Нелинейный регрессионно-тензорный анализ оптимальной установки электромагнитного источника излучения при несанкционированном сканировании его электромагнитного поля

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК 519. 65
В. А. Козырев, А. Е. Куменко, А. Г. Рудых, В. А. Русанов
НЕЛИНЕЙНЫЙ РЕГРЕССИОННО-ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ ОПТИМАЛЬНОЙ УСТАНОВКИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ИСТОЧНИКА ИЗЛУЧЕНИЯ ПРИ НЕСАНКЦИОНИРОВАННОМ СКАНИРОВАНИИ ЕГО ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
Предложена процедура оптимизации линейно-угловых координат электромагнитного источника излучения с позиции минимальной наблюдаемости интенсивности его электромагнитного поля в заданных точках трехмерного континуума (точках зондирования). Основа решения — представление ковариантными тензорами фиксированной валентности дистанционной интенсивности излучения в зависимости от пространственно-угловой ориентации его источника.
Ключевые слова: нелинейная регрессия, ковариантный тензор конечной валентности, задача квадратичной оптимизации.
Введение. Регрессионный анализ первоначально приобрел значительный теоретико-прикладной интерес в задачах определения оптимальных параметров линейных стационарных статических систем типа «вход-выход& quot-- в большинстве случаев исследователи ограничивались применением этого анализа к конечномерным системам (см., например, [1, 2]). При этом задача регрессии формулировалась в терминах вычисления оптимальной (как правило, квадратичной) оценки этих параметров по методу наименьших квадратов с последующим применением [3] алгоритма построения соответствующей псевдообратной матрицы.
Способ представления регрессионного анализа в настоящей работе отличается от традиционного, поскольку авторы стремились выявить геометрическую, качественную сторону нелинейного регрессионного моделирования и его приложений. В соответствии с этим ниже приведен (в отличие от работы [2]) ряд понятий, которым ранее не уделялось должного внимания- поэтому пришлось представлять их достаточно подробно в рамках стандартных элементов тензорной алгебры [4] и функционального анализа [5]. Прикладной задачей в настоящей работе является определение (вычисление) линейно-угловых координат электромагнитного источника излучения (ЭИИ) в целях его минимальной «взвешенно-осредненной электромагнитной наблюдаемости& quot- в некоторых фиксированных точках возможной пеленгации сигнала ЭИИ. Такая постановка вопроса позволяет решать физическую задачу электронной защиты ПЭВМ от внешнего несанкционированного сканирования его побочных электромагнитных излучений и наводок (при этом в техническом плане проще всего решается задача перехвата информации, отображаемой на экране дисплея [1]).
Постановка задачи. Пусть Я — поле вещественных чисел, Я& quot- - & quot--мерное векторное пространство над Я с евклидовой нормой ||-||Я& quot-, со1(у1,., уп) еЯ"- - вектор-столбец с элементами у1,., упеЯ, Мп, т (Я) — пространство всех (пхт)-матриц с элементами из Я и фробениусовой матричной нормой =(2й/)½, ^=[4,]. Через Ттк обозначим пространство всех ковариант-ных тензоров к-й валентности (вещественных полилинейных форм/ к, т: Ят '-х… хЯт^Я) с тензорной нормой ||/к, т\Т =02г… 7)½, где — коэффициенты (координаты [4, с. 96]) тензора /к'-т, значения которых заданы относительно стандартного базиса в Ят.
Пусть ше Ят — некоторый фиксированный вектор линейно-угловых координат ЭИИ. Выделим к рассмотрению класс многомерных нелинейных систем «вход-выход& quot- [6], описываемых векторно-тензорным уравнением регрессии вида
(1)
w (ш+v)=C+Av+COl (2J=2., kfjm (v,., v),., 2J=2., kfnJ'-m (v,., v))+г (ш, v), w (ш+v)еRn, vеRm, сеКп, АеМ"т (Я), /еТ"/, вектор-функция в (ш, V): Ят^Яп класса ||в (ш, У)||/=о ((У12+.. +УИУ2), У=ео1(У1,_, Ут).
Пусть {??}1& lt-г<-п^/ - совокупность точек возможного несанкционированного зондирования электромагнитного сигнала ЭИИ, vеRm — вектор пространственно-угловой ориентации ЭИИ1 (с началом в ш), w (ш+v) — вектор выходных сигналов ЭИИ (интенсивность электромагнитного поля ЭИИ в точках ??, 1& lt-/<-п).
Задача
1. Для заданного аргумента шеК вектор-функции w (•): (интенсивность ЭИИ в точках ??, 1 & lt-г<-п), — открытая окрестность точки ш и фиксированного индекса к определить аналитические условия, при которых w (•) удовлетворяет системе (1) с некоторыми значениями с, А, Лт, 1& lt-/<-п, 1& lt-/<-к.
2. Построить векторно-матрично-тензорные апостериорные оценки для с, А, Лт, 1& lt-/<-п, 1& lt-/<-к из решения двукритериальной задачи параметрической оптимизации (параметрическая идентификация нелинейной регрессионной модели (1)):
(q ((к
ш1п 2 П/) — с — АП /) — со1 2 т (/)
/=1 V V V г2
Л
. П/)},. ?Лт ((/),
. 1=2
У (/),
2
Л
Кп)
И2
Ш1П
1С11 Кп +1А11
2
У +
п к.
2211 Л
1=1 /=2

Л/2
(2)
Здесь W (l)еRn, У (/)еКт, 1& lt-/<-^ - векторы экспериментальных данных (w (^) — «реакция& quot- на «вариацию& quot- У (1) относительно координат вектора ш еКт), q — число экспериментов (ограничений на величину q не накладываем- см. примечание 1) —
3. Для заданного вектора ш еК определить линейно-угловые координаты ЭИИ V* еКт, обеспечивающие из решения задачи нелинейной «^-оптимизации& quot- минимальную взвешенно-осредненную интенсивность сигнала ЭИИ в точках Ь, 1& lt-1<-п:
ш1п{У (у): уеКт}, (3)
п
у (у): =2(ш + 1=1
где координаты вектора col (w1(ш+v),., wn (ш+v))=w (ш+v)еRn имеют аналитическое представление согласно идентифицированной в силу п. 2 задачи, г — весовые коэффициенты, отражающие «приоритет& quot- точек зондирования ??, 1& lt-1<-п.
Векторная регрессия с переменными в тензорных классах Тт, Кратко исследуем некоторые аналитические свойства нелинейных векторных регрессий многих переменных, которые «внешне& quot- похожи на поведение голоморфных функций (см. задачу). В связи с этим изложение будет основываться на понятии сильной производной (производной Фреше) [5, с. 481], что ставит задачу определения остальных аналитических понятий, и в частности дифференциалов высших порядков, через конструкции сильных производных. Известно [5, с. 491], что данные производные по существу можно (и удобно) трактовать как некоторые математические конструкции со специальной геометрической полилинейной структурой.
1 Случай vе VcRm, где V — ограниченная невыпуклая область, может составить предмет отдельной задачи.
О п р е д е л е н и е 1 [5, с. 480]. Пусть О — открытая область в Ят, w — отображение множества О в Я& quot- и ш — некоторая точка из О. Если существует такая матрица АеМ& quot-, т (Я), что имеет место соотношение
Нш
^0
У)-ш)-АуЯ& quot- ^ЯП
1м1я& quot-
= 0, (4)
то данная матрица, А называется производной Фреше от функции w в точке ш.
З, а м е ч, а н и е 1. Нетрудно установить, что производная Фреше определяется матрицей частных производных дwi/дvj (1& lt-/<-п, 1& lt-/<-т) в точке ш (матрица Якоби) — отметим, однако, что факт существования в точке ш частных производных функций w1, w2, …, W& quot- (здесь w=co1(w1,., W"-)) не обеспечивает еще наличия производной Фреше, как показывает следующий достаточно простой пример:
2 2 2
П р и м е р 1. Пусть & quot-=1, т=2, w (v1,v2)=v1v2/(v1 +v2) и w (0,0)=0, ш=(0,0). Ясно, что дw (0,0)/дv1=дw (0,0)/дv2=0. Поэтому, если бы соответствующая производная Фреше существовала, то, очевидно, это дало бы ее нулевой оператор и, следовательно, из соотношения (4) вытекает следующее положение:
Нш
г0
2 \ с Я (2 + 2)½, 1---1е Я, (+ v2) =1
=0.
между тем в действительности этот предел равен бесконечности, если только v10 и v20.
Производную Фреше от w в точке ш будем обозначать через w (ш)(1). При этом если производная w (ш)(1) существует для каждой точки шеО и если кроме того
ш^w (ш)(1)
есть непрерывное отображение из области О в Мп т (Я), то отображение w называется непрерывно дифференцируемым в О. В силу отмеченного имеет смысл говорить о производной для отображения w (-1& quot-): О^М& quot-, т (К) в точке шеО, которую, если она существует (при очевидном изоморфизме пространств Мп, т (Я) и Я& quot-хт), называют второй производной отображения w и обозначают w (ш)(2).
Если вторая производная существует в каждой точке множества О, то тем самым математически корректно определен оператор w (-2), производная которого называется третьей производной отображения w. Производная w (ш)(k) порядка к в точке ш есть, по определению, производная оператора w (-k-1): О^Я& quot-х (к-1)т, при этом можно каждой производной w (ш)(k) естественным образом поставить в соответствие элемент пространства к-линейных (при к=2 билинейных) отображений из Ятх… хЯт в Я& quot- [5, с. 488]. В такой постановке дифференциал к-го
порядка допускает более удобную (и наглядную) интерпретацию в конструкциях ковариант-
7& gt- к т.
У т в е р ж д е н и е 1. Пусть О — открытая область в Ят, w — отображение множества О в Я& quot- и ш — некоторая точка из О. Если существует производная w (ш)(k) порядка к, то дифференциал к-го прядка в точке шеЯт имеет аналитическое представление (при vеЯm) вида
w (ш)(k)(v,…, v) =со1^1к& gt-,…. /"-к>-,.. V)),
где /ктеТтк, 1=1,…, п.
Установим важное аналитическое свойство, которым должна обладать вектор-функция w, с целью прояснения: когда отображение w удовлетворяет (при некоторых разумных дополнительных предположениях о нем) понятию нелинейной тензорной регрессии класса (1).
У т в е р ж д е н и е 2. Пусть О — открытая область в w — отображение множества О в К и ш — некоторая точка из О. Если существует производная w (ш)(k), которая суть равномерно непрерывная функция от ш в О, то векторное отображение w: О^-К удовлетворяет системе (1) с некоторыми тензорами Л{'-т, 1& lt-1<-п, 1& lt-/<-к, вектором c=w (ш) и (пхт)-матрицей A=w (ш)(1).
Утверждение 2 формулирует некоторый качественный факт для существования нелинейной регрессии класса (1), если не накладывать чрезмерно слабых требований (по образцу приведенных в примере 1) на конструкцию вектора-функции w.
Параметрическая идентификация билинейно-тензорной структуры нелинейной векторной регрессии. Начнем с уточнения конструкции уравнения (1) — это уточнение имеет довольно специальный (частный) характер, но его использование позволяет не привлекать сложных вычислительных алгоритмов в оценке оптимального вектора координат установки ЭИИ.
Рассмотрим случай к=2. В такой постановке уравнение (1) примет вид
Т Т
w (ш+v)=c+Av+co1(vTB1v,.. yBnv)+s (ш, v), (5)
где ВгеМт, т (К), /=1,., п, Т — операция транспонирования, при этом считаем, что каждая В, — суть верхняя треугольная матрица [7, с. 38]- в силу утверждения 2 полагаем, что c=w (ш), A=w (ш)(1).
Параметрическую идентификацию в многокритериальной векторно-матрично-тензорной постановке (2) для многосвязной стационарной статической нелинейной модели типа «черный ящик& quot- [6] в классе регрессий (5) свяжем с понятием нормального псевдорешения (канонического решения по методу наименьших квадратов) для конечномерной системы линейных алгебраических уравнений.
О п р е д е л е н и е 2 [7, с. 501]. Нормальным псевдорешением системы линейных алгебраических уравнений вида
Бх=й, ПМ^р (Я), йеК
называется вектор хеКр, имеющий наименьшую евклидову норму ||х||Кр среди всех векторов, приносящих минимум величине нормы ЦПх-йЦК1.
Далее, обозначим через Eq единичную (qхq)-матрицу и пусть БеМяр (К). Через обозначим обобщенную обратную (псевдообратную) матрицу Мура-Пенроуза [7, с. 500] для матрицы Б. Известно, что асимптотическая конструкция псевдообратной матрицы имеет следующий аналитический вид:
Б+=11ш{БТ (ББТ+тЕ^-1: т0}.
Условимся, что везде далее знак «+& quot- означает операцию псевдообращения соответствующей матрицы.
Л е м м, а [7, с. 501]. Вектор х=Б й — суть нормальное псевдорешение линейной системы: Бх=й, ВеМ^р (Я), йеК4.
Для взаимоувязывания параметров системы (5) и данных генеральной выборки обозначим через й (/)еК1+т (т3)/2 вектор, имеющий (с учетом верхней треугольной структуры матриц В, /=1,…, п) следующее координатное представление:
й (/) =Со1(1, Vl (/), …, Vm (/), Vl (/)Vl (/), …, Vr{l)Vs{I), …, Vm (/)Vm (/))еR1+m (m+3)/2, (6)
1& lt-т<-8<-т, со^ц/), …, Vm (l)) =^1)еКт, 1& lt-/^.
Назовем U =[%), …, W (q)] eMq-1+m (m+3y2® полной матрицей экспериментальных данных входных воздействий2, p-: =col (w-(1), …, w-(q))eRq — полным вектором экспериментальных данных для выходного сигнала w7 (i=1,…, n). Далее, стремясь к линейно-параметрическому описанию коэффициентов нелинейной модели «вход-выход& quot- для выходного ЭИИ-сигнала wi выпишем (согласно системе (5)) линейно-квадратичную форму правой части уравнения его регрессии
С+ ^ aijvj+ ^ bigf^ i=1,., n. (7)
1& lt- j& lt-m 1& lt-g<- p& lt-m
Теперь введем в рассмотрение (1+т (т+3)/2)-вектор zi параметров модели ЭИИ
ai 1, aim, bi Ц.,…, bigp, …, bimm
для модели регрессии (7). Ясно, что в силу уравнений (7) любой фиксированный набор из n таких векторов полностью определяет (задает) аналитическое представление модели относительно некоторой системы «вход-выход& quot- типа (5):
Zi =со1(сг, alh аш, bnh bgp, bimm) eR1+m (m+3)/2,
1& lt-g<-p<-m.
У т в е р ж д е н и е 3. Параметрическая идентификация (2) в терминах регрессионной модели (5) имеет алгебраическое решение
z/=U% 7=1,…, n. (8)
Здесь U — полная матрица экспериментальных данных входных воздействий (6), рг- - полный вектор экспериментальных данных выходного сигнала w7 (i=1,…, n), индуцированного воздействиями (6).
Д о к, а з, а т е л ь с т в о. Система (5) для каждого l-го эксперимента, согласно (6), (7), приобретает компактный вид
Wi ([)=U (l)Zi+Si (i), i'-=1,…, n.
Таким образом, если переформулировать оптимизационную задачу вида (2) в векторно-матричных терминах z7, Pi, U, то приходим к следующей многокритериальной постановке относительно векторов z7, i=1,…, n:
min||p1 -Uz1\Rq ,
Ш1П z
1 IR1+m (m+3)/2 ,
m1n||Pi-UziRq ,
min||zi |R1+m (m+3)/2
min
n n |Rq
Ш1П||2& quot- ||Я1+т (т+3)/2
Очевидно, что в силу леммы данная многокритериальная система имеет единственное нормальное псевдорешение (8) относительно переменных г7, /=1,… ,"-.
С л е д с т в и е 1 [8, с. 263]. Пусть г, =и+Рг- (/=1,…, и). Тогда каждый вектор г параметров регрессионной модели (5) (характеризующей интенсивность ЭИИ), такой, что
*
имеет место, удовлетворяет одному из следующих двух условий:
а) \вг-игЯ & gt- НР,-^*!^
2 Здесь «модель входных воздействий& quot- - некоторый набор тестовых координат ЭИИ при его «эталонном& quot- излучении. Точная зависимость модели (1) от координатной ориентации ЭИИ, как правило, неизвестна, и ее желательно представить приближенно в линейной или квадратичной аппроксимации, что выражено моделью (5), при этом аппроксимация (5) более обоснована для небольших отклонений аргумента V относительно координат ш.
или'- в противном случае'-
б) | | в-их| |Rq = | | в-их!| |Rq и | ?X| |к1+т (т+3)/2 & gt- | к/ | |к1+т (т+3)/2.
З, а м е ч, а н и е 2. Качественные оценки следствия 1 в основном зависят от «объема& quot- апостериорной информации (количества экспериментов q), а именно: если q& gt-1+m (m+3)/2, то, как правило, реализуется пункт а, если q& lt-1+m (m+3)/2 — весьма вероятно, что имеет место методологическая позиция б.
Далее приступим к многомерному геометрическому исследованию «минимаксных& quot- свойств решений нелинейной векторной регрессии (5) — важной чертой полученных ниже аналитических результатов в решении оптимизационной задачи (3) является их явная алгебраическая зависимость от идентифицированных параметров билинейно-тензорной структуры системы (5).
Ориентация ЭИИ на базе билинейно-тензорной интерполяции его функциональной модели. Параметрическая идентификация функциональной модели ЭИИ класса (5), исследовавшаяся выше, является необходимым требованием при выборе вектора ориентации V. Однако вариантов подобной ориентации, очевидно, много, и необходимо выбрать среди них оптимальный с точки зрения некоторого формального критерия, характеризующего определенное «физико-техническое& quot- качество данной геометрической установки ЭИИ. Рассмотрим критерий оптимальности (3) (с приоритетным выбором коэффициентов г7, 1& lt-/<-п, согласно, например, [9]) и обсудим для него алгоритмическую технику получения оптимальных координат V*.
У т в е р ж д е н и е 4. Пусть б, =(В7+В7) где матрица Вi идентифицирована согласно билинейно-тензорной регрессионной модели (5). Тогда при варьировании координат вектора vеRm показатель интенсивности ЭИИ (в точке Ь) вида
Jl (v) =wг (ш+v), 7=1,…, п
может в силу идентифицированных уравнений (5) иметь внутренний экстремум только в точке vi*еRm:
vl*=-DlrlATel, (9)
где {е1,., еп} - стандартный базис в Кп.
Т
Если V
V — суть отрицательно определенная квадратичная форма, то функционал качества Ji (v) имеет в точке V,* максимум, если V — положительно определенная квадратичная форма'- то Ji (v) претерпевает в V* минимум- в обоих случаях V* - стационарная точка эллиптического типа.
Наконец, если V может принимать как положительные, так и отрицательные
Т
значения (с V
при № 0), то экстремум отсутствует, а V,* - точка гиперболического
типа (седловая).
Д о к, а з, а т е л ь с т в о. Для показателя качества Ji (v) на множестве значений линейно-квадратичной модели (5) необходимое условие локального экстремума определяет следующее условие:
д (еТ Av+2−1 vTDiv) д (е.Т Av+2−1 V Б^)
со1
дУп
= 0е К
в пространстве К [5, с. 500] геометрические координаты (9) для стационарной точки vi* относительно функционала Ji (v), в то время как знак второго дифференциала
й2Jl (v*)= V V д2 Ji (v)/дvgдvp | V* vgVp
/ - / - - - '-V /• - • 5- -У • -
1& lt-g<-m 1& lt- р& lt-т
в точке размещения ЭИИ с координатами (9) определяет достаточные условия [5, с. 504] экс-
тремума для стационарной точки V*.
З, а м е ч, а н и е 3. Координаты стационарной точки (9) позволяют ответить на вопрос о значении функционала Ji (v), когда данная точка является точкой относительно минимума или максимума.
С л е д с т в и е 2. Если матрица П, является положительно (отрицательно) определенной, то минимальное (максимальное) значение равно
с1-е?ЛП-1ЛТе½,
где с, — ,-я координата вектора с^Я& quot- системы (5).
Каждый функционал Ji (v), ,=1,. ,"-, при соответствующем истолковании может быть обобщен на случай комплексного целевого функционала (3), который рассмотрим ниже. Таким образом, утверждение 4 и формула (9) позволяют за конечную последовательность простых действий вычислять геометрические координаты стационарной точки задачи оптимизации (3) — данные координаты V определяют в терминах идентифицированных стационарных коэффициентов системы (5) геометрические параметры режима защиты функционирования ЭИИ.
У т в е р ж д е н и е 5. Пусть Д =(В+ВД ,= 1,… ,"-. Тогда стационарная точка V* & amp-Ят задачи (3) (задача минимизации «взвешенно-осредненной& quot- интенсивности сигнала ЭИИ в комплексе точек зондирования {Ь,}1& lt-,<-«) имеет вид
v*=-(rlDl+… +r"-D"-У1ЛT (rlel+… +r"-e"-), (10)
при этом достаточным условием, что решение V* обеспечивает качество
ш1и{^): veЯm},
является следующее: стационарная точка V* имеет эллиптический тип, т. е.
ёе! [4-]р& gt-0, р=1,., т, (11)
где [ёу]р& lt-аМрр (К) — главные подматрицы [7, с. 30] матрицы
п=(пп1+. +г"-п"-), собственные числа X, матрицы П отвечают неравенствам
^& gt-0, /=1,. «т. (12)
З, а м е ч, а н и е 4. Если алгебраические условия (11), (12) не выполняются, то критическая точка (10) является либо гиперболической (т.е. седловой), либо параболической, и следовательно, требуется дополнительный геометрический анализ «параметров-координат& quot- ЭИИ (10). Говоря более формально, наличие седловой точки гарантирует замена хотя бы в одном (но не во всех) отношении неравенства «& gt-"- из (11), (12) на «& lt-"-, при этом аналогичная замена «& gt-"- на «& gt-"-, возможно, вызывает структуру параболической точки.
Изложенный подход методологически расширяет [10] стандартную процедуру планирования эксперимента [2]. При этом если расчетные (прогнозируемые) координаты стационарной точки (10) по каким-либо физико-техническим параметрам выходят за область адекватности идентифицированной модели (5), то необходимо провести дополнительный натурный эксперимент, т. е. осуществить замер (с вектором V, максимально близким к точке (10)) координат ЭИИ с внесением полученного результата в расширенную матрицу экспериментальных данных и. После этого необходимо сделать пересчет [3] всех вышеизложенных этапов процесса оптимизации координат ЭИИ. При необходимости подобный эксперимент, параметрическую идентификацию (5) и оптимизацию (3) необходимо повторить.
Заключение. В работе дано точное и удобное определение нелинейной векторной регрессии на языке тензорной алгебры, чтобы нелинейные регрессионные модели были компактны и удобны в обращении. При этом определена процедура построения нелинейной модели, описывающей взвешенно-осредненную интенсивность электромагнитного поля ПЭВМ в точках возможного несанкционированного приема его сигнала- получен алгоритм расчета оптимальных координат установки ПЭВМ.
Изложенные в статье идеи можно развить в нескольких направлениях теоретико-прикладных изысканий по совершенствованию предложенных выше алгоритмов оптимальной пространственно-угловой ориентации ЭИИ, а также расширению рамок адекватности
регрессионных уравнений дистанционной интенсивности ЭИИ за счет дополнительного исследования факторов ее нелинейности:
— на разработку процедуры выбора весовых коэффициентов г7, 1& lt-7<-п, критерия (3), обеспечивающих эллиптический характер стационарной точки (10) целевого функционала Г^) исходя из алгебраических условий (11), (12) —
— на расширение, согласно утверждению 2, билинейно-тензорной формы уравнений регрессии (5) «тейлоровским разложением& quot- вектора-функции v^w (ш+v) ковариантными тензорами ранга к& gt-2-
— на задачу оптимизации (3) в постановке невыпуклого нелинейного программирования, когда к& gt-2 и ve V^Rm, где V — ограниченная, несвязная, невыпуклая область (возможно, с квазифрактальной границей [11]).
Работа поддержана программой фундаментальных исследований № 15 Отделения энергетики, машиностроения, механики и процессов управления РАН, грантом Президента Р Ф по государственной поддержке ведущих научных школ Российской Федерации (№ НТТТ-1676. 2008. 1).
1. Жигунова Я. А., Носков С. И. Определение гармоник информативного сигнала монитора на основе методов регрессионного анализа // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2008. № 4. С. 89−90.
2. Бернштейн А. В., Кулешов А. П., Бурнаев Е. В. Об одной методологии построения аппроксимаций многомерных зависимостей // Докл. IV Междунар. конф. «Параллельные вычисления и задачи управления& quot- РАС0'-2008. Институт проблем управления им. В. А. Трапезникова РАН, 2008. С. 56−62.
3. Андриевский Б. Р., Фрадков А. Л. Элементы математического моделирования в программных средах МАТЬАБ и 8С1ЬАБ. СПб: Наука, 2001. 288 с.
4. Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. М.: Наука, 1979. 624 с.
5. Колмогоров А. Н. Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976. 544 с.
6. МесаровичМ. ТакахараЯ. Общая теория систем: математические основы. М.: Мир, 1978. 312 с.
7. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. М.: Мир, 1989. 656 с.
8. Ланкастер П. Теория матриц. М.: Наука, 1982. 268 с.
9. Макаров И. М. Виноградская Т. М., Рубчинский А. А., Соколов В. Б. Теория выбора и принятия решений. М.: Наука, 1982. 328 с.
10. Патент Р Ф № 2 009 612 490. Регрессионно-тензорный анализ «РЕТАН& quot- / С. Н. Думнов, Д. Б. Лабаров, В. А. Козырев, А. Е. Куменко, А. Г. Рудых. 19. 05. 2009 г.
11. Потапов А. А. Фракталы и хаос как основа прорывных технологий в современных радиосистемах // Фракталы и хаос в динамических системах. М.: Техносфера, 2006. С. 374−457.
Сведения об авторах
Владимир Александрович Козырев — аспирант- Институт динамики систем и теории управления СО РАН,
Иркутск
Антон Евгеньевич Куменко — канд. техн. наук, старший научный сотрудник НПО «ОРИОН& quot-, Крас-
список литературы
Алексей Геннадьевич Рудых
Вячеслав Анатольевич Русанов
нознаменск
аспирант- Иркутское высшее военное авиационное инженерное училище
д-р физ. -мат. наук, главный научный сотрудник Института динамики систем и теории управления СО РАН, Иркутск- E-mail: V. Rusanov@mail. ru
Рекомендована институтом
Поступила в редакцию 29. 10. 09 г.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой