Антропологические основы формирования духовно-нравственных установок современного учителя

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Решение задач оптимизации определяющих параметров для анализа взаимодействия струйных течений
А.Е. Бондарев
Институт прикладной математики им. М. В. Келдыша РАН, Россия, Москва
e-mail: bond@keldysh. ru
1. Обратные задачи в прикладных исследованиях
В настоящее время существует большой набор численных алгоритмов и методов, который позволяет моделировать практически любой физический процесс в механике сплошных сред и получить соответствующее поле физических параметров. Однако в практических приложениях недостаточно просто рассчитать поле течения -нужен выбор наилучшего решения и определяющих параметров задачи, формирующих это решение. Так в одних случаях ищется геометрическая форма, обеспечивающая минимальное сопротивление, максимальную подъемную силу и т. д. В других случаях ищутся условия, обеспечивающие управление течением (максимальное смешение, минимальное сопротивление, увеличение или подавление вихрей и т. д.). Это требует решения обратных задач.
Численное решение обратных задач в газовой динамике достаточно сложно в силу того, что задачи газовой динамики в общем случае многомерны по пространству. Необходимо решать 4D задачи (3D+ время) в вариационной постановке, что требует серьезных вычислительных и временных ресурсов [1]. Отдельной проблемой является визуальное представление решений обратных задач, как в концептуальном смысле, так и в инструментальном. Тем не менее, интенсивное современное развитие вычислительных средств и методов позволяет в настоящее время вплотную заниматься этим классом задач математического моделирования.
Используя концепцию и постановку обратных задач, мы можем решать широкий круг проблем. Обратные задачи классифицируются согласно [2,3], как поиски границы, коэффициента, ретроспективные обратные задачи или задачи оптимального проектирования. В общем, в практических целях обратные задачи формулируются следующим образом: найти при каких определяющих параметрах в классе задач будет возникать интересующее практического исследователя явление,
независимо от того, как проявляется это явление количественно (достижения некой величиной определенного значения) или качественно (зарождение вихрей, срыв
потока и т. д.).
Формализованная постановка обратной задачи выглядит в общем случае следующим образом:
Решение выбранной задачи формируется в процессе математического моделирования и определяется конечным набором определяющих параметров задачи. Эти параметры можно разделить на три группы: А = (ах ,…, ап) — параметры,
характеризующие физические свойства задачи и математическую модель- В = (Ъх ,…, Ьт) — параметры, характеризующие численный метод- С = (ех ,…, с1) —
параметры, относящиеся к организации процесса расчета. Численное решение F = ?(А, В, С) = F (a1 ,…, ап, Ъ1 ,…, Ът, с1 ,…, с1) вырабатывается в процессе расчета на
основе выбранной математической модели, численного метода и способа организации расчета.
В качестве функционала событий будем рассматривать функционал Ф (?(А, В, С)), который на решении задачи принимает, подобно логической переменной два значения: 1 — если, событие, интересующее исследователя наступило (независимо от рода события — достижение величиной определенного значения, появление в потоке новой качественной структуры и.т.п.) и 0 — если событие не наступило.
Ф (?(А, В, С)) = 0 — событие не наступило (2. 1)
Ф (?(А, В, С)) = 1 — событие наступило.
Представляя Ф (?(А, В, С)) как Ф (?(А, В, С)) = Ф (ах,…, ап, Ъ1 ,…, Ът, с1 ,…, с1),
можно в общем случае сформулировать обратную задачу следующим образом:
найти все значения определяющих параметров (а1 ,…, ап, Ъ1 ,…, Ът, сг,…, с1), при
которых выполняется условие Ф (аг ,…, ап, Ъг ,…, Ът, с1 ,…, с1) = 1
(2. 2)
Рассматривая (а1 ,…, ап, Ъ1 ,…, Ът, сг,…, с1) как набор базисных векторов, можно представить пространство определяющих параметров Ь (аг,…, ап, Ъ1 ,…, Ът, сг,…, с1),
имеющее размерность (п + т +1). Тогда в общем случае обратную задачу можно сформулировать так:
найти в пространстве Ь все подобласти Ь, для которых выполняется Ф (Ь) = 1.
2. Описание методологического подхода.
На практике в задачах аэрогазодинамики при изучении с помощью численного или экспериментального моделирования того или иного явления (возникновение отрыва пограничного слоя на теле, разрушение вихревой зоны и т. п.) мы, как правило, знаем причину возникновения явления и количественный параметр, управляющий этой причиной (управляющий параметр). Исследование стремится к численному (экспериментальному) установлению зависимостей управляющего параметра от определяющих параметров задачи. Построение подобных зависимостей в квазианалитическом или табличном виде является практической целью исследования. По сути, такие зависимости и составляют практический смысл аэрогазодинамики последние полвека.
В работах [4,5,6] предложен и описан методологический подход получения таких зависимостей с помощью численного моделирования. Данный подход применен и развит в настоящей работе. Суть данного подхода можно описать следующим образом.
Для изучения конкретного явления (эффекта) проводится решение обратной задачи с целью нахождения точного значения управляющего параметра, при котором наступает изучаемое явление. Обратная задача решается путем многократного решения прямой задачи с вариацией управляющего параметра /упр при заданном наборе определяющих параметров /упр (/[,…, /п). Далее
реализуется многократный расчет обратных задач с вариацией определяющих параметров _/[,… ,/п с выбранным шагом в пределах их области изменения.
Результатом применения такого вычислительного подхода является зависимость управляющего параметра от определяющих параметров задачи, представленная в общем случаемерным массивом /упр (/г,… ,/п). Далее проводится аналитическое изучение массива, отбрасываются определяющие параметры, не оказывающие
влияния на управляющий параметр. Тем самым понижается размерность массива. К оставшимся данным применяются современные методы визуального представления, которые в ряде случаев позволяют быстро и эффективно получить искомые квазианалитические зависимости /упр (/г,… ,/п).
Здесь возникают интересные задачи с точки зрения построения концепций и выработки методов научной визуализации. Легко представить визуально в виде поверхности зависимость типа /упр (/г,/2), гораздо сложнее организовать визуальное
представление области пространства /упр (/2,/3). Правильная и доступная
зрителю организация визуализации зависимостей от более чем трех параметров является предметом разработок и исследований в задачах научной визуализации.
Организация многократного решения обратной задачи, сводящаяся к многократному решению однотипных задач с разным набором определяющих параметров и варьируемым управляющим параметром органично укладывается в идеологию построения многопроцессорных параллельных расчетов по принципу «одна задача — один процессор». Параллельный подход позволяет резко ускорить процесс расчета и сделать его гораздо более эффективным с точки зрения конкретных практических приложений.
Данный подход был успешно применен к оптимизации вычислительных свойств гибридной разностной схемы с учетом влияния вязкости и турбулентности [4]. В качестве события рассматривалось появление нежелательных осцилляций. Управляющим параметром послужил весовой коэффициент гибридной разностной схемы. В результате для выбранного класса задач были получены квазианалитические зависимости весового коэффициента от определяющих параметров задачи — шага сеточного разбиения, чисел Маха и Рейнольдса задачи.
3. Применение методологического подхода к задаче о нестационарном взаимодействии вязкого сверхзвукового потока со струйной преградой
Данный подход был применен к исследованию процессов образования нестационарных циркуляционных зон в задаче о нестационарном взаимодействии вязкого сверхзвукового потока со струйной преградой. Данная задача
рассматривалась ранее в работах [5,6], где проводилось численное исследование течения на внешней боковой поверхности обтекаемого сверхзвуковым вязким потоком сопла, из которого истекает спутная сверхзвуковая вязкая недорасширенная струя большой степени нерасчетности. При расширении данная струя затекает на внешнюю боковую поверхность сопла, образуя для внешнего потока струйную преграду. Наличие струйной преграды вносит возмущение во внешний поток, что приводит к отрыву пограничного слоя на внешней поверхности сопла и возникновению во внешнем потоке перед преградой области циркуляционного течения (Рис. 2).
Рассматривалась задача с нестационарным граничным условием на срезе сопла, где в качестве параметра струи, изменяющегося со временем, выбрана степень нерасчетности недорасширенной струи п = п (ї) = Ра / Рх, (Ра — давление на срезе
сопла, а Рда — давление в набегающем потоке). В качестве математической модели использовалась полная система нестационарных двумерных уравнений Навье-Стокса для вязкого сжимаемого теплопроводного газа. Для численного решения задачи применяется неявная гибридная конечно-разностная ШШ-схема [7]. Общая схема течения рассматриваемой задачи представлена на приведенном ниже рисунке 1.
Рис. 1
В качестве п = п (0 выбиралось линейная зависимость, позволявшая задавать различные скорости изменения нерасчетности струи до п=100. В ходе расчетов было обнаружено, что увеличение темпа повышения нерасчетности приводит к новой качественной картине течения в окрестности циркуляционной зоны перед струйной преградой (рис. 3).
Рис. 2. Рис. 3.
В качестве управляющего параметра была выбрана скорость повышения нерасчетности. В качестве события рассматривалось образование новой структуры в картине течения. В работах [5,6] в качестве определяющих параметров были использованы характерное число Маха Мда и число Рейнольдса ReM задачи. Для каждого набора (Мда, Rem) проводится решение обратной задачи при помощи вариации скорости повышения нерасчетности до наступления искомого события -образования новой структуры течения с дополнительной циркуляционной зоной. Определяющие параметры, в свою очередь, варьировались в диапазонах 1.5 & lt- Мк& lt- 3и 2.5 & lt- lgReM& lt- 4.
Для каждого набора (Мх, ReM) таким образом определялась скорость повышения степени нерасчетности, при которой наступает искомое событие и, соответственно, характерное время наступления этого события — образования новой структуры. В
* /
качестве характерного времени выбиралось t = tco6 / tn=100, где tco6 — время наступления события, а tn=100 — время достижения значения степени нерасчетности, равной 100.
В режиме online в процессе расчета проводилось построение и визуальное представление в виде поверхности зависимости характерного времени наступления
события от набора определяющих параметров t (М, Re). Данная поверхность представлена на рисунке 4.
Рис. 4.
Вид поверхности ґ (М, Яв), представленной на рисунке 4, позволяет сразу определить, что зависимость характерного времени от изменения числа Яе является крайне слабой, а зависимость от изменения характерного числа М является почти линейной. Таким образом была получена квазианалитическая зависимость ґ * = 0. 289Мда + 0. 131
В данной работе изучение зависимости характерного времени наступления события от определяющих параметров было продолжено. В результате применения вышеизложенного методологического подхода был построен 4-мерный массив, численно характеризующий зависимость характерного времени наступления события
* /
ґ = Ґсоб / ґп=100 от определяющих параметров задачи (Мда, Кеда, Ргда,), где Ргда —
число Прандтля, ЛкК — число Струхаля. Пределами изменения характерных чисел задачи выбраны 1.5 & lt- Мю & lt- 3- 2.5 & lt- ^ Яем & lt- 4- 0. 72 & lt- Рг^ & lt- 1- 1 & lt- Лкх & lt- 2.
На рис. 5 представлена зависимость ґ& quot- = ґ *(Мх ,^Кет, Ргт) в виде
изоповерхностей. Характер изоповерхностей подтверждает полученный в [5,6] результат, что для данного класса задач в выбранном ламинарном диапазоне числа Яеда, характерное время не зависит от числа Рейнольдса.
Рис. 5.
Таким образом мы можем понизить размерность массива результатов и далее рассматривать уже трехмерный массив ґ* = ґ*(Мда, Ргда, Лкх). На рис. 5 представлена зависимость ґ * = ґ *(Мх, Ргда, Лкх) в виде изоповерхностей.
шанддддд ид
Рис. 6.
Анализируя вид изоповерхностей, можно утверждать, что для целей грубой оценки их можно представить в виде плоскостей вида і * = і (Мх, Ргв, ЛК) = ЛМа& gt- + В Ргв+ ЄЛК
Построение подобных плоскостей позволяет получить квазианалитическое выражение для усредненной оценки зависимости характерного времени наступления
события от определяющих параметров задачи, оказывающих влияние на физический процесс образования дополнительной циркуляционной зоны:
t* = t (М", Pra), Shx) = 0. 224Мда -0. 04 Pr^- 0. 132^
Заключение
Рассматриваемый подход к оптимизации параметров помогает определять зависимости критических точек перехода к новым структурам в задачах, имеющих существенно нестационарный характер, от определяющих параметров задачи. Результирующая зависимость представляется в виде многомерного массива данных. Анализ массива данных и его визуальное представление дают возможность уменьшения размерности массива данных, определения характера зависимости и ее представления в квазианалитическом виде. Данный подход органично распараллеливается и может успешно применяться в задачах вычислительной физики.
Литература
[1] Alekseev A.K., Bondarev A.E. On Inverse Problems for 3D Time-Dependent Free Convection Heat Transfer // Proc. National Heat Transfer Conference, Oregon, USA, Vol. 10, 1995, pp. 112−122.
[2] Алифанов О. М. Обратные задачи в теплопередаче. М,
Машиностроение, 1988.
[3] Beck J.V., Blackwell B., St. Clair C. Inverse Heat Conduction. Ill-posed Problems. John Wiley& amp-Sons, USA, N.Y., 1985
[4] Бондарев А. Е. Оптимизация гибридной разностной схемы с учетом влияния вязкости и турбулентности на основе решения обратных задач // Сборник трудов конференции «Высокопроизводительные вычисления в задачах механики и физики», Москва, 2009. С. 39−44.
[5] Бондарев А. Е. Процессы образования циркуляционных зон при нестационарном взаимодействии вязкого сверхзвукового потока со струйной преградой // Тезисы докладов международной конференции «Современные проблемы вычислительной математики и математической физики» М. :МГУ, 2009, с. 300−301.
[6] Бондарев А. Е. Анализ нестационарного взаимодействия вязкого
сверхзвукового потока со струйной преградой с помощью решения задачи оптимизации определяющих параметров // Новые информационные технологии в автоматизированных системах: материалы тринадцатого научно-
практического семинара. — МГИЭМ, М., 2010, С. 212−217.
[7] Бондарев А. Е. «Численное решение уравнения Бюргерса в области высоких градиентов» Препринт ИПМ им М. В. Келдыша РАН, М., № 12, 1990, 13 с.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой