Асимптотика решений уравнения Шредингера на малых временах

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

ВЕСТНИК УДМУРТСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
ФИЗИКА. ХИМИЯ 2009. Вып. 1.
УДК 539. 182
Б. П. Кондратьев, В. А. Антонов
АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА НА МАЛЫХ ВРЕМЕНАХ
Рассматривается квантовая задача о начальной эволюции и распространении волновых пакетов, занимавших до определённого времени ограниченный пространственный объём. Эта проблема требует тонкого анализа возможных несогласованностей заданных начальных условий для уравнения Шредингера с определенным гамильтонианом. Здесь доказаны две теоремы, позволяющие методом функций Грина получить строгие неравенства как для самой волновой функции одиночной частицы, так и для интегралов от квадрата модуля эволюционирующей волновой функции при малых Ь.
Ключевые слова: уравнение Шредингера, волновая функция, эволюция начального состояния, метод функций Грина.
1. Постановка задачи
Главная трудность при попытке описания начальных этапов распространения волновых пакетов, которые первоначально имели компактное пространственное расположение, заключается в несогласовании начальных условий для уравнения Шредингера с видом гамильтониана задачи [1]. Для выяснения сути дела рассмотрим одномерное уравнение Шре-дингера
шдф = _^д*ф
г)1 2 тдх2 [)Р Ш
при начальных условиях
*(*•"& gt- = { 0(Х), (2)
Проблема заключается в получении подходящих оценок для функции
* (х,?) в первоначально пустой области х & gt- а, когда время мало. Важно подчеркнуть, что попытка формального разложения волновой функции
* (х,?) в ряд по степеням времени терпит фиаско, поскольку это ведёт к явно неверному нулевому значению этой функции:
* = 0 + 0 ¦? + 0 ¦ ?2 + … (х & gt- а)
(3)
Физика. Химия
2009. Вып. 1
Причина этого в том, что данная задача выходит за рамки действия теоремы Ковалевской, где требуется аналитичность начальных условий на всей вещественной оси х [2]. У нас же, согласно (2), напротив, начальные условия описываются неаналитической функцией от х: аналитичность прерывается в точке х = ±а. Именно вследствие неаналитичности начальных условий и невозможности представления волновой функции в степенной ряд мы в данной работе для решения уравнения Шредингера (1) будем применять функцию Грина.
2. Свободное движение, строгие неравенства
Пусть внешний потенциал для данной квантовой системы отсутствует, то есть и = 0, тогда использование функции Грина [2−3] даёт
Если о начальной функции / (х) не известно ничего, кроме того, что она ограничена, то из (4) можно получить лишь неравенство
при любых х. В дальнейшем, однако, выбор пробной точки х мы ограничим условием |х| & gt- а. Можно ли тогда утверждать, что в точке х, удовлетворяющей этому неравенству, значение ф (х, Ь) имеет при Ь ^ 0 определённый предел и что он равен нулю? Дело в том, что указанного стремления к нулю функции ф (х, Ь) неравенство (4) отнюдь ещё не гарантирует. Впрочем такие примеры довольно вычурны и не имеют физического значения (например, бесконечное число тах и тт у начальной функции / (х)). Для более реалистических функций / (х) ожидаемый нулевой предел ф (х, Ь) имеет, конечно, силу. Докажем последнее. С этой целью предварительно выведем вспомогательное неравенство для последовательно определяемых функций вещественной переменной у:
Применим последовательное интегрирование по частям при больших у. Получим асимптотическое разложение
(5)
а = 1, 2, 3… (6)
И2 2
/ _у°°е-^М = гу-к-1е^[1 + {к + 1) (-^) + (к + 1)(к + 3) (-4,) + … + (к + 1)(к + 3)… (?- + 21/ - 1) (-4,) + О (у^-з)
+
2009. Вып. 1
Физика. Химия
(к & gt- 0, V & gt- 0). Проинтегрируем т раз асимптотическое разложение (7) с к = 0 и достаточным запасом членов (чтобы остаточный член был мал и им можно было пренебречь). Выражая результаты почленных интегрирований снова согласно (7), находим
Для нас важно сейчас, что каждая из функций уа+1 ¦ па (у) ограничена на всей полуоси некоторой константой:
Теперь сформулируем теорему.
Теорема 1. Пусть отрезок [-а, а] разделяется на конечное п & gt- 1 подотрезков, внутри каждого из которых функция непрерывна и имеет ограниченную вариацию. Тогда при? & gt- 0
где параметр B зависит только от выбора функции f (x), но не от конкретных x и t. Для доказательства этой теоремы вначале заметим, что в принятых начальных условиях (2) можно по отдельности рассматривать вещественную и мнимую части функции f (x), параллельно разделяя cos и i ¦ sin в мнимой экспоненте. Независимо друг от друга можно рассматривать и вклады в интеграл (4) от разных отрезков непрерывности f (x). Наконец, как известно, вещественная функция ограниченной вариации может быть представлена суммой непрерывной возрастающей и убывающей функций. В итоге вопрос сводится к исследованию конечного фиксированного числа интегралов вида
где | а1,21 & lt- а, & lt-^(х) — непрерывная монотонная функция на своем отрезке определения [0: 1,02]. Достаточно рассмотреть случай х & gt- а. Напри-
(8)
ya+l ¦ Па (y) I & lt- 5а, (y& gt- 0, а = 0,1, 2,…).
(9)
(10)
(11)
°° Г т (х-хг9Л
мер, при выборе cos в (11) (с sin всё аналогично) J cos 2? u dx'-
а
гп (х — а)) ¦ В силу второй теоремы о среднем интеграл (11) преобразуется в
Ы [т {л/Ш {х — о) — m (х — «2))]}
Физика. Химия 2009. Вып. 1
с некоторым? € (0: 1,012). Поскольку х —? и х — 01,2 ограничены снизу величиной х — а, применение (7) с, а = 0 даёт для интеграла (11) верхнюю границу 8ёоЬт~1лД (х — а)~1 • тах|& lt-?>-|. Остаётся сложить конечное число таких оценок, и теорема 1 доказана. Подчеркнём ещё раз, что параметр В не носит универсального характера, поэтому нет и противоречия с утверждением о невозможности улучшить в общем виде оценку (10). И наоборот, как мы сейчас увидим, при заданной большей гладкости для / (х) можно гарантировать и большую скорость сходимости ф (х, ?) при? = 0.
Теорема 2. Пусть функция / (х), дополненная условием / (х) = 0 при | х| & gt- а, имеет производную порядка а, удовлетворяющую на отрезке [-а, а] тем же требованиям, как и сама / (х) в условиях теоремы 1. Тогда при? & gt- 0
14 2
(13)
с параметром Ва, зависящим только от функции / (х). Для доказательства преобразуем (4) а- кратным интегрированием по частям к виду Ф = ^ ^ /»" / {а)(х'-) гь-1 (ж — ж'-)) & lt-1х'-.
Далее поступаем по прежнему образцу с применением (7) и в итоге получаем (13). Теорема 2 доказана. При выборе интервала (-Ь, Ь) несколько шире, чем (-а, а), интегрирование на основе (8) или (13) даёт
Г В 2
|ф (ж, ?)| 2сЙ & lt- ----? (14)
. '-о Ь — а
в условиях теоремы 1 или
В
2
|ф (ж,?)| 2 сМ & lt--------------9^ТТ2<-7+1 (а = 1,2…) (15)
7о (2(7 + 1) {Ъ — а)2а+1
в условиях теоремы 2. Обратим внимание, что теорему 2 нельзя применять, например, к функции / (х) = 1 (|х| & lt- а), /(х) = 0 (|х| & gt- а)
из-за недифференцируемого скачка при х = ±а- точно так же функция /(х) = |х| (а2 — х2)2 или /(х) = а2 — х2 рассматривается у нас как имеющая лишь первую производную. Неравномерность оценок (8) или (13) при подходе к точке х = а можно несколько сгладить, заметив, что в (7) показатель (а +1) может быть заменен любой меньшей положительной величиной 7. Тогда вместо (13) в условиях теоремы 2 получаем
(7+7
& lt- 1 м ¦ («27& lt-* + 1). (16)
Но, как видно из (16), за выравнивание оценки по х приходится платить уменьшением гарантированной скорости сходимости по ?. Вообще
ЭО
2009. Вып. 1 Физика. Химия
же, ухудшение оценок вблизи самой точки х = а связано с сутью данной задачи: В непосредственной окрестности этой точки возможны некоторые нерегулярные краевые эффекты.
Заключение
Мы выяснили, что в общем случае решение уравнения Шредингера на малых временах ведёт себя как л/1 Полученные нами оценки самой волновой функции отдельной частицы и интегралов от квадрата ее модуля при малых Ь интересно было бы применить при решении задачи о восстановлении вида волновых функций после ее резкого обрезания (или гильо-тирования [4]). Аналогичная задача возникает при разрушении ловушки (например, магнитной), в которую была заключена частица. Подчеркнём ещё, что форма наших оценок не меняется и при учёте внешнего потенциала и (х).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Быков В. П. // УФН. 1984. Т. 143, вып. 4. С. 656.
2. Петровский И. Г. Лекции по уравнениям с частными производными. М. -Л.: ГИТТЛ, 1950.
3. Курант Р. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.: Наука, 1967. Т. 1.
4. Аллер А. Астрофизика. М.: Изд-во иностр. лит. 1957. Т. 2.
Поступила в редакцию 01. 01. 08
B.P. Kondratyev, Ph.D., prof., V. A. Antonov, Ph.D.
Asymptotics solutions of Schrodinger equation on initial times
The paper deals with the quantum problem of initial evolution and propagation of the wave packets, which until a certain time occupied a limited spatial volume. This problem demands a refined analysis of possible disagreements of set initial conditions for the Schrodinger equation with a certain Hamiltonian. Here two theorems allowing strict inequalities to be obtained by the method of Green functions both for the wave function of a single particle and for integrals from the square of the module of the evolving wave function are proved at initial t. We explained that in the general case at initial times the solution to the Schr? dinger equation is proportional to ft.
Кондратьев Борис Петрович, д.ф. -м.н., профессор ГОУВПО «Удмуртский государственный университет» 426 034, Россия,
г. Ижевск, ул. Университетская, E-mail: kond@uni. udm. ru
Антонов Вадим Анатольевич, к.ф. -м.н., зав. отделом Главная астрономическая обсерватория Российской академии наук 196 140, Россия, г. Санкт-Петербург

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой