Нелокальная задача для нагруженного уравнения третьего порядка с кратными характеристиками

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Общие и комплексные проблемы естественных и точных наук


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

90
¦ PHYSICAL AND MATHEMATICAL SCIENCES ¦
УДК. 517. 956. (927)
НЕЛОКАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ НАГРУЖЕННОГО УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА С КРАТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ
Водахова В. А., Гучаева З. Х.
ФГБОУ ВПО «Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х.М. Бербекова» Министерства образования и науки РФ, Нальчик, e-mail: proporwiz@yandex. ru
Для нагруженного уравнения третьего порядка с кратными характеристиками исследован вопрос однозначной разрешимости нелокальной краевой задачи.
Ключевые слова: нелокальная задача, нагруженное уравнение, уравнение Вольтерра, функция Грина
NONLOKAL PROBLEM FOR THE LOADED EQUATION OF THE THIRD ORDER WITH MULTIPLE CHARACTERISTICS
Vodakhova V.A., Guchaeva Z.K.
Kabardin-Balkar state university n.a. Kh. M. Berbekov, Nalchik, e-mail: proporwiz@yandex. ru
Nonlokal problem investigated for the loaded equation for the third order with multiple characteristics. Keywords: Nonlokal problem, the loaded equation, Volterra equation, Green'-s function
В настоящее время теория краевых задач для уравнений смешанного типа является одним из интенсивно развивающихся разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными. Одним из важнейших классов уравнений с частными производными являются нагруженные уравнения смешанного типа. Подробная библиография по исследованиям локальных и нелокальных краевых задач для нагруженных уравнений содержится
в [10].
Цель исследования: доказать существование и единственность решения нелокальной задачи для нагруженного уравнения третьего порядка с кратными характеристиками.
U (х, 0) = т (х), 0 & lt- х & lt-1, U (0,y) = Ф1 (y), Ux (1,y) = ф (y), 0 & lt- y & lt- T,
Постановка задачи
В области
В = {(х, у) :0 & lt- х & lt- 1,0 & lt- у & lt- Т}
рассматривается нагруженное уравнение третьего порядка с кратными характеристиками
иу =иххх +а (х, у) их +М у) и (Хо, у). (1) Задача. Найти регулярное в области Б решение и (х, у) уравнения (1) из класса С (В)^|С, х3у1'-(В) с непрерывной вплоть до х = 1 производной первого порядка по х, удовлетворяющее условиям:
(2)
(3)
ai (y)fx (y)U (^ y)
a2 (у)fx + в2 (У)U (^ y)
+ 8(y), 0 & lt- y & lt- T, (4)
где т (х), ф1 (у), ф2 (у), «1 (у), а2 (у),
в (у), в (у), «(у)Д (у) — заданные функции, непрерывные в замыкании области их определения- х0 — фиксированная точка интервала 0 & lt- х & lt- 1, причем
р2 (у)* 0.
Рассмотрим сначала случай, когда, а (х, у) = 0, тогда уравнение (1) примет вид
иу =иххх +Му)и (х0,у). (5)
Пусть существует решение и (х, у) задачи (1) — (4) и
и (1,у) = ф (у), 0 & lt- у & lt- Т. (6)
Из свойств функции Грина О (х, у- П) [6] заключаем, что решение и (х, у) задачи (1) — (3), (6) в области Б представимо в виде
¦ ADVANCES IN CURRENT NATURAL SCIENCES № 7, 2014 ¦
¦ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ ¦
91
У У
пи (X, у) = & amp- (X, у-0,л)ф! (п)dn-Gl (X, у-0,л)ф2 (п)dц-
0 0
у 1
X, у-1, п) ф (п) dп + ]& amp- (X, у- 4,0)т (4) d 40 0 у
-|Мп)& amp-(х, у-п)и (X, п) dп, (7)
0
1 у
где & amp- (X, у- п)= & amp- (X, у- 4, п) ?4. п?(у) + ]Чп) & amp- (^ у- пМп) dn =?(у), (8)
0 0
которое однозначно разрешимо в классе не-
Обозначая и (у) = у (у), получаем прерывных функций, где у) — извест-V / т / -& lt- ная, достаточно гладкая функция.
из (7) интегральное уравнение Вольтерра Таким образом, решение задачи (1) — (3)
второго рода при выполнении условия (7) имеет вид
1 [у у и (X, у) = 4 & amp- (X, у-0,п)ф1 (п)(X, у-0,п)ф2 (п)?п-п [ 0 0
у 1
X, у-1, п) ф (п) dп + |& amp- (X, у- 4,0)т (4) d 40 0
-|Я (X, у-4,п)?(п)dп|, (9)
Я (ху 4 п) -__- ___ которое однозначно и безусловно разреши-
те резольвента ядра п (ч /
Ж V)& amp-(X V п) мо, где у (y, п), §{у) — известные доста-
0. точно гладкие функции.
где — резольвента ядра
точно гладкие функции.
Дифференцируя (9) по х, и подставляя, ч
ди По найденному ф (у) определяется
— в краевое условие (4), после неслож- и (X, у). Таким образом, решение задачи
ных преобразований получим интегральное (1) — (4) существует, единственно, и опреде-
уравнение Вольтерра второго рода относи- ляется формулой (9).
тельно неизвестной функции ф (у): Пусть теперь а (х, у) ф 0. Опираясь на
у свойства функции Грина для задачи (1) — (3)
р2 (у)ф (у) + ]е (у, л) ф (л) dn = Я (у), (10) и и (1, у) = ф (у), буде м иметь
у 1
и (X, у) = ^п|& amp- (X, у- 4, п) а (4, п) и4(4, п) d 4 dп +
0 0
+|и (Xo, п) ?п|Чп) & amp-(X, у-4,п) ?4. (11)
0 0 Из (11) интегрированием по частям, получим
и (X, у) + Цг (X, у- 4, п) и (4, п) ?^п =? (X, у), (12)
0 0
¦ УСПЕХИ СОВРЕМЕННОГО ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ № 7, 2014 ¦
1
92
¦ PHYSICAL AND MATHEMATICAL SCIENCES ¦
где Т (х, у- л) = -[О (х, у- л) а (?, л)],
у
р (х, у) = |{а (1, л) О (х, у-1, л) ф (л)-а (0, л) О (х, у-0, л) ф1 (л)} dл +
0
у
+|Р (х, у-л)и (х0,л)dл.
0
Обращая (12) через резольвенту Я (х, у- л) ядра Т (х, у- л), будем иметь
у
и (х, у) = |{а (1, л) О (х, у-1, л) ф (л)-а (0, л) О (х, у-0, л) ф1 (л)}л +
0
у у I
+|Р (х, у- л) и (х0, л) dл + Ця (х, у- л) х
0 0 0

I {а (1, л1) О (х, у-1, л1) ф (л:) — а (0, л1) О (х, у-0, л1) ф (л:)} dл1 +
х ^
_ 0
+ |р (х, л-л1)и (х0,л1)dЛl dЪdл.
0 _
После преобразования (13), получим
у ~ у —
и (х, у)-| Р (х, у) и (х0, л) dл = | О (х, у- л) ф (л) dл + / (х, у)
(13)
(14)
где Р (х, л) и О (х, у-л) функции, свойства которых хорошо известны [7]. Полагая в (13) х = х0 и считая правую часть
известной, получим интегральное уравнение Вольтерра второго рода относительно
и (^ у)=?(у):
У У
у (у)-р (^ y Mn) dn = jG (х0, y- п) ф (п)dn + f (^ y)
которое имеет единственное решение [11].
Найденное значение и (х0, у) подставим в равенство (14). Удовлетворяя его граничному условию (4), снова получаем интегральное уравнение Вольтерра второго рода относительно ф (л), которое однозначно
разрешимо, т.к. в2 (у) ^ 0 [7].
Отметим, что нелокальные задачи для уравнения смешанного типа исследовались также в работах [1−5, 8, 9, 12].
Список литературы
1. Абрегов М. Х., Гучаева З. Х. Аналог задачи Бицадзе-Самарского для уравнения смешанного гиперболо-параболического типа // Успехи современного естествознания. -2013. — № 11. — С. 126−129.
2. Водахова В. А. Краевая задача для параболического уравнения с дробными производными в граничных условиях // Математическое моделирование и краевые задачи: Труды Всероссийской научной конференции. — 2004. — Т. 3. — С. 41−43.
3. Водахова В. А., Гучаева З. Х. Задача Дирихле для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа с разрывными коэффициентами // Успехи современного естествознания. — 2013. — № 11. — С. 136−140.
4. Водахова В. А., Шамеева К. А. Задачи со смещением для системы уравнений первого порядка Лыкова // Известия
2013.
Кабардино-Балкарского научного центра РАН. № 2(52). — С. 3−7.
5. Гучаева З. Х., Бесланеева Л. Ю. Нелокальная задача для вырождающегося гиперболического уравнения с операторами дробного интегро-дифференцирования в краевом условии // Успехи современного естествознания. — 2014. — № 3. — С. 81−87.
6. Джураев Т. Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типов. — Ташкент: ФАН, 1979. — 120 с.
7. Елеев В. А., Кумыкова С. К. Внутреннекраевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками // Известия Кабардино-Балкарского научного центра РАН. — 2010. — № 5. — С. 5−14.
8. Кумыкова С. К. Об одной краевой задаче со смещением для уравнения ягепу у и + и = 0 // Дифференциальные уравнения. — 1976. — Т 12хх№ 1. уу- С. 79−88.
9. Кумыкова С. К. Задача с нелокальными условиями на характеристиках для вырождающегося внутри области гиперболического уравнения // Дифференциальные уравнения. — 1981. — Т. 17, № 1. — С. 81−90.
10. Нахушев А. М. Нагруженные уравнения и их применение. КБНЦ РАН — М.: Наука. — 2012. — 232 с.
11. НахушевА.М. Краевые задачи для нагруженных ин-тегро-дифференциальных уравнений гиперболического типа и некоторые их приложения к прогнозу почвенной влаги // Дифференц. уравнения. — 1979. — Т. 15, № 12. — С. 96−105.
12. Репин О. А., Кумыкова С. К. О задаче с обобщенными операторами дробного дифференцирования для вырождающегося внутри области гиперболического уравнения. // Вестник Самарского государственного университета. Естественно-научная серия. — 2012. — № 9(100). — С. 52−60.
¦ ADVANCES IN CURRENT NATURAL SCIENCES № 7, 2014 ¦

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой