Нелинейный резонанс в струнном ЭМР

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физика


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2005. № 5(39).
УДК 534. 112
125
НЕЛИНЕЙНЫЙ РЕЗОНАНС В СТРУННОМ ЭМР1
© 2005 В. В. Зайцев, А. В. Никулин, В.В. Никулин2
Исследованы нелинейные колебания струны в электромеханическом резонаторе. Экспериментально установлено, что в системе наблюдается явление нелинейного резонанса. Разработана математическая модель струнного резонатора в форме нелинейного интегродиф-ференциального уравнения в частных производных, учитывающая изменения силы натяжения при колебаниях струны. Показано, что при учете лишь одной моды колебаний полученное уравнение переходит в уравнение Дюффинга. Результаты моделирования сопоставлены с результатами эксперимента.
Введение
Явление нелинейного резонанса наблюдается во многих колебательных системах при значительных амплитудах внешнего воздействия [1]. Оно характеризуется скачками амплитуды при плавном изменении параметров внешнего воздействия и асимметрией частотной характеристики. Ранее [2] сообщалось о наблюдениях нелинейного резонанса колебаний струны. В настоящей работе экспериментально и теоретически исследуются нелинейные колебания проводящей электрический ток струны, входящей в конструцию струнного электромеханического резонатора (ЭМР). Помимо общефизического интереса исследование нелинейного резонанса в ЭМР имеет и прикладное значение, т.к. подобного типа резонаторы на протяжении уже длительного времени широко используются в акселерометрах, динамометрах и манометрических устройствах [3].
1. Резонансная характеристика струнного ЭМР
Экспериментальные исследования нелинейных колебаний струны проведены по схеме, представленной на рис. 1. В экспериментах использовался
1 Представлена доктором физико-математических наук профессором В. А. Салеевым.
2Зайцев Валерий Васильевич (zaitsev@ssu. samara. ru), Никулин Андрей Валентинович, (nikulinav@mail. ru), Никулин Владимир Владимирович, кафедра радиофизики и компьютерного моделирования радиосистем Самарского государственного университета, 443 011, Россия, г. Самара, ул. Акад. Павлова, 1
электромеханический резонатор со струной из вольфрамового сплава длиной 6 мм и диаметром 0.1 мм, расположенной в зазоре между полюсами са-марий-кобальтового магнита. Ширина зазора равна 0,5 мм. Резонатор возбуждался источником переменного тока, реализованным путем последовательного подключения к низкоомному выходу генератора Г3−117 резистора сопротивлением 500 Ом.
Рис. 1. Схема эксперимента
На рис. 2 приведен график зависимости амплитуды, а напряжения на резисторе от частоты / гармонического тока возбуждения с амплитудой 14 мА. Зависимость, а = а (/) характеризуется скачками амплитуды (на графике они отмечены стрелками) и гистерезисом, наблюдаемым при замкнутом цикле изменения частоты. В целом подобная зависимость типична для явления нелинейного резонанса [1]. Широкоизвестная радиосистема этого типа — колебательный контур с варикапом [4].
Отметим, что частотно-независимый ''пьедестал" на графике зависимости, а = а (/) возникает из-за падения напряжения на омическом сопротивлении струны.
Для амплитуд возбуждения, меньших 1 мА, колебания струны близки к линейным. При этом, как показывает эксперимент, резонанс характеризуется частотой /о = 16 420 Гц и достаточно высокой добротностью Q = 2705.
2. Математическая модель нелинейных колебаний струны
При разработке математической модели нелинейного резонанса колебаний струны мы исходили из предположения о том, что сила натяжения струны зависит от ее отклонения от состояния равновесия. Колебания вы-
7
6
5
4
3
1 1 1 а, мВ 1. о? 1 1
. (c)'-:. о'-: 0 ¦
р Ф — *° •
о'-: • • і а: 1: т
о'- | _
о'-: '-¦ ~ -0'-: © о--о о — О- ¦О-(c)-(c)-.©…©…©…©. 0
1 1 1 1 /-16 000, Гц
400
420
440
460
480
500
Рис. 2. Частотная зависимость амплитуды колебаний напряжения на ЭМР (эксперимент)
зывают удлинение струны
М = 10
(і ]_

V 0
1 + (их)2dx — 1
(1)
Это удлинение благодаря упругости струны приводит к дополнительному натяжению ДГ = (БЕ/1о) Д1, так что полная сила натяжения струны равна
Т = Т0 + МТ = т0
1 + Е
(і 1
1о 0
1 + (их)2dx — 1
(2)
В формулах (1)-(2) е = 5?/То -безразмерный параметр, То и іо — натяжение и длина невозмущенной струны, S — площадь ее поперечного сечения, Е — модуль Юнга материала, из которого изготовлена струна.
Далее, используя приближение
1 (ди2
преобразуем (2) в выражение
Т = То
1 +
і о
а. Г (-У
21 о і & lt-9х/
dx
С учетом этого выражения, рассматривая движение элементов струны в плоскости, перпендикулярной силовым линиям магнитного поля с индукцией В (х), под действием силы упругости и силы Ампера, для отклонения
струны от положения равновесия и (х, г) получим нелинейное интегродиф-ференциальное уравнение в частных производных, учитывающее изменения силы натяжения при колебаниях струны:
I «N
д2и «_ди
д2и
дР-
м I2
2 J дх)
1 + І Л
0
В уравнении (3) отклонение и нормировано на величину 1о/ л/е, координата х — на длину 1о, а временная переменная г — на время т = Іол/рІТо рас-
пространения волнового возмущения по струне с линейной плотностью р. Кроме того, в (3) Ь (х) = В (х)/Втах — нормированная на максимальное значение индукция магнитного поля, і(і) = I (і)//Шах — нормированный на амплитудное значение ток в струне, 6 — показатель затухания волны в струне,
V_^O^maxЛnax / Гг1
є----------- (см. также [5]).
То
Традиционный подход к исследованию распределенных автоколебательных систем состоит в разложении решения по модам собственных колебаний резонатора (см., например, [6]). Используя разложение
м
и (х, і) = ^ Ат (і)вт (лтх),
т=1
нетрудно получить систему обыкновенных дифференциальных уравнений для модовых коэффициентов (комплексных амплитуд) Ат (і):
й2Ат ««йА
ш г о иг1ш 2
+ 26- + со:
йі2 йі

4 ш=
Ат = УХтІ(і), (4)
где шт = пт — нормированная частота колебаний моды нерастяжимой струны, Хт — коэффициенты разложения функции Ь (х) по модам ЭМР [5]. В одномодовом приближении уравнение (4) переходит в широкоизвестное уравнение Дюффинга:
й2А & lt-^А1 2 3, ч
~Ж + + + ТА! = тК°- (5)
Уравнение (5) с гармонической правой частью г (г) = ео8(шг) мы используем для расчета частотной зависимости установившейся амплитуды вынужденных колебаний в резонаторе.
3. Результаты расчетов и сравнение с экспериментом
Как было установлено в ходе экспериментальных исследований, резонансная система имеет относительно высокую добротность Q = 2705. Поэтому для решения нелинейного уравнения (5) вполне применим метод медленно меняющихся амплитуд [7]. Здесь использована численная версия метода, описанная в [8].
На рис. 3 линией изображен график зависимости установившейся амплитуды колебаний напряжения на ЭМР от частоты внешнего воздействия, рассчитанный для ух 1 = 6.7 ¦ 1 0−5. Значения амплитуды на графике даны в милливольтах, частота указана в относительных единицах о = ///о. Участок кривой, показанный пунктиром, соответствует неустойчивым решениям уравнения (5), не реализуемым на практике. На границах этого участка в реальной физической системе происходят скачкообразные переходы колебаний на устойчивые ветви функции, а = а (/).
Рис. 3. Частотная зависимость амплитуды колебаний напряжения на ЭМР (теория и эксперимент)
Точками на рис. 3 отмечены значения амплитуды, измеренные в эксперименте. Из экспериментальных значений удален ''пьедестал», обусловленный падением напряжения на омическом сопротивлении струны, т.к. модель (5) не предполагает описания этого эффекта. Сопоставление теоретических и экспериментальных данных указывает на их хорошее соответствие и позволяет сделать вывод о том, что предложенная модель (3) адекватно описывает явление нелинейного резонанса при вынужденных колебаниях струны.
Литература
[1] ХайясиТ. Нелинейные колебания в физических системах. М.: Мир, 1968. 432 с.
[2] Зайцев В. В., Никулин А. В., ТрещевВ.М. Нелинейные колебания в струнном резонаторе: Тезисы докладов и сообщений III Международной научно-технической конференции ''Физика и технические приложения волновых процессов». Волгоград, 2004. C. 157−158.
[3] Регистрационная аппаратура для вибрационно-частотных датчиков / Под ред. Ю. С. Плискина. М.: НИКИМП, 1967. 356 с.
[4] МигулинВ.В., Медведев В. И., Мустель Е. Р. и др. Основы теории колебаний / Под ред. В. В. Мигулина. М.: Наука, 1978. 392 с.
[5] Зайцев В. В., Зайцев О. В., Никулин А. В. и др. Моделирование автоколебаний в генераторе с электромеханическим резонатором // Вестник Самарского гос. университета. Естественнонаучная серия. 2003. Второй спец. вып. С. 118−126.
[6] ЛандаП.С. Автоколебания в распределенных системах. М.: Наука, 1983. 320 с.
[7] Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974. 503 с.
[8] Зайцев В. В., Зайцев О. В., Никулин А. В. и др. Численная реализация метода ММА и цифровая фильтрация сигналов // Вестник Самарского гос. университета. Естественнонаучная серия. 2004. № 2(32). С. 120−130.
Поступила в редакцию 16/ VIII/2005-
в окончательном варианте-16/VIII/2005.
NONLINEAR RESONANCE IN A STRING RESONATOR3
© 2005 V.V. Zaitsev, A.V. Nikhulin, V.V. Nikhulin4
Nonlinear oscillations of a string in an electromechanical resonator are analyzed by theoretical and experimental methods. An effect of nonlinear resonance in the system is observed. A mathematical model of the string resonator in the form of nonlinear integro-differential equation containing partial derivatives and allowing string tension strength variation while oscillating is devised. A transition of the obtained equation in single-mode approximation into Duffing’s equation is demonstrated. Theoretical modelling and the experiment results are compared.
Paper received 16/VIII/2005.
Paper accepted 16/VIII/2005.
3Communicated by Dr. Sci. (Phys. & amp- Math.) Prof. V.A. Saleev.
4Zaitsev Valeriy Vasilievich (zaitsev@ssu. samara. ru), Nikhulin Andrei Valentinovich (nikulinav@mail. ru), Nikhulin Vladimir Vladimirovich, Dept. of Radiophysics and Computer Modelling of Radiosystems, Samara State University, Samara, 443 011, Russia.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой