Асимптотическая модель турбулентного течения вблизи поверхности

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Механика


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК 535. 517 Вестник СПбГУ. Сер. 10, 2013, вып. 4
С. Ю. Маламанов
АСИМПТОТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ТУРБУЛЕНТНОГО ТЕЧЕНИЯ ВБЛИЗИ ПОВЕРХНОСТИ
Исторически первое указание на «многослойность» течения в турбулентном пограничном слое было сделано Л. Прандтлем: вся область течения делится на две области -ламинарный подслой и турбулентное ядро. По современной терминологии вместо ламинарного говорят о вязком подслое, ибо из экспериментов следует, что течение в нем сопровождается заметными турбулентными пульсациями.
Если в этой связи математическая модель, служащая для описания течения вблизи поверхности, не учитывает наличие пульсаций, то полученные в результате расчета гидродинамические величины будут значительно отличаться от тех, которые существуют в действительности. Поэтому любые попытки улучшения математической модели заведомо оправданы.
Рассмотрим какую-либо гидродинамическую величину ]{х, у, г, Ь), например скорость, и предположим, что в окрестности некоторой точки возможно представление
— df df df'-
f{x, y, z, t) — f (x, y, z) «f'-{x, y, z, t) + - lx + -ly + -r^lz + ••• •
Тогда для пульсаций скорости в плоском турбулентном потоке будем иметь + + «+ +
В этих выражениях Дх, у, г) — средняя величина, ?и (х, у, г), Ьи (х, у, г) — некоторые функции пространственных координат (штрихи — символы пульсаций).
После этого «основную» касательную компоненту тензора напряжений Рейнольдса можно представить в виде
dv'-. dv'-, dv'-ди'- _. ди'-. ди'- dv'- ди'-
v'-xv'- = u'-v'- + u'- - lx + u'--ly + ---lxLx + v'--Lx + v'--Ly + ----lxLy + x y dx dy dx dx dx dy dx dy
dv'- ди'- dv'- ди'-
dy dx dy dy
Тогда на «стенке»
du'- dv

Маламанов Степан Юрьевич — кандидат физико-математических наук, докторант, 199 034, Санкт-Петербургский государственный университет- e-mail: stevmal@mail. ru. © С. Ю. Маламанов, 2013

y '-W
fdv'- ду
12
W
где последние два выражения находятся из представлений для (у'-Х) и (уу2).
Как видно, напряжения Рейнольдса на «стенке» определяются корреляциями производных от пульсаций скорости по координате у и некоторыми функциями 1у и Ьу. По поводу последних можно сказать следующее: анализ размерностей правых и левых частей позволяет сделать вывод о том, что эти функции линейны относительно у.
Для дальнейшего анализа воспользуемся тем обстоятельством, что уравнения Рей-нольдса, записанные в безразмерном виде, содержат малый параметр при старшей производной. Поэтому вполне «естественно» попытаться воспользоваться одним из методов возмущений, в частности методом сращиваемых асимптотических разложений [1, 2].
Запишем проекцию уравнения движения на ось X (использованы безразмерные переменные, обозначения оставлены без изменений):

xvy
dp
дх R,
1 д
ду
9vx
1 д
dv: ,
м-
дх дх

д_
ду
д

(2)
малый параметр, обратный числу Рейнольдса.
здесь -щ
Как известно, в турбулентном пограничном слое можно выделить три характерные области: вязкий подслой, «буферная» зона и турбулентное ядро. С точки зрения метода возмущений, все они являются «внутренними» областями (потенциальное течение — «внешней»), и решение в каждой из них строится в переменных, «растянутых» таким образом, что исследуемая зона оказывается как бы под увеличительным стеклом (для каждой зоны — свое «стекло»). Так, для рассмотрения течения в «буферной» зоне введем новую переменную
Y =
у
где е — пока неопределенная малая величина. Будем искать решение в виде
v^(x, y, Reoo) = v^(x, Y) + о (е),
щ (х, у, Reoo) = ?щ (х, Y) + о (е2), p{x, y, Reaa) =p{x, Y) + o (e),
v'-xv'-Jx, y, Reoo) = ev'-xv'-Jx, Y) +о{е),
Теперь воспользуемся известным экспериментальным фактом [3], из которого вытекает, что в данной зоне напряжения Рейнольдса и вязкого трения одного порядка. Следовательно, из уравнения (2) имеем
1
Re
1 д dvx
IdY^ldY'-
de& lt-v'-y
edY '-
*) Вид —
, асимптотических последовательностей для гиу и '-€'-хгю'-у обусловлен необходимостью удовлетворить уравнению неразрывности.
v
е

откуда -п--2 = С. Полагая С = 1, получаем
? =

Но точно такая же зависимость имеет место в вязком подслое [1]. Это позволяет объединить вязкий подслой и «буферную» зону в единую область, охваченную, как будет видно из дальнейшего, турбулентным движением.
Сейчас рассмотрим уравнение переноса корреляции п'-2 (компоненты тензора напряжений Рейнольдса), приведенное к безразмерному виду.
Согласно [4],
-ди
-тгди ди'-2 — _ «««
2и'-2-+й--+2и'-у'---21- -
дх Ох ду р Ох ду
р'- ди'- _ди'-2 ди'-3 2 др'-и'- ди'-2
+
дх р дх
+ ¦
ду
+
+
1
Ее
2и (-V 2 ?/(-У
дх ду дх дх

д_
ду
ди'-2
ду
здесь V — кинематическая вязкость и введены новые обозначения:
Введя новую переменную 7=ги подставляя решения в виде асимптотических разложений по степеням е, для членов нулевого порядка (е0) имеем (обозначения оставлены без изменений)
-тгди ди'-2 -ди р'- ди'- ди'-2 ди'-3 2 др'-и'-
2и/2- +й-~ + 2и-«'---2^- + + + -+
дх дх дУ р дх дУ дх р дх
+
ди'-2
дУ
V /ди& gt-у _д_ / ди!_2_
+ 1/дУ) ~дУ У ~дУ
Пренебрегая членами, содержащими третьи степени пульсаций ^р'-^г? считая,
что р'- ~ п и т. д.), при У ^ 0 находим, что
2
2 и'-у'-
¦ ди дУ
2v
ди/ дУ

_д_
дУ
ди'-2 /-
дУ
0.
Отметим, что выражение подобного типа, полученное из чисто качественных рассуждений, приведено в [5].
Аналогичное рассмотрение уравнений переноса корреляций V'-2 и и'-ги'- приводит соответственно к уравнениям (в первом случае удержаны члены порядка е, а во втором — е2)
2п'-у'-
— ди У дУ
-ду
ди'- дги'- д2и'-у'- дУдУ'-^^У^
0,
дх
2v
ду'- дУ

_д_
дУ
д'-0'-2 /_
дУ
0.
Затем, подставляя в них корреляции производных из (1), будем иметь
1

V
V

V* -& gt- п
V, -& gt- V.
х
У
2
v'-2 du 2v/v'- d2v'-v'- ~VdY + lYLY~ dY2 '- 2UV dv Ъ/2 d2^
+ ~ ~dY2 ~ (3)
---1----= 0
v dx l2y dY2
Видно, что при заданных Jp-, ly и Ly (где ly и Ly — преобразованные функции, при введении новой переменной Y) полученные уравнения представляют собой систему трех обыкновенных дифференциальных уравнений относительно трех неизвестных: v/v'-, v/2 и v'-2.
В случае безградиентного обтекания пластины
dv ---
и-- - pv'-v'- = tw = const. dY
Следовательно, остаются неопределенными ff, ?г и Ly. В самом начале нашего анализа при представлении случайной гидродинамической величины в виде ряда Ly и ly, как и другие, считались функциями декартовых координат (x, y, z), однако потом -из анализа размерностей — был сделан вывод, что ly и Ly линейны относительно y (и Y соответственно). Поэтому будет вполне естественно — в рамках асимптотического анализа (Y ^ 0) — положить: lY = Ly = Y. Тогда система (3) приобретает вид
v'-2 dv, r0 — d2v'-v'-r0
+ (4)
v
dY dY2
--Y2 + 2v& gt-2 — Y2 = 0
v dx dY2
и при Y ^ 0 получим соответственно
u'-v'- = 0,
U72 = 0,
V2 = 0.
(5)
Это общепринятые, так называемые условия прилипания. Взглянем теперь на задачу по-другому. Для этой цели обратимся к тому, что понимается под словом «стенка». В гидроаэромеханике встречаются в основном два случая: гладкой и шероховатой поверхностей. Причем в последнем случае чаще всего речь идет об искусственной шероховатости определенной конфигурации. Рассмотрим естественную шероховатость, для которой Ка — среднее арифметическое отклонение профиля от средней линии **). После этого вместо асимптотического условия Y ^ 0 введем более конкретное: Y ^ Ка.
*) Введенное ранее разложение случайной величины в ряд по некоторым функциям становится рядом Тейлора.
**) Это базовая линия, определенная так, что среднее квадратичное отклонение профиля шероховатости от нее минимально [6].
Тогда (4) можем записать так:
— V/2 ди о д2и'-у'- о
-тг 2м/г-/ 9 м о 92м'-2 о..
2"'-2 + - = (6)
V
+ дх, а д?2 а~
При старшей производной стоит малый параметр (для фюзеляжа самолета, например, Ка ~ 10~6м [6]). Поэтому, если пренебречь членами, содержащими К^ (т. е. не учитывать шероховатость), то получим обычные условия «прилипания» — (5). В общем же случае, при надлежащим образом определенныхр- и приходим к системе второго порядка, имеющей нетривиальное решение. Для его отыскания опять воспользуемся методом сращиваемых асимптотических разложений.
Обозначим Ка через 6, а «внешние» решения ищем в виде
?Л/(с5, У) = + … ,
Щб, У) = + (7)
Подставляя соотношения (7) в систему (6) и удерживая члены нулевого порядка (60), находим
Й? = = (^)о = О,
т. е. обычные условия «прилипания».
В данном случае — это «внешние» решения. Для отыскания решений во «внутренней» области необходимо произвести ее «растяжение», имея в виду, что изменение независимой переменной определенным образом «связывает» асимптотические последовательности для представления решений.
X
81 ¦
ищем решения
Введем новую переменную: г) = Ограничиваясь первыми членами разложений,
_^(& lt-5,У) = К2Г0 + …, (8)
у'-2{5,У) =52~& lt-{у'-2)Ъ +….
Подставляя соотношения (8) в систему (6), получим систему уравнений
± Щ1^ =

2(У2%52& quot-<- + -- «М*, = 0.
Vдх дц2
Из нее видно, что единственное значение 7, удовлетворяющее всем уравнениям, равно
1
7=2'-
В этом случае система уравнений (6) распадается на три независимых обыкновенных дифференциальных уравнения:
2(^-^=0,
0, (9)
2(^-^=0.
Общее решение каждого из уравнений (9) можно представить следующим образом:
(??V)J0 = ае^Г1 + Ае-^Г1,
(??2)г0 = de^ + De-^, (10)
(У2 у0 = Ье^ + В е-
Константы a, b, d и A, B, D должны быть определены из условий на «стенке» и сращивания с «внешним» решением. При п = 0 (Y = y = 0)
a + A = Cl,
b + B = C2, d + D = C3.
Условия сращивания имеют вид
lim [Да (mV)г0] = lim (UV)0°,
П-ж Y -0
lim l (^y0] = |т Й°
П-ж y--0
Ит [Rl^fo] = lim
п-ж Y -0
Тогда из первого уравнения системы (10) получаем
а lim е^ + А lim е& quot-^ = 0.
П-& gt-ж п-& gt-ж
Отсюда видно, что второй предел имеет место при любом конечном А- равенство же нулю первого предела возможно только, если a = 0. Аналогично: b = d = 0. Таким образом,
= С-е- u'-v'-
и'-2
То, что и С- в общем случае не равны нулю, «говорит» о том, что
и (v/v'-), и (м/2), и (V2) в таком случае тоже отличны от нуля, а это, в свою очередь, допускает существование турбулентного движения уже на «стенке» (с естественной шероховатостью), где, видимо, и происходит его зарождение.
Автор благодарит Юрия Петровича Савельева за постановку задачи и постоянное внимание к работе.
Литература
1. Ван-Дайк М. Методы возмущений в механике жидкостей / пер. с англ. М.: Мир, 1967. 310 с. (Van-Dajk M. Perturbation methods in fluid mechanics.)
2. Найфэ А. Введение в методы возмущений / пер. с англ. И. Е. Зина, Э. А. Троппа- под ред. Р. Г. Баранцева. М.: Мир, 1984. 535 с. (Najfje A. Introduction to perturbation methods.)
3. Фрик П. Г. Турбулентность: Подходы и модели. Изд. 2-е, испр. и доп. М.- Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2010. 332 с.
4. Ротта И. К. Турбулентный пограничный слой в несжимаемой жидкости / пер. с англ. И. Д. Желтухина, Н. А. Сергиевского- под ред. Ю. Ф. Иванюты. Л.: Судостроение, 1967. 232 с. (Rot-ta I. K. The turbulent boundary layer in an incompressible fluid.)
5. Иевлев В. М. Турбулентное движение высокотемпературных сплошных сред. М.: Наука, 1975. 255 с.
6. Суслов А. Г., Корсакова И. М. Назначение, обозначение и контроль параметров шероховатости поверхностей деталей машин. М.: Изд-во Моск. гос. ин-та управления, 2010. 112 с.
Статья рекомендована к печати проф. Ю. М. Далем. Статья поступила в редакцию 30 мая 2013 г.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой