Некоторые основные задачи теории упругости о плоскости с прямолинейными разрезами

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость новой

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК 539. 3
Вестник СПбГУ. Сер. 1. Т. 3(61). 2016. Вып. 1
НЕКОТОРЫЕ ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
О ПЛОСКОСТИ С ПРЯМОЛИНЕЙНЫМИ РАЗРЕЗАМИ
Ю. М. Даль
Санкт-Петербургский государственный университет,
Российская Федерация, 199 034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7−9
Найдены новые решения краевых задач теории упругости для плоскости с произвольным числом разрезов на вещественной оси. Исследованы два основных случая: 1) кромки разрезов нагружены сосредоточенными силами, напряжения на бесконечности отсутствуют- 2) берега разрезов свободны, на бесконечности плоскость растянута постоянными внешними усилиями. Библиогр. 6 назв. Ил. 9.
Ключевые слова: плоская задача теории упругости, комплексная переменная, формулы Колосова, прямолинейные разрезы.
1. Введение. Теоретический анализ напряженного состояния упругой плоскости с разрезами до сих пор является предметом многочисленных исследований. В различных публикациях рассматриваются как одиночные разрезы, так и два-три одинаковых коллинеарных разреза или же периодические разрезы одной и той же длины [1]. При этом, как правило, кромки разрезов считаются свободными либо загруженными равномерно распределенной нормальной нагрузкой. Задачи о произвольном числе разрезов различной длины при иных внешних усилиях остаются практически не изученными.
В настоящей работе приведены точные аналитические решения краевых задач для плоскости с произвольной конечной или периодической системой разрезов на вещественной оси. В основу анализа положены соотношения плоской задачи теории упругости в терминах функций комплексного переменного г = х+гу. Математические модели всех задач сведены к проблемам Гильберта-Привалова для двух функций Г. В. Колосова.
2. Общие формулы плоской задачи теории упругости для напряжений.
Рассмотрим сечение Б упругого тела, находящегося в условиях обобщенного плоского напряженного состояния или плоской деформации. Согласно [2], компоненты напряжения охх, ауу, аху в области Б определяются формулами
(r)хх + °уу 2
I ^ (2. 1)
Оуу — Охх + 21аху = 2 [-21уФ'-(г) + ^2(2)],
где первое равенство — интеграл уравнения неразрывности деформаций, а второе — интеграл комплексного уравнения равновесия [3]- ^2(2) -регулярная функция, связанная со своим классическим аналогом) соотношением
^2(2) = ад + 2Ф'-(г). (2. 2)
Если область Б представляет собой п-связную плоскость, то, в общем случае, при
(?5 Санкт-Петербургский государственный университет, 2016
z «1 имеем [4, с. 124]
-г, V, , X + iY 1 ^ ж.. т.. k (X — iY)1. т..
(2. 3)
Здесь Ф0^) = O (1/z2),o (z) = O (1/z2) -регулярные на бесконечности функции- X и Y — компоненты главного вектора внешних усилий, приложенных ко всей совокупности контуров Yi (i = 1, 2,…, n), составляющих границу плоскости- параметр k = (3 — ()/(1 + () при обобщенном плоском напряженном состоянии и k = 3 — 4(в случае плоской деформации- (- коэффициент Пуассона-
aX + aX aX — aX Г = уу = const, А = -^ + iaZ = const. (2. 4)
4 2
Пусть в равенствах (2. 3) величины X = Y = 0. Тогда Ф^) = Г + Ф0^), ^(z) = A + ^0(z), откуда следует
lim уФ'-^) = 0. (2. 5)
y ^ X
На основании (2. 5) из второго уравнения (2. 1) получаем
lim ^2(z) = A.
y ^ x
Отсюда при aX-x = ayy, axy =0 в соответствии с (2. 4) имеем ^2(z) = ReA + ilmA, где ImA = aX, ReA = (aX — a%%.)/2, и формулы (2. 1) преобразуются в соотношения Вестергарда [4, 5]:
axx = 2ReФ (z) — 2у^Ф'-^) — ReA,
ayy = 2ReФ (z) + 2у^Ф'-^) + ReA, (2. 6)
axy = -2yReФ'-(z) + ImA.
3. Влияние симметрии (асимметрии) внешних нагрузок на вид функций ф^), ад, ^2(z)
Симметрия. Пусть многосвязная область S представляет собой конечную или бесконечную часть плоскости. Предположим, что вещественная ось x является осью симметрии как самой области S, так и поля внешних усилий.
Учитывая (2. 2), представим уравнения (2. 1) в таком обобщенном виде [6]:
axx + ayy + iE*ш = 4Ф^), ayy — axx + 2iaxy = 2[z^(z) + ^(z)j, (3. 1)
где E* = E/(1 -(2) для плоской деформации и E* = E в случае обобщенного плоского напряженного состояния- ш — угол поворота- E — модуль Юнга. Исходя из условий симметрии, находим
axx (z) = axx (z), ayy (z) = ayy (z), axy (z) = -axy (z), w (z) = -w (z). (3. 2)
Принимая во внимание соотношения (3. 2), на основании (3. 1) устанавливаем
Re Ф^) = Re Ф (г), Im Ф^) = -Im Ф (г), Re^'-(z) + ^(z)] = Re[z Ф'-(г) + ад)], (3. 3)
Im^'-(z) + ад)] = - Im^'-(z) + Ф (г)].
В результате умножения на г второго и четвертого равенств (3. 3) и последующего их сложения соответственно с первым и третьим, получим
ф (г) = ф (5) = ф (г),
?ф'-(& gt-) + ф («= гф'-(^) + = ?ф'-(«+ ф («. Отсюда, имея в виду (2. 2), заключаем
Ф (2) = Ф (г), Ф (2) = Ф (*), ^2(2) = Ф2ф. (3. 4)
Если область Б и внешние нагрузки симметричны относительно осей х и у, то, кроме равенств (3. 3), функции Ф (г) и Ф (2) должны удовлетворять зависимостям
Ие Ф (2) = Ев Ф (-г), 1 т Ф (г) = -1т Ф (-г), Ке[2Ф'-(2) + Ф (г)] = Ие[-2Ф'-(-г) + Ф (-г)], 1т[гФ'-(2) + Ф (г)] = -1т[-2Ф'-(-г) + Ф (-г)],
которые вкупе с (3. 4) сводятся к соотношениям
Ф (г) = Ф (г) = Ф (-г), Ф (г) = Ф (г) = Ф (-г), Ф2(г) = Ф2(г) = Ф2(-г).
Асимметрия. Пусть многосвязная область Б симметрична относительно вещественной оси, тогда как внешние усилия, наоборот, антисимметричны. В этом случае
& amp- хх (2) = -аХх (2), & amp-уу (2) = -Стуу (г), аХу (2) = оХу (г), ш (2) = ш (г),
и после выкладок, аналогичных вышеприведенным, будем иметь
Ф (2) = -Ф (г), ад = -Ф (г), ад) = -ад). (3. 5)
4. Плоскость с конечным числом нагруженных разрезов. Рассмотрим сначала плоскость, содержащую один разрез на вещественной оси и свободную от нагрузки на бесконечности. Пусть в некоторой точке верхнего берега разреза приложена сосредоточенная сила 2Е = 2Р + г2Т, направленная под углом к оси х. Представив вектор 2Е как сумму четырех пар векторов Р и Т, видим, что решение задачи об упругой плоскости с произвольно нагруженным разрезом является суммой решений четырех задач, схемы к которым изображены на рис. 1.
2р: к
2К 1) 2) 3) 4)
2 Г _Р]
1,
Рис. 1. Исходная задача и четыре частные задачи о нагруженном разрезе
Если плоскость содержит N разрезов, на кромках которых действуют внешние сосредоточенные силы (а^х = ауу = а^у = 0), то решение подобной задачи сводится к отысканию решений 4N частных задач, представленных на рис. 1. Заметим, что в задачах типов 1 и 3 функции Ф (2) и ^2(2) подчиняются соотношениям (3. 4), в задачах типов 2 и 4 — зависимостям (3. 5).
Задача 1. Согласно формулам (2. 1) и (3. 4)
ауу + ?аХу = Ф (г) + Ф (г) — 2гуФ'-(г) + Ф2(г). (4. 1)
Краевые условия на разрезах акЪк (к = 1, 2,…, Ж) оси х будут
N
ау±у (х) + гаХ±у (х) = (-Ри)6(Х — Хк). к=1
Здесь и ниже индексами + и — обозначены соответственно верхние и нижние берега разрезов- Рк -величина силы, приложенной в точке Хк на разрезе акЪк- 5(х — Хк) — дельта-функция Дирака. Отсюда на основании (4. 1) получаем
N N
Ф+(х)+Ф-(х)+Ф+ (х) = - ^ Рк5(х-Хк), Ф+ (х)+ф-(х)+ф+ (х) = -^ Ркд (х-Хк).
к=1 к=1
Вычитая и складывая эти равенства, приходим к задачам Гильберта-Привалова для функций и Ф (г):
1 14 Ф+(х) -Щ (х) =0, Ф+(х) + Ф-(х) + -[Ф+(х)+Ф2-(х)] = -^Рк5(х-Хк).
2 к=1 Следуя [3, с. 385−401], запишем их решение в виде
1 /А -Рк
Ф2(, г)=0, 1 ^ к
N к1 ~ г
2пг1 П (г — ак)(г — Ък) =
V к=1
1
П (Хк — ак)(Хк — Ък).
к=1
В частности, если N = 1, то


где 2а — длина разреза а1Ъ1, причем а1 = -а, Ъ1 = а. Задача 2. Из соотношений (2. 1) и (3. 5) находим
ауу + ?аху = Ф (г) — Ф (г) — 2гуФ'-(г) + Ф2(г). (4. 3)
Внося правую часть этого равенства в краевые условия на разрезах ак Ък (к = 1, 2,…, Ж)
N
а±у (х) + гаХ±у = Тк3(х — Хк), к=1
устанавливаем
N N
Ф+(х) — Ф-(х) + Ф+(х) = г^Тк 6(х — Хк), Ф-(х) — Ф+(х) + Ф-(х) = г^Тк 6(х — Хк),
х) = 1
к=1 к=1 Вестник СПбГУ. Сер.1. Математика. Механика. Астрономия. Т. 3(61). 2016. Вып. 1 123
откуда
N
Ф+(х) + Ф2-(х) = 2г^Тк6(х — Хк), Ф+(х) — ф-(х) = -
к=1
Данным граничным условиям удовлетворяют функции
1 (N Т
*"& lt-"- = -2Ф (г) = /, ?Л^У
П (2 — ак)(2 — Ьк) ^
к=1
В случае одного разреза
N
П (Ак — ак)(Лк — Ьк).
к=1
'-1Т /а2 — А?
г (Лх — г)/г2 — а2
Здесь, как и выше, 2а — длина разреза а1, где а1 = -а, Ь1 = а.
Задача 3. В результате подстановки выражения (4. 1) в граничные условия на верхних и нижних берегах разрезов ак Ьк (к = 1, 2,…, N)
N N
а+у (х) + га+у (х) = г^Тк5(х — Лк), а-у (х) + га-у (х) = Тк5(х — Лк),
к=1 к=1
приходим к равенствам Гильберта-Привалова:
N
Ф+(х) — Ф-(х) = 2^Тк5(х — Лк), Ф+(х) + Ф-(х) + [Ф+(х)+Ф-(х)] /2 = 0, к=1
которым удовлетворяют функции
1 N Т 1 N Т
п z-'- Лк — 2 2п ^-'- Лк — 2
к=1 к=1
Для одиночного разреза
Т1 Т1

п (Л1 — 2) '- 2п (Л1 — 2)
Задача 4. Краевые условия на совокупности N разрезов
N N
а+у (х)+ га+у (х) = рк 5(х — Лк), а-у (х)+ га-у (х) = Ркд (х — Лк)
к=1 к=1
с учетом зависимости (3. 5) принимают вид
1 N
Ф+(х) + Щ (х) = 0, Ф+(х) — Ф-(х) + -[Щ (х] - Ф2-(х)] = -^Ркб{х-Хк).
2 к=1
124 Вестник СПбГУ. Сер. 1. Математика. Механика. Астрономия. Т. 3 (61). 2016. Вып. 1
Отсюда следует, что
N
^(г) = 0, Ф (г)
9тг: ^ к — ,
к=1
Если на вещественной оси находится единственный разрез, то
^(г)=0, Ф (г) = -
Р1
2п%(\ - г)
5. Периодические задачи
Задача 1. Рассмотрим плоскость с бесконечным числом равноудаленных друг от друга разрезов акЬк на оси абсцисс. Обозначим через 2а длину этих разрезов и через I расстояние между их центрами. Пусть на противоположных берегах разрезов в точках Хк = Х±к1 (к = 0,1, 2,…) приложены сосредоточенные силы Р, коллинеарные оси у (рис. 2). Напряжения на бесконечности считаем отсутствующими (аС = аСс
0).
уу
КР I

+а а.
А
а
Рис. 2. Плоскость с разрезами (симметричная нагрузка)
На основании (4. 1) получаем
аху = -у[Ф'-(г) + Ф'-ф] - -[Ф2(.) — Ф2(*)], (5. 1)
*уу = Ф (г) + Ф (5) — гу[Ф'-(^) — Ф'-(Е)] + + *2(*)]. (5. 2)
В силу очевидной периодичности задачи, функции Ф (г) и ^2(г) можно установить из краевых условий на разрезе аоЬо (у = 0, -а & lt- х & lt- +а):
а±у (х) = 0, а±у (х) = -Р5с (х), (5. 3)
где 6с (х) — множество функций Дирака, определяемое рядом
Мх) = 6(Х + к1 — х). (5. 4)
к= - & lt-уо
Внеся в (5. 3) выражения (5. 1), (5. 2) и (5. 4), находим
*+(х) — *-(х)=0, (5. 5)
1 +Т
Ф+(ж)+Ф& quot-(х) + -[Ф^(х)-|-Ф^(х)] = -Р Е 6{ + Ы-х). (5. 6)
к= - т
Сообразуясь с оговоренными ранее условиями на бесконечности, из равенства (5. 5) заключаем, что
^2(2) = 0. (5. 7)
Учитывая (5. 7), перепишем (5. 6) в виде граничного условия периодической задачи Гильберта-Привалова для функции Ф (2):
+^
Ф+(х) + Ф-(х) = -Р ^ 5(Л + к1 — х). (5. 8)
к= - т
Ее решение имеет вид
х+ (х)? 6(Л + к1 — х) Ф (*)=9 -у ^ / ---(5−9)
2пгЛж (2) У х — 2
ь~
где
Х00(г) = у/(г — а)(г + а)(г — а, 1)(г — Ь1_)(г — а-1)(г — Ь-1_).. = =
(2 + аЩ [(2 + а)2 — к2/2] (2 — а) П [(2 — а)2 — к212]. (5. 10)
к=1 к=1
Символ Ь Т обозначает интегрирование по всей совокупности прямолинейных разрезов.
Подставив выражения (5. 10) в формулу (5. 9), после соответствующих выкладок и преобразований устанавливаем
р. /вШ2^ - вШ2^
Ф (г) = -. -?-. =. (5. 11)
Задача 2. Пусть на противоположных берегах разрезов акЬк в точках хк = П ± к1 (к = 0,1, 2,…) приложены сосредоточенные касательные нагрузки Т (рис. 3). Напряжения на бесконечности по-прежнему считаем отсутствующими (аТх = аТ =
аТу = 0).
Из уравнений (2. 1) и (3. 5) получаем
ауу + гаху = Ф (2) — Ф (г) — 2гуФ'-(2) + ^2(2). (5. 12)
Отсюда заключаем, что краевые условия данной задачи
а^у (х) + га±у (х) = гТ Е + к1 — х)
к= - т
Рис. 3. Плоскость с разрезами (асимметричная нагрузка)
представимы в такой эквивалентной форме:
Ф+(х) — Ф& quot-(х) + Ф+(х) = гТ ^ 5(ц + к1 — х),
к=
Ф-(х) — Ф+(х) + Ф2(х) = гТ ^ 5(п + к1 — х).
к=-с
(5. 13)
Складывая равенства (5. 13), имеем
Ф+(х) + Ф- (х) = 2гТ 6(п + к1 — х).
к=
(5. 14)
Как видим, с математической точки зрения задачи (5. 8) и (5. 14) идентичны. Поэтому, заменив в формуле (5. 11) параметры Р и Л соответственно на — 2гТ и п, находим
Ф2(г) = -
гТ

/ _81П2™
(5. 15)
Вычитая второе уравнение (5. 13) из первого, приходим к соотношению
Ф+(ж) — ф-(ж) = -& quot- Щ (х)].
Отсюда, с учетом предыдущей зависимости, можем написать
Ф (г) =
гТ

2/
вПГ^ - ЙНГ
или
Ф (-) =
(5. 16)
Положив в (5. 15) параметры п = 0 и I ^ (а, п), получим решение задачи о плоскости с одним центральным разрезом аоЬо (у = 0, -а & lt- х & lt- +а) в виде
Ф2(г) = -2Ф (г)
гТа
ттг^г2 — а2
Если в этой формуле, а то с точностью до малых первого порядка
= -2Ф (г) = -.
пг
Выражения (5. 17) являются решением первой основной краевой задачи для нижней полуплоскости у & lt- 0, загруженной в начале координат сосредоточенной касательной нагрузкой. Отметим, что в терминах функций Ф (г) и Ф (г) решение данной задачи выглядит следующим образом:
Ф (г) = -
Т
2яг'-
ад
T
— zФ/(z)
Т
2~z
Замечание. Периодические задачи 3 и 4 (рис. 1) не имеют решений, ибо в них главный вектор внешних нагрузок, приложенных к бесконечной совокупности разрезов, не является ограниченным.
6. Растяжение упругой плоскости с конечным числом разрезов. Рассмотрим плоскость с конечным числом разрезов akbk (к = 1, 2,…, N) на оси x. Предположим, что кромки всех разрезов свободны от внешних усилий, а сама плоскость растянута на бесконечности напряжениями = p = const, aXXX = axy = 0 (рис. 4).
1-I I I *
Рис. 4. Плоскость с разрезами, растянутая на бесконечности
Согласно формулам (2. 1) и (3. 4), представим граничные условия на разрезах
a±y (x) + га±ч (x) =0, x e ak bk,
1, 2,
, N
в таком эквивалентном виде:
Ф+(х) + Ф-(х) + Ф+(х) = 0,
Ф-(х) + Ф+(х) + Ф-(х) = 0. Вычитая и складывая эти равенства, получим
Ф+(х) — *-(х)=0,
1
Ф+(ж) + Ф (ж) + - + Ф2 (ж)] = 0.
(6. 1)
(6. 2)
2 L~2
nz
Принимая во внимание соотношения (2. 4), (2. 6) и оговоренные выше условия на бесконечности, приходим к выводу, что решение уравнения (6. 1) будет
Ф2(г) = | = сопгй. (6. 3)
Учитывая полученный результат, перепишем (6. 2) в форме граничного условия задачи Гильберта-Привалова для функции Ф (г), т. е.
Ф+(ж) + ф-(х) =
Решение, удовлетворяющее данному условию на совокупности всех разрезов, таково:
N
(п (х — ак)(х — Ьк)
Ф (.) = ¦ 1 (-|) / -
N 2^ г -х
2пг* П (г — ак)(г — Ьк) ь*
У к=1
где символ LN обозначает интегрирование по всей совокупности N разрезов. Вычислив интеграл в правой части этого равенства, устанавливаем
N
Ф (г) = -^ + - Рг (6. 4)
4 / N
2 П (г — ак)(г — Ьк)
У к=1
Если, например, в формуле (6. 4) параметр N = 3, то
3
т = ~2+, рг (6. 5)
43
2 П (г — ак)(г — Ьк)
У к=1
Обозначив длину разреза а2Ь2 через 2а, поместим начало координат в его середине. Пусть краевые разрезы аф1 и азЬз имеют одинаковую длину 2па (п — некоторое целое или рациональное положительное число) и равноудалены от центрального разреза. Параметры I и Д — соответственно расстояния между центрами и ближайшими вершинами смежных разрезов (рис. 5).
В принятых обозначениях выражение (6. 5) запишется следующим образом:
3
Ф (*) = ~|+ ,. ^ (6−6)
2
2^(г2 — а2) |г2 — (I — па)2] [г2 — (I + па)
Полагая г = х, внесем соотношения (2. 4), (6. 3) и (6. 6) в формулы (2. 6), где, А = р/2. В результате находим
о ауу
(х) 1
СГ уу (х)
[1 — а2/х2] 1 — (I — па)2/х2 1 — (I + па)2/х
аХх (х)
(х)
[1 — а2/х2] 1 — (I — па) /х2 1 — (I + па)2/
= 1, аху (х)
Рассмотрим три системы разрезов:
1) I = 2. 5а, п = 0.5, Д = а- 2) I = 3а, п =1, Д = а- 3) I = 4а, п = 2, Д = а.
(6. 7)
Распределение напряжений а°0у (х) и а°х (х) на отрезке Д = а между разрезами а2Ь2 и азЬз проиллюстрировано графиками на рис. 6 и 7. Кривые 1 соответствуют |а1 Ь11 = |азЬз| = 0. 5|а2Ь21- кривые 2- |а1Ь1| = |азЬз| = |а2^|- кривые 3- |а1Ь1| = |азЬз| = 2|а2Ь2|.
УУ

Рис. 6. Распределение напряжений между разрезами
Аналогичным образом на оси у будем иметь
Рис. 7. Распределение напряжений между разрезами
аХх (У)
а°у (у) =
_ (Гхх{у) Р
уу
(у)
р
[1 + а2/у2] 1 + (1 — па)2/у2 1 + (1 + па)2/у2
[1 + а2/у2] 1 + (1 — па,)2/у2 1 + (1 + па)2/у2
— 1, аху (у) =
1
р
2
1
1
На рис. 8 и 9 приведены графики напряжений & amp-уу (у) и & amp-Хх (у) — Кривые 1 соответствуют |а1& amp-1| = |аз& amp-з| = 0. 5|а2&-21- кривые 2- |а1& amp-1| = |аз6з| = |а2б2|- кривые 3 — aibil = |аз6з| = 2|"2& amp-21- кривые 4- |а1& amp-1| = |азЬз| = 0, |а2& amp-2| = 2а.
10 15 20
5 10 15 20 у/а
Рис. 8. Величины напряжений
Jyy (
rfy (y) на оси y
Рис. 9. Величины напряжений JXx (y) на оси У
Обратимся теперь к случаю, когда плоскость с единственным разрезом на оси абсцисс (-a & lt- x & lt- a, y = 0), растянута на бесконечности напряжениями ayy = p = const. Согласно (6. 4), при N = 1 имеем
ФИ = -7 +
pz
Р
4 '- 2Vz2 — а2
Внося это выражение в формулы (2. 6), получим
px
@xx (x)
/ х2 — а2
1
ayy (x)
px
/х2 — а2
Если приближаться к вершине разреза по оси х, считая х = а + ?, то при 0 & lt-? ^ а предыдущие формулы преобразуются к виду
«VyyiO ¦
(6. 8)
Переходим к оценке напряжений (на оси х) около вершин 62, аз, 63 трех разрезов (см. рис. 5), определяемых равенствами (6. 7). Выполнив аналогичные подстановки и выкладки, находим
1) ИМ = |"зЬз| = 0.5 а2Ъ2 = а, «а^Ц) «0. 20рЩ,
а
а
а 21'-
& lt-#x (0 *
(0

& lt-Х (0 *
2) aibi = азЬз = а2^ = 2а,
& lt-т
3) a1b11 = a3b3 = 2 a2b2 = 4a, abx%(0
?Ж)
Сопоставляя приведенные графики, а также соотношения (6. 8) и (6. 9), видим, что количество разрезов и различия в их длинах существенно влияют на особенности напряженного состояния как около концов внутреннего разреза a2b2, так и на оси у, проходящей через его центр.
Результаты, полученные в данной работе, позволяют сделать следующие выводы.
1. Краевая задача теории упругости о плоскости с конечным и бесконечным числом разрезов на вещественной оси может быть сведена к решению математических задач Гильберта-Привалова для двух регулярных функций Г. В. Колосова.
2. Достаточное условие существования такого решения заключается в том, что внешние усилия на контуре каждого из разрезов должны быть самоуравновешены.
3. Аналитическое решение задач 3, 4 (см. рис. 1) существует для конечного числа разрезов N и отсутствует, когда N
Литература
1. Справочник по коэффициентам интенсивности напряжений / ред. Ю. Мураками. Т. 1. M.: Мир, 1990. 448 с.
2. Колосов Г. В. Применение комплексной переменной к теории упругости. Л.- М., 1935. 215 с.
3. Даль Ю. М. О формулах Г. В. Колосова в плоской задаче теории упругости при наличии периодических разрезов // Вестн. С. -Петерб. ун-та. Сер. 1. 2014. Вып. 2. С. 228−236.
4. Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. 707 с.
5. Westergaard Y.M. Bearing pressures and cracks //J. Appl. Mech. 1939. Vol. 6, N2. P. 49−53.
6. Новожилов В. В. Теория упругости. Л.: Судпромгиз, 1958. 370 с.
Статья поступила в редакцию 22 октября 2015 г. Сведения об авторе
Даль Юрий Михайлович -доктор физико-математических наук, профессор- ymdahl@yandex. ru
SOME BASIC PROBLEMS OF THE THEORY OF ELASTICITY FOR PLANE WITH THE CUTS
Yuriy M. Dahl
St. Petersburg State University, Universitetskaya nab., 7−9, St. Petersburg, 199 034, Russian Federation- ymdahl@yandex. ru
It was found the new solutions for the elastic plane with arbitrary quantity of cuts on real axis. Two basic cases were investigated. The first is: the both borders of cuts are load with concentrated forces, but on the infinity there are no stresses. The second is: the both borders of cuts are free, however in the infinity the plane has stretched out for external stresses.
Keywords: theory of elasticity, complex variable, Kolosov'-s formulas, the straight cuts.
& lt-C (O"0. 94pj-,


& lt-7* (О «2. 63^/-. (6. 9)
References
1. Reference book of stress intensity coefficients 1 (ed. by Yu. Murakami, Mir, Moscow, 1990, 448 p.) [in Russian].
2. Kolosov G. V., Application of complex variable to theory of elasticity (Leningrad, Moscow, 1935, 215 p.) [in Russian].
3. Dahl Yu. M., & quot-About Kolosov'-s formulas in a plane problem of the theory of elasticity in the presence of periodical cuts& quot-, Vestn. St. Petersburg Univ. Ser. 1. 1(59), Issue2, 226−236 (2014) [in Russian].
4. Muschelishwili N.I., Some basic problems of the mathematical theory of elasticity (Nauka, Moscow, 1966, 707 p.) [in Russian].
5. Westergaard Y. M., & quot-Bearing pressures and cracks& quot-, J. Appl. Mech. 6(2), 49−53 (1939).
6. Novojilov V. V., Theory of elasticity (Sudpromgiz, Leningrad, 1958. 370 p.) [in Russian].

Показать Свернуть
Заполнить форму текущей работой