Асимптотика собственных значений оператора Штурма-Лиувилля с периодическими краевыми условиями

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

ISSN 2074−1863 Уфимский математический журнал. Том 6. № 3 (2014). С. 28−34.
УДК 517. 9
АСИМПТОТИКА СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ ОПЕРАТОРА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КРАЕВЫМИ
УСЛОВИЯМИ
А.В. КАРПИКОВА
Аннотация. Для исследования спектральных свойств оператора Штурма-Лиувилля, порожденного дифференциальным выражением 1(у) = -у& quot- - vy с комплексным потенциалом v, и определяемого периодическими краевыми условиями у (0) = у (2п), у'-(0) = у'-(2п), используется метод подобных операторов. Получены результаты об асимптотике спектра оператора.
Ключевые слова: метод подобных операторов, оператор Штурма-Лиувилля, спектр оператора, асимптотика спектра.
Mathematics Subject Classification: 34L20, 34L40, 47E05
1. Введение
Пусть L2[0, 2ж] - гильбертово пространство комплексных измеримых на [0, 2ж] и суммируемых с квадратом модуля функций со скалярным произведением вида:
2^ _______
(х, у) = 2L J х (т)у (т)dт, х, у Є І2[0, 2п].
о
Через W22[0, 2ж] обозначим пространство Соболева {у Є L2[0, 2ж]: у'- абсолютно непрерывна и у& quot- Є L2[0, 2^}}.
Рассматривается одномерный оператор Штурма-Лиувилля L: D (L) С L2[0, 2к] ^ L2[0, 2к], который определяется дифференциальным выражением
Ку) = -У& quot- - VУ,
с областью определения у Є D (L) = {у Є W%[0, 2ж]: у (0) = у (2ж), у'- (0) = у'-(2п)}, задаваемой периодическими краевыми условиями. Предполагается, что потенциал v принадлежит L2[0, 2-п] и v (t) = vkегкі, t Є [0, 2-n], — его ряд Фурье.
кЄ Z
Оператор L представим в виде L = А — В, где оператор А: D (A) = D (L) С L2 [0, 2к] ^ L2 [0, 2ъ] задаётся дифференциальным выражением
Ш = -у& quot-,
а оператор В — оператор умножения на потенциал V. Он корректно определён, в силу условия D (B) D D (A). Оператор В будет играть роль возмущения.
Оператор, А является самосопряженным с компактной резольвентой. Его спектр о (А)
имеет вид: а (А) = {п2, п Є Z+ = NU {0}}, Е® = Span{e?ei?} - собственное подпространство для собственного значения п2, п = 0, где (t) = en (t) = emt, ent) = e-n (t) = e-mt-
E° = {а}, а Є C.
A.V. Karpikova, Asymptotics for eigenvalues of Sturm-Liouville operator with periodic boundary conditions.
© Карпикова А. В. 2014.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследова-ний (гранты 13−01−378, 14−01−31 196).
Поступила 15 февраля 2Q14 г.
В данной статье для исследования спектральных свойств оператора Штурма-Лиувилля используется метод подобных операторов, разработанный в [1]-[6]. Суть этого метода состоит в преобразовании подобия исследуемого оператора в оператор, спектральные свойства которого близки к спектральным свойствам невозмущенного оператора. Таким образом существенно упрощается изучение исследуемого оператора Ь.
Одним из основных результатов статьи является теорема 1, в которой получена уточненная асимптотика собственных значений оператора Ь. В доказательстве этой теоремы используются следующие двусторонние последовательности комплексных чисел:
«_ Х& quot-'-'-. и3-п п _ V-'-'- _ и3+п
сп, п _ 2_^ Ьп-і А2 _ п2, С-п,-п _ 2_^ У-(п+з) -2 _ п2 ,
_ п2 Ї/2 _ п2
зег ЗеЪ
ы=м
С-п, п _ ^ У-Іп+з)-^2--? 1 Сп,-п _ ^п-, п Є ^
зег зег & lt-!
ы=м ы=м
Отметим, что сп, п _ с-п,-п.
Теорема 1. Существует число т Є Ъ+ такое, что спектр оператора Ь представим в виде
еЩ = а (т) Щ У ап ,
п& gt-т+1 /
где а (т) — конечное множество с числом элементов, не превосходящим 2 т +1, а множества еп = {А+, А-}, п & gt- т + 1, не более чем двухточечные и определяются равенствами
± - 2, 1 -к _ь_ ----- ---, ^™, 1 1п
А± _ п + Уо — 2- / у 7 ± у^2лХ-2п + --і п — т + (2)
п кег л/п
к=0
где последовательность обладает свойством ^ 1Р±14 & lt- то.
п& gt-т+1
Отметим, что в статье В. Ткаченко [7- теорема 3. 6] была приведена асимптотика спектра оператора Ь вида:
А± _ п2 + Уо + а±, п ^ то, (3)
2
гг _ п + Уо + а,±, 12
где у0 _ -1 / у (?) (И — среднее потенциала V, а ^ 1а±12 & lt- то.
0 п=0
Асимптотика спектра из теоремы 1 является более точной по порядку, по сравнению с асимптотикой в формуле (3), так как выписывается еще одно вычислимое приближение, за счет которого повышается порядок остатка.
В случае вещественного потенциала, асимптотика спектра оператора Ь приводилась в монографии Марченко В. А. [8- теорема 1.5. 2]. Если потенциал V вещественный, то имеет место
Теорема 2. Существует число т Є Ъ+ такое, что спектр оператора Ь представим в виде
и (и -)
п& gt-т+1 /
а (Ь) _ а{т) N N Рп] 1 (4)
где е (т) — конечное множество с числом элементов, не превосходящим 2 т +1, а множества еп = {А+, А-}, п & gt- т + 1, не более чем двухточечные и определяются равенствами
А± = П +0 — 2п ^ ^ ±|У2п +, п & gt-т +1, (5)
кей
к=0
где последовательность [3± обладает свойством ^ @п & lt-.
п& gt-т+1
2. Предварительные преобразования подобия
Пусть Н — сепарабельное гильбертово пространство. Через Еп6. Н обозначим банахову алгебру линейных ограниченных операторов, действующих в Н• Компактный оператор X Є Еп& amp-Н называется оператором Гильберта-Шмидта (см. 9], с. 138), если след самосопряжённого оператора XX* конечен, т. е. їг (ХХ*) & lt- то. Совокупность операторов Гильберта-Шмидта образует двусторонний идеал & amp-2(Н)(см. 9], с. 138) из алгебры Еп& amp-Н. Идеал & amp-2(Н) является гильбертовым пространством со скалярным произведением & lt- X, У & gt-_ їг (Х, У *), Х, У Є & amp-2ІН).
Символом ||Х||2 обозначается норма Гильберта-Шмидта оператора X Є & amp-2(Н), т. е. І|ХI2 _ Ьг (ХХ*)• Отметим, что если Є]_, е2,•••, еп,•••- произвольный ортонормированный базис в Н, то оператор X Є Еп& amp-Н является оператором Штурма-Лиувилля тогда и только тогда, когда IXЦ2 _ ^ 1(Хез, Єі)і2 & lt- то (см. 9], с. 138). Здесь можно ввести идеал & amp-1(Н)
г, 3& gt-1
ядерных операторов.
Определение 1. Два линейных оператора Лг: 0(Лг) С Н ^ Н, г_, 2, называются подобными, если существует непрерывно обратимый оператор и Є ЕпСН такой, что иО (А2) _ 0(Л1) и Л]_их _ иА2х, х Є 0(А2)• Оператор и называется оператором преобразования оператора Л1 в А2 •
Важно отметить, что подобные операторы имеют одинаковый спектр. Этот факт постоянно используется здесь при приводимых преобразованиях подобия.
Вернемся к рассмотрению дифференциального оператора Ь _ А — В. Далее рассматривается гильбертово пространство Н _ Ь2 [0,2ж] и система ортопроекторов Рп: Ь2[0, 2и] ^ Ь2[0, 2п], п Є Ъ+, вида:
РпХ _ (х, Єп)Єп + (х, Є-п)Є-п, п Є N РоХ _ (х, Єо)Єо• (6)
Отметим, что АРп _ АпРп, п — 0-
Символом Г В обозначим оператор Гильберта-ТТТмидта
2 ж
((ГВ)х)(5)_- [ Є (в, т) х (т)Ст, х ЄН,
2ж ] о
где
С (8т)_11 -(*2) + 2(^ & gt-2 (^)), s,
(,) 4 (и (*2) + 2(^)и2 (*2)), Т& gt-3, ()
и (з) _щ (з) +и2 (8), щ (з)_2 Ік3,и2 ($)_Т& lt- 1кке
кЄ2г+1 ке2г
к=о к=о
2 ж
В дальнейшем, делается предположение у0 _ 2ж / ь (і) (, _ 0, которое не является огра-
о
ничительным, так как сдвиг потенциала на постоянную сдвигает спектр на ту же постоянную и не меняет его собственных функций. Однако в формулировке теорем об асимптотике собственных значений эта постоянная учитывается.
В лемме 1 используется наряду с Г В оператор JВ Є & amp-2(Н) вида

((JВ)х)(s) _- І у (в + т) х (т)Ст, х ЄН•
2п ] о
Пусть 7 Є Введем в рассмотрение операторы, где используется проектор Рк, определенный равенством (6),
JкВ _ JВ — J (Р (к)ВР (к)) + p (к)Вp (к), (8)
Г кВ _ ГВ — Г (Р (к)ВР (к)^ (9)
В _Вк _JкВ + (1 + ГкВ)-1(ВГкВ — (ГкВркВ),
где Р (к) _ Т, Рз •
Ь'-Кк
Ясно, что J0 В _ ,]В, ГоВ _ ГВ^ Из определения операторов ,]кВ и ГкВ получаем
следующие представления
. !кВ _. !В — p (к)JВР (к) + p (к)Вp (к), ГкВ _ГВ — (Р (к)ГВp (к)), (10)
из которых следует, что JкВ, ГкВ Є & amp-2(Н) для всех к — 0^
Доказательство следующей леммы фактически дублирует доказательство леммы 7 статьи [6].
Лемма 1. Операторы Г В,& lt-1 В, В удовлетворяют следующим условиям:
(а)Г В Є ЕпСН и ||ГВ|| & lt- 1- (Ь)(ГВ)Б (А) С Б (А) — (с)В ГВ, (ГВ). 1 В Є & amp-2(Н) — (й) А (ГВ)х — (ГВ)Ах _ Вх — (. ]В)х, х Є Б (А) — (е) для любого є & gt- 0 существует число Ає Є р (А), такое, что ЦВ (А — АЄІ)-1|| & lt- €•
Доказательство следующей теоремы проводится аналогичным образом, что и в теореме 2 статьи [6].
Теорема 3. Если число к Є Ъ+ таково, что
||ГкВ||2 & lt- 1, (11)
то оператор Ь _ А — В, где, А _ Ьо, В — оператор умножения на потенциал V, подобен
оператору
Ь _ Ьо — В,
где
5к ^кВ
причем имеет место равенство
(А — В)(1 + ГкВ) _(1 + ГкВ)(А — ?)• (12)
Операторы, 1кВ, ГкВ, ВГкВ, (ГкВ)(. ]кВ), В, Вк являются операторами Гильберта-Шмидта из & amp-2(Ь2[0, 2ж}), оператор В из (12) представим в виде
В _JВ + ВГВ — (ГВ),ІВ + С Є & amp-2(Ь2[0, 2ж]), (13)
где оператор С принадлежит идеалу & amp-]_(Ь2,ж) ядерных операторов [9], определенных на Ь2[0, 2ж].
Полученный в теореме 3 результат позволяет свести изучение оператора Ь _ А — В к изучению оператора, А — В, где оператор В, есть оператор Гильберта-Шмидта. Таким образом, а (А — В) _ а (А — В)•
Для формулировки теоремы 4 введем в рассмотрение трансформаторы (т.е. линейные операторы в пространстве линейных операторов- терминология М.Г. Крейна). ], Г: & amp-2(Ь2[0, 2ж}) ^ & amp-2(Ь2[0, 2ж}) со следующими свойствами:
1) J- проектор, || J|| _ 1, и он представим в виде безусловно сходящегося в равномерной операторной топологии ряда
ГО
¦]Х _ ^ РпХРп _ Хо, X Є & amp-2(Ь2[0, 2^ (14)
п=о
2) Трансформатор Г на любом операторе X Є & amp-2(Ь2[0, 2ж}) корректно определен равенством (см. [6])
ГХ _? & amp- (15)
Аг — Аз
г=з
г, з& gt-о г з
Из (14) и (15) следует, что
II Р X Р II2
ІІJX||2 _? ЦРпХРпМ «ИХ||2, ||ГХ||2 _? А2 «т-ЧіХ||2,
п=о і, з& gt-о ІАі Аз 1
і=3
где '-¦уо _ І^ ІАі - Аз I ъ+д
г, 3& gt-ш
Далее рассмотрим последовательности трансформаторов (Jm), (Гт), т Є Z+, определенные равенствами
¦]тХ _ Р (т)ХР (т) + ^ РкХРк _J (Х — Р (т)ХР (т)) + Р (m)XР (m),
к& gt-т+1
ГтХ _ Г (Х — Р (т)ХР (т)),
где X Є & amp-2(Н)^ Отметим, что Jm- проектор. Поскольку он является самосопряженным оператором, то 11. ]т11 _ 1• Трансформатор Гт является антисамосопряженным оператором, т. е. Г^ _ -Гт и І І Гт| I _ъ1 _ (іп? ІАі - АзІ)^
г, з& gt-ш
Отметим, что при доказательстве теоремы 1 будут использоваться следующие свойства трансформаторов. ]к, Гк
Jк ((ГкХ)^кУ))_0, Jк ((ГкXрк (УГкХ))_0, к Є Z+, (16)
где Х, У Є & amp-2(Ь2[0, 2т: ])•
В дальнейшем используется компактный самосопряженный оператор Ао вида:
со і
Ао _ Т Рк + Ро • к=1Ак
Теорема 4 ([1],[3],[6]). Для любого числа к Є Z+, для которого выполнено неравенство
~ ~ 2 к + 3
11В112 _| | Вк |1 2 & lt-, (17)
оператор, А — В подобен оператору, А —. ]кX, где оператор X является решением (нелинейного) уравнения
X _ ВГкX — (ГкX)(. 1кВ) — (ГкХ). 1к (ВГкХ) + В _ Ф (Х), (18)
~ -1 рассматриваемого в & amp-2(Ь2[0,2т})• Решение X представимо в виде ХоА0 2, где Хо Є & amp-2(Ь2[0,2т}) и его можно найти методом простых итераций. Преобразование подобия оператора, А — В в оператор, А — ,ІкX осуществляет обратимый оператор
I + ГкX Є Епё (Ь2[0, 2т).
3. Доказательство теоремы 1
Дальнейший выбор числа к Є Z+ обусловлен выполнением условия (17) теоремы 4, обозначения которой мы далее используем.
Применяя трансформатор Jк к обеим частям уравнения (18), а также используя свойство (16) трансформаторов Jк, Гк, получаем:
JкX _ Jк (ВГкX) + ¦ііВ _. ]кЪ + Jк (ВГкВ) + Jк (ВГк (XX — В)) _
_ ЛВ +, 1к (ВГВ) + К _. ]кВ +, 1к (ВГВ) +Т1 _JВ + J (В Г В) + Т2,
_1 -1 _1 где операторы К, Т1, Т2 представимы в виде К _ КоА0 2, Т1 _ Т1оА0 2, Т2 _ Т2, оА0 2 и
операторы Ко, Т1, о, Т2, о принадлежат идеалу ядерных операторов & amp-1(Ь2[0, 2т])• Ясно, что
JкТз _ Тз ^ _ 0,1• При получении этих равенств также использовались следующие свойства: произведение двух операторов Гильберта-Шмидта является ядерным оператором, а операторы JкX — !Х, ГкX — ГХ, Х Є & amp-2(Ь2[0, 2т), к — 0, являются операторами конечного ранга.
Таким образом, применяя теоремы 3 и 4 к рассматриваемому оператору Ь _ А — В, получаем, что оператор, А — В подобен оператору, А — (, 1 В + J (ВГВ) + Т) _ А — Во и а (А — В) _ а (А — Во), где Во _ JВ + J (ВГВ) +Т1,Т1 Є в1(Ь2[0, 2т-})•
Матрица сужения Вп оператора РпВоРп на Нп в базисе еп, е-п имеет вид
(0 + Ї Сп, п Сп,-^ + 1 (Ь (п) І2(п)
у-2п 0) уС-п, п С-п,-п) п VЬ (п) и (п)) ,
где /]_, /2, /3, — суммируемые последовательности.
Собственные значения оператора Вп имеют следующий вид:
+ _п + І1(п) + и (п) ,
№п сп, п + 2п ±
, А І I I І2(п) (,, у3
+ 4 (Ъ2п + Сп,-п + І I У-2п + С-п, п +
п п /1(п) + /^(п) у/4(у2п + Сп,-п)(У-2п + С-п, п)
~2
)

I Л 1{ Ї1(п) — Ї4(п) V I 4 (І І ] 2(п) I + + ^
± (2 п / + п + Сп,-п + п) (У-2п + С-п, п + п
/2 (п)
!з (п)
)
/4(У2п + Сп,-п)(У-2п + С-п, п)
2
Тогда = сп, п ± ^ + $±, где ^ Ып)14 & lt- то.
1п& gt-т+1
Последовательность сп, п, п = 0,1,…, можно представить следующим образом
?
jЄZ
і=п
п
У з-п
п-з 2 — п2
2 п
?
kЄZ
к=о
к=-2п
?
Ук У-к к (к + 2 п)
?
к к
keZ
к=о
к=-2п
1
2 п к
keZ
к=о
к=-2п
УкУ-к 1 У2пУ-
2п
+ 2 п 2 п
keZ
к=о
2 п
?
keZ
к=-2п
2 п 2 п
Ук У-к _^у^ УкУ-к +, + аЛ к + 2п 2п ^ к Шп п2,
kЄZ
к=о
где шп
У
— 2п
¦Ук -У-к 2п ^ к+2п '-
kЄZ к=-2п
(а'-. п) — некоторая суммируемая последовательность.
Докажем, что
keZ
к=-2п
УкУ-к I к+2п
& lt- то. Для этого рассмотрим свертку
(ш * у)(п) _ ш (к)у (п — к), п Є Z,
keZ
к=о
последовательности
)•
1
1
2
ш: Z ^ C, w (k) = VkV-k, k E Z, со свойством |ш (7)| & lt- го, с после
keZ
k = 0
довательностью 7: Z ^ К, у (к) = ^ ^ со свойством ^ |7(к)12 & lt- то.
I0, к = 0 к& amp-
к=0
Тогда последовательность ш'-п = - (ш * у)(-2п), п Е Z, как свертка суммируемой последовательности и последовательности, суммируемой с квадратом, является последовательностью, суммируемой с квадратом.
Таким образом получаем доказываемое представление (2).
В случае вещественного потенциала V последовательность, а будет суммируемой, и поэтому верно утверждение теоремы 2.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Баскаков А. Г. Гармонический анализ линейных операторов. Воронеж: Изд-во Воронеж. гос. ун-та. 1987. 165 с.
2. Баскаков А. Г. Методы абстрактного гармонического анализа в теории возмущений линейных операторов // Сиб. матем. журн. 1983. Т. 24. № 1. С. 21−39.
3. Баскаков А. Г. Спектральный анализ возмущенных неквазипериодических и спектральных операторов // Изв. РАН. Сер. матем. 1994. Т. 58. № 4. С. 3−32.
4. Баскаков А. Г. Спектральный анализ интегро-дифференциальных операторов с нелокальными краевыми условиями // Дифференц. уравнения. 1988. Т. 24. № 8. С. 1424−1433.
5. Баскаков А. Г. Теорема о расщеплении оператора и некоторые смежные вопросы аналитической теории возмущений // Известия А Н СССР. сер. матем. 1986. Т. 50. № 3. С. 435−457.
6. Баскаков А. Г. Метод подобных операторов в спектральном анализе несамосопряженного оператора Дирака с негладким потенциалом // Известия РАН. сер. матем. 2011. Т. 75. № 3. С. 3−28.
7. F. Gesztesy, V. Tkachenko A criterion for Hill operators to be spectral operators of scalar type // Journal d’Analyse Mathe’matique. 2009. P. 287−353.
8. Марченко В. А. Операторы Штурма Лиувилля и их приложения. М.: Наука. 1977. 330 с.
9. Гохберг И. Ц. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. М.: Наука. 1965. 448 с.
Алина Вячеславовна Карпикова, Воронежский государственный университет, ул. Университетская площадь, 1,
394 000, г. Воронеж, Россия E-mail: KarpikovaAV@mail. ru

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой