Нелинейные уравнения с весовыми операторами типа потенциала в пространствах Лебега

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК 517. 968. 4
НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ВЕСОВЫМИ ОПЕРАТОРАМИ ТИПА ПОТЕНЦИАЛА В ПРОСТРАНСТВАХ ЛЕБЕГА
С. Н. Асхабов
Чеченский государственный университет,
364 907, Грозный, ул. А. Шерипова, 32.
E-mail: askhabov@yandex. ru
Методом монотонных операторов для различных классов нелинейных уравнений с весовыми операторами типа потенциала доказаны глобальные теоремы о существовании, единственности и оценках решений в пространствах Лебега.
Ключевые слова: нелинейные уравнения, оператор типа потенциала, монотонный оператор.
I dx,
В вещественных пространствах Ьр (К1) = Ьр (-оо, оо), 1 & lt- р & lt- оо, рассматриваются нелинейные интегральные уравнения вида
(1)
«М + (*,? = т, (2)
для которых методом монотонных (по Браудеру-Минти) операторов (см., напри-
мер, [1]) доказываются глобальные теоремы о существовании, единственности и оценках решений.
Для упрощения записей введём следующие обозначения:
/ОО
и (х)ь (а
-ОО
В силу известной теоремы Харди-Литтлвуда (см., например, [1]) оператор типа потенциала /» действует непрерывно из Ьр в Ьр/(1-ар), если 0& lt-а<-1и1<-р<- 1/а, причём
11-^ ^11^/(1 — ар) ^ 11-^ 11р-/(1 -а р) 1111^ ^ ^Р' (^)
где \1а\р^р/(1-ар) есть норма оператора /": Ьр -& gt-• Ьр/^_ару
Справедливы следующие (двойственные) леммы.
Лемма 1. Пусть 0 & lt- а & lt- 1, 2/(1 +а) & lt- р & lt- 1/а и, а € Ьр^р1+а^_ 2]. Тогда оператор Аа действует непрерывно из Ьр в Ьр& gt-, причём
1И"м11р'- & lt- 2 \1а\р^р/(1-ар)\а\р/[р (1+а)-2]\и\р, (4)
(. Ааи, и} = 0 Уи (х) € Ьр. (5)
Султан Нажмудинович Асхабов (д.ф. -м.н., доц.), декан, факультет математики и компьютерных технологий.
Лемма 2. Пусть 0 & lt- о. & lt- 1, 1/(1 — а) & lt- р & lt- 2/(1 — а) и, а € Ьр/^,-р{ 1-а)]- Тогда оператор Аа действует непрерывно из Ьр& gt- в Ьр, причём
1И м||р ^ 2 ||/ ||р/(1+ар)^р||а||г,/[2_г,(10,)] ||м||р'-, (6)
(. Ааи, и) = О Уи (х)? Ьр/. (7)
Лемма 1 доказана в [3]. Докажем лемму 2.
Доказательство. Пусть и € Ьр& gt-. Тогда, применяя неравенство Гёльдера с показателями (1 -- ар)/(р — 1) и (1 + оф)/[2 — р (1 — а)], имеем
11а ¦ и\р/(1+ар) ^ ||а||р/[2-р (1 -а)] ||м||р'-- (8)
Итак, а ¦ и € Ьр1+ару Так как 1 & lt- р/{ 1 + ар) & lt- 1/а (первое неравенство равносильно условию, что 1/(1 — а) & lt-р, а второе -очевидно), согласно теореме Харди-
Литтлвуда 1а (аи) (Е Ьр, поскольку
у
1--а р
ар Р-& gt-
~ 1--ар
причём
II / (а ¦ и) ||р ^ \1 \р/(1+ар)^р\а '- и\р/(1+ар)-Воспользовавшись оценкой (8), из последнего неравенства получаем
||/ (а • и)||р ^ \1 ||р/(1+ар)^р||а||г,/[2_г,(10,)] ЦмЦр'-- (9)
Обозначим 1аи = V. Так как и (Е Ьр& gt- и 1 & lt- р'- & lt- 1/а (первое неравенство очевидно, а второе равносильно условию, что 1/(1 — а) & lt-р), согласно теореме Харди- Литтлвуда Ги € Ьч, где
р'- р ^ 1 — ар'- р (1 — а) — 1 '
т. е. V = Ги € Ьр/[р (1-а)-1],и ^ Ьр/, причём, в силу неравенства (3),
11-^ и\р/1р (1 — а) — 1] ^ Ц-^ 11р/(р- 1)-*-р/[р (1 — а) — 1] 11м11р'-- (Ю)
Далее, применяя неравенство Гёльдера с показателями 1/[р{1- а) — 1] и 1/[2-р (1- а)], имеем
/ /-оо 1 /р
||а • / «11^= (у а (х)Ру (х)Р (], Х ^ ||а||р/[2-р (1-а)] Ц-^ м||р/[р (1-а)-1] •
Поэтому с учётом оценки (10) сразу получаем
||а • / мЦр ^ ||/ ||р/(р1)^р/[р (1_а)_1] ||а||р/[2-р (1-а)] 1М1р'-- (11)
Так как Ааи = а-1аи-Г (а-и), из неравенств (9) и (11) следует, что оператор Аа действует непрерывно из ЬрI в Ьр. Используя для оценки сначала неравенство
Минковского, затем оценки (9), (11) и очевидное (см., например, [2, с. 247]) равенство ||/"||р^р/(10, р) = ||^"||р/[р (1+а)-1]^р'- (поскольку Г самосопряжённый оператор), легко получаем неравенство (6)).
Осталось доказать равенство (7). Так как оператор Г является симметрическим
(. Ааи, и) = (а, 1аи, и) — (1а (аи), и) = (Ги, а и) — (аи, /"и) = 0,
что и требовалось доказать. ?
Приступим теперь к исследованию нелинейного уравнения (1), содержащего оператор Аа. Обозначим через L+ множество всех неотрицательных функций из Ьр. Всюду далее предполагается, что функция F (x, t), порождающая оператор Немыц-кого Fu = F[x, м (ж)], определена при х? М1, t? R1 и удовлетворяет условиям Каратеодори: она измерима по х при каждом фиксированном t и непрерывна по t почти для всех х.
Теорема 1. Пусть 0 & lt- а & lt- 1, 1/(1 — а) & lt- р & lt- 2/(1 — а) и, а? Ьр2-р (1-а)] • Если нелинейность F{x, t) удовлетворяет следующим условиям:
1) |F (x, t)| ^ с (х) + d |t|p1, где с (х)? Lpl, d & gt- 0-
2) F (x, t) строго возрастает по t почти при каждом фиксированном ж-
3) F (x, t) ¦ t ^ d, 2tp — D (x), где D (x)? , d, 2 & gt- 0,
то уравнение (1) имеет единственное решение и*? Lp при любом /? Ьр. Кроме того, если условия 1) и 3) выполнены при с (х) = D (x) = 0, то справедлива оценка
Доказательство. Из условий 1)-3) в силу теорем 2. 1, 2.2 и оценки (2. 3) из [1] вытекает, что оператор Немыцкого F, порождённый функцией F{x, t), отображает пространство Ьр на сопряжённое с ним пространство Ьр& gt-, непрерывен, строго монотонен и коэрцитивен. Поэтому в силу леммы 2.1 из [1] существует обратный оператор F-1, отображающий Ьр/ на Ьр, хеминепрерывный, строго монотонный и коэрцитивный. Из леммы 2 вытекает, что оператор Аа действует из Ьр& gt- в Lp, непрерывен и положителен. Значит, оператор Ф = F+ Аа отображает Ьр/ на Ьр, хеминепреры-вен, строго монотонен и коэрцитивен. Следовательно, по теореме Браудера-Минти (см. теорема 1.1 из [1]), уравнение F~lru + Aav = f имеет единственное решение v*? Ьр,. Но тогда непосредственно проверяется, что и* = F~lru*? Ьр является решением уравнения и + AaFu = /, т. е. данного уравнения (1), и это решение и* является единственным в Ьр (что легко доказывается методом от противного).
Осталось доказать оценку (12). Используя условия 1) и 3) при с{х) = D (x) = 0, равенство (7) и равенство и* + AaFu* = /, имеем
откуда непосредственно получаем оценку (12). ?
Следствие 1. Если ½ & lt- а & lt- ¾ и, а? ?2/(201−1), то пРи любом /? Ь^ уравнение
имеет единственное решение и*? Ь4, причём ||г**||4 ^ Ц/Ц4.
Следствие 2. Если 0 & lt- а & lt- ¼ и, а? Ьг/(1+2а), то при любом /? Ь^/% уравнение
IKIlp^ ад111/11
(12)
d2\u*\P & lt- (и*, Fu*) = (и* +AaFu*, Fu*) = (f, Fu*) & lt-
имеет единственное решение и*? L4/3, причём ||гл*Ц4/3 ^ ll/IU/з-
В следующей теореме, относящейся к нелинейному уравнению (2), условия на нелинейность F{x, t) подбираются так, чтобы порождаемый ею оператор Немыцкого F действовал непрерывно из Ьр, вЬри был строго монотонным и коэрцитивным.
Теорема 2. Пусть 0 & lt- a & lt- 1, 2/(1 +а) & lt- р & lt- 1/а u a? Ьр/[р (1+а)_2]• Если нелинейность F (x, t) удовлетворяет следующим условиям:
то уравнение (2) имеет единственное решение и*? Ьр при любом /? Ьр. Кроме того, если условия 4) и 6) выполнены при д{х) = ?& gt-(ж) = 0, то справедлива оценка
Доказательство. Из леммы 1 и условий 4)-6) вытекает, соответственно, что весовой оператор типа потенциала Аа действует из Ьр в Ьр/, непрерывен и положителен, а оператор Немыцкого Р действует, наоборот, из Ьр& gt- в Ьр, непрерывен, строго монотонен и коэрцитивен. Значит, по лемме 2.1 из [1], существует хеминепре-рывный, строго монтонный, коэрцитивный обратный оператор действующий
из Ьр в Ьр,.
Запишем данное уравнение (2) в операторном виде: и + ЬАаи = /. Полагая в нём и = / - V и применяя затем к обеим частям получившегося уравнения оператор приходим к уравнению Фг& gt- = Аа/, где Фг& gt- = Ь~1ги + Аау. В силу указанных выше свойств операторов Аа и оператор Ф действует из Ьр в Ьр/, хеминепреры-вен, строго монотонен и коэрцитивен. Следовательно, по теореме Браудера-Минти (см. теорему 1.1 из [1]), уравнение Фг& gt- = Аа/ имеет единственное решение V*? Ьр. Но тогда непосредственно проверяется, что уравнение и + ЬАаи = /, т. е. данное уравнение (2), имеет решение и* = / - V*? Ьр. Единственность этого решения и* легко устанавливается методом от противного.
Осталось доказать оценку (13). Воспользуемся равенствами и* + ЬАаи* = /, Ь1'-и* + Аау* = Аа/, где и* = / - V*. Положим ъи = Тогда Ью = V*.
Используя условия 4) и 6) при д (х) = П (х) = 0, неравенство (4), равенство (5) и неравенство Гёльдера, имеем
что равносильно доказываемой оценке (13). ?
Следствие 3. Если 0 & lt- а & lt- ¼ и, а? ?27(1+20), 1710 пРи любом /? Ь^ уравнение
4) |F (x, t)| & lt- д (х) + d3 где g (x)? L+, d3 & gt- 0-
5) F{x, t) строго возрастает no t почти при каждом фиксированном ж-
6) F (x, t) ¦ t ^ ditp/- D (x), где D (x)? , d^ & gt- 0,
IK — f\p & lt- (2^dr1|l^llp^p/(l-ap)ll"llp/[p (1+a)-2]ll/llp)1/(P 1} • (13)
diMPp, & lt- {Fw, w) = {vF-lv*) = {vF-lv*) + {v*, Aav*) =
= (v*, Aaf) & lt- \v*\p\Aaf\p, & lt-2||/"||w (1_ap)||a||p/[p (1+ab2]||/||p||^||p =
= 2 ||I \p^p/(l-ctp) ||a||p/[p (l+a)_2] ll/llpll-f^llp ^
& lt- 2& lt-Із||/"||р^р/(1_ар)||а||р/[р (1+а)_2]||/||г,|И1р'-
(14)
Так как ||/ - и \р — ц& lt-у \р — ^ \'-ш\р,, используя оценку (14) с учётом, что
р'- - 1 = 1/(р — 1), получаем
IK — f\p & lt- d3 (2d3d1\r\p^p/{1_ap)\a\p/lp{1+a)_2]\f\p)1/{p 1}
и (х) +
(/
— ОО
¦оо
имеет, единственное решение и*? L4, причём
\u*-fU & lt- (2 ||Л|44/(1−4а)|Н|2/(1+2а)||/||4)1/3 •
Следствие А. Если ½ & lt- a & lt- ¾ и a € Ь2/(2а: -1), 1710 пРи любом / € L4/3 уравнение
Вопрос о приближённом решении уравнений (1) и (2) рассмотрен в [4].
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Асхабов С. Н. Нелинейные уравнения типа свёртки. М.: Физматлит, 2009. 304 с. [Askhabov S. N. Nonlinear equations of convolution type. Moscow: Fizmatlit, 2009. 304 pp. ]
2. Колмогоров A. H., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Физматлит, 2004. 570 с. [Kolmogorov A. N., Fomin S. V. Elements of the Theory of Functions and Functional Analysis. Moscow: Fizmatlit, 2004. 570 pp. ]
3. Асхабов С. H. Об одном нелинейном уравнении с весовым оператором типа потенциала / В сб.: Труды восьмой Всероссийской научной конференции с международным участием. Часть 3: Дифференциальные уравнения и краевые задачи / Матем. моделирование и краев, задачи. Самара: СамГТУ, 2011. С. 24−27. [Askhabov S. N. On a nonlinear equation with a potential-type weighing operator / In: Proceedings of the Eighth All-Russian Scientific Conference with international participation. Part 3 / Matem. Mod. Kraev. Zadachi. Samara: SamGTU, 2011. Pp. 24−27].
4. Асхабов С. H. Приближенное решение нелинейных уравнений с весовыми операторами типа потенциала// Уфимск. матем. журн., 2011. Т. 3, № 4. С. 8−13. [Askhabov S. N. Approximate solution of nonlinear equations with weighted potential type operators // Ufimsk. Mat. Zh., 2011. Vol. 3, no. 4. Pp. 8−13].
MSC: 45G10
NONLINEAR EQUATIONS WITH WEIGHTED POTENTIAL TYPE OPERATORS IN LEBESGUE SPACES
S. N. Askhabov
Chechen State University,
32, A. Sheripova St., Groznyi, 364 907, Russia.
E-mail: askhabov@yandex. ru
By method of monotone operators, existence and uniqueness theorems are proved for some classes of nonlinear equations with weighted potential type operators in Lebesgue spaces.
Key words: nonlinear equations, potential type operator, monotone operator.
Sultan N. Askhabov (Dr. Sci. (Phys. & amp- Math.)), Dean of Faculty, Faculty of Mathematics and Computer Technology.
имеет единственное решение и*? L4/3, причём
IIм* - /II4/3 & lt- (2 ||^"|U/34/(3−4а)1Н|2/(2а -1)||/||4/з) •
Поступила в редакцию 28/VI/2011- в окончательном варианте — 27/VII/2011.
Original article submitted 28/VI/2011- revision submitted 27/VII/2011.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой