемой функции 7(г).
Для изучения периодической задачи (1) мы используем теорему о точке совпадения для линейного фредгольмова оператора и многозначного отображения. Введем необходимые обозначения.
Пусть Е1, Е2 — банаховы пространства- и С Е1 — ограниченное открытое множество- I: Бош I с Е1 — Е2 — линейный фредгольмов оператор нулевого индекса такой, что 1 т I С Е2 замкнуто.
Рассмотрим непрерывные линейные операторы проектирования р: Е1 -у Е1 и д: Е2 -У
— Е2 такие, что 1 т р = Кег I, 1 т I = Кег д. Символом 1Р обозначим сужение оператора I на Бош Iп Кег р.
Далее, пусть непрерывный оператор крд: Е2 — Бош I п Кег р определен соотношением кр, д (у) = I- 1(у — д (у)), У € Е2- канонический оператор проектирования п: Е2 — Е2/ 1 т I имеет вид п (у) = у + 1ш I, у € Е2- и ф: Сокег I — Кег I — непрерывный линейный изоморфизм. Пусть д: и — Kv (E2) замкнутое мультиотображение такое, что
(a) д (и) — ограниченное подмножество Е2-
(b) мультиотображение кр, д од: и — Kv (El) компактно и полунепрерывно сверху.
Справедливо следующее утверждение (см. [24], лемма 13. 1). Лемма 2. Пусть
(г) 1(х)/д (х) для всех X € (0,1], х € Бош Iп ди —
(п) 0/пд (х) для всех х €Кег Iп ди —
(ггг) degKer ?(фпдик, и кег I)=0, где символ degKer г обозначает топологическую степень многозначного векторного поля, вычисляемую в пространстве Кег I, и икег I = и п Кег I.
Тогда I и д имеют точку совпадения в и, т. е. найдется х€и такое, что 1(х) €С (х). Напомним следующее понятие (см., например, [11, 18, 19]).
Определение 15. Непрерывно дифференцируемая функция V: Мп — М называется невырожденным потенциалом, если найдется K & gt- 0 такое, что
vV (х) = 0
для всех х €МП, \х\ & gt- K.
Из определения невырожденного потенциала V вытекает, что на каждом замкнутом шаре Вк С Мп с центром в нуле радиуса K & gt- K, топологическая степень градиента deg (vV- В к) корректно определена и, более того, ее значения не зависят от радиуса K. Это общее значение степени называется индексом V невырожденного потенциала V.
Определение 16. Непрерывно дифференцируемая функция V: Мп — М называется строгой интегральной направляющей функцией для включения (1), если найдется Ы& gt- 0 такое, что
[ ^(х (в)),/(в)) (1в& gt- 0 для всех /€ 2(х), (2)
¦ '-о
для любой абсолютно непрерывной функции х€СТ такой, что \х\2 & gt- N и \х/(г)& lt-2(х)(г) п.в. г [0, Т].
Теорема 1. Пусть V: Мп — М — строгая интегральная направляющая функция задачи (1) такая, что
Ш V = 0.
Тогда задача (1) имеет решение.
Отметим, что условия теоремы выполнены, если, например, функция V четна или удовлетворяет условию коэрцитивности: Нш V (х) =.
Доказательство. Сведем задачу к лемме 2, обосновав разрешимость следующего операторного включения
1х € 2(х), (3)
где I: Бош I := {х€Ст: х абсолютно непрерывна} с Ст — ЬТ — линейный фредгольмов оператор нулевого индекса. Тогда Кег I = Мп, проекция п:
ЬТ — Мп может быть задана формулой
т
п/ = Т / /(в) ёв и мультиоператоры п2 и кр, д2 выпуклозначны и компактны на ограничено
ных подмножествах.
Пусть для некоторого X € (0,1] функция х € Бош I является решением включения
1(х) € Х2(х).
Это означает, что х (-) является абсолютно непрерывной функцией такой, что х'-(г) = X/(г) п.в. г € [0, Т], для некоторого / € 2(х). Тогда
гТ 1 г т
/о х о
1 [т «… 1
X
откуда

^(х (в)), /(в)) йв = - ^(х (в)), х (в)) йв = х У о
Ст, 1
V'-(х (в)) йв = Т (У (х (Т)) — V (х (0))) = 0,
Л х
\х2 & lt-N.
Из условия (Я2) вытекает, что \х'-\2 & lt- М'-, где М'- & gt- 0. Но тогда найдется и такое М & gt- 0,
что
\х\с & lt-М.
Возьмем в качестве и шар Вг С Ст радиуса г = ш& amp-х{К, М, МТ-½}. Тогда имеем
?(х) / а (х)
для всех х € ди.
Возьмем произвольное и € ди п Кег1. Получаем \и\ & gt- МТ-½ и, рассматривая и как постоянную функцию, из определения строгой интегральной направляющей функции получаем
I (УУ (и),/ (в)) (в& gt- 0. /о
для любого / €Я (и). Но тогда
Г (УУ (и), /(в)) (18 = (УУ (и), Г /(в) с1в) = Т (УУ (и), п/) & gt- 0, оо
и, следовательно,
(УУ (и), у) & gt- 0
для любого у € пQ (u).
Это означает, что 0 €пQ (u) и, более того, мультиполе пQ (u) и поле УУ (и) не допускают противоположных направлений для и € ди п Кег I. Это означает, что эти поля гомотопны, что и влечет равенство соответствующих топологических степеней:
dee (пQuKeI гйкег I) = & lt-1еЕ (УУ, йКег ?) = 0,
где икег I = и п Кег ?. Таким образом, все условия леммы 2 выполнены и задача (3), а, следовательно, и задача (1) имеют решение. Теорема доказана.
3.2. Случай полунепрерывного снизу каузального мультиоператора
Теперь мы рассмотрим периодическую задачу для класса включений с невыпуклозначными полунепрерывными снизу каузальными мультиоператорами. Именно, мы будем предполагать, что Т -периодический каузальный мультиоператор Q: Ст ^ Р (ЬТ) удовлетворяет условию
(^ь) Q полунепрерывен снизу и имеет замкнутые разложимые значения
и условию (Q2).
В качестве примера каузального мультиоператора, удовлетворяющего условиям (^ь) и (Q2), мы можем рассмотреть суперпозиционный мультиоператор Рр, порожденный Т -периодическим по первому аргументу мультиотображением Р: М хС^ К (Мга), удовлетворяющим условию почти полунепрерывности снизу (Рь) и условию подлинейного роста.
Теорема 2. Пусть Q: Ст ^ Р (ЬТ) — Т -периодический каузальный мультиоператор, удовлетворяющий условиям (^ь) и ^2) и У: Мга ^ М — строгая интегральная направляющая функция для соответствующей задачи (1) такая, что
1пё У = 0.
Тогда задача (1) имеет решение.
Доказательство. Применяя лемму 2, найдем непрерывное сечение q: Ct ^ LT мультиоператора Q. Для отображения q имеем соотношение
[ {VV (x (s)), q (x)(s)) ds& gt- 0 J о
для каждой абсолютно непрерывной функции xeCT такой, что \x\2 & gt-N и ||х'-(?)||& lt-||2(х)(?)|| п.в. t e [0,24.
Теперь, применяя «однозначную» версию леммы 2 (т. е. заменяя мультиотображение G непрерывным отображением g) и применяя аналогичные рассуждения, мы получим решение x следующего уравнения
l (x) = q (x),
которое является решением задачи (1). Теорема доказана.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Tonelli L. Sulle equazioni funzionali di Volterra // Bull. Calcutta Math. Soc., 1930. V. 20. P. 31−48.
2. Тихонов А. Н. О функциональных уравнениях типа Volterra и их применениях к некоторым задачам математической физики // Бюл. МГУ. Секция А. Сер. матем. и мех., 1938. Т. 1. Вып. 8. С. 1−25.
3. Corduneanu C. Functional Equations with Causal Operators. Stability and Control: Theory, Methods and Applications, 16. London: Taylor and Francis, 2002.
4. Drici Z., McRae F.A., Vasundhara Devi J. Differential equations with causal operators in a Banach space // Nonlinear Anal., 2005. V. 62. № 2. 301−313.
5. Drici Z, McRae F.A., Vasundhara Devi J. Monotone iterative technique for periodic boundary value problems with causal operators // Nonlinear Anal., 2006. V. 64. № 6. P. 1271−1277.
6. Jankowski T. Boundary value problems with causal operators // Nonlinear Anal., 2008. V. 68. № 12. P. 3625−3632.
7. Lupulescu V. Causal functional differential equations in Banach spaces // Nonlinear Anal., 2008. V. 69. № 12. P. 4787−4795.
8. Obukhovskii V., Zecca P. On certain classes of functional inclusions with causal operators in Banach spaces // Nonlinear Anal., 2011. V. 74. № 8. P. 2765−2777.
9. Бурлаков Е. О., Жуковский Е. С. Непрерывная зависимость от параметров решений уравнений Вольтера с локально сжимающими операторами // Известия вузов. Математика, 2010. № 8. С. 16−29.
10. Жуковский Е. С., Жуковская Т. В., Алвеш М. Ж. Корректность уравнений с обобщенно вольтерровы-ми отображениями метрических пространств // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2010. Т. 15. Вып. 6. С. 1669−1672.
11. Красносельский М. А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений. M.: Наука, 1966.
12. Красносельский М. А., Перов А. И. Об одном принципе существования ограниченных, периодических и почти-периодических решений у систем обыкновенных дифференциальных уравнений // ДАН СССР, 1958. Т. 123. № 2. С. 235−238.
13. Красносельский М. А., Забрейко П. П. Геометрические методы нелинейного анализа. M.: Наука, 1975.
14. Mawhin J. Topological Degree Methods in Nonlinear Boundary Value Problems. CBMS Regional Conference Series in Mathematics, 40. American Mathematical Society. Providence. R.I., 1979.
15. Mawhin J., Ward J.R. Guiding-like functions for periodic or bounded solutions of ordinary differential equations // Discrete Contin. Dyn. Syst., 2002. V. 8. № 1. P. 39−54.
16. Борисович Ю. Г., Гельман Б. Д., Мышкис А. Д., Обуховский В. В. Введение в теорию многозначных отображений и дифференциальных включений. Изд. 2-е. М.: Либроком, 2011.
17. Gorniewicz L. Topological Fixed Point Theory of Multivalued Mappings. Berlin: Springer, 2006.
18. Fonda A. Guiding functions and periodic solutions to functional differential equations // Proc. Amer. Math. Soc., 1987. V. 99. № 1. P. 79−85.
19. Kornev S., Obukhovskii V. On some developments of the method of integral guiding functions // Funct. Differ. Equ., 2005. V. 12. № 3−4. P. 303−310.
20. Loi N.V., Obukhovskii V., Zecca P. On the global bifurcation of periodic solutions of differential inclusions in Hilbert spaces // Nonlinear Anal., 2013. V. 76. P. 80−92.
21. Kornev S., Obukhovskii V., Yao J.C. On asymptotics of solutions for a class of functional differential inclusions // Discussiones Mathematicae. Differential Inclusions, Control and Optimization, 2014. V. 34. Issue 2. P. 219−227.
22. Корнев С. В., Обуховский В. В. Асимптотическое поведение решений дифференциальных включений и метод направляющих функций // Дифференциальные уравнения, 2015. Т. 51. № 6. С. 700−705.
23. Obukhovskii V., Zecca P., Loi N.V., Kornev S. Method of guiding functions in problems of nonlinear analysis. Lecture Notes in Math. V. 2076. Berlin: Springer, 2013.
24. Deimling K. Multivalued Differential Equations. Berlin- New York: Walter de Gruyter, 1992.
25. Kamenskii M., Obukhovskii V., Zecca P. Condensing Multivalued Maps and Semilinear Differential Inclusions in Banach Spaces. Berlin-New York: Walter de Gruyter, 2001.
26. Fryszkowski A. Fixed point theory for decomposable sets. Dordrecht: Kluwer AP, 2004.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты № 14−01−468, 16−01−386) и Российского научного фонда (грант 14−21−66).
Поступила в редакцию 15 декабря 2015 г.
Корнев Сергей Викторович, Воронежский государственный педагогический универитет, г. Воронеж, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики, e-mail: kornev _ vrn@rambler. ru
Обуховский Валерий Владимирович, Воронежский государственный педагогический универитет, г. Воронеж, Российская Федерация, доктор физико-математических наук, заведующий кафедрой высшей математики, e-mail: valerio-ob2000@mail. ru
UDC 517. 911. 5
DOI: 10. 20 310/1810−0198−2016−21−1-55−65
INTEGRAL GUIDING FUNCTIONS AND PERIODIC SOLUTIONS FOR INCLUSIONS WITH CAUSAL MULTIOPERATORS
© S.V. Kornev, V.V. Obukhovskii
In the present paper the method of guiding functions is applied to study the periodic problem for a differential inclusion with a causal multioperator. At first we consider the case when the multioperator is closed and convex-valued. Then the case of a non-convex-valued and lower semicontinuous right-hand part is considered.
Key words: differential inclusion- causal multioperator- integral guiding function- periodic solutions- coincidence topological degree.
ACKNOWLEDGEMENTS: The present work is partially supported by the Russian Fund for Basic Research (projects № 14−01−468, 16−01−386) and by the Russian Scientific Fund (grant 14−21−66).
REFERENCES
1. Tonelli L. Sulle equazioni funzionali di Volterra // Bull. Calcutta Math. Soc., 1930. V. 20. P. 31−48.
2. Tihonov A.N. O funkcional'-nyh uravneniyah tipa Volterra i ih primeneniyah k nekotorym zadacham matematicheskoj fiziki // Byul. MGU. Sekciya A. Ser. matem. i mekh., 1938. T. 1. V. 8. S. 1−25.
3. Corduneanu C. Functional Equations with Causal Operators. Stability and Control: Theory, Methods and Applications, 16. London: Taylor and Francis, 2002.
2016. T. 21, Bbm. 1. MaTeMaTHKa
4. Drici Z., McRae F.A., Vasundhara Devi J. Differential equations with causal operators in a Banach space // Nonlinear Anal., 2005. V. 62. № 2. 301−313.
5. Drici Z., McRae F.A., Vasundhara Devi J. Monotone iterative technique for periodic boundary value problems with causal operators // Nonlinear Anal., 2006. V. 64. № 6. P. 1271−1277.
6. Jankowski T. Boundary value problems with causal operators // Nonlinear Anal., 2008. V. 68. № 12. P. 36 253 632.
7. Lupulescu V. Causal functional differential equations in Banach spaces // Nonlinear Anal., 2008. V. 69. № 12. P. 4787−4795.
8. Obukhovskii V., Zecca P. On certain classes of functional inclusions with causal operators in Banach spaces // Nonlinear Anal., 2011. V. 74. № 8. P. 2765−2777.
9. Burlakov E.O., ZHukovskij E.S. Nepreryvnaya zavisimost'- ot parametrov reshenij uravnenij Vol'-tera s lokal'-no szhimayushchimi operatorami // Izvestiya vuzov. Matematika, 2010. № 8. S. 16−29.
10. ZHukovskij E.S., ZHukovskaya T.V., Alvesh M. ZH. Korrektnost'- uravnenij s obobshchenno vol'-terrovymi otobrazheniyami metricheskih prostranstv // Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya Estestvennye i tekhnicheskie nauki. Tambov, 2010. T. 15. V. 6. S. 1669−1672.
11. Krasnosel'-skij M.A. Operator sdviga po traektoriyam differencial'-nyh uravnenij. M.: Nauka, 1966.
12. Krasnosel'-skij M.A., Perov A.I. Ob odnom principe sushchestvovaniya ogranichennyh, periodicheskih i pochti-periodicheskih reshenij u sistem obyknovennyh differencial'-nyh uravnenij // DAN SSSR, 1958. T. 123. № 2. S. 235 238.
13. Krasnosel'-skij M.A., Zabrejko P.P. Geometricheskie metody nelinejnogo analiza. M.: Nauka, 1975.
14. Mawhin J. Topological Degree Methods in Nonlinear Boundary Value Problems. CBMS Regional Conference Series in Mathematics, 40. American Mathematical Society. Providence. R.I., 1979.
15. Mawhin J., Ward J.R. Guiding-like functions for periodic or bounded solutions of ordinary differential equations // Discrete Contin. Dyn. Syst., 2002. V. 8. № 1. P. 39−54.
16. Borisovich YU. G, Gel'-man B.D., Myshkis A.D., Obuhovskij V.V. Vvedenie v teoriyu mnogoznachnyh otobrazhenij i differencial'-nyh vklyuchenij. Izd. 2-e. M.: Librokom, 2011.
17. Gorniewicz L. Topological Fixed Point Theory of Multivalued Mappings. Berlin: Springer, 2006.
18. Fonda A. Guiding functions and periodic solutions to functional differential equations // Proc. Amer. Math. Soc., 1987. V. 99. № 1. P. 79−85.
19. Kornev S., Obukhovskii V. On some developments of the method of integral guiding functions // Funct. Differ. Equ., 2005. V. 12. № 3−4. P. 303−310.
20. Loi N.V., Obukhovskii V., Zecca P. On the global bifurcation of periodic solutions of differential inclusions in Hilbert spaces // Nonlinear Anal., 2013. V. 76. P. 80−92.
21. Kornev S., Obukhovskii V., Yao J.C. On asymptotics of solutions for a class of functional differential inclusions // Discussiones Mathematicae. Differential Inclusions, Control and Optimization, 2014. V. 34. Issue 2. P. 219−227.
22. Kornev S.V., Obuhovskij V.V. Asimptoticheskoe povedenie reshenij differencial'-nyh vklyuchenij i metod napravlyayushchih funkcij // Differencial'-nye uravneniya, 2015. T. 51. № 6. S. 700−705.
23. Obukhovskii V., Zecca P., Loi N.V., Kornev S. Method of guiding functions in problems of nonlinear analysis. Lecture Notes in Math. V. 2076. Berlin: Springer, 2013.
24. Deimling K. Multivalued Differential Equations. Berlin- New York: Walter de Gruyter, 1992.
25. Kamenskii M., Obukhovskii V., Zecca P. Condensing Multivalued Maps and Semilinear Differential Inclusions in Banach Spaces. Berlin-New York: Walter de Gruyter, 2001.
26. Fryszkowski A. Fixed point theory for decomposable sets. Dordrecht: Kluwer AP, 2004.
Received 15 December 2015.
Kornev Sergei Viktorovich, Voronezh State Pedagogical University, Voronezh, the Russian Federation, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of the Higher Mathematics Department, e-mail: kornev _ vrn@rambler. ru
Obukhovskii Valerii Vladimirovich, Voronezh State Pedagogical University, Voronezh, the Russian Federation, Doctor of Physics and Mathematics, Head of the Higher Mathematics Department, e-mail: valerio-ob2000@mail. ru

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой