Интегральный метод Эйлера с возмущениями и принцип усреднения для дифференциальных включений

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2005. № 5(39).
УДК 517. 928. 1
79
ИНТЕГРАЛЬНЫЙ МЕТОД ЭЙЛЕРА С ВОЗМУЩЕНИЯМИ И ПРИНЦИП УСРЕДНЕНИЯ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ
© 2005 О.П. Филатов1
Для односторонне липшицевых дифференциальных включений с медленными переменными дается обоснование разностной интегральной схемы Эйлера с возмущениями. В качестве следствия из этой теоремы получается принцип усреднения для дифференциальных включений.
1. Постановка задачи
Рассмотрим задачу Коши для дифференциального включения
где F: D ^ Ку (Кт) — отображение в множество непустых и выпуклых компактов пространства Кт, D = К X Кт, ^ & gt- 0 — малый параметр. Задача рассматривается на отрезке времени I^ = [0,1/ц].
Решения этой и других задач понимаются в смысле Каратеодори. Таким образом, рассматриваются абсолютно непрерывные функции, которые почти всюду удовлетворяют соответствующим дифференциальным включениям.
На отрезке I^ введем сетку П^ = (г: г = уД, у = 0,1,…, и) с шагом Д & gt- 0 и обозначение для частичного отрезка Iу = [гу, гу+і]. Задаче (1) сопоставим интегральную схему Эйлера с возмущениями
где ] = 0, — 1,Ап = 1, у^) = у] е Кш.
Здесь у^(-) — решение задачи (2). Измеримое по г отображение О: D ^ ^ Ку (Кш) играет роль возмущений в интегральном методе Эйлера, при этом на модуль множества |О (г, у)| = яир^о^у ||#|| далее будут наложены некоторые естественные ограничения.
1 Филатов Олег Павлович (filt@ssu. samara. ru), кафедра уравнений математической физики Самарского государственного университета, 443 011, Россия, Самара, ул. Акад. Павлова, 1.
х є ^(г, х), х (0) = Х0,
(1)
у є ^(г, уу) +С (г, уу), у (0) = х0, г є Іу,
(2)
Отображение О, в частности, моделирует погрешность выбора средней скорости на отрезке времени Iу, если рассматривать интегральную схему (2) на сетке П:
Для дифференциальных включений классический метод Эйлера в классе односторонне липшицевых правых частей обоснован в [1]. Основная цель данной работы заключается в том, чтобы распространить интегральный метод Эйлера на дифференциальные включения вида (1) в классе односторонне липшицевых правых частей в ситуации, когда шаг сетки, А = А^ при ^ ^ 0, и установить связь метода с задачами усреднения дифференциальных включений.
Дело в том, что при реализации разностной схемы (3) на каждом частичном отрезке 1у, у = 0,1,…, п -1, требуется вычислять среднюю скорость движения. Обычно при доказательстве теорем усреднения для дифференциальных включений с медленными переменными [2] или с медленными и быстрыми [3] применяют операцию усреднения на каждом частичном отрезке достаточно большой длины при условии, что среднее по времени г при фиксированном значении фазовой переменной х существует.
Эти соображения позволяют в качестве следствия из интегрального метода Эйлера получить теорему усреднения для дифференциальных включений с медленными переменными [2, 4, 5], которая является одним из вариантов принципа усреднения.
В данной статье для простоты изложения усредненное дифференциальное включение считается автономным
при условии существования равномерного по ^ е В (хо, г) предела при некотором г, которое уточним ниже. Предел рассматривается в метрике Хаусдор-фа Н (Л, С) = тах{ех (А, С), ех (С, А)}, где полуотклонение множества, А с Кш от множества С с Кш определяется соотношением
Уу+1 = Уу +А (/у + gj), уо = хо, У = 0,1,…, п — 1,
(3)
где
е И'-Fо (?),
Ш) = Х0.
(4)
Здесь выпуклый компакт
(5)
ех (А, С) = М{г & gt- 0: А с С + В (0, г)}.
Здесь сумма множеств алгебраическая: С + В = {х: х = с + Ь, с е С, Ь е В}. Евклидово расстояние между множествами А, В с Кш будем обозначать р (А, В) = тЩа — Ь||: а е А, Ь е В}.
Для обозначения опорной функции множества A с Rm используем символы
c (A, у) = sup& lt-a, у),
аеА
где у е Rm. Свойства опорных функций, которые используются в данной статье, можно найти, например, в [6].
2. Условия и леммы
Введем класс LЬ с Ll°c локально интегрируемых функций X: R+ ^ R+, для каждой из которых найдутся числа T = T (X) & gt- 0 и l = l (X) & gt- 0 такие, что
Jt+A
X (s) ds ^ lA, t е R+, A ^ T.
Кроме того, введем класс K непрерывных строго монотонных функций ф: R+ ^ R+, ф (0) = 0.
Для отображения
F: D ^ Kv (Rm), (t, х) ^ F (t, x) (6)
будем использовать следующие условия:
1) отображение F (•, х) является измеримым для любого x е Rm, при этом существует функция ух е L^ такая, что модуль множества F (t, х) удовлетворяет оценке линейного роста:
|F (t, х)| = sup WfW & lt- Yi (t)(1 + Ух||), (t, х) е D-
f еF (t, x)
2) существуют функции Y2 е L^, о е K такие, что
h (F (t, х), F (t, у)) ^ Y2(t)o (Wх — у||), (t, х) е D-
3) для некоторой функции Y3 е Lb и произвольных х, у е Rm, v е F (t, х) найдется вектор w е F (t, у) такой, что
2
& lt-х — у, v — w) ^ Y3(t)Wх — у||.
Последнее условие обобщает условие Липшица по основным переменным х отображения (6) и называется односторонним условием Липшица [1].
Далее для функции Yi из условия i е{1,2,3} соответствующие постоянные, определяемые включением Yi е L^ будем обозначать li = l (Yi) и Ti =
= T (Yi).
Будем использовать также следующие обозначения:
M (х0, ц, t) = (WxoW + [лГi (t)) exp (мГКО), Гi (t) = f Yi (s) ds,
J0
M0 = (W x0 W + li) exp (li), где функция Yi -из условия 1.
На основании леммы Гронуолла-Беллмана нетрудно доказать следующую лемму.
Лемма 1. Пусть отображение F из задачи (1) удовлетворяет условию 1, и существует решение х^(-) этой задачи на отрезке /^. Тогда имеет место неравенство
НхДОН ^ М (хо, и, г), г е /^.
Если и ^ 1/Гх, то М (хо, И, г) ^ Мо для любого г е /^.
Для того чтобы сформулировать аналог леммы 1 для задачи (2), предположим, что модуль множества |С (г, у)| для любых (г, у) е D удовлетворяет оценке |С (г, у)| ^ Уо (г), где уо е ЬЬ, при этом постоянную 1о = 1(уо) будем обозначать через е & gt- о, постоянная То = Т (уо).
Отсюда следует, что для функции уо при любых а, г ^ о имеет место оценка
Обозначим
И (хо, и, г, е) = (ухоУ + +Г 1(г)) ехр (^Г 1(г)),
Ио = Ще) = (У хо У + е + 11) ехр (11).
Лемма 2. Пусть отображение F из задачи (2) удовлетворяет условию 1, |0(г, у)| ^ Уо (г), уо е Ь^, е = 1(уо). Тогда для любого решения у^(¦) этой задачи выполняется неравенство
Лемма 3. Пусть отображение F из задачи (2) удовлетворяет условию 1 и параметр и ^ т1п (1/(пТ1), 1/То}. Тогда для любого решения у^(-) задачи выполняется неравенство
Доказательство. Из леммы 2 получим ||у^(г)У ^ Ио, г е /^. Поскольку п = = 1 /(цД), то для любого г е /] из условия 1 следует
Г г1+Д
Уу^(г) — ууУ ^ И У1(г)(1 + Ио) йг + ийд"е ^ ко (п, е).
Лемма доказана.
Лемма 4. Пусть выполняется условие 1, и для данного со & gt- о при г ^ Т*(со) справедливо неравенство
Уу^(г)У ^ N (хо, и, г, е), г е /^.
Если и ^ т1п (1/То, 1/Т1}, то N (хо, и, г, е) ^ Ио для любого г е /И. Для целого п обозначим
ко = ко (п, е) = ((1 + Ио)11 + е) п-1.
Уу^(г) -ууУ ^ ко (п, е), г е /у, — = о, 1,…, п — 1.
для любого ^ из некоторого множества К с Кш. Тогда, если Д ^ Т*, то
1 Ггу+1
к
Д
I
^Іі
F (г, ?) йг, ад)
^ (2п — 1) со, § є і = 0, — 1. (8)
Доказательство. В силу аддитивности интеграла от многозначного отображения имеем
1 Г1 11 Гг1 (1 Г1
— I = Л.1 (- I F (г, I-) I + Лг — ,
г]+1о г] и о) 1Д л г]
где1 = гj/г+1,2 = Д/гу+1. Отсюда, переходя к опорным функциям, получим
КГ
1 Ггj+l. Д
F (г, ?) йг, у| +
+Х. 2С
Г
і F (г, §) йг, у
Лі
(9)
для любого вектора у є 51. По условию леммы
сі '-
у Л0, Ю у| = с (^о®, ?) + ф (г& gt- ?).
где |ф (г,, у)| ^ Со, если г ^ Т*. Воспользуемся этим равенством при г = гj и г = г--+1 в (9). После простых преобразований получим
1 Ггj+l
і г
АЛ
F (5, §) йя, у
= с ^о®, у) +
ф (гу+1, у) — (гу, у)
^2
Отсюда
1 Ггу+1
I F (s, §)^5,у
^Іі
& lt-
— с ^о®, у) (п — 1) Д + пД
Хі|ф (гу,^у)| + |ф (гу+ь^у)|
Д
с0 = (2п — 1) с0, у є 51,
что эквивалентно (8). Лемма доказана.
Лемма 5. Пусть для отображения F выполняются условия 1, 2 и существует среднее (5) равномерно по ^ е В (хо, г). Тогда выполняются неравенства
о (c)| & lt- 11(1 + УШ, Н (Fо (x), Fо (y)) & lt- ?20(Ух — уУ) (10)
для любых, х, у е В (хо, г), где постоянные ?1, ?2 определяются функциями уь у2 из условий 1 и 2 соответственно.
Доказательство. Возьмем произвольное к & gt- о. Тогда при достаточно большом Т & gt- о выполняется неравенство
F (s, S) rfsW& gt-^. (11)
с
с
2
Отсюда, с учетом условия 1, следует
1 ГТ 1 ст
& lt- 11(1 + нш + К.
В результате, в силу призвольности к & gt- 0, получим первое неравенство
Для доказательства второго неравенства перейдем к опорным функциям. Из (11), свойств опорных функций и условия 2 следует
В силу произвольности к & gt- 0 получим второе неравенство в (10). Лемма доказана.
Лемма 6. Пусть для отображения F выполняются условия 1, 3 и существует среднее Fo, определяемое (5), равномерно по ^ е В (хо, г). Тогда для отображения Fo (•) выполняется условие односторонней липшицевости в шаре В (хо, г) с постоянной 1з = 1з (уз).
Доказательство.
По условию равномерной сходимости для целого к & gt- 0 имеем
при Т ^ Т*(1/к) и любом ^ е В (хо, г). Заметим, что условие 1 гарантирует существование интегралов.
Возьмем произвольные х, у е В (хо, г) и любой вектор V е Fo (x), тогда существует вектор
в (10).
о (х), у) — с (^о (у), У) | ^
ds + 2к =
Отсюда
к (Fo (x), Fo (у)) = йир |с (Fo (х), у) — с (Fo (у), у) | ^ ^(Нх — уН) + 2к.
Проинтегрируем это неравенство на отрезке [0, Т] при Т ^ Тэ = Т (уэ) и разделим левую и правую части на Т. Так как уэ є Ь^, то в результате получим
1 ГТ
(х-у, ук-м?^) ^\х-у\2- Уз (0^ ^ Ь\х-у\2.
Т Ло
где
1 ГТ 1 ГТ
^ = тХ ії(1)с11ет X Г ('& gt-У)Л-
Векторы ук и wkl представим в виде
V = V + ф?, V є F (x), ||ф?у ^ 1/к,
wkl = wk + у, є F (у), УуУ & lt- 1/к.
Отсюда
& lt-х — у, V — ^к& gt- ^ 1э ух — у||2 + & lt-X — у, у — фк& gt-. (12)
Поскольку F (у) — компактное множество, то из последовательности векторов wk є F (у), к = 1,2,…, выберем сходящуюся подпоследовательность к вектору w є F (у) и сохраним за ней прежнее обозначение. Остается сделать предельный переход при к в неравенстве (12), в результате получим
требуемое соотношение
(х — у, V — w& gt- ^ ?эУX — у|2.
Лемма доказана.
Таким образом, можно констатировать, что свойства 1−3 переносятся на усредненное отображение Fo, при этом соответствующая функция у, — из условия і заменяется на постоянную I, і = 1,2, Э.
3. Основной результат
Обозначим Хц (г), Уц (г) интегральные воронки на отрезке [о, г] для задач
(1), (2) соответственно. Расстояние между ними Н^Хц (г), Кц (г)^ будем определять по Хаусдорфу, рассматривая воронки как множества из пространства С ([о, г], Кт) непрерывных функций ф: [о, г] ^ К™. Кроме того, введем обозначение Ь (г, П, е) = О (Ко (п, е)) у2(г) + Уо (г), где Ко (-, ¦) определена в лемме 3, и функцию
(r)ц, е (г) = Ц г Ь (т, п, е) ехр|ц ^ уз (^) d. sj dт. (13)
Заметим, что если ц ^ Цо = тш{1/(пТх, 1/То, 1/Т2, 1/Тз}, то
Шц, е (г) ^ (о (ко)?2 + е) ехр (1з), Ко = Ко (п, е). (14)
Теорема 1. Пусть выполняются условия 1−3, малый параметр ц е е (о, Цо], и для измеримого отображения 0(¦, у), у е Кт выполняется неравенство й (г, у)| ^ Уо (г), где уо е ьъх, е = 1(уо). Тогда имеет место оценка
Н (Хц (г), Уц (г^ ^ (о (ко)?2 + е) ехр (1з), г е 1ц. (15)
При этом для любого к & gt- о, если е ^ ехр (-1з)к/2, а целое п удовлетворяет неравенству о (ко (п, е))?2ехр (?з) ^ к/2, то Н^Хц (г), Кц (г)) ^ к, г е 1ц.
Доказательство. Пусть хц (г) — произвольное решение задачи (1). Зафиксируем целое п и ц е (о, цо]. Здесь, напомним, шаг сетки Д, целое п и малый параметр ц связаны равенством цДп = 1.
Построение требуемого решения уц (г) задачи (2) проведем методом, который использовался при доказательстве леммы 4.2 из [1] при обосновании классического метода Эйлера.
Сначала заметим, что на основании леммы 3 и условия 2
к (цF (г, у), цFе (г, уу)) ^ цЬ (г, п, е), г е Iу, (16)
где Fе (г, у у) = F (г, у у) + С (г, у у), Щ (г, у у) ^ уо (г), у = о, 1,…, п — 1.
Допустим, что решение уц (г) задачи (2) на отрезке [о, гу] построено. Тогда определен вектор уу = уц (гу). Продолжим это решение на отрезок 1у следующим образом. Зафиксируем произвольные г е 1у и у е Кт и определим множество
А (г, у, ц) = цF е (г, у у) п Е (г, у, ц),
где
Е (г, у, ц) = ^ е Кт: & lt-хц (г) — у,. хц (г) — w) ^
^ цНхц (г) — уН (Нхц (г) — уНуз (г) + Ь (г, п, е))}.
Множество А (г, у, ц) отлично от пустого при любых у е Кт, г е К. Действительно, согласно условию 3 найдется вектор w е цF (г, у), для которого
& lt-хц (г) — у, хц (г) — w) ^ цуз (г)Нхц (г) — уН2.
Для найденного w возьмем такой вектор V е цF е (г, у у), чтобы
р (^, цFе (г, уу)) = - vН ^ к (цF (г, у), цFе (г, уу)) ^ цЬ (г, п, е).
Здесь мы воспользовались соотношением (16). Следовательно, с учетом неравенства Коши получим
& lt- хц (г) — у, хц (г) — V) ^ & lt- хц (г) — у, хц (г) — w) + & lt-хц (г) — у, w — V) ^
^ цуз (г)||хц (г) — уН2 + цЬ (г, п, е) Н хц (г) — уН.
Таким образом, множество А (г, у, ц) ф 0. Поэтому имеет смысл задача
у е А (г, у, ц), у (гу) = уу, г е 1у.
Здесь множество А (г, у, ц) е ^(Кш), функция А (-, у, ц) измерима, а отображение А (г, ¦, ц) полунепрерывно сверху, поскольку имеет замкнутый график.
Учитывая, что для правой части задачи автоматически выполняется и условие 1 линейного роста по у, то остается воспользоваться теоремой 5.2 из [7] о существовании решения указанной задачи на отрезке 1у.
Таким образом, решение задачи (2) определено для любого г е 1ц. Обозначим Иц (г) = Н хц (г) — уц (г)Н. Поскольку
ицц (г) = & lt-хц (г) — уц (г), хц (г) — уц (г)),
то почти всюду по г е 1ц выполняется соотношение
иц (г) ^ цуз (г)мц (г) + цЬ (г, п, е).
Учтем, что Иц (о) = о. Поэтому любое (абсолютно непрерывное) решение последнего неравенства на отрезке 1ц не превосходит решения задачи
со = цуз (г)ш + цЬ (г, п, е), о (о) = о,
которое имеет вид (13). Таким образом,
Н хц (г) — уц (г)Н ^ Оц, е (г), г е 1ц. (17)
Обратно, пусть уц (¦) — решение задачи (2). Тогда, учитывая условие 2 и лемму 3, получим
р (уц (г), цF (г, уц (г)) ^ к ^ (г, у у) + цЩ (г), цF (г, уц (г))) ^
^ к (цF (г, уу), цF (г, уц (г))) + цЩ (г, уу)| ^ цу2(г)о (ко) + цуо (г) = цЬ (г, п, е)
при любом г е 1у, у = о, 1,…, п — 1. По теореме о непрерывной зависимости решений дифференциальных включений от исходных данных в классе односторонне липшицевых правых частей [1] на отрезке 1ц существует решение хц (г) задачи (1), для которого выполняется оценка (17). Из нее и (14) получаются неравенство (15) и оценка
Н (Хц (г), Уц (г)) & lt- к, г е 1ц
при указанных в теореме е и п. Теорема доказана.
В следующем разделе приводятся два следствия. Первое — дискретный аналог теоремы 1.
Во втором утверждении формулируется принцип усреднения для дифференциальных включений с медленными переменными. Его доказательство основано на теореме 1 при дополнительном условии существования среднего (5).
4. Следствия
Непосредственно из теоремы 1 получим следующее утверждение. Следствие 1. Пусть выполняются условия 1−3 и малый параметр ц е е (о, цо]. Кроме того, Н^уН ^ е, у = о, 1,…, т — 1, для некоторого е & gt- о. Тогда для интегральных воронок Хц (г) и Уц (г) задач (1) и (3) соответственно выполняется неравенство (15) при г е Пц.
В следующем утверждении постоянная Мо из леммы 1, а Ец (г) — интегральная воронка задачи (4) на отрезке [о, г].
Следствие 2. Пусть выполняются условия 1−3 и существует среднее
(5) равномерно по ^ е В (хо, г), где г & gt- Мо. Тогда для любого к е (о, г — Мо) существует такое цк & gt- о, что если ц е (о, цк], то
Н (Хц (г), Ец (г)) & lt- к, г е 1ц.
Доказательство. Для усредненной задачи (4) рассмотрим разностную схему
гу+1 = zу + цДvу, го = хо, у = 0,1,…, п — 1, (18)
где
1 Ггу+1
V] е ^(гу) = - Jо (гу) йг.
В силу леммы 4 для заданного со & gt- 0 существует такое Т* & gt- 0, что если шаг сетки Д ^ Т*, то выполняются неравенства (8) при любом гу е В (хо, г), где ограничение г & gt- Мо вытекает из леммы 1. В таком случае разностную схему (18) можно записать в виде
гу+1 = гу + цД (/у + у го = хо, у = 0,1,…, п — 1, (19)
где VУ = /у + яу,
1 ггу+1
/уе дJ ^(г, гу) А, |М & lt- (2″ - 1) с0.
С другой стороны, схема (19) является разностной интегральной схемой Эйлера с возмущениями для задачи (1), так как в данном случае множество Щ (г, гу) = {яу}, если г у ^ г & lt- гу+1, то есть является одноэлементным при любом г. Пусть гц (г) — интегральная воронка для задачи (18) (а также для задачи (19)) на отрезке [0, г], цк = шш{цо, 1/(пТ*)}. Тогда для задач (4) и (18) на основании следствия 1 и лемм 5, 6 получим оценку
Н (Нц (г), 2ц (г)) ^ о (ко (п, 0)) 12 ехр (/з), г е Пц.
Для задач (1) и (19) следствие 1 при е = (2п — 1) со приводит к неравенству
Нц (г), Хц (г)) ^ (о (ко (п, е)) 12 + е) ехр (/з)
для любого г е Пц. Отсюда и из неравенства треугольника следует
Н (Нц (г), Хц (г)) ^ О (ко (п, 0)) 12 ехр (1з) + (О (ко (п, е)) 12 + е) ехр (1з) (20)
для любого г е Пц. В данном случае
Ко (п, е) = Ко (п, (2п — 1) со) = Ко, 1 (п) + Ко, 2(Со),
где
Ко, 1(п) = 1Щ-1 + п-1(Нхо Н + /х) ехр (1х)1х, ко, 2(со, п) = Со (2 — 1/n)(exp (lх)h + 1).
Пусть задано к е (0, г — Мо). Выберем число 5 & gt- 0 так, чтобы
О (5)?2ехр (?з) ^ К/12, 5 ^ к/з.
Затем выберем целое п из условия Код (п) ^ 5/2. При фиксированном п за счет со добиваемся выполнения соотношений
К0,2(С0, п) ^ 5/2 (2п — 1) со ехр (/з) ^ К/6.
При указанных значениях со, 5 и п правая часть (20), как нетрудно проверить, не превосходит к/з, поэтому
Н (Нц (г), Хц (г)) & lt- к/з, г е Пц.
Если г е 1у, то на основании неравенства треугольника получим
Н (Нц (г), Хц (г)) & lt- Н (Нц (г), Нц (г у)) + Н (Ец (гу), Хц (гу)) + +Н (Хц (гу), Хц (г)) ^ ко (п, 0) + к/з + ко (п, е) ^ к.
Таким образом, для заданного к & gt- 0 существует цк & gt- 0 такое, что если ц е (0, цк], то для любого г е 1ц выполняется неравенство
Н (Нц (г), Хц (г)) & lt- к.
Следствие доказано.
Литература
[1] DonchevT., FarhiE. Stability and Euler approximation of one-sided Lipschitz differential inclusions // SIAM J. Control OPTIM. 1998. V. 36. No. 2. 780−796 p.
[2] Плотников В. А. Асимптотические методы в задачах оптимального управления. Одесса: Изд-во Одесского госуниверситета, 1976. 120 с.
[3] Филатов О. П., ХапаевМ.М. Усреднение систем дифференциальных включений. М.: Изд-во Московского университета, 1998. 160 с.
[4] Плотников В. А., Плотников А. В., ВитюкА.Н. Дифференциальные уравнения с многозначной правой частью. Асимптотические методы. Одесса: АстроПринт, 1999. 356 с.
[5] Соколовская Е. В. Обобщение принципа усреднения Крылова-Боголюбова на случай дифференциальных включений с нелипшицевой правой частью // Вестник Самарского гос. университета. Естественнонаучная серия. 2004. Второй специальный выпуск. С. 36−51.
[6] БлагодатскихВ.И. Введение в оптимальное управление. М.: Высшая школа, 2001. 239 с.
[7] DeimlingK. Multivalued differential equations. Walter de Gruyter, Berlin- New-York, 1992. 260 p.
Поступила в редакцию 24/V/2005- в окончательном варианте — 5/IX/2005.
THE INTEGRAL EULER METHOD WITH PERTURBATIONS AND THE AVERAGING PRINCIPLE FOR DIFFERENTIAL INCLUSIONS
© 2005 O.P. Filatov2
The accuracy of the approximation of the solution sets by means of the Euler integral discretization scheme with pertubations for one-sided Lipschitz differential inclusions with slow variables is estimated. The averaging theorem for the differential inclusions is derived from the main theorem.
Paper received 24/V/2005. Paper accepted 5/IX/2005.
2Filatov Oleg Pavlovich, Dept. of Partial Differential Equations, Samara State University, Samara, 443 011, Russia.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой