Аппроксимация кривизны гладких классов плоских кривых элементами конечномерных подпространств

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2012. Вып. 3. С. 41−47
= Математика =
УДК 517. 518
Аппроксимация кривизны гладких классов плоских кривых элементами конечномерных подпространств *
Ю. Н. Субботин
Аннотация. Рассматриваются проблемы аппроксимации кривизны плоских гладких кривых в среднеквадратической метрике конечномерными подпространствами (тригонометрическими полиномами, периодическими интерполяционными сплайнами с равномерными узлами и интерполяционными сплайнами нечетной степени, удовлетворяющим краевым условиям первого типа).
Ключевые слова: кривизна, тригонометрические полиномы, сплайны, оценки погрешности аппроксимации, среднеквадратическая метрика.
В работе рассматриваются плоские явно заданные 2-^-периодические кривые у = (х) [0 ^ х ^ 2^] и предполагается, что (г — 1)-я производная
функции f (х) абсолютно непрерывна, а г-я производная удовлетворяет неравенству
2п
У и (гх)]2 йх ^ 1, Г ^ 3. (1)
0
В. Н. Габушин, иногда с соавторами (см., например [1]) обобщал результаты А. Н. Колмогорова [2] и других авторов об оценках норм промежуточных производных через нормы функции и старшей производной на нелинейные операторы, например, на операторы кривизны.
В настоящей работе рассматриваются вопросы аппроксимации кривизны в метрике ?2[0,2^] на классах плоских кривых, удовлетворяющих неравенству (1). При этом рассматривается аппроксимация тригонометрическими полиномами порядка не выше (п — 1), или 2^-периодическими
* Работа выполнена при поддержке программы фундаментальных исследований Президиума РАН «Математическая теория управления» (проект 12-П-1−1022) и интеграционного проекта, выполняемого совместно учеными УрО РАН и СО РАН (проект 12-С-1−1017).
сплайнами Б2Г-1,п (х) степени (2г — 1) с равномерными узлами склейки и интерполяции {кп/п}, п € М, к € Ъ в случае 2п-периодических функций.
В случае непериодических функций применяются те же сплайны, но удовлетворяющие краевым условиям 1-го типа:
и ^(х) =211п (х), х = 0, 2п, в = 1,…, г.
Положим
К (ух = п+хур ¦ (2)
[1 + у'-(х)]2
где 2
у'-(х) = 'Ух!, у"(х) =.
йх йх2
Далее пусть Б = Б (х) — аппроксимирующая кривая. Тогда
у& quot- Б& quot-
К (у, х) — К (Б, х)| =
[1 + (у'-)2] 2 [1 + (Б'-)2] 2
& lt-
& lt- у'-'- - Б'-'- + Б [1 + (Б'-)2] 2 — [1 + (у'-)2] 2 (3)
& quot-[1 + (у'-)2]2 [1+ у'-)2]2 [1 + (Б'-)2]2 '
где К (х, у) определено в (2).
Обозначим X = [1 + (Б'-)2]1, У = [1 + (у'-)2]1, тогда
X3 — У3 = X — У X2 + ХУ + У2 & lt-
& lt- X — У (X + У)2 = X2 — У2 (X + У). (4)
Из (3), (4) следует неравенство
К (у, х) — К (Б, х) & lt- у'-'- - Б'-'- + + Б'-'- у'- - Б'-(у'- + Б'-)[(1 + (Б'-)2)1 + (1 + (у'-)2)2]
[1 + (у'-)2]2 [1 + (Б'-)2]2 '-
Положим для краткости х = у'-, у = Б'- и оценим величину
(х + у)[(1 + х2)1 + (1 + у2)1 ]
и (х, у) 3 0 3
[1 + х2] 2 [1 + у2] 2
= (х + у) 1
(1 + х2)(1 + у2)
+
(1 + у2) 2 (1 + х2) 2
& lt-
х + у 3/3 ,
& lt- 2(1+ х2)(1 + у2) & lt- ~Г (х, у ^ 0)'- (6)
Из (5) и (6) следует, что
К (у, х) — К (Б, х) & lt- у'-'- - Б'-'- + ^ Б'-'- • у'- - Б'-. (7)
1
1
Теорема 1. Пусть y = y (x) — 2п-периодическая функция, (г — 1)-я производная которой абсолютно непрерывна, а r-я производная удовлетворяет неравенству
(2п V 2
¦" У [y®(x)j2 dx ^ 1, r ^ 3, (8)
о '-
а Sn (x) — частная сумма ряда Фурье функции y (x) = af + ak cos kx +
k=1
n- 1
+ bk sin kx, т. е. Sn (x) = af + ak cos kx + bk sin kx, тогда
2 k=1
1
(1У[К (у, х) — К (Бп, х)]2 'Л & lt- п- + ^ 11БПII С[0, 2п] ПТ-Т, (9)
V -п '-
где
Шар, 2п] & lt- /2. (10)
Доказательство. При выводе неравенства (9) используем неравенство (7) и неравенство треугольника. Оценки ||у (г)(х) — БПг)(х)||?2(0,2п) & lt- (* =
= 1, 2) следуют, например, из результатов А. Н. Колмогорова [2].
П- 1 /-------
Далее Б П (х) & lt- ^ к2рк (г ^ 3, рк = Ы2к + Ък). Имеем к=1 *
n-1 i / n- 1 і 2 / n-1 2
EjT-2 • k'-^k "? ^ ?k2& gt-k «
k=1 k=1 / k=1 /
«(¦+S ?0'- ' ('-*?n-*)'- = * (111
Из (11) следует (10).
Теорема 2. Пусть у = у (х) — 2п-периодическая функция, (г — 1) производная которой абсолютно непрерывна, а г-я производная удовлетворяет неравенству (8), а В2г-1& gt-п (у, х) — интерполяционный
2п-периодический сплайн степени 2 г — 1 дефекта 1 с узлами интерполяции и склейки, к Є п Є М, тогда
(2п ч 2
П + У& quot-[К (у, х) — К (Б2г-1, п, х)]2 йх ^
0 '-
^ ПГ-2 + «4» 115'-2/г-1, пІІС[0, 2п] п-, (12)
где ||Б2'-г-1, п11а[0, 2п] & lt- V2 +, Г ^ 3-
п 77
Доказательство. Вновь пользуемся неравенством (7). В работе [3] показано, что при условии (1) имеют место неравенства
||у (г)(х) — Б2?-1,п (у, х)|Ь2(0,2п) & lt- (* = 0, 1,'-'-'-, Г)'- (13)
Позднее [4] более изящное доказательство неравенства (13) получил А. А. Сазанов. Хотя работа [4] вышла из печати раньше [3], но приоритетность результата (13) в [3] следует из протокола семинарских занятий Отдела теории приближения функций ИММ УрО РАН от 25. 10. 1977 г. Поэтому при г = 1, 2 получаем такие же оценки, как и при доказательстве теоремы 1. Остается получить оценку для ЦБ2Г-1п (у, х) Ца[0,2п].
Оценим Б'-2Г_ 1 п (у, х). Для любого х € [0,2п] существуют точки — п, пп,п, что х € (- п, п). Так как
п п п п п
п) — Б2т-1, п (у, п) =0 (г = -1,0,1),
то существует, А € п, п), что
у& quot-№ - б2Г-1(у,^) = 0.
Отсюда
у'-'-(х) — Б2г- 1, п (у, х) & lt-
X
у'-'-'-(и) — Б2Т_ 1, п (у, и) йи
& lt-
2п N 2
2
& lt- х — А & quot-(у у'-'-'-(и) — Б2т- 1, п (у, и) 2 'Л & lt- п-Т (г & gt- 3). (14
Имеем
Б2т-1,п (у, х) & lt- у'-'-(х) + у'-'-(х) — Б2г-1,п (у, х). Далее положим рк = (ак + Ък) 2, тогда (г ^ 3)
& lt-
у'-'-(х) & lt- ]т к2рк & lt- ^ Е к2г^] к2г р^
& lt- - * ««
Таким образом, из (14) и (15) следует, что
Б2г-1(у, х) & lt- V2 + (г ^ 3). (16)
Из (16) и (13) при і = 2 следует (12). Теорема доказана.
Далее рассматриваются не 2п-периодические функции у (х) на [0, 2п], у которых (г — 1)-производная абсолютно непрерывна, а
2п ч і
1 Л (г) 4 2
/ у
П
0
У& quot-[у (г)(х)]2 йх ^ 1. (17)
Теорема 3. Пусть у (х) удовлетворяет условию (17), а ?21, п (у, х) — интеграционный сплайн степени 2 г — 1 дефекта 1 с узлами интерполяции и склейки { П } (к = 0,1,…, 2п), удовлетворяющий краевым условиям 1-го
кп п
типа, т. е.
Б2?-1, п (у, х)= уь)(х), х = 0, 2п, і = 1, 2,…, г — 1.
Тогда
(2п 1
1 J [К (у, х) — К (^т-1, п, х)]2 ?Л & lt- ^ ІІ^2Г-1, пІІС[0, 2п] п- ,
0
(18)
где |Б2г-1,п|С[0,2п] ^ л/2 + -^-ТТ, г ^ 3.
Доказательство. Положим & lt-^(х) = у (х) — Б2г-1,п (у, х). Тогда в силу краевых условий I типа & lt-^(х) — непрерывная 2-^-периодическая функция вместе с производными по (г — 1)-ый порядок включительно. А в силу первого интегрального соотношения [5]
2п 2п 2п
1 / г (т) / м 2 1 / г (т) / м 2 1 / г ^(т)
^ т)(х)]2 ?х = 1 уу (т)(х)]2 ?х — 1 у[Б (Т-1,п (у, х)]2 ?х & lt-
0 0 0
2п
^ - У[у (т)(х)]2 ?х ^ 1. (19)
0
Далее следуем [4]. Если функция ^(х) абсолютно непрерывна на
[0,п], ф (0) = ^(п) = 0 и она по нечетности продолжена на [-п, 0], тогда с
помощью равенства Парсеваля следует, что
ІМІІ2[0,п] & lt- ІІ^, Уі2[0,п]. (20)
Далее, полагая в (20) х = пі, ф (пі) = ф (і), получаем
п п
]& lt-рМ) л «Д& gt-/ (~°дтУ Л-
00
Используя сдвиг, получаем аналогичные неравенства на [п, П.
Складывая эти неравенства, деленные на п, и извлекая квадратный корень,
получаем 1
||^Нь2[-п, п] ^ П В^ II ?2 -п, п]- (21)
Из неравенства Колмогорова в Ь2[-п, п]
«^(*)"12 & lt- в^в^л^(г) в! (22)
при в = 1 из неравенств (21) и (22) получаем
Отсюда и из (22) имеем
ll^'llfa «(i)& quot-ИЛ (0 «s «г). (23)
Для завершения доказательства теоремы осталось оценить равномерную норму второй производной сплайна S2r-i, n (y, x). Нужная оценка выводится так же как и при доказательстве теоремы 2. Отсюда, из неравенства треугольников, из (7) и (23) следует справедливость теоремы 3.
Список литературы
1. Габушин В. Н. Оценка кривизны различных классов кривых // Проблемы физико-математического образования в педагогических ВУЗах на современном этапе: тез. докладов. Магнитогорск. 1996. С. 90.
2. Kolmogoroff A. Uber die beste Annaherung von Functionen einer gegebenen Functionenklasse // Ann. Math. 1936. V. 37. P. 107−111. (Комбинаторная теория групп. М: Мир, 1980.)
3. Субботин Ю. Н. Экстремальные задачи теории приближения функций при неполной информации // Труды МИАН СССР. 1980. Т. 145. С. 152−168.
4. Bogley W.A., Pride S.J. Aspherical relative presentations // Proc. of Edinburg Math. Soc. 1992. V. 35. P. 1−39.
5. Сазанов А. А. Верхние грани уклонений интерполяционных сплайнов на некоторых классах функций // Вычислительные системы. 1979. Вып. 81.
С. 31−41.
6. Алберг Дж., Нильсон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и ее приложения. М.: Мир, 1972. 316 с.
Субботин Юрий Николаевич (yunsub@imm. uran. ru), д.ф. -м.н., член-корр. РАН, Институт математики и механики УрО РАН- Уральский федеральный университет, Екатеринбург.
Approximation of the curvature for certain smooth classes of plane curves by elements of finite-dimensional spaces
Yu. N. Subbotin
Abstract. Problem in approximation of the curvature of plane curves in the mean-aquare metric by the finite-dimensional spaces (trigonometric polynomials, periodic interpolating splines with equidistant knots and interpolating splines of odd degree with boundary conditions of the first type) are considered.
Keywords: curvature, trigonometric polynomials, splines, estimates of accuracy of approximation, mean-square metric.
Subbotin Yurii (yunsub@imm. uran. ru), doctor of physical and mathematical sciences, corresponding member of RAS, Institute of Mathematics and Mechanics, Russian Academy of Sciences, Ural Branch- Ural Federal University, Ekaterinburg.
Поступила 03. 10. 2012

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой