Нелинейная управляемая задача Гурса-Дарбу: условия сохранения разрешимости «в целом»

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК 517. 95
НЕЛИНЕЙНАЯ УПРАВЛЯЕМАЯ ЗАДАЧА ГУРСА-ДАРЕУ: УСЛОВИЯ СОХРАНЕНИЯ РАЗРЕШИМОСТИ «В ЦЕЛОМ» 1
© И. В. Лисаченко, В. И. Сумин
Ключевые слова: нелинейная управляемая задача Гурса-Дарбу- условия сохранения глобальной разрешимости.
Аннотация: Рассматривается управляемая нелинейная задача Гурса-Дарбу общего вида в случае, когда ее решение естественно искать в классе функций с суммируемой в степени p & gt- 1 смешанной производной- обсуждаются достаточные условия сохранения глобальной разрешимости задачи при возмущении управления.
Рассмотрим управляемую задачу Гурса-Дарбу
xt1t2(t) = g (t, x (t), x'-tl (t), x'-t2(t), u (t)), t = {ti, t2} e n = [0, l]2, (1)
x (ti, 0) =i (ti), ti e [0,1]- x (0, t2) = & lt-P2(t2), t2 e [0,1], (2)
где g (t, l0, ll, l2, v) = g (t, l, v): П x R3™ x Rm ^ R™ (l = {l0, ll, l2}) и Pi (U): [0,1] ^ R™, i = 1, 2 заданы, u (t): П ^ Rm — управление (R™ — пространство n-векторов-столбцов- если a, b, c e R™, то {a, b, c} - вектор-столбец из R3™). Задача (1), начиная с 1960-х годов, занимает особое место в математической теории оптимального управления распределенными системами, являясь ее своего рода «пробным камнем» (см., например, [1, с. 333−345, с. 449−450], [2, с. 591−595], [3, с. 442−450]). Именно для этой задачи были в свое время найдены первые достаточно общие условия устойчивости (по возмущению управления) существования глобальных решений (УСГР) нелинейных распределенных систем [4]- история вопроса кратко изложена в [5]. Проблема УСГР неизбежно возникает в различных разделах теории оптимального управления (см., например, [5], [6, с. 12−14]).
В [4] рассматривались абсолютно непрерывные решения задачи Гурса-Дарбу с ограниченными смешанной и первыми частными производными (более общие условия УСГР в этом случае были затем получены в [7], [6, с. 68−70]). В последние годы наблюдается устойчивый интерес (см., например, [8, 9]) к задачам оптимизации систем типа Гурса-Дарбу, рассматриваемых в классах функций с суммируемыми в некоторой степени p смешанной и первыми производными (такие классы будем обозначать ACp) — первые теоремы УСГР здесь получены в [10, 11] (о результатах [4, 6, 7] и [10, 11] см. также [12]). Отметим, что этот случай, в отличие от преимущественно изучавшегося до недавнего времени случая решений с ограниченными производными, многовариантен — он допускает различные естественные варианты условий на задачу (1), (2), отличающиеся друг от друга используемой в них априорной информацией о предполагаемом решении (каждому из этих вариантов отвечают, вообще говоря, свои условия УСГР- получение этих условий в случае решений с суммируемыми в некоторой степени смешанной и первыми производными оказывается технически более сложным (и это связано с существом дела), чем в случае ограниченных производных). Так, в [10, 11] рассматривались варианты условий, грубые в том смысле, что в них учитывается лишь вытекающая непосредственно из определения класса ACp принадлежность смешанной и первых производных решения этого класса пространству Lp. Однако первые
1 Финансовая поддержка РФФИ (грант 07−01−495) и аналитической целевой ведомственной программы ''Раз-
витие научного потенциала высшей школы (2009−2010)" Минобрнауки Р Ф (регистр, номер 2.1. 1/3927).
частные производные такого решения принадлежат существенно более узким, чем Ьр «лебеговым пространствам со смешанной нормой» (см. ниже). Вариант условий УСГР управляемой задачи Гурса-Дарбу с учетом этой, в определенном смысле полной, априорной информации о решении класса АСР, приведен в [13]. В докладе дается обзор полученных авторами доклада подобного рода результатов. Приведем пример.
Считаем: д дифференцируема по I при каждом V для почти всех I, а вместе с производной д[ измерима по I при любых {I, у} и непрерывна по {I, каждого t- ^ абсолютно
непрерывна, € Ь"[0,1] при заданном р € (1, ж), % = 1,2,ч (0) = ^2(0) = 0- допустимы управления из некоторого Б С Ь1 = Ьт (П), в € [1, ж]. Пусть: f (Ь, 1, у) = д (Ь, 10 + ^1(^1) +
+ ^2(^2), 11 + ^1(^1), Ь + ^2(^2), у) — -пространство Ьд[0,1] функций переменной tj,] € {1, 2},
Ц € [1, ж]- Ьд^) г (г) — пространство функций z (t), t € П ТО СМвШаННОЙ нормой |^||д^-) г (г) =
|| (t1,t2)|Lq (J.) 11^ (%, j € {1, 2}, % = У- д, г € [1, ж1)^жи мШ = Ь™ X (2), р (1) X (1), p (2),
N = Ь'-Пхп X те (1) X ^ (Xпхп — пространство (п X п) — матриц-функций, составленных
из функций пространства X).
Пусть д такова, что формулы Г [у, п]^) = f (t, у^), п^)), Ф[у, п]^) = ^^, у (^, п (^) определяют оператор Г[•, •]: Ш X Б ^ ЬП и ограниченный оператор Ф[-, •]: Ш X Б ^ N. Тогда естественно рассматривать решения (1),(2) из класса АСП. Каждому п € Б может отвечать не более одного такого решения. Введем обозначения: О = {п (-) € Б: п (-) отвечает глобальное решение из АСрП}- *1*2 *2
= У/ z (tl, Ь) dZld& amp-, АМ (^ = / z (tl, 0dt, А2[z](t) =
00 0
= /z ({, t2) dC, A[z] (^ = {Ao[z] (t), А1И (t), А2[z] (t)}, t € П, z € ЬП- 3[х] (t) = {х (^, х*1(t), х*2 (^},
0
t € П, х € АСрП. Для п € Б, по € О положим г (п, по) = ||А[Дид]||эд, где Дид (0 =
= д (^, хо (^), хо*1 (•), х0*2(0,п (^)) — д (^, хо (^), хо*1 (•), х0*2(•), п0(^)), х0 € АСрП — глобальное решение, отвечающее ад.
Теорема. Пусть фиксированы п0 € О, d0 & gt- 0. Тогда: найдется 8 & gt- 0 такое, что если п € Б, ||п — п0Цьт & lt- d0, г (п, п0) & lt- 8, то п € О- для любого М0 & gt- 0 существует С & gt- 0 такое, что если х € АС'-П — отвечающее п € О глобальное решение, причем Нп — п0Цьт & lt- d0, || 3 [х — х0]||м ^ & lt- М0, то ||3 [х — х0]|м ^ Сг (п, щ), ||(х — х0)'-*'-1*2 Цьп & lt- СЦДидЦьп.
ЛИТЕРАТУРА
1. Лурье К. А. Оптимальное управление в задачах математической физики. М.: Наука, 1975.
2. Васильев Ф. П. Методы оптимизации. М.: Факториал, 2002.
3. Егоров А. И. Основы теории управления. М.: Физматлит, 2004.
4. Плотников В. И., Сумин В. И. Проблемы устойчивости нелинейных систем Гурса-Дарбу // Дифференц. уравнения. 1972. Т. 8. № 5. С. 845−856.
5. Сумин В. И. Проблема устойчивости существования глобальных решений управляемых краевых задач и вольтерровы функциональные уравнения // Вестник ННГУ. Математика. Н. Новгород, 2003. Вып. 1. С. 91−108.
6. Сумин В. И. Функциональные вольтерровы уравнения в теории оптимального управления распределенными системами. Н. Новгород: Изд-во ННГУ, 1992.
7. Сумин В. И. Функционально-операторные уравнения Вольтерра и устойчивость существования глобальных решений краевых задач // Украинский матем. журн. 1991. Т. 43. № 4. С. 555−561.
8. Толстоногое А. А. Теорема существования оптимального управления в задаче Гурса-Дарбу без предположения выпуклости // Изв. РАН. Сер. матем. 2000. Т. 64. № 4. С. 163−182.
9. Погодаев Н. И. О свойствах решений задачи Гурса-Дарбу с граничными и распределенными управлениями // Сибирский матем. журн. 2007. Т. 48. № 5. С. 1116−1133.
10. Лисаченко И. В., Сумин В. И. Управляемая задача Гурса-Дарбу в классах функций с суммируемой смешанной производной. I- II // Вестн. ННГУ. Математика. Н. Новгород, 2005. Вып. 1 (3). С. 88−101- 2006. Вып. 1 (4). С. 65−80.
11. Лисаченко И. В., Сумин В. И. Об условиях устойчивости существования глобальных решений управляемой задачи Гурса-Дарбу // Вестн. ННГУ. Математическое моделирование и оптимальное управление. Н. Новгород,
2006. Вып. 2 (31). С. 64−81.
12. Лисаченко И. В., Сумин В. И. Об управляемой задаче Гурса-Дарбу в классах функций с суммируемой смешанной производной // Вестн. Тамб. ун-та. Сер. Естеств. и техн. науки. Тамбов, 2007. Т. 12. Вып.4. С. 477−479.
13. Лисаченко И. В. Нелинейная задача Гурса-Дарбу с возмущаемыми правой частью и граничными функциями // Вестн. ННГУ. Н. Новгород, 2008. Л",. С. 107−112.
Abstract: the nonlinear controllable Goursat-Darboux problem is considered. The case when a mixed derivative of the solution is Lp-function (p & gt- 1) is considered- the sufficient conditions of existence-stability of global solutions with respect to perturbations of controls is discussed.
Keywords: nonlinear controllable Goursat-Darboux problem- conditions of existence-stability of global solutions.
Лисаченко Ирина Владимировна Нижегородский государственный технический университет Россия, Нижний Новгород e-mail: i_lisach@mail. ru
Сумин Владимир Иосифович д. ф. -м. н., профессор
Нижегородский государственный университет Россия, Нижний Новгород e-mail: v sumin@mail. ru
Irina Lisachenko Nizhniy Novgorod State Technical University Russia, Nizhniy Novgorod e-mail: i_lisach@mail. ru
Vladimir Sumin
doctor of phys. -math. sciences, professor Nizhniy Novgorod State University Russia, Nizhniy Novgorod e-mail: chavnn@mail. ru
УДК 517. 911. 5
О ПРИМЕНЕНИИ МЕТОДА ИНТЕГРАЛЬНЫХ НАПРАВЛЯЮЩИХ ФУНКЦИЙ К ЗАДАЧЕ О БИФУРКАЦИИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ
© Н.В. Лой
Ключевые слова: глобальная бифуркация- направляющая функция- дифференциальное включение первого порядка- периодическое решение.
Аннотация: В данной работе, применяя метод интегральных направляющих функций, мы изучаем глобальную структуру множества периодических решений однопараметрического семейства дифференциальных включений первого порядка.
Обозначим через21 пространство всех функций х: [0, Т] ^ Мп, первые производные которых существуют почти всюду на [0,Т] и являются элементами пространства Ь2([0,Т]- Мп) с нормой
НхНш = ||х||2 + Цх'-Ц2,
где
|x||2 =
rT
II/(s)\wn ds

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой