Интегрирование высшего уравнения Кортевега-де Фриза с самосогласованным источником в классе периодических функций

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

ISSN 2074−1863 Уфимский математический журнал. Том Б. № 1 (2013). С. 102−111.
УДК 517. 946
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ВЫСШЕГО УРАВНЕНИЯ КОРТЕВЕГА-ДЕ ФРИЗА С САМОСОГЛАСОВАННЫМ ИСТОЧНИКОМ В КЛАССЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
М.М. МАТЁКУБОВ, А.Б. ЯХШИМУРАТОВ
Аннотация. В этой работе обратная спектральная задача для оператора Штурма-Лиувилля применяется к интегрированию высшего уравнения Кортевега-де Фриза с самосогласованным источником в классе периодических функций.
Ключевые слова: оператор Штурма-Лиувилля, обратная спектральная задача, собственное значение, собственная функция, уравнение Кортевега-де Фриза.
1. Введение
В 1967 году в работе [1] американских ученых К. Гарднера, Дж. Грина, М. Крускала и Р. Миуры была установлена интегрируемость уравнения Кортевега-де Фриза (КдФ), в классе «быстроубывающих» по х функций, с помощью метода обратной задачи рассеяния для уравнения Штурма-Лиувилля. В работе [2] П. Лакс показал универсальность метода обратной задачи рассеяния и обобщил уравнение КдФ, введя понятие высшего (общего) уравнения КдФ.
В работах [3−10] исследовано уравнение КдФ и высшее уравнение КдФ в классе конечнозонных и периодических функций.
В данной работе изучается высшее уравнение КдФ с самосогласованным источником в классе периодических функций.
Отметим, что уравнение КдФ с самосогласованным источником в классе быстроубывающих функций было рассмотрено в работах [11−15] и др., а нелинейные уравнения с источником в классе периодических функций в различных постановках изучены в работах [16−19].
Пусть
1 в3 в.
н = - 2 вХ3 + 2д& amp-Х +д,
где д = д (х, ?), а штрих означает производную по х. Согласно [20] существуют полиномы Ри (от д и производных д по х) такие, что
k+i.
Так, например,
л 1 З 1 5 5 2 5 3
P0 = 1, P1 = qi P2 = - 2qxx + 2q, P3 = 4qxxxx — 2qqxx — 4qx + 2q.
Легко доказываются следующие свойства оператора H (см. [20]).
M.M. Matyoqubov, A.B. Yakhshimuratov, Integration of higher Korteweg-de Vries equation with a self-consistent source in class of periodic functions.
(c)Матёкубов М.М., Яхшимуратов А. Б. 2013.
Поступила 30 декабря 2011 г.
Лемма 1. Если у (х, г) решение уравнения Штурша-Лиувилля
Дг) у = - у& quot- + д (х, г) у = Ау, х е Д
то выполняется следующее равенство
Н (у2) = 2А (у2)'-.
Лемма 2. При любых у (х), г (х) е С3[0, п] выполняется равенство
П
1 // і о_______ і 1 / 1 II
— г ¦ Яу^ж. о •/
0
Следующее уравнение
д* = НРМ [д], х е Д1, г& gt- 0 называется высшим уравнением КдФ. Используя свойства оператора Н, мы можем переписать это уравнение в виде
д* = Р^+1[д], х е Д1, г& gt- 0.
Например, при N = 0, 1, 2 соответственно имеем
— _1 -I _5, 15 2
д* дх д* 2 дххх + Зддх, д* 4 дххххх 5дхдхх 2 ддххх + 2 д дх.
2. Постановка задачи
В этой работе рассмотрим следующее высшее уравнение КдФ с самосогласованным источником
сю
д* = Р^+1 [д] + 2Jв (А, ф (п, А, г) (0+(х, А, г)^_(х, А, г))х вА, г & gt- 0, х е Д1, (1)
0
с начальным условием
д (х, г)|*=о = дo (x), (2)
где д0(х) е С2л?+1 (Д1) — заданная действительная функция. Требуется найти действительную функцию д (х, г), которая п-периодическая по переменной х:
д (х + п, г) = д (х, г), г & gt- 0, х е Д1 (3)
и удовлетворяет условиям гладкости:
д (х, г) е С'-хм+1(г & gt- 0) п С*1 (г & gt- 0) п С (г & gt- 0). (4)
Здесь в (А, г) е С ([0, то) х [0, то)) — заданная действительная функция, имеющая равномерную асимптотику в (А, г) = О, А ^ то, ^±(х, А, г) — решения Флоке (нормирован-
ные условием ^±(0, А, г) = 1) уравнения Штурма-Лиувилля
Дг) у =-у& quot- + д (х, г) у = АУ, х е Д1, (5)
в (х, А, г) — решение уравнения (5), удовлетворяющее начальным условиям з (0,А, г) = 0, з'-(0, А, г) = 1.
Замечание 1. Покажем равномерную сходимость интеграла, участвующего в уравнении (1). Для этого воспользуемся следующим тождеством
в (п, А, г)^+ (т, А,*)^_(т, А, г) = з (п, А, г, т), (6)
где з (х, А, г, т) — решение уравнения
-у/- + д (х + т, г) у = Ау, х е Д1,
удовлетворяющее начальным условиям з (0, А, г, т) = 0, з-(0, А, г, т) = 1.
Из асимптотических формул
… ^ ^ (1 ,.. sin fx (1
c (x, Л, t) = cos V Ax + О, s (x, A, t) =--=-----------+ О — ,
v ' ' - VAj ' v ' ' '-A VV
c'-(x, A, t) = - VAsin VAx + O (1), s'-(x, A, t) = cos VAx + O^, (A ^
и равенства
s (n, A, t, т) = c (t, A, t) s (n + t, A, t) — s (t, A, t) c (n + t, A, t)
следуют оценки
s (n"M, T) = O (^). ds{'-tttT] = O (TA) ¦ (A^
Эти оценки и равенство (6) обеспечивают равномерную сходимость интеграла, участвующего в уравнении (1).
Цель данной работы — дать процедуру построения решения q (x, t), ^±(x, A, t) задачи (1)-(5), в рамках обратной спектральной задачи для оператора Штурма-Лиувилля с периодическим коэффициентом.
3. Необходимые сведения
В этом пункте, для полноты изложения, приведем некоторые основные сведения, касающиеся обратной спектральной задачи для оператора Штурма-Лиувилля с периодическим потенциалом (см. [21−26]).
Рассмотрим следующий оператор Штурма-Лиувилля на всей прямой
Ly = - у'-'- + q (x)y = A ^ x е r1, (7)
где q (x) — действительная непрерывная п-периодическая функция.
Обозначим через c (x, A) и s (x, A) решения уравнения (7), удовлетворяющие начальным условиям c (0, A) = 1, c'-(0, A) = 0 и s (0, A) = 0, s'-(0, A) = 1. Функция A (A) = c (n, A) + s'-(n, A) называется функцией Ляпунова или дискриминантом Хилла.
Спектр оператора (7) чисто непрерывный и совпадает со следующим множеством
E = {A е R1: -2 & lt- A (A) & lt- 2 } = [Ao, Ai] U [A2, As] U … U An, A2n+i] U …
Интервалы (-то, Ao), (A2n-l, A2n), n =1, 2, … называются лакунами. Здесь A0, A4^-1, A4fc — собственные значения периодической задачи (у (0) = у (п), у'-(0) = у'-(п)), а A4fc+l, A4fc+2 — собственные значения антипериодической задачи (у (0) = -у (п), у'-(0) = -у'-(п)) для уравнения (7).
Пусть? n, n = 1, 2,… корни уравнения s (n, A) = 0. Отметим, что? n, n = 1, 2,… совпадают с собственными значениями задачи Дирихле (у (0) = у (п) = 0) для уравнения (7), кроме того, выполняются следующие включения? n е [A2n-l, A2n], n = 1, 2, ….
Числа? n, n =1, 2, … вместе со знаками an = sign{s'-(n,?n) — c (n,?n)}, n =1, 2, …
называются спектральными параметрами задачи (7). Спектральные параметры? n, an, n =1, 2, … и границы An, n = 0, 1, 2, … спектра называют спектральными данными оператора (7). Восстановление коэффициента q (x) по спектральным данным называется обратной спектральной задачей для оператора (7).
Спектр оператора Штурма-Лиувилля с коэффициентом q (x + т) не зависит от действительного параметра т, а спектральные параметры зависят от т: ?п (т), 0& quot-п (т), n =1, 2, … Спектральные параметры удовлетворяют следующей системе уравнений Дубровина
& quot-JTj = 2(-1)n Vn (T) /(?n — A2n-l)(A2n — ?n)
X

^ Л ^ (А2к-1 — Ы (Л2к — Ы 1
к" — Ло) И йТ-ёП)2 ' п -1
к= 1
к = п
Система уравнений Дубровина и следующая формула следов
ГО
'-О = Ао + (А2й-1 + - 2^^(^, ^))
к=1
дают метод решения обратной задачи.
Имеются также другие формулы следов, так например, вторая и третья формулы следов имеют вид
. ОО
?2(т) — 2тт (т) = а2 + ^ (а2& amp--1 + а2й — 22(г ^
к=1
16дтггг (т) — 35(т)5тт (т) — ^6^(г) + 53(г) =
— Л (° + (Л2к-1 + Л2к- - 26с (т))•
к=1
Используя систему уравнений Дубровина и формулу первого следа, Е. Трубовицу [25] удалось доказать теоремы, связывающие аналитичность потенциала с убыванием длин лакун периодического потенциала оператора Штурма-Лиувилля (7): если д (ж) действительная, аналитическая, п-периодическая функция, то длины Л2п — Л2п-1 лакун стремятся к нулю экспоненциально, т. е. существуют постоянные, а & gt- 0, Ь & gt- 0 такие, что Л2п-Л2п-1 & lt- ае-Ьп, п — 1- и наоборот, если д (ж) Є С2 (Я1) действительная п-периодическая функция и длины Л2п — Л2п-1 лакун стремятся к нулю экспоненциально, то д (ж) является аналитической функцией.
В 1946 году Г. Боргом была доказана следующая уникальная теорема (обратная теорема Борга) о периоде потенциала уравнения Хилла (см. [27]): для того чтобы число п/2 являлось периодом потенциала д (ж) уравнения Штурма-Лиувилля (7), необходимо и достаточно двукратность всех корней уравнения Д (Л) + 2 — 0, т. е. необходимо и достаточно «исчезновение» всех лакун с нечетными номерами.
В 1977 году (см. [28]) Х. Хохштадтом дано краткое доказательство, а в 1984 году обобщение этой теоремы Борга (см. [29]): пусть д (ж) Є С 1(Я1) действительная п-периодическая функция. Для того чтобы число п/п являлось периодом потенциала д (ж) уравнения Штурма-Лиувилля (7), необходимо и достаточно «исчезновение» всех лакун, номера которых не делятся на п. Здесь п — 2 натуральное число.
4. Основная теорема
Основной результат настоящей работы заключается в следующей теореме.
Теорема 1. Пусть д (ж,?), ^±(ж, Л,^) — решение задачи (1)-(5). Тогда спектр оператора (5) не зависит от параметра, а спектральные параметры? га (?), п — 1, 2, …, удовлетворяют аналогу системы уравнений Дубровина:
N
и- 1 ,
?" - 2(- 1)& quot--1<-т"м] х- (2?")*-к ¦ Рк[ї(0,і)1 + I 8(п'Л'-ЙЛх
Х/(?га — Л2га-1)(Л2га — Сга) Х

к=1
к=п
(С ТТ (Л2к-1 — Сга)(Л2к — Сга)
К& quot- - Л°)П---------------^-----------, п — 1, (9)
где знак ага (?) меняется на противоположный при каждом столкновении точки ?,(?) с границами своей лакуны [Л2п-1, Л2га]. Кроме того, выполняются следующие начальные условия:
?пС01*=о =, М?)1*=0 =, п & gt- 1,
где, 0& quot-, п & gt- 1 — спектральные параметры оператора Штурма-Лиувилля с коэффициентом д0(ж).
Доказательство. Вводя обозначение
СЮ
С (ж, ?) = в (Л, ?)з (п, Л, ?) (^+(ж, Л, ?) ¦ ^-(х, Л, ?))х йЛ,
о
уравнение (1) можно переписать в виде
5* = Рм+1[9] + С (М). (10)
Обозначим через уга (ж,?), п = 1, 2, … ортонормированные собственные функции задачи Дирихле (у (0) = 0, у (п) = 0) для уравнения (5), с п-периодическим потенциалом д (ж,?), являющимся решением уравнения (10), соответствующие собственным значениям ?,(?), п = 1, 2, ….
Дифференцируя по? тождество (Ь (?)уга, уга) = ?, и используя симметричность оператора ?(?), имеем
Ста (руга + q^yra, уга) + (Lyra, Уга) (^"о руга) + (Lyra, Уга) + уга)
п
= Сп ((Уп, Уп)) + (5*Уп, Уп) = у Ф (х,?)Уп (ж,?)йж (11)
о
Здесь (¦, ¦) скалярное произведение пространства Ь2(0, п).
Используя (10) и тождество НР* = Р*+1, равенство (11) перепишем в виде
п п
= J у,(х,?)#Рмйж у,(ж,?)С (ж,?)йж. (12)
оо Пользуясь леммой 1 и леммой 2, преобразуем следующий интеграл
. 2/™ + ттл Л™ _ I 1 V& quot- «.2, о"Е& gt- „.2 I 1 П/ /“. 2'- 1и („. 2'-'-
Л = [ У,(ж, *)ЯР** = Г-1Р*'- ¦ У, + 2? Р* ¦ уП +1 р* ¦ (У, 2.)'- -1р* ¦ (уП)& quot-)
о
п
— Р* ¦ н (У,)йж = -Р*[9(М)] ¦ [У, 2(п,?) — У, 2(0,?)] - Р* ¦ 2Сп (У“)'-йж
,
о
п -Р*[9(М)] ¦ [У, 2(п,?) — У, 2(0,?)] + 2С^ Р'- ¦ У,
о
22
т. е.
— 2? га ¦ А*-1 = -Р*[д (М)] ¦ [У, (п,?) — у, (м)] Вычисляя следующую сумму
N
Ам — (2?»)м ¦ Ао = ^ (2?")м-* ¦ (А* - 2?" ¦ 7*^) =
*=1
N
= -[у-2(п,() — у, 2(0,?)] ¦? (2С")м-* ¦ Р*[5(0,()]
о
п
и интеграл
п п
Ао = J У,(ж,?)нройж = J у,(ж,?)5хйж = -[У, 2(п,?) — У, 2(М^ оо выводим равенство
N
= -[У, 2(п,?) — У, 2(0,?)] ¦ ^ (2ЫМ-* ¦ Р*[9(М)]. (13)
*=о
Теперь займемся вычислением второго интеграла в равенстве (12):
п Ю (п Л
/ с-й* = /Л, ода, 012/ * ¦ (^У* и.
о о о
Интегрируя по частям, нетрудно видеть, что
п п
1 = 2У У, ¦ (^+^-)'-йж = У (У, ¦ (^+^-)'- - (У")'- ¦ (^+^-)}йж =
00
п
= У — У,^+) + У^^У,^- - У,^-)}йж.
о
Отсюда выводим
1 = ^ ¦ [у, 2(п,?) — у, 2(0,?)].
Л
Значит,
п СЮ
1 С-У2Йх = [у'- 2(п, ?) — у'- 2(0, ?)] • I ^
— Л
С-уП= [уП2(п,-) — уП2(0,-)] ¦ / в (п, Д,-)в (Л,-)д. (14)
т
ъП
0 0
Подставляя выражения (13) и (14) в (12), получим равенство
= [У, 2(п,?) — У, 2(0,?)]х
СЮ
х (-? (26.)"--* ¦ Р*[9(0. 0] + / ЙЛ. (15)
*=о о ,
Используя равенства
Уга (ж,?) =
С,(?)
п
4(-) = у 52(ж, Сп (^),^)^ж = з/(п, ъ"со:о дв (п,|л (-),-),
0
имеем
уП2(п,-) — уП2(0,-) = д^І(^) (^/(п, Ш,-) —.
дЛ
Подставляя сюда выражение
1
'-'-га
, га г'
получим
'- 2 / '- 2/п, ч _ °га (?) ^^2 (Цга (?)) — 4
з/(п,?",-) — ---- = а"^Д2 (ъ"(^)) — 4,
^ (п,гао -)
/ 2 (, 2(0 а"(-)^Д2 (ъ"(-
уп (п,-) — уп (0,-) =-------------эя (п, и*)Л
ЦП (
дЛ
Здесь а"(і) = 5г^п (в/(п, Ъп (-),-) — с (п, Ъп (-},-}}. Из разложений
Д2(Л) — 4 = 4п2(Ло — Л}Д {Ла-1 — Л& gt-(Л2к ~ Л):
к=1
((-} - Л
5ІП, _
& lt-п, Л,і) = ПД
к=1
к2
следует, что
уп (п,-) — уп (0, -} = 2(-1)П^га (-)/(Ъ" - Л2п-1)(Л2п — Сга} X
X

го
к= 1 к = п
(С Л ТТ (Л2к-1 — Ъп)(Л2к — ?п}
{ъ& quot- - Л (|}П-------(ёг-ъпр---------. (16)
Из (15) и (16) получим (9).
Теперь докажем независимость от — собственных значений Лп, п = 0, 1, 2, … периодической и антипериодической задач для уравнения Штурма-Лиувилля (5). Аналогично формуле (15) можно показать, что
П
Лп (і) = У С (ж,і)г& gt-П (ж,і)^ж,
0
где г& gt-п (ж, і) — нормированная собственная функция периодической или антипериодической задачи для уравнения Штурма-Лиувилля (5). Учитывая вид функции С (ж, і), и действуя как прежде, получим Лп (-} = 0.
Теорема доказана.
5. СЛЕДСТВИЯ из основной ТЕОРЕМЫ
Следствие 1. Если вместо д (ж, -} рассмотрим д (ж+т, і), то собственные значения периодической и антипериодической задачи не зависят от параметров т и і, а собственные значения Ъп задачи Дирихле и знаки ап зависят от т и і: Ъп = Ъп (т, -}, = оп (т, і) = ±1,
п & gt- 1. В этом случае, система (9) примет вид
{м го ^
? (2Ъп}м-* ¦ Рк Ь (т, (}] + / & gt-(п-ЛЛу. <-} ^ЛX
к=0 п I

/? Л (Л2^- 1 — Ъп}(Л2к — Ъп}. 1
{Ъп — Ло}П-----------{-г-ъпр------------------¦ п & gt-1 (17)
к=1
к=п
Х/(Сга — Л2п-1)(Л2п — Сга} х
Здесь
5(п, Л,-, т}= ---Л. (18)
го
к2 *=1
Следствие 2. Рассмотрим случай N = 2. В этом случае дифференциальное уравнение (1) примет вид
1 5 15
4 5ХЖЖЖЖ 55Ж5ЖЖ 2 55ЖЖЖ + 25 (19)
а система дифференциальных уравнений Дубровина (17) запишется в форме
(СЮ
4Ц2, 2Ц «1 », 3 о, / 5(п, Л,?, т) в (Л,?) ^
4Цп + 2Ц"5 —5тт + 25 + У-л — ц- '- х
Х/(Ста — Л2га-1)(Л2га — Ста) Х

(Сп _ Ло) Ц (V-1 ~ Сп)(Л2к _ Сп), п & gt- 1. (20)
к=1 к=п
(СГ _ Сп)2
Используя следующие формулы следов
5(г) ^) = Л0 + (Л2Г-1 + Л2Г _ 2^(т, ^)),
Г=1
ГО
0 + ^ (Л2к-1 Г=1
?2(г) ^ ^^тт (т,і) = Л0 + ^ (Л2Г-1 + Л2Г _ 2і))
(21)
(22)
систему (20) можем переписать в замкнутом виде.
Следствие 3. Эта теорема дает метод решения задачи (19), (2)-(5). Действительно, обозначим через Лп, п = 0, 1, 2, …, ?п (т, ?), ап (т,?), п = 1, 2, …, спектральные данные задачи
-у// + ?(х + т, ?)у = Л у, х € Я1.
Найдём спектральные данные Лп, п = 0, 1, 2, …, ?П (т), аП (т), п = 1, 2, … для уравнения
-у& quot- + & lt-?о (х + т) у = Лу, х € Я1.
Решаем задачу Коши? п (т, ?)|*=0 = ?П (т), 0& quot-п (т, ?)|*=0 =П (т), п =1, 2, … для системы уравнений Дубровина (20). По формуле следов (21) находим решение задачи (19), (2)-(5). После этого нетрудно найти решения Флоке ^±(ж, Л,?).
Замечание 2. Покажем, что построенная функция д (т, ?) удовлетворяет уравнению (19). Для этого используем также следующую систему Дубровина
«77 = 2(-1)п ^)^(Сп — Л2п-1)(Л2п — Сп) х
х

{С ТГ (Л2Г-1 _ Сп)(Л2Г _ Сп) р,
(Сп _ ЛоЩ -----------------------------------------------77-^-, П = 1 2
к=1
к=п
(СГ _ Сп)2
(23)
и формулу следов (21), (22), а также (см. [26])
16Зтттт (т,і) _ 35(т,і)5тт (т,і) _ 16^(г,^ + 53(г,^)
= Л0 + X/ (Л2к-1 + Л2к — 2б^^. к=1
Из систем Дубровина (20) и (23) имеем
(24)
ді
«ЕГ = { 4С2 + 2Сг 5 _ отт + ^2 + I ^'Л ^, к & gt- 1-
5(п, Л,і, Г) в (Л,і)^Л [ дСг
дт
Л _ СГ
(25)
Из формулы первого следа (21), учитывая (25), находим
д сг
Г=1
ді
Г=1
д Сг
Г=1
Г=1
ГО /
+2/ в (Л,і){ ?
«/ I ^ 1
в (п, Л,і, т) дСг
СГ — Л дт
= 1 ^г
• АЛ.
(26)
Дифференцируя по т формулы следов (21), (22) и (24), получим
СО г/= (~О п& gt- -1
2А^ 5 т = qT ' 5 т = 2qTTT T'
fc=i fc=i
_2& gt-О t2 5tk — _! _9 + 2
2 / v Sk 5 16 qTTTTT 2qqTTT 8 qTqTT + q qT.
k=1 T
Используя эти равенства и разложение (18) из (26) выводим
СО
1 г 5 15 2 f 5s (n, A, t, т)
qt 4 qTTTTT 5qT qTT 2 qqTTT + 2 q qT + 2 I e (A) t) 5 dA-
0
Из равенства (6) следует, что
1 r 5 15 2
qt 4 qTTTTT 5qT qTT 2 qqTTT + 2 q qT +
0
1 5
+2 / в (A, t) s (n, A, t) — (^+(т, A, t) ¦ ^-(т, A, t)) dA.
0
Следствие 4. Из результатов работы [25] выводим, что если начальная функция q0 (х) является действительной аналитической функцией, то длины A2n — A2n-1 лакун, соответствующие этому коэффициенту, убывают экспоненциально. Так как длины лакун, соответствующие коэффициенту q (x, t), не зависят от t, значит, q (x, t) — является аналитической функцией по х.
Следствие 5. Из обобщенной обратной теоремы Г. Борга (см. [29]) следует, что если q0(х) имеет период П, то решение задачи (19), (2)-(5) q (x, t) является П-периодическим по х.
Пользуясь случаем, авторы выражают благодарность проф. А. Б. Хасанову (Ургенчский государственный университет, Узбекистан) за постановку задачи и обсуждение работы.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. C.S. Gardner, J.M. Greene, M.D. Kruskal, R.M. Miura Method for solving the Korteweg-de Vries equation // Phys. Rev. Lett., 1967. V. 19, № 19, P. 1095−1097.
2. P.D. Lax Integrals of nonlinear equations of evolution and solitary waves // Comm. Pure and Appl. Math., 1968. V. 21. P. 467−490.
3. Новиков С. П. Периодическая задача Кортевега-де Фриза I // Функц. анализ и прил. 1974. T. 8, № 3. C. 54−66.
4. Дубровин Б. А., Новиков С. П. Периодический и условно периодический аналоги многосоли-тонных решений уравнения Кортевега-де Фриза // ЖЭТФ, 1974. T. 67, № 12. C. 2131−2143.
5. Марченко В. А. Периодическая задача Кортевега-де Фриза // Мат. сб. 1974. T. 95, № 3. C. 331 356.
6. Дубровин Б. А. Периодическая задача для уравнения Кортевега-де Фриза в классе конечнозонных потенциалов // Функц. анализ и прил., 1975. T. 9, № 3. C. 41−51.
7. Итс А. Р., Матвеев В. Б. Операторы Шредингера с конечнозонным спектром и N-солитонные решения уравнения Кортевега-де Фриза // Теорет. мат. физ., 1975. T. 23, № 1. C. 51−68.
8. P. Lax Periodic solutions of the KdV equations // Lecture in Appl. Math. AMS, 1974. V. 15. P. 85−96.
9. P. Lax Periodic Solutions of the KdV equation // Comm. Pure and Appl. Math., 1975. V. 28. P. 141−188.
10. H.P. McKean, E. Trubowitz Hill’s operator and Hyperelliptic Function Theory in the Presence of infinitely Many Branch Points // Comm. Pure and Appl. Math., 1976. V. 29. P. 143−226.
11. Мельников В. К. Метод интегрирования уравнения Кортевега-де Вриса с самосогласованным источником. Препринт. Дубна, 1988.
12. V.K. Mel’nikov Integration of the nonlinear Schrddinger equation with a source // Inverse Problems, 1992, V. 8. P. 133−147.
13. J. Leon, A. Latifi Solution of an initial-boundary value problem for coupled nonlinear waves // J. Phys. A: Math. Gen., 1990. V. 23. P. 1385−1403.
14. Уразбоев Г. У., Хасанов А. Б. Интегрирование уравнения Кортевега- де Фриза с самосогласованным источником при начальных данных типа «ступеньки» // Теорет. мат. физ., 2001. T. 129, № 1. C. 38−54.
15. Хасанов А. Б., Уразбоев Г. У. Интегрирование общего уравнения КдФ с правой частью в классе быстроубывающих функций // Узб. матем. журнал., 2003, № 2. C. 53−59.
16. P.G. Grinevich, I.A. Taimanov Spectral conservation laws for periodic nonlinear equations of the Melnikov type // Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2, 2008. V. 224. P. 125−138.
17. Хасанов А. Б., Яхшимуратов А. Б. Об уравнении Кортевега-де Фриза с самосогласованным источником в классе периодических функций // Теорет. мат. физ. 2010. T. 164, № 2. C. 214- 221.
18. A. Yakhshimuratov The Nonlinear Schrodinger Equation with a Self-consistent Source in the Class of Periodic Functions // Mathematical Physics, Analysis and Geometry, 2011, V. 14. P. 153−169.
19. Яхшимуратов А. Б. Интегрирование уравнения Кортевега-де Фриза со специальным свободным членом в классе периодических функций // Уфимский мат. журнал. 2011. T. 3, № 4. C. 144−150.
20. Левитан Б. М. Обратные задачи Штурма-Лиувилля. М.: «Наука», 1984, 240 с.
21. Титчмарш Э. Ч. Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка. В 2-х т. М.: ИЛ, 1961, T. 2, 556 с.
22. W. Magnus, W. Winkler Hill’s equation. New York: Interscience Wiley, 1966.
23. Станкевич И. В. Об одной задаче спектрального анализа для уравнения Хилла // ДАН СССР, 1970, T. 192, № 1. C. 34−37.
24. Марченко В. А., Островский И. В. Характеристика спектра оператора Хилла // Мат. сб., 1975. T. 97, вып. 4. C. 540−606.
25. E. Trubowitz The inverse problem for periodic potentials // Comm. Pure and Appl. Math., 1977. V. 30. P. 321−337.
26. Левитан Б. М., Саргсян И. С. Операторы Штурма-Лиувилля и Дирака. М.: «Наука». 1988. 432 с.
27. G. Borg Eine Umkehrung der Sturm-Liouvillschen Eigenwertaufgabe, Bestimmung der Differentialgleichung durch die Eigenwerte // Acta Math., 1946. 78. № 2. P. 1−96.
28. H. HochstadtOn a Hill’s equation with double eigenvalues // Proc. Amer. Math. Soc., 1977. V. 65. P. 343−374.
29. H. Hochstadt A Generalization of Borg’s Inverse Theorem for Hill’s Equations // Journal of math. analysis and applications, 102, 1984. P. 599−605.
Мухаммад Махсудович Матёкубов,
Ургенчский государственный университет, ул. Х. Алимджана, 14,
220 100, г. Ургенч, Узбекистан E-mail: mmm2210410@mail. ru
Алишер Бекчанович Яхшимуратов,
Ургенчский государственный университет, ул. Х. Алимджана, 14,
220 100, г. Ургенч, Узбекистан E-mail: albaron@mail. ru

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой