Некоторые сведения о применении четного и нечетного преобразования Фурье-Бесселя к исследованию некоторых сингулярных дифференциальных уравнений

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК 519. 9:532
НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ О ПРИМЕНЕНИИ ЧЕТНОГО И НЕЧЕТНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ-БЕССЕЛЯ К ИССЛЕДОВАНИЮ НЕКОТОРЫХ СИНГУЛЯРНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
© Л.Б. Райхельгауз
Ключевые слова: полное преобразование Фурье-Бесселя- четная и нечетная составляющая- сингулярные дифференциальные уравнения.
Рассмотрено обыкновенное дифференциальное уравнение с сингулярным дифференциальным оператором Бесселя. Для исследования возможных решений применяется «полное преобразование Фурье-Бесселя», введенное И. А. Киприяновым и В. В. Катраховым. Методика исследований проверяется на известных решениях полигармонического оператора и В-полигармонического оператора.
Известно, что при исследовании задач теории функций и дифференциальных уравнений с сингулярным дифференциальным оператором Бесселя
В =
С
2
dx
2 р +1 d
х Сх
1
Р & gt---
2
р с
(или оператором типа--) роль преобразований
х Сх
Фурье с успехом выполняет преобразование Фурье-Бесселя следующего вида [1−2].
ЕВ [/ (х)]0) = 7 / (х) ]р (х4) х2Р+1Сх, (1)
Обратное преобразование определяется равенством -1Г /. чп/ ч 1

¦[* Ш х) =
& gt-2 Р Г2
^ * +1)
РВ [я (хШ, (1'-)
В этих равенствах ядро у (х) —функция Бесселя, связанная с функцией Бесселя первого рода 3р (х) равенством
уР (х):
2 Р (х)
(* +1)& quot-
(2)
Но /-функция Бесселя — четная функция, и поэтому преобразование (1) применяется лишь для работы с четными функциями / (как косинус-преобразование Фурье.) Другое сильное ограничение для применения преобразования (1) — оно приспособлено лишь для опе-
т
раторов «четного порядка» типа Вх [3- 4]. Ситуация, когда в уравнении присутствуют «нечетные» произ-
1726
водные (например, градиент функции), не такая уж редкая, скорее наоборот, поскольку эта ситуация более общая. Мы используем введенное И. А. Киприяновым и В. В. Катраховым в работе [1] преобразование Фурье-Бесселя общего вида, ядро которого содержит «четное»
уР (х)
и «нечетное» г
2 (Р +1)
1)-V! (х)
х) свои со-
ставляющие.
Практическое применение общего преобразования Фурье-Бесселя потребует следующие факты: обратимость общего преобразования Фурье-Бесселя в соответствующем классе весовых распределений- формулы представления дифференциальных операций в образах Фурье-Бесселя.
Общее прямое и обратное преобразование Фурье-Бесселя введем по формулам, соответственно
Г Г (х Ш) = 7 Г (х)л+ (х?)(х2) Р+½ Сх (3)
г (х)л- (хф
[/(х)](0 = -^- Г 1 (4)
В
_-1
22 Р+1 Г 2
(* +1) х (х2) 2 Сх,
где Л+Р = УР () + УР+1 ().
2 (Р +1)
Заметим, что здесь, в отличие от работы [1], мы ис-
1
пользуем нормирующий коэффициент ---- перед
2 (Р +1)
нечетной составляющей ядра. Это сделано для удобства работы с дифференциальными операторами.
Теорема 1 (теорема обращения [4]). Пусть / е ВР (Я+). Тогда имеет место формула обращения
х
х
зв [3 В [и]] = и'- 3 В [зв [/]] = и
(5)
Д о к, а з, а т е л ь с т в о. Для четных функций формула обращения получена И. А. Киприяновым [2]. Поэтому нам достаточно доказать формулу обращения в случае применения преобразования Фурье-Бесселя к нечетной функции. Так же, как и в [2], мы используем формулу обращения преобразования Ганкеля
7 ½
НР [И](*)={ ((х4)Г (х) А = г (4),
(6)
На основе аналогичной теоремы Планшереля для преобразования Ганкеля [6] получена формула План-шереля-Парсеваля для полного преобразования Фурье-Бесселя
И *)р = (3 В [/], Ы) р Щ -|3 В [Г%р. Далее в
работе она не используется, поэтому ее доказательство в этой работе не приводим.
Дифференциальные операции с оператором Беса
селя. Введем обозначение: — = В. В этих обозначе-
ах
ния оператор Бесселя запишем следующим образом
н -1 [И] (х) = 7 (х4)½ Jp (х4и (4) а4 = И (х). (7)
о
2 2 р +1 В = В ±В, р & gt-р½.
В случае применения преобразования Фурье-Бесселя к нечетной функции формулу (5) рассмотрим
на основе функции. Заменим функцию Бесселя первого рода нормированной функцией Бесселя
^^^ по формуле (2), а функцию И — на функцию хр+½ и (х). Тогда получим
/
(хр+½И)(4} =
^р+½ 7 2р +1×4 2р Г (р +1) 0×2 (р + ^ Х
4
Х (х4) И (х) ах = И (4).
2 Г (р +1)
Обращая полученное равенство по формуле (7), имеем
р+½ 7 _ р+½ _/ х 7 х4
х И (х) = 2^^) 0 2^р+1 Х
х (4И (4)42 р+1а4.
Если предположить функцию / нечетной, то, распространяя интегрирование по всей прямой, из этого и предыдущего рассуждений получаем две формулы
И (4) =
= 2р+!Г (Р + 1) Р7 2(7+1) V1 (х4)И (х)х2^
И (х) =
р+½
Пусть / - четная по х функция, принадлежащая пространству Шварца основных функций. Тогда
з
В [ВИ](4) = р42зв [И](4) — В [ви](4) = [и ](4).
(8) (9)
Действительно, для четной составляющей преобразования равенство ^ [Вf ] = -4^ [ f ] известно [2]. Но отсюда сразу вытекает равенство
3 В [вИ] = -42Зв [И].
Рассмотрим нечетную составляющую в равенстве (4). Имеем
р+½
3 В [В] = - '- 77х X jp+1 (х4) ВИ (х)(х2) Л
-7 2 (р + 1) ^
21 7 (ч (ч/ 2р+½
— | Djp (х4)ВИ (х)(х2) ах.
Интегрируя по частям, получим
3 В [ви] = 2 1 В (х2р+1 В jp (х4)) И (х) ах. Учитывая,
что ^р+гВ (х2р+1в) = В и Вр (х4) = -42]р (x4),
получаем 3 В [ВИ] = И4РВ [И] (4).
Теперь, распространяя интегрирование на (-7, +7) и добавляя нечетную составляющую преобразования 3 В, получим формулу (9).
Как следствие формул (8) и (9) получаем для цело-
го числа т
2р+1 Г (р +1)-7 2 (р +1)
1 7 х4
^ V, МИ (4)4Р+Iаx, Зв И) = Зв [И
(10)
которые и представляют собой формулы нечетного преобразования Фурье-Бесселя и ее обращения. Аналогично доказывается второе из равенств (5). Доказательство закончено.
В
[ ВВти ](4)=(, 4)
2 т+1
В
[ И ](4).
(11)
х
1727
Пусть В (^) = Е, где а" - постоян-
4 В'- а& lt-2т, а В а
ные коэффициенты и оператор задается равенством
П
В& quot-
а = 2 т
В
С т
— В, а = 2 т +1 Сх
т = 0,1,2,…
тогда из (10), (11) следует, что в образах полного преобразования Фурье-Бесселя действие этого оператора примет вид
ЛВ
[В (ПВ)/](?) = В (Фв [/М
В этой формуле заложено начало нового операционного исчисления, но оно имеет одну странную особенность. Применение этого оператора возможно только к четным функциям.
Введем весовую линейную форму
(/, я) Р = 7 / (х) Я (х) х2 Р+1
Сх,
(12)
которую при необходимости будем понимать в смысле главного значения.
Через В Р () будем обозначать множество четных по переменной х функций /, для которых
, ч (2Р+1)/2 / ч
/ (х) х е ?2 (Л). Норму элементов в этом
равенством
(х) х
пространстве
'- ю

зададим
о п½
I2 2Р+1
х Сх
I |/ (х)

С этой нормой пространство ВР () — банахово
[2].
Теорема 2. Пусть регулярная весовая обобщенная функция / принадлежит пространству медленно растущих распределений 5, а функция ---- является
В №
мультипликатором этого пространства, тогда весовая
3 В [/](?)& quot- В (?) _
является решением уравнения В (п^) и = /.
Доказательство основано на непосредственной подстановке решения в последнее уравнение.
Теорема 3 [7]. Пусть Ф (Л+) — основное пространство функций с непрерывным обобщенным сдви--1
гом, ^ и ^ - прямое и обратное преобразования Фурье-Бесселя и Т () = = ^ [ф], ф е Ф (.
-1
обобщенная функция и (х) = 3−1
(х)
Если регулярное распределение я является мультипликатором в пространстве Т (л+), то распределение В 1 [я] = / - обобщенный свертыватель в пространстве Ф'- (Л+), и для любого распределения / е Ф'-(я +) имеет место формула
(/ * /1),]= ВВ [ /] ВВ [. /1 ].
В
В
Из теоремы 2 и из теоремы 3 вытекает следующая теорема.
Теорема 4. Пусть регулярная весовая обобщенная функция / принадлежит пространству медленно рас-
тущих распределений, а функция
1
В (?)
мультипликатором этого пространства. Тогда решение уравнения В (п^) и = / имеет следующее представ-виде обобщенной свертки 1
ление в
ю
(
и (х)= /3−1 [Зв [ / ]](У) ^

Л
где Т — обобщенный сдвиг:
(ТУ/)(х) =
2 2
Г (* + 1) л / Ы х2 + У2 — 2хусо8а -v / V
Г (* + ½)Г (½) 0. 2Р
4 '- х '- х Я1П г
(У) У7 СУ,
) С а
х 81п а
ОБЫКНОВЕННЫЕ СИНГУЛЯРНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Пусть 5еу (л) — основное пространство функций, состоящих из четных функций пространства Л. Шварца. Через 5(/у обозначим соответствующее весовой линейной форме (12) множество обобщенных функций над 5е у. Пусть 87 — весовое распределение Дирака, действующее по формуле
(8 ф)= | 87(х) ф (х) х2Р+1Сх = ф (о).
^ 7 '- -ю 7
Фундаментальным решением оператора В (и^) называется весовое распределение е (х), удовлетворяющее уравнению
В (ПВ) е = 8,
(13)
т. е. для любого ф, принадлежащего 5еу (^), выполнено равенство
(В (ПВ)е, ф)7 =Ф (о).
1728
Лемма 1. Для того чтобы обобщенная функция и = е е была фундаментальным решением оператора Ь (В^), необходимо и достаточно, чтобы ее четное преобразование Фурье-Бесселя удовлетворяло уравнению
L№FB И (0 =
(14)
где
L (?) = Е аа?
ЛИТЕРАТУРА
1. Киприянов И. А., Катрахов В. В. Об одном классе одномерных сингулярных псевдодифференциальных операторов // Мат. сборник. 1977. Т. 104. № 1. С. 49−68.
2. Киприянов И. А. Сингулярные эллиптические краевые задачи. М.: Наука, 1997. 199 с.
3. Левитан Б. М. Операторы обобщенного сдвига и некоторые их приложения. М.: ГИФМЛ, 1962. 323 ^
4. Ляхов Л. Н., Ляхова С. Л. Общее преобразование Фурье-Бесселя и сингулярные системы уравнений Навье-Стокса // ДАН. 2004. Т. 399. № 2. С. 157−162.
5. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1967. 152 c.
6. Бохнер А. М. Лекции об интегралах Фурье. М.: ГИФМЛ, 1962. 360 c.
7. Ляхов Л. Н. О свертывателях и мультипликаторах классов функций, связанных с преобразованием Фурье-Бесселя // ДАН. 1998. Т. 360. № 1.
Поступила в редакцию 22 июня 2015 г.
Raihelgauz L.B. INFORMATION ABOUT USE OF EVEN AND ODD TRANSFORMATION OF FOURIER-BESSEL TO STUDY SOME SINGULAR DIFFERENTIAL EQUATION
The ordinary differential equation with singular differential operator of Bessel is considered. To research possible decisions & quot-full transformation of Fourier-Bessel& quot- introduced by I.A. Ki-priyanov and V.V. Katrakhov is applied. The methods of researches is checked on known decisions of poligarmonic operator and the B-polyharmonious operator.
Key words: full transformation of Fourier-Bessel- even and odd component- singular differential equations.
a=0
Райхельгауз Леонид Борисович, Воронежский государственный университет, г. Воронеж, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры уравнений в частных производных и теории вероятностей, е-mail: jikol_85@mail. ru
Raihelgauz Leonid Borisovich, Voronezh State University, Voronezh, Russian Federation, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of Equation in Particular Derivative and Theory of Probability Point Department, e-mail: jikol_85@mail. ru
1729

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой