Интегральные представления и асимптотические формулы для обобщения функции типа Миттаг-Леффлера на случай двух переменных

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Математический анализ
УДК 517. 581
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ОБОБЩЕНИЯ ФУНКЦИИ ТИПА МИТТАГ-ЛЕФФЛЕРА НА СЛУЧАЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
Н. С. Яшагин
Самарский государственный технический университет,
443 100, Самара, ул. Молодогвардейская, 244.
E-mails: nik-yashagin@yandex. ru
Рассмотрена специальная функция, обобщающая функцию типа Миттаг-Леф-флера на случай двух переменных. Получены интегральные представления для этой функции в различных областях изменения её аргументов при некоторых ограничениях на параметры. Установлены асимптотические формулы и асимптотические свойства этой функции при устремлении аргументов к бесконечности. Доказаны соответствующие теоремы.
Ключевые слова: специальные функции, обобщения функции типа Миттаг- Леффлера, интегральные представления, асимптотические формулы.
1. Определения и обозначения. Обобщением функции типа Миттаг-Леффлера на случай двух переменных мы называем [1] целую функцию, определяемую степенным рядом
где ц- произвольный, вообще говоря, комплексный параметр.
Обозначим через 7(в- 9) (е & gt- 0, 0 & lt- в ^ 7г) контур, пробегаемый в направлении неубывания arg (и состоящий из следующих частей:
1) луч arg С = -в, ICI ^ е-
2) дуга -в ^ arg (^ в окружности |?| = е
3) луч arg С = 0, |С| ^ е.
2. Интегральные представления. Докажем несколько лемм об интегральных представлениях обобщения функции типа Миттаг-Леффлера (1) в различных областях изменения её аргументов.
Лемма 1. Пусть а,? € (0,2), a? & lt- 2, ц -любое комплексное число, а в удовлетворяет условию
Николай Сергеевич Яшагин, аспирант, каф. прикладной математики и информатики.
(1)
(2)
Если х? G (ea-9a), у? ер-9р), где ea = el/fi, ef3 = е1/а и ва = 9/(3,
Op = 0/а, то имеет место следующее интегральное представление:
1 1 г
Еа^(х, у-^) = - - J _ _ d (. (3)
7(е-^)
Доказательство. Положим сначала х & lt- еа. С учётом того, что еа =
. аЛ1//3 _ «/
р) —
1/0 ! а^/Р
=? 41 = [Ер) = Eg, ОЧевИДНО, ЧТО
sup |ж (а^ & lt- 1.
С€т (& gt-/з-0/з)
Запишем функцию Еа^(х, у] ц) в соответствии с определением (1) и преобразуем, сворачивая один из рядов по определению функции типа Миттаг- Леффлера одного аргумента [2]:
ОО ОО U 1
-л / х У
ЕаАх, у-м = 21^
к=0 1=0 Т№+/31 + „)
ОО ОО
В силу условий леммы можно воспользоваться известным интегральным представлением для Ер (у, ак + I) (см. [2, формула (2. 2)]), причём в качестве параметров, определяющих контур 7, возьмём введённые выше Ер и вр, что допустимо в соответствии с (2) и с учётом равенства 6р = 0/а. Тогда, если у € С^-?р]0р), то
ОО ОО „^/0
-1'- У хкЕв (у, ак + 1) = ^2хк-~ / ------------& lt-!¦: =
*-* *-* V*)
2 т (3 J С -У и=0
7(?/3^/3)
2тгг р J ((-у) ((& lt-*/? — ж)
d (. (4)
Преобразуем интегральное представление (4), приведя его к интегралу по контуру 7(е-0):
/ еС С „_________________: К- 1 Че{ ] ^7°)
27гг /5 У ((- у) ((а/13 — х) 2тгг /3 У (С1/& quot- - у) (С1//3 — ж) а
7(& gt-/з-0/з) т (г-0)
1 1 Г ?1/^13) ?1+а+Р-^-1
=_______[ -____________^
27гг а (3 У (С1/& quot- - у) (С1/^ - х) т (е-0)
Полученный интеграл абсолютно сходится и является аналитической функцией от ж и у при х € С1- еа] да), У € ер'-, 9р).
Очевидно, что круг х & lt- еа содержится в области С^~еа] ва) для всех значений 9а из промежутка (7гск/2, тт{7г, тта}). Следовательно, по принципу аналитического продолжения представление (3) имеет место всюду в области С (-& gt-(еа-0а). ?
Лемма 2. Пусть а, (3 € (0,2), а[3 & lt- 2, ц — любое комплексное число, а в удовлетворяет условию (2). Если х € 0^~еа-, ва), у € {ер] вр), где
еа = ?1^, ер = е1/& quot- и 9а = 9//3, 0р = 0/а, то имеет место следующее интегральное представление:
1 У1/13 1+Тм 1 1 /• ?-1/(^^з) ^ 1+^+/з-м _1
1 еУ у ?3 I 0^ Га/3
Е"Ах, у-„) = р уа/13_х +^?^0 У ((!/" — у) (с^-ж)^'- (5)
т (е-^)
Доказательство. По условию леммы точка у лежит справа от контура 7(ед-0д), т. е. у € Тогда для любого ?31 & gt- |у| очевидно
У € Сг ((бГ/31- ??/з), а х & lt-Е) (?"1- 0а) & gt- потому по формуле (4) имеем представ-
ление
1/0 1 + а -/л
11 ['- ес С Р
вщ"(х, гф) = ш ] к_у){(е. /"_х)'-К- (6)
7(^1-^)
С другой стороны, если Ер & lt- |у| & lt- |arg у | & lt- вр, то по теореме Коши
справедлива формула
1 1 г С1/!3 Л1+Т*1 1 и1/'-3 1+& lt-ГМ
-- [ ^ ас = у (7)
2тгг/3 У (С — У) (С& quot-//3 — ж) Р уа//3 — х
7(& gt-/31−0/з)-7(>-/з-0/з)
Из (6) и (7) немедленно получается представление (5). ?
Аналогично доказывается интегральное представление для х € (еа- ва), у € С^Хе^вц)-.
1е*1/ах-1 1 Г
ЕаАх, У,“) = ~ хр/а_у +^~^ф У (С1/а _ у) (С1//3 _ ж) ^
7(е-^)
Лемма 3. Пусть а, (3 € (0,2), ск/З & lt- 2, ц — любое комплексное число, а в удовлетворяет условию (2). Если х € С^+еа-9а), у € вр), где
еа = ?1^, ?р = е1/а и 9а = 0//3, вр = в/а, то имеет место следующее интегральное представление:
xi/a l+ff-M l//3
“, N 1 e? „le' „^
Еа, р{х, У] N =------------------Ь ~s-~nTh-------^
a x * - y p y i ! — x
1 i r
+ 27Гia/3 J (V1/“ — y) icl/fi — x) ^
Доказательство. По условию леммы точки х и у лежат по правую сторону от контуров 7 (еа- вр) и j (ep] вр) соответственно, т. е. x € G (+)(еа- ва), у € G'-W^- 0д). Параметрам и ер соответствует е. Выберем такое е {е & gt- е), чтобы одна из координат оказалась справа от контура, а другая слева (такое всегда возможно, если xР ф уа). Для определённости пусть х € G (-& gt-(eai-0o), У G О^+^ерг-вр) (т.е. х & lt- у). Тогда по формуле (5) из леммы 2 имеет место интегральное представление
-, V1/l3 1+Тм 1 1 Г с1/^) А1+а+/~м-1
1 еу у I3 11 / C а13
Е& lt-*Ах, У-„) = р уа/р_х +^1^ф J (С1 /а _ у) (С1//3 _ (10)
7(ei-^)
Запишем интеграл в (10) в виде
I 1 /• fl/a l±l^R
II j C а
2тп a J ((?/a — у) ((- х)
d (.
Если еа & lt- х & lt- еа, | arga-| & lt- ва, то по теореме Коши справедлива формула
, Al/a, !+/3-М 1™1/а 1+/3-М
1 1 f е& gt- С, а — in'-)
27гг а- J (?/?/“ _ у) (? _ ж) а- ж/3/“ — у
1{?а1-, ва)-^{?а]ва)
Из (10) и (11) получается представление (9). ?
Лемма 4. ?/суш Re/i & gt- 0, то интегральные представления (3), (5), (8) и (9) остаются в силе для, а = 2 или /3 = 2 при иж предельном переходе по соответствующим параметрам.
Доказательство леммы очевидно.
3. Асимптотические свойства. Особый интерес представляют асимптотические свойства функции Ea?(x, y, ?) при больших по модулю значениях аргументов х и у.
Теорема. Пусть а,? € (0,2), a? & lt-2, ?л -любое комплексное число, а — любое вещественное число, удовлетворяющих условию
na?
-- & lt- а ^ mm |7Г, na?).
Тогда для любого целого р ^ 1 при х -& gt- оо и у -& gt- оо справедливы следующие асимптотические формулы:
1) при avgxl ^ а/Р и avgyl ^ а/а:
1 1
Еар (х, у, ц,) = - ^ I- - -^т- Ь
а X'- * - у р уа/р — х
Р/З Ра _к _1
+ Е Е Г (д _ ы — і(і) + °(Іа-і'-І~1ІУІ~'-,°) + ^(1^ГЧ^Г& quot--) — (12)
2) при | аі^ж| ^ а/(3 и а/а & lt- |а^у| ^ тт:
1 ех1/а х~
Еа, р{х, У, 1-і) ~ о, Ь
а хР'-а — у
Р/З Ра _к _1
+ Е Е г (/-^-вд + 0 (М"1!“!""& quot-) +0 (куГ'кГ№) — (13)
3) при а/(3 & lt- а^ж| ^ тт и |а^у| ^ а/а:
1 „!//3 ±+^
^ 1 еу У I3
Еа/з (х, У, и) = -р уа//3 _ х ь
X у
г77
к=11=1
4) при а/(3 & lt- аі^ж| ^ 7 г и а/а & lt- |аі^у| ^ тт:
^м& gt- = ЕЕг (,!^)+
+ о (|жу|_1|у|_р“) + о (ху~1х~Р13). (15)
Доказательство. При ограничениях |аі^ж| ^ а//3 и |аі^у| ^ а/а число Ь выбираем так, чтобы
-- & lt- а & lt- Ь ^ тш {7г, 7гск/5}. (16)
Нетрудно показать, что имеет место разложение
РВ Т) гх 1 — 1 і к — 1 ра Р/З рос і Р/З
1 =^С^- ЖР/ЗС-+^(1Г-С^ + 1Г
(С1//3 — ж) (С1/“ — у) У1хк хрРуРа {С, 1/!3 — х) (С1/& quot- - у)
Воспользуемся формулой (9) из леммы 3. В (17) положим є = 1, тогда справа от контура 7(1- Ъ) (т.е. в области С (+)(1-& amp-)) для функции Еа^(х, у- /х) с учётом (17) получаем представление
х1/а 1+/3-М 1//3 1+°Г^
», , 1 е Ж «1е9 1/ ^
Еа, 13{х, У] N =--------------------------ь ~Б--Г/й----------^
а X'- - у р у / р — х
к~1 1−1 7(1-Ь)
Ра Е Ё. Ра I РР
11 Г с1/(а^)А1 + а+^-/х1 ХР^(а +УРа (13 ~(а Р.
2 т а/З ] 6 хрРуРа (С1//3 — ж) (С1/» -у)
7(1 -Ь)
Согласно формуле Ханкеля для гамма-функции [3]
= -[ еии~3с1и,
Г (в) 271& quot-/ У'-у (е-Г)
имеем
II/ л/И) 1±?И^_1 + В + *г1
------ С «Р, а 13 ас =
2 т а[3 ,]
7(1-*& gt-)
=--------- / с, а Рас =
2 т а[3 ,]
7(1-*& gt-)
= [ еС1/(а13)иг =__________________________________.
27гг а/3 ] Г{?1 -ка -1)3)'-
7(1-*& gt-)
Отсюда (18) в силу (16) переписываем в виде
1/а 1 + /3-М 1//3 1 + „~^ Р/З Ра _?
,. 1 е Ж „1 еу у ^ ^ ^ ж у
а,/3 о- ж Р/а-у /3 уа/!3-х ^^Г (/х — ка — 1(3)^
1 1 27гг а/3
/ ^' +1^& lt-"- -& lt-/ (19)
Л (1-Ь) жр/зуР“ (С1//3 — ж) (С1/“ — у)
Рассмотрим последнее слагаемое в формуле (19):
1 1
2пг а (3
ра Рос | Р/З
Г С1/(аГЗ) 1 + ^+/3-М_! Ж^С, а +уРаС/3 ~ С, а, л
.1 ХрРуРа (С1//3 — ж) (С1/» — у)
7(1-*& gt-)
, с1/(с|8). 1+а+/3-^-1+Ра.
1 1 Г ф (а/3
2ттга[3 у уРа (С1/^ - ж) (С1/& quot- - у)
7(1-*& gt-)
?С+
1 1 /• С1/(а/3) 1+а+/3-м _1 + М.
11/ е^ (а/3 ^
+ 2тп а[3 У7(1−6) жр/з (С1//3 — ж) (С1/" - у) ^
-1 -1 г C1/{o'?'-& gt- А1+а+я~& gt-1−1+ - + Ч-
11 Iе С a? ?
2іті a? J xpPyPa U1/? — x) Ul/a — у)
7(і-Ь)
d (= h + h + /з- (20)
Оценим каждый интеграл из (20) при больших х и у, предполагая, что | arga-| ^ a/? и |argy| ^ а/а.
Заметим, что когда | arga-| ^ a/? и х достаточно велико, то
'-Ь — а'-
~?
Аналогично для | argy| ^ а/а и достаточно большого у имеем
'-Ъ — а4
С1^ - X =х sin (Ъ/? — a/?) = х sin •
rg 2/| ^ а/а и достаточно большого у
С 1/а-у = ysm (b/a- а/а) = |у| sin
mm
Сєт (і-Ь)
тт
Сет (1-Ь)
Поэтому для больших х и у при | argж| ^ а/(3 и |а^у| ^ а/а получаем оценку
х
-11-I/I -р"-1
27га-/? sin sin (^г)
1 + а + /3 -Д, Pet
? а/3 _1+~
KI
т (і-Ь)
причём интеграл справа сходится, так как на лучах а^? = ±6 (|?| ^ 1), входящих в состав контура 7(1- Ь), выполняется равенство
^1/Ыз)
= expj|& lt-HcoS-
а согласно условию (16), cos ^ & lt- 0. Итак, 1 = о ixy~ly~Pa). Аналогично
h = о (ху~1х~р13).
Обратимся к третьему слагаемому из (20):
I х I ~р@ -11 w I -Р"-1 f
І/зІ
2тгa? sin sin (^f-) Л (і-Ь)
^i/(a?)
1 + Q + /3 — ?J, І і РОС і P/З
a/3 1_r a «r /3
MCI •
Очевидно, ЧТО /3 = 0 (|жу| 1|у| р"|ж| Р/3).
Итак, 1 = о (ху~1у~Ра) + о (ху~1х~р13).
Доказательства пунктов 2), 3) и 4) проводятся по той же схеме, что приведена выше. ?
Работа выполнена в рамках Аналитической ведомственной целевой программой «Развитие научного потенциала высшей школы» (проект № РНП.2.1. 1/745).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Огородников Е. Н., Яшагин Н. С. Постановка и решение задач типа Коши для дифференциальных уравнений второго порядка с дробными производными Римана- Ли-увилля// Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ. -мат. науки, 2010. — № 1(20). — С. 24−36.
2. Джрбашян М. М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области. — М.: Наука, 1966. — 672 с.
3. Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. Т. 2: Дальнейшее построение теории. — М.: Наука, 1968. — 624 с.
Поступила в редакцию 05/УП/2010- в окончательном варианте — 13/1Х/2010.
MSC: 33E12
INTEGRAL REPRESENTATIONS AND ASYMPTOTIC EXPANSION FORMULAS OF MITTAG-LEFFLER-TYPE FUNCTION OF TWO VARIABLES
N. S. Yashagin
Samara State Technical University,
244, Molodogvardeyskaya St., Samara, 443 100, Russia.
E-mails: nik-yashagin@yandex. ru
Special function generalizing Mittag-Leffler-type function for two variables is considered. Integral representations for this function in different variation range of arguments for a certain value of parameters is obtained. Asymptotic formulas and asymptotic properties of this function for large arguments is established. Theorems for these formulas and these properties are provided.
Key words: special functions, generalizations Mittag-Leffler-type function for two variables, integral representations, asymptotic expansion formulas.
Original article submitted 05/VII/2010- revision submitted 13/IX/2010.
Nikolay S. Yashagin, Postgraduate Student, Dept, of Applied Mathematics & amp- Computer Science.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой