Априорная ограниченность решений функционально-дифференциальных включений с полунепрерывной сверху правой частью и многозначными импульсными воздействиями

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Юридические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК 517. 51
АПРИОРНАЯ ОГРАНИЧЕННОСТЬ РЕШЕНИЙ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ С ПОЛУНЕПРЕРЫВНОЙ СВЕРХУ ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ И МНОГОЗНАЧНЫМИ ИМПУЛЬСНЫМИ ВОЗДЕЙСТВИЯМИ
© А. И. Булгаков, Е. В. Малютина, О.В. Филиппова
Ключевые слова: функционально-дифференциальное включение- многозначные импульсные воздействия- априорная ограниченность.
Для задачи Коши функционально-дифференциального включения с многозначными импульсными воздействиями сформулированы условия компактности и связности множества решений.
Обозначим сотр[1Кп] (сопп[Еп]) — множество всех непустых компактов (связных компактов) пространства П? п. Пусть Ы С [а, Ь] - измеримое по Лебегу множество- Ъп (и) — пространство суммируемых по Лебегу функций х: Ы -" с нормой НяЦдоод =
и
Г2(Ьп[а, Ь]) — множество всех непустых выпуклых ограниченных замкнутых подмножеств пространства Ьп[а, & amp-]- Г2(С [а, 6]) — множество непустых выпуклых компактов пространства С [а, Ь]. Обозначим соА — выпуклая замкнутая оболочка множества А.
Пусть tk? [а, 6] (а & lt- & lt- … & lt- Ьт & lt- Ь) — конечный набор точек. Обозначим через
С [а, 6] множество всех непрерывных на каждом из интервалов [а, ?]. ], • • •"Ш1 Ь]
ограниченных функций х: [а, Ь] -" Кп, имеющих пределы справа в точках к = 1,2,…, т,
с нормой 1И1сп[аб] = йиР{кМ1: *? [а& gt-4}- Если г е (а, Ь], то С [а, г] -это пространство
функций х: [а, г] -& gt- Мп, являющихся сужениями на отрезок [а, г] элементов из С [а, 6] с
нормой |М1сп[а, т] = 3иР{1Ж№ 1: 1 е [а'Т1) •
Рассмотрим задачу:
х е Ф (ж), (1)
Л (х^к)) е 1к{х (гк)), к = 1,2,…, тп, (2)
х (а) = х0, (3)
%
где отображение Ф: С [а, Ь] -& gt-• П (Ьп[а, 6]) полунепрерывно сверху по Хаусдорфу и для каждого ограниченного множества и С С [а, 6] образ Ф (?/) ограничен суммируемой функцией. Отображения 1к: -& gt- сотр[П?п], к = 1,2, …, тп полунепрерывны сверху по Хаусдорфу,
А (х (гк)) = х (гк + 0) — к = 1,2,…, т.
Определение 1. Решением задачи (1)-(3) называется функция х? С [а, 6], для которой существует такое д Е Ф (я), что при всех Ь Е [а, 6] имеет место представление
где Д (ж (**)) в 1к{х{Ьк)), к = 1,2,…, тп.
Предположим, что оператор Ф: С [а, Ь] -" П (Ьп[а, 6]) вольтерров по А.Н. Тихонову
Определение 2. Функция х € Сп[а, т] является решением задачи (1)-(3) на отрезке [а, т], т€(а, 6], если существует такое д € (Ф (Ут (а:)))|т, что функция х: [а, т]-& gt- Мп представима в виде
где отображение УТ: Сп[а, т] -? Сп[а, 6] определено равенством (5), (Ф (Ут (з:)))|т — множество сужений функций из множества Ф (У,-(я)) на отрезок [а, т] и Д (а-(^)) Е 1к{х (1 к)), € [а, г].
Определение 3. Решение х: [а, с) -& gt-• Кп задачи (1)-(3) называется непродолжа-емым, если не существует такого решения у задачи (1)-(3) на [а, т], (те (с, 6], если с & lt- Ь и т = 6, если с = 6), что для любого? (Е [а, с) выполнено равенство ж (?) = у{Ь).
Решение задачи (1)-(3) считается непродолжаемым.
Пусть т Е (а, Ь]. Обозначим через Н (хо, т) множество решений задачи (1)-(3) на отрезке [а, т].
Определим оператор А: Ьп[а, 6] -& gt- Сп[а, 6], который имеет вид
где Д (х (^)) е /*(ж№ь)), & amp- = 1,2,…, т.
Лемма 1. Пусть последовательность ж* € С^[а, Ь], г = 1,2,… и пусть Х{ -& gt- х по норме пространства Сп[а, Ь) при г -& gt- оо. Тогда х Е Сп[а, Ь] и для любого /г = 1,2,…, га
Определение 4. Множество всех локальных решений задачи (1)-(3) называется априорно ограниченным, если найдется такое число г & gt- 0, что для всякого т € (а, 6] не существует решения у Е Н (хо, т) задачи (1)-(3) на [а, т], для которого выполняется неравенство 1М1сп[0)т] & gt- г'-
Из теоремы Какутани (см. [3]) вытекает следующее утверждение.
Теорема 1. Найдется такое т 6 (а, 6], что решение задачи (1)-(3) существует на отрезке [а, т].
если? € [а, т]- если? Е (т, 6].
(5)
[а, т]
(6)
а
(7)
а
Рассмотрим оператор 21: Сп[а, 6] -" Г2(Сп[а, 6]), определенный равенством
т
(8)
к=1
Нт Жг (^ + 0) = ж (^ 4- о).
Теорема 2. Пусть множество всех локальных обобщенных решений задачи (1)-(3)
ет такое г & gt- 0, что для каждых т? (а, 6] и у € Н (хо, т) выполняется неравенство
Теорема 3. Если множество всех локальных решений задачи (1)-(3) априорно ограничено, то существует такой выпуклый компакт К С Сп[а, 6], что Н (хо, Ь) С К и 21 (К) С К, где отображение 21: Сп[а, Ь] -& gt- Г2(Сп[а, Ь]) определено равенством (8).
Доказательство. Покажем, что найдется такой выпуклый компакт К С Сп[а, Ь], для которого имеют место вложения
Так как: Еп -& gt- сотр[Кп], к = 1,2, то множество значений скачков в точках
6 [а, 6], к = 1,2,…, т ограничено. Пусть
где \11С (у^1С))\ = {тахх, хЕ1к{у^к))}. Рассмотрим непрерывное отображение Р: МП->-ЕП, заданное равенством
где отображение Р: И? п -& gt- Еп имеет вид (10). Далее покажем что отображение V: С71 [а, 6] -* Сп[а, 6], заданное равенствами (10), (11), непрерывно на множестве Сп[а, Ь]. Действительно, пусть последовательность ^(Е Сп[а, 6]) -& gt- г в пространстве Сп[а, Ь при г -& gt- оо. Покажем, что '-Рг{ -& gt- Тг в пространстве Сп[а, 6] при % -& gt- оо. Предположим противное. Это означает, что существует такое е & gt- 0 и такие подпоследовательности € С71 [а, 6] и ^ € [о, 6], j = 1,2,…, для которых для любого 3 = 1,2,… выполняются неравенства
Пусть? о ^ [а, Ь] - предельная точка подпоследовательности ^ е [", 4, 3 = 1,2,… Не уменьшая общности, будем считать, что 4*. -& gt- ?о при j -& gt-• оо. Пусть? о Ф Л = 1,2,
Тогда выполняется равенство
то, переходя в этом неравенстве к пределу при з -? оо и учитывая непрерывность отображения Р: Еп -& gt- Кп, определенного равенством (10), а также равенство (13), получим
априорно ограничено. Тогда для любого т (Е (а, 6] множество Н (хо, т) ф 0 и существу-
Н (х0,Ь)сК, 21(ДГ) С К
I = 8ир|||4(у (& lt-к))||: у 6 Н (х0,Ь), 4* € [а, Ь], к = 1,2,… ,™},
(9)
(10)
(П)
1ПМЧ))--Р (г (Ч))1 & gt-?•
(12)
Шп г^(г-1) = г («0).
(13)
]-ЮО
Так как
|Р (^. ((,)) — Р (г (^))| & lt- Р (щ (и,)) ~ Р (г (Ш + |Р (г (4о)) — Р (г (*у))|,
Нт |Р (^(и1)) — Р{г (и1)) = 0,
(14)
]-*¦ ОО
но это противоречит оценкам (12).
Пусть теперь ?0 равно одной из точек к = 1,2,т. Тогда, если & lt- ?0, .7 = 1,2,…, то равенство (13) выполняется, из которого следует равенство (14), что также противоречит оценкам (12).
Пусть теперь? о & lt- ?*,•& gt- 3 = 1& gt-2,… В силу того, что 2г- -„¦ г в пространстве Сп[а, Ь] при г -& gt- оо, то, согласно лемме 1, выполняется равенство
Ига гй (и.) = г (& lt-0 + 0),
3-юо 3 3
из которого следует равенство (13). Это противоречит оценкам (12). Таким образом, отображение V: Сп[а, Ь] -& gt- Сп[а, Ь], имеющее вид (11), непрерывно в пространстве Сп[а, Ь].
Рассмотрим на множестве Сп[а, 6] включение
х€ЩГ{х)), (15)
где 21: Сп[а, 6] -& gt- 1)(Сп[а, 6]) определяется формулой (8).
Так как оператор V: Сп[а, Ь] -& gt- Сп[а, Ь], определенный равенствами (10), (11), непрерывен, отображение Ф: Сп[а, Ь] -& gt->- Г^(Ьп[а, 6]), полунепрерывно сверху по Хаусдорфу, то суперпозиция (ФТ): Сп[а, Ь] -& gt- Г2(Ьп[а, 6]) полунепрерывна сверху по Хаусдорфу.
Так как оператор V: Сп[а, 6] -> Сп[а, 6] ограничен, то образ Ф (Т (Сп[а, 6])) ограничен суммируемой функцией и множество значений скачков ограничено, это означает, что 21('Р (Сп[а, & amp-])) — предкомпактное множество пространства Сп[а, Ь]. Тогда, согласно теореме Какутани (см. [3]), произведение (217^) имеет неподвижную точку х, эта неподвижная точка — есть решение включения (15). Для решения задачи (15) из условия продолжаемости и априорной ограниченности локальных решений следует оценка ||я|1сп[аб] & lt- г + т/,
поэтому х — неподвижная точка отображения 2(: Сп[а, Ь -& gt- Г2(Сп[а, 6]) является решением задачи (1)-(3). Из этого вытекает, что множество решений включения (15) совпадает с множеством решений задачи (1)-(3).
Так как 21('-Р (Сп[а,& amp-])) — предкомпактное множество пространства Сп|а, 6], то со21(Р (Сп[а, 6])) — выпуклый компакт пространства Сп[а, 6]. Пусть К = со 21(Р (С& quot-[о, 6])). Тогда из определения множества К следует, что 21 (К) С К, Н (хо, Ь) С К. Теорема доказала.
Из теоремы 3 и [6] вытекает теорема.
Теорема 4. Пусть 7*: Мп -“ сопп[Мп], к = 1,2, …, т, и множество всех локальных решений задачи (1)-(3) априорно ограничено. Тогда Н (хо, Ь) — связный компакт пространства Сп[а, 6].
Полученные результаты дополняют и обобщают результаты, полученные в работах [5] - [8].
ЛИТЕРАТУРА
1. Тихонов А. Н. Функциональные уравнения типа Вольтерра и их приложения к некоторым вопросам математической физики //Бюллетень Московского университета. Секция А. 1938. Т. 68. № 4.
2. Булгаков А. И. Непрерывные ветви многозначных отображений и интегральные включения с невыпуклыми образами и их приложения // Дифференц. уравнения. 1992. Т. 28. № 3. С. 371−379.
3. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977. 742 с.
4. Булгаков А. И., Ляпин Л. Н. Об интегральном включении с функциональным оператором // Дифференц. уравнения, 1979. Т. 15. № 5. С. 876−884.
5. Самойленко А. М., Перестюк Н. А. Дифференциальные уравнения с импульсными воздействиями. К.: Вища шк. 1987.
6. Булгаков А. И., Беляева О. П., Мачина А. Н. Функционально-дифференциальные включения с многозначным отображением, не обладающим свойством выпуклости по переключению значений // Вестн. Удм. ун-та. Матем., механика. 2005. JV*» 1. С. 3−20.
7. Булгаков А. И., Корчагина Е. В., Филиппова О. В. Функционально-дифференциальные включения с импульсными воздействиями. Часть 2 // Вестник ТГУ. Сер.: Естеств. и техн. науки. Тамбов, 2009. Т. 14. Вып. 6. С. 1262−1267.
8. Булгаков А. И., Корчагина Е. В., Филиппова О. В. Функционально-дифференциальные включения с импульсными воздействиями. Часть 6 // Вестник ТГУ. Сер.: Естеств. и техн. науки. Тамбов, 2009. Т. 14. Вып. 6. С. 1290−1296.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований (гранты 09−01−97 503, 11−01−626, 11−01−645), Министерства образования и науки РФ (АВЦП & quot-Развитие научного потенциала высшей школы (2009−2011 годы) проект № 2.1. 1/9359- ФЦП & quot-Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009−2013 годы госконтракты П688, 14. 740. 11. 0682, 14. 740. 11. 0349- темплан 1.8. 11).
Поступила в редакцию 10 ноября 2010 г.
Bulgakov A.I., Malyutina E.V., Filippova O.V. A-priori boundedness of solutions to functional-differential inclusions with upper semicontinuous right-hand side and with multivalued impulses. For the Cauchy problem for a functional-differential inclusion with multivalued impulses the conditions of compactness and connectness of the solution set are formulated.
Keywords: functional-differential inclusion- multivalued impulses, a-priori boundedness.
Булгаков Александр Иванович, Тамбовский государственный университет имени Г. Р. Державина, г. Тамбов, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой алгебры и геометрии, e-mail: aib@tsu. tmb. ru
Малютина Елена Валерьевна, Тамбовский государственный университет имени Г. Р. Державина, г. Тамбов, аспирант кафедры алгебры и геометрии, e-mail: zont85@bk. ru
Филиппова Ольга Викторовна, Тамбовский государственный университет имени Г. Р. Державина, г. Тамбов, ассистент кафедры алгебры и геометрии, e-mail: philippova. olga@rambler. ru
УДК 517. 911, 517. 968
НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА УПРАВЛЯЕМОЙ ИМПУЛЬСНОЙ СИСТЕМЫ С ФАЗОВЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ ПО УПРАВЛЕНИЮ И ЗАПАЗДЫВАНИЕМ
%
© А. И. Булгаков, Е. В. Малютина, О.В. Филиппова
Ключевые слова: управляемая импульсная система с фазовыми ограничениями по управлению, априорная ограниченность, дифференциальное включение с импульсными воздействиями.
Для управляемых импульсных систем с фазовыми ограничениями по управлению и запаздыванием рассмотрены вопросы продолжаемости допустимых пар. Получены оценки допустимых траекторий, аналогичные оценкам В. И. Благодатских, А. Ф. Филиппова. Сформулировано определение допустимой квазитраектории. Получены достаточные условия выполнения принципа плотности для рассматриваемой системы.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой