Интегральные свойства уравнения расхода и краевые условия в до3вуковых и трансзвуковых течениях

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц, А Г И Т о м X 19 7 9
№ 2
УДК 533.6. 011. 35
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА УРАВНЕНИЯ РАСХОДА И КРАЕВЫЕ УСЛОВИЯ В ДОЗВУКОВЫХ И ТРАНСЗВУКОВЫХ ТЕЧЕНИЯХ
А. С. Фонарев
Исследуются общие свойства величины интеграла расхода через контрольные поверхности, соответствующие границам потока в рабочей части аэродинамической трубы, в случае обтекания профиля и тела вращения дозвуковым и трансзвуковым безграничным потоком. На их основе формулируются краевые условия на бесконечности при постановке задачи трансзвукового обтекания тел в рамках второго и последующих приближении теории малых возмущений.
В ряде задач может оказаться важным знание величины интеграла расхода газа через контрольные поверхности на некотором удалении от обтекаемого тела. Так в [1] показано, что безграничное обтекание тела трансзвуковым потоком в трубе с проницаемыми стенками рабочей части может быть получено при создании надлежащего распределения расхода через стенки внешней камеры- при этом важной характеристикой является величина расхода газа, вытекающего из рабочей части в камеру и соответственно втекающего в рабочую часть.
Ниже рассматриваются общие свойства величины интеграла расхода через контрольные поверхности, соответствующие границам потока в рабочей части аэродинамической трубы, при обтекании неограниченным дозвуковым и трансзвуковым потоком профиля и тела вращения. Случай трансзвукового течения изучается в рамках нелинейной теории малых возмущений. Проводится обоснование соответствующих краевых условий на бесконечности при постановке задачи обтекания тел трансзвуковым потоком для последующих приближений в рамках теории малых возмущений.
1. Свойства интеграла расхода при обтекании тел дозвуковым потоком. Рассмотрим обтекание профиля безграничным потоком несжимаемой жидкости. Комплексный потенциал поля течения /(г) и соответствующее ему поле скоростей вне любой кусочно-глад-
кой замкнутой кривой С (профиля) можно представить в виде аналитических функций
/(г) = с, г + с0 In г +? fk, fk = ck z-k-
(1. 1)
* = i
df_
dz
= U (X, y) — iV{X, y)= I/00+? -Г- C'--k+(- k + D = c-*. (1 -2)
где 1/ос — скорость невозмущенного набегающего потока, направленная по оси х- г = х--іу, и (х, у) и у (х, у) — составляющие вектора скорости течения в направлении осей х и у соответственно.
Рассмотрим криволинейный интеграл в комплексной плоскости по некоторому пути 5:
' «~ ~ „3)
j (/-- Vao) dz = J (y_ vM) di+ і f (/- V^dn, (1,
5 S 5
где
dl=[dx, dy}, dn=^{dy, — dx}¦,
V- (и, V), Яо={^ос, 0).
Подставляя в (1. 3) выражение (1. 2), получим:
] = - Vm) dn. (1. 4)
5 6=1 5 5
Рассмотрим в качестве пути интегрирования бесконечную прямую линию, произвольно расположенную в плоскости {*, у} вне контура С (рис. 1).
Первый член суммы в (1. 4) требует особого рассмотрения, остальные интегралы обращаются в нуль на этой линии. В самом деле, рассмотрим контур, составленный из прямой 5 и полуокружности С/? радиуса /? (рис. 1). Тогда при & amp->-1 справедлива оценка
j fkdz
R
k-
0, R -*• ос,
и из соотношения
j fk dz +1 f'-kdz = о
Cr
следует
jV±dz = 0, k — 2, 3, 4. ., j (V-Va)dl=0, §(V-Vaa)dn=0.
Рис.)
В частности, выбирая в качестве линии S прямую у = у“, параллельную оси л, получим важный результат:
00
f vdx = 0, y = y0 = const.
Выражение для интеграла расхода /, через прямую у = у0=соп5І для члена с А=] получим непосредственно. Полагая С--Аг--1В^ имеем
Из (1. 5) видно, что первый интеграл, вообще говоря, расходится. Однако в силу нечетности подынтегральной функции он может быть рассмотрен в смысле главного значения, что дает нуль.
Второй интеграл определяет половину суммарного расхода от источника, помещенного в начало координат, имеющего интенсивность Л,/-. Так как контур С непроницаемый и замкнутый, то следует положить Л[ = 0- коэффициент Ви как известно, определяет циркуляцию скорости вдоль контура.
Таким образом, суммарный расход газа через прямую у = const в случае обтекания профиля несжимаемой жидкостью равен нулю.
Остановимся кратко на постановке задачи об обтекании профиля неограниченным несжимаемым потоком, рассматривая ее как предельную задачу Неймана для области, заключенной между двумя контурами С (тело) и С, (внешняя граница).
В силу свойства соленоидальности поля скоростей, удовлетворяющего во всех точках рассматриваемой области уравнению Лапласа, суммарный поток вектора скорости через границы С и С, должен быть равен нулю. Поэтому для задачи обтекания тела с условием непротекания в каждой точке контура С
где ® — потенциал возмущенной скорости, 5 — длина дуги. При этом интеграл, вычисленный по части контура Сь может быть, естественно, отличным от нуля- выражение (1. 6) не противоречит тому, чтобы в случае безгранично увеличивающегося контура это отличие от нуля сохранялось. Требование аналитичности решения в бесконечно удаленной точке вместе с (1. 6) соответствует условию равенства нулю подынтегральной функции на бесконечно удаленном контуре
которое обычно при постановке задач в гидродинамике фигурирует как физическое условие затухания возмущений на бесконечности:
Однако в некоторых задачах краевое условие типа (1. 7) не может быть выполнено- на некоторых участках бесконечно удаленного контура требуется задать ненулевые значения возмущенных параметров течения. Такая постановка задачи возникает, если в дозвуковом потоке около тела образуются местные сверхзвуковые зоны со скачками уплотнения, при этом возмущения скорости
_ А, у — В[Х _ А, х -f В, у
х* + у* & gt- - *-¦ + у*
И
(1. 5)
оо
со
{V, п) |с = 0
на контуре С, должно быть выполнено условие
(1. 6)
и 1/гс -*• 0, v -*¦ 0 при Xі + У2 оо.
(1. 7)
и плотности уже не затухают вниз по потоку до нулевых значений. Аналогично при обтекании несущей конфигурации, описываемой системой свободных и присоединенных вихрей, возмущения вертикальной скорости сохраняются отличными от нуля вниз по потоку. Но и в этих случаях свойство соленоидальности должно быть выполнено, суммарный расход газа через предельную замкнутую поверхность должен быть равен нулю.
2. Свойства интеграла расхода в трансзвуковом потоке. В дальнейшем потребуется решение вспомогательной задачи. Пусть тело обтекается потоком газа, близким к звуковому, с заданной при
X -у -со СКОРОСТЬЮ Vx,= {Uoc, о), Давлением рт И ПЛОТНОСТЬЮ Роо ,
причем в окрестности тела возникает сверхзвуковое течение со. скачком уплотнения.
Рассмотрим как изменяются параметры газа на достаточно далеком расстоянии за телом при х -+¦ + ос- вдоль линии тока, которую пересекает скачок уплотнения.
Введем обозначения: о'- и V = [и, v'- - плотность и ско-
* ОС СЧ-. I ОО'- ОС J
рость газа при х -* 4- оо- ри р, I/, — значения непосредственно
перед скачком- ръ р2, V7 — после скачка. При этом полагаем, что статическое давление при х -* 4- оо равно рх.
В области до скачка и после него справедливы уравнение изоэнтропического сжатия и уравнение Бернулли:
РI ____/ Pl У 7, ысо _ __
Рх р"/ ' 7- 1 Рос 2 7-
l^. l2.
(2. 1)
JРг._ /_?i.V Рс° I Ро
7 Pi, 1 Уз |3.
о „
7 — • Р2
__7__ I
'-ч-1 р“
(2. 2)
На скачке уплотнения имеет место соотношение Гюгонио и уравнение Бернулли:
Ё1- - 11 _ 7 + 1 ?2 !(±3. 7 4 I
Рг 7 — 1 Р1 / / I Р1 7 — 1
(2. 3)
Р1
7
i
(2. 4)
7- 1 Р1 2 7 — 1 Ра
С использованием (2. 1) -(2. 4), полагая Ар1р^& lt-^ и проводя соответствующие разложения в ряды [2], найдем
— = 1
Роо
J_ (7 + 1)(7~0 1Рг ~Рг У& gt- 12 f
= 1
(2. 5)
Из формул (2. 5) следует, что при прохождении через скачок-уплотнения значения параметров течения за телом (плотность и скорость) при х -» 4- со уже не восстанавливаются до значений параметров невозмущенного потока, причем эти отклонения имеют третий порядок малости перепада давления в скачке уплотнения.
Отсюда следует, что при точной постановке задачи обтекания тела трансзвуковым потоком уже нельзя, вообще говоря, полагать возмущения нулевыми при х -> -р-оо. При этом их величины заранее неизвестны, они определяются интенсивностью и формой заранее неизвестных скачков уплотнения. Тем самым точная математическая постановка задачи обтекания тела трансзвуковым потоком существенно нелинейна не только из-за нелинейности дифференциальных уравнений, но и в смысле задания краевых условий.
Применение метода малого параметра позволяет представить эту задачу в виде серии линейных в смысле краевых условий задач, решаемых последовательно.
Процедура разложения по малому параметру для трансзвуковой теории малых возмущений хорошо изучена и описана, например, в [3, 4].
Пусть 8 есть характерная величина отклонения потока (в радианах) от равномерного. Будем искать решение в виде асимптотического ряда при одновременном стремлении величины 3 к нулю и числа Мсо к единице.
Асимптотические разложения основных величин представим в виде
В соотношениях (2. 6) -(2. 8) принято: и& gt-, — векторы составляю-
щей скорости в плоскости {у, г}- К — трансзвуковой параметр подобия- кроме того, характерная длина тела (или хорда крыла) равна 1- при этом связь между е и 8 определяется соотношением
г = 82'-3.
Введем векторный оператор
и запишем асимптотическое представление для вектора массового расхода:
— уи *' '- ' ¦ = і [ 1 + ?" (*& gt- у. 2- К) + г2 и, (х, у, г- К)
ОО
+ & amp-3и3(х, у, г Л) + …] + 8щ/(л, у, г- Ю + Ъ'--ю^х, у, г- /()+…, (2. 6)
У (х, у, г- М, і)
= 1 + гР + -2 Рч + ®3/& gt-з +• • •.
Г Ж
-- = 1 + -а + °2 + $ 3 °3 + • ¦ • і
Г со
(2. 8)
(2. 7)
где
г = в (8), Пт г = О, з3& lt-С3<-Сг,
у = г28 1 у, 2 = г*8 'г.
Рос ыоо
— = і [ 1 4″ є (° +¦ и) 4- є2 (о2 4* и2 & quot-Ь 0И) ¦+¦
f г3 (о3 -Г ыз + И2 3 4* Ивг) + • • •] ~Ь '-а, е3'-2 + $ 5/2 ¦а'-з 4- ?3 И)2 4-… (2. 9)
Подставляя его в уравнение неразрывности
получим:
[е (а -)¦- и) х + е* (а2 + «о 4- о и), + г» (з3 + щ + и2 о + и?2)л + у'-К'г2 + у (о1®) г3 4 V =4 — • • • - 0.
В результате получаем цепочку уравнений:
г: (з + и) л
0:
гг: (зг 4- «, 4- зи) г 4- V® = 0-
е3: (=3 + „з + „г3 + мза) л- + V 3) = 0.
Рассмотрим уравнение Бернулли
(2. 10)
I VI*
и с учетом соотношения
2 2 и~ а±
— 4-
2 1
Моо= 1 -К'-з
выпишем соответствующую цепочку уравнений: г: (т —)и 4 (р — 3) = 0-
г2: 4- (т ~ 1)"2 + °2 + (АГ-з)(р -з) = 0-
2
г3: 2 и, -{- 2 ни.
¦ те"4
•(- Рл — 2об: >- + Зз + °в
(2. 11)
— /, 3& quot- + /& gt-32 ~ 3/& gt-2 — Л32 + А'-3- - Лр2 4- Л'-/73 — А2/? г А3з) — 0.
Аналогичные разложения могут быть выполнены и для уравнения количества движения газа. Проведенные разложения позволяют определить системы уравнений для нескольких приближений. Не выписывая их, отметим, что первому приближению (~г) соответствуют выражения:
з 4- и = 0, р = - -[и
и уравнение Кармана:
(ки-----Чг^-п
4 утм — 0.
Вернемся к рассмотрению интегральных свойств уравнения расхода в случае трансзвуковых течений. Рассмотрим объем прямоугольной формы, ограниченный плоскостями х = -*гх0, У = +Уо& gt-
г-+ г0. Ограничимся рассмотрением симметричного обтекания профиля, так чго в плоскости симметрии у = 0 вне тела и на его поверхности у = у1(х) выполнены условия непротекания. Пусть
5СК — поверхность скачка, пх и яц — внешние нормали к поверхностям, ограничивающим области о-, и ю2 до скачка и после скачка соответственно (рис. 2). Для каждой из областей справедлива теорема Остроградского — Гаусса для потока массы (при этом поток массы через поверхности г = х2о равен нулю):
|] р V йпл + ] ]'- р V йп = ] | (1і V р V йх (іу йх = 0-
(2. 12)
1] рК^лп + ЦрК dn. ii = Л1 йх йу йг=0.
4 Г ЛВС 5ск „3
Из (2. 12) с учетом уравнения неразрывности на скачке
ДО [рР]Л1, = 0
5СК
следует, что поток массы через поверхность АВСИЕР равен нулю:
Уйп + о]/йп+^9Уйп = 0. (2. 13)
АВ ОВ Ей
В (2. 13) вектор п-{йуйг, йг dx, йх dy — внешняя нормаль по-
верхности, при этом величина
?Уйп = 0
ЕРА
в силу предполагаемой симметрии- в противном случае она должна быть включена в равенство (2. 12).
Запишем (2. 12) в виде:
// {(РЇ& gt-, — Р°°)и=х. — (рУ х — рсо Уж) и= йу йг +
& quot-Ь !!? Уу |у=Уо йх йг — 0.
0& lt-У<-Уо
-г0& lt-г<-г0
-х0& lt-х<-х0
-Z (l^Z^¦Zo
Подставляя в (2. 13) выражение для потока массы (2. 9), получим:
| ] (еда + ?3зда-|- е3з2т)^~йх йг 4 (| {{и + з) + е (и2 + з2 + зи) +
й, 0 в,
+ г2 (и3 + он, + а2 и + з3)} |,=, о йу йг — Л {{и + з)? (и. + 32 + аи) +
й,
+ е3(м3 + зм2 + згн + з8)} х=_х1& gt-йуйг = 0, (2. 14)
где
~ { Х0 & lt- X Х0, 2о& lt-^2<-^2ч)},2 == {0 У ^Уо'0 ! •
Из (2. 14) следует цепочка интегральных равенств:
s°: f f (и + э) йу dz = 0- (2. 15)
о
s: Jj w |y=v, dx dz + j j {(и2 + з, -f зи)]*_,“ dy dz —
a,. '-* s,
— („2 + °2 + 3“) } dy dz = 0- (2. 16)
e2: jj aw ≅~dx dz -f jj {(и3 -f ей, + з2и -f з3) —
2, S,
— (и3 + om2 -j- 0аи + Зз) |jr=-. r“) dy dz = 0. (2. 17)
Будем рассматривать течения, в которых изменение параметров на скачке уплотнения, замыкающего местную сверхзвуковую зону, имеет тот же порядок, что и во всем потоке. Тогда соотношения
(2. 5) и (2. 6) запишем в виде:
р (-(¦ эо, у)/р0~ = 1 -4- S3 3., (+ сю, '-у) н-,
' ?(+ °°& gt- У)/и& lt-“ = 1 + S3»,(+ ОО, у) -1-------,
где
«з (+ оо. У) = 1у (т + 1)(т — !)["]" —
Из (+ оо, у) = -±- (Т + 1) [и}1, [и] = и (хск + 0) — и (хск — 0) — ! & lt-2•18>-
°з (+°о, У) = °2(+ °о, у) = 0, м (+ оо, у) = и2(+ оо, у)=0. ,
Совершая предельный переход к области с конечными значениями у0 и z0 и х0 -» оо, получим
И w (х, y0) dx dz — 0, Q1,00 = lim21- (2. 19)
si. со jr"~oc
jjo (x, y0) w (x, y0) dxdz*=
Sl. OO
= «JJ (+ °°& gt- У) + (+ °°& gt- У)] dy d*¦ (2−2°)
s a
Теперь в (2. 20) может быть выполнен повторный предельный переход у0 ос, откуда следует, что предельная величина интеграла расхода в третьем приближении через линию у =у0 = const, у0^& gt- 1 не стремится к нулю, а определяет некоторый „дефицит& quot- расхода, равный (с обратным знаком) предельному расходу в х-на-правлении:.
Urn jj о (х, у0) w (х, у0) dx dz — - jj [и3(ос,_ у) + з3(оо, y)]dydz =
Л. -00 S, оо 22,00
, _ =-iyT (T + l) jj [uCK]adydz. (2. 21)
• :a — :v & gt-. ¦ - ®2, oo & gt- ¦¦¦¦ -
Выражение для расхода / через поверхность у =у0 = сопз! записано в виде:
оо 00
I (Уо) =? | '-у0)йх-- *- | о (х, у0) и& gt-(х, у) Лх + О (г3). (2. 22)
-СО -ОС
Первый член разложения в (2. 22) равен нулю- дефицит расхода газа через эту поверхность имеет более высокий порядок и, как это следует из (2. 20), (2. 21), определяется величиной энтронийных потерь в скачке уплотнения. Тем не менее решение потенциальной задачи в рамках уравнения Кармана дает возможность определить величину этого расхода согласно (2. 22). Аналогичной особенностью обладает, как известно, и задача о волновом сопротивлении тела в трансзвуковом диапазоне скоростей [4−6].
Равенство (2. 21) позволяет получить краевое условие на бесконечности для уравнений, связывающих члены третьего приближения. Так, для плоского случая имеем
м3(+оо, у) + з3(+оо, 7) = ~~ | а (х, у) вд (лг, у) йх- (2. 23)
-сс
для осесимметричного случая получаем соответственно
М,(+оо, у) +з3(Н-с“, у) = -4−4г. С уз (х, у) т (х, у) с1х. (2. 24)
у оу
-оо
Кроме того, из уравнения Бернулли (2. 11) получаем и3(+ос, у) = ^-то3(- оо, у),
что дает возможность определить величины иг И оя на бесконечно удаленной границе при х -* + оо, выражаемые с помощью членов первого приближения. В частности, для плоского случая имеем:
— 2 д * ~ ~
Из (+ со, у) = -. -рг! ] Чх, у) VI (X, у) ах-
'- -оо
-. _ 1 д 00 ~ _
М+оо, у) = - тзрту= | 3(*. у)9(х, у) Ых.
-со
Аналогично может быть построена цепочка краевых условий и для следующих приближений.
Полученный результат о том, что суммарный расход газа через любую линию у = Уо ~ соп^ равен нулю в первом приближении, иллюстрируется ниже результатами численных расчетов (выполненных методом, близким к описанному в [1]) — его можно использовать для интегрального контроля точности разностных схем расчета трансзвуковых течений.
Проведенные расчеты соответствуют случаю обтекания трех осесимметричных тел с относительной толщиной т = 0,1, имеющих различное расположение точки максимальной толщины (соответственно хт — 0,3- 0,5- 0,7) потока с числом М, равным 0,9975.
Геометрические характеристики тел 1, 2, 3 задаются в виде:
тело / тело 2 тело 3
гТ (х) — 0,855•= [(1 — х) — (1--с)6'-03], шах л, при х = 0,3- гТ (х) = 2 т (х -*'--), шах гт при х = 0,5- гт (л:) = 0,855 — л: 6−03], шах гт при л = 0,7.
-0,5 0 0,5 1,0 х
Рис. 3
Рис. 5
Величина интегрального расхода в зависимости от координаты х показана на рис. 3и4для различных расстояний от тела соответственно у — 0,05 и 3/ = 0,15. Некоторый разброс при хсо имеет случайный характер и определяет погрешность численного решения. На фиг. 5 показана зависимость вертикальной скорости от величины х —. г:0 (л-0 — точка нулевой вертикальной скорости) для рассматриваемых тел, у -0,2. Видно, что интенсивность скачков достаточно велика в этих случаях. _
Следует отметить, что для получения хорошей точности необходимо принимать специальные меры для правильного расчета течения в области скачка уплотнения- приведенные результаты расчета были получены с помощью полностью дивергентной разностной схемы, удовлетворяющей этому условию.
1. Сычев В. В., Фонарев А. С. Безындукционные аэродинамические трубы для трансзвуковых исследований. „Ученые записки ЦАГИ*, т. 6, 1975, № 5.
2. Ферри Л. Аэродинамика сверхзвуковых течений. М., Гос. издат. техн. -теорет. лит., 1953.
3. К о у л Дж. Асимптотические методы в прикладной математике. М.,. Мир'-, 1972.
4. MurmanE. М., Cole J. D. lnviscid drag at transonic speeds. A1AA Paper N 74−540.
5. Диесперов В. H“ Рыжов О. С. О телах вращения в звуковом потоке идеального газа. Ж. вычисл. матем. и матем. физ., т. 9, № 1, 1969
6. Диесперов В. Н» ЛифшицЮ. Б. О сопротивлении тел вращения при трансзвуковых скоростях потока. ПММ, т. 39, вып. 2,
Рукопись поступила 5jIV 1978 г.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой