Нелокальная задача типа задачи Бицадзе-Самарского для уравнения смешанного типа в неограниченной области

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Вестник КРАУНЦ. Физ. -мат. науки. 2010. № 1 (1). C. 12−16
УДК 517. 956
НЕЛОКАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ТИПА ЗАДАЧИ БИЦАДЗЕ-САМАРСКОГО ДЛЯ УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ТИПА В НЕОГРАНИЧЕННОЙ ОБЛАСТИ*
Р.Т. Зуннунов
Ташкентский институт инженеров железнодорожного транспорта, 700 005, республика Узбекистан, г. Ташкент, Мирабадский район, ул. А. Кодирова, 12
E-mail: zunnunov@mail. ru
Для уравнения смешанного типа в неограниченной области доказано существование и единственность решения нелокальной краевой задачи.
Ключевые слова: уравнение смешанного типа, нелокальная задача, метод интегралов энергии, метод интегральных уравнений
© Зуннунов Р. Т., 2010
MSC 68N01
NOT LOCAL PROBLEM OF TYPE OF THE PROBLEM
BITSADZE — SAMARSKY FOR THE EQUATION THE MIXED TYPE IN UNLIMITED AREA
R.T. Zunnunov
Tashkent institute of engineers of a railway transportation, 700 005, Tashkent, Mirabadskiy
dis., A. Kodirova st., 12, Uzbekistan.
E-mail: zunnunov@mail. ru
In this paper the existence and uniqueness of the solution of the non-local boundary value problem for the mixed type equation in unbounded domain are proved. In this paper the existence and uniqueness of the solution of the non-local boundary value problem for the mixed type equation in unbounded domain are proved.
Key words: mixed type equation, problem, non-local problem, method of energy integrals, method of integral equations
© Zunnunov R.T., 2010
*Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект МОБ_СНГ_ СТ 09−01−90 902).
Введение
Известно, что интерес к изучению краевых задач для уравнений смешанного типа возрос после того, как обнаружилась их связь с задачами газовой динамики, теории бесконечно малых изгибаний поверхностей и безмоментной теории оболочек и т. д.
Рассмотренная задача является обобщением задачи Трикоми. Такие задачи возникают при изучении различных вопросов прикладного характера, например вопросов математической биологии, прогнозирования почвенной влаги, математического моделирования процессов излучения лазера, проблем физики плазмы и т. д.
Рассмотрим уравнение
szgny |y|muxx + uyy — Я2 |y|mu = 0, m = const & gt- 0 (1)
в неограниченной смешанной нестандартной области Q = Пі U li U П2, где Пі = {(x, y): — ^ & lt- x & lt- +^, y & gt- 0}- 11 = {(x, y): 0 & lt- x & lt- +те, y = 0}- а П2 — бесконечная область полуплоскости y & lt- 0, ограниченная полупрямой li и характеристикой Г: x — [2/ (m + 2)](-y)(m+2)/2 = 0 уравнения (1) — Я — заданное действительное число.
m ___
Введем следующие обозначения: в = 2-^4, M = const & gt- 0 (j = 1, 5), є-достаточно малое положительное число. Далее
І2 = {(x, y): -& quot- & lt- x & lt- 0, y = 0}, 0o (xo) = (xQ, —
m + 2
-x0
2/(m+2)N
где 0о (xo) является аффиксом точки пересечения характеристики Г уравнения (1) и
характеристики x +[2/ (m + 2)](-y)(m+2)/2 = x0, выходящей из точки (x0,0) є li.
При постановке и исследовании нелокальной задачи для уравнения (1) мы будем
1 Я 1 я
пользоваться интегродифференциальными операторами A0x [f (x)] и C0x [f (x)], введенными и изученными в работе [1]. Наряду с указанными операторами используется оператор Dfx[f (x)] дробного в смысле Римана — Лиувилля интегродифференцирова-ния порядка 8 [2].
Предположим, что в уравнении (1) Я = Яг- в областях Щ (г = 1,2) и исследуем следующую задачу.
Задача BS~. Найти функцию u (x, у), обладающую следующими свойствами:
1) u (x, у) є C Щ П C1 (Щ и /2) n C2 (Щ U Щ2), причем uy (x, 0) может обращаться в бесконечность порядка меньше, чем 1 — 2? при x ^ 0-
2) u (x, у) — регулярное решение уравнения (1) в областях Щ и Щ2-
3) lim u (x, у) = 0 при у & gt- 0- r2 = x2 + [2/ (m + 2)]2ym+2-
Г0^+те
4) lim uy (x, у) = ф (x), -те & lt- x & lt- 0-
у0
5) удовлетворяет условиям
А0-Я2 {D0-? [u (00 (x))]} + c (x) uy (x, 0) = d (x), 0 & lt- x & lt- +те, (2)
где c (x), d (x), ф (x)-заданные функции, причем c (x) є C [0, +те) nC2 (0, +те), ф (x) є C (-те, 0), d (x) є C2 (0, +те), а d (x), ф (x) обращаются в бесконечность порядка меньше, чем 1 — 2? при x ^ 0 и для достаточно больших |x| удовлетворяют неравенствам |d (x)| & lt- M1x2?-1-є, |ф (x)| & lt- M2x2?-1-є.
1 Я 8
Замечание. При c (x) = 0 в силу обратимости операторов A0x и D8x задача (1)-(2) является задачей Трикоми.
Единственность решения поставленной задачи
Пусть и (х, у) — решение задачи иу (х, 0) = V (х) е С2 (0, +& lt-^), и (х, 0) = т (х) е
С [0, +те) пС2 (0, +те) и V (х) может обращаться в бесконечность порядка меньше, чем 1 — 2 В при х ^ 0. Тогда, пользуясь представлением решения задачи в области2 [1], в силу условия (2) получаем основное функциональное соотношение между т (х) и V (х) на 11, принесенное из области П2:
V (х) = 72 Г (2в) 4 (х) С2 [т (х)] - У2Г (в) 4 (х)хвй (х), 0 & lt- х & lt- +& lt-*>-, (3)
где 4 (х) = в, у, = (2 — 4в)2 В Г (в) / [2Г (1 — в) Г (2в)], «= (яп2Рп) /яц
1 — У2Г (в) хв с (х)
Теорема. Пусть для решения и (х, у) задачи при достаточно больших г0 справедливы неравенства
|и (х, у)| & lt- Мз/гд, |утих (х, у) | & lt- М4/Г0, |иу (х, у) | & lt- М5/Г0 (4)
и заданные функции удовлетворяют следующим условиям:
4 (х) & lt- 0, 4 (х) & gt- 0, (5)
тогда задача не может иметь более одного решения.
Доказательство. Возьмем произвольное достаточно большое число Г0 и рассмотрим конечную область1Г0, ограниченную в области П1 нормальной кривой х2 + [2/ (т + 2)]2ут+2 = г^ и отрезком 1Г0 = {(х, у): -г0 & lt- х & lt- г0, у = 0}.
Пусть и (х, у) — решение однородной задачи В?~. Тогда в области П1г0 справедливо тождество
(утиих)х + (ииу)у — ут (их)2 — (иу)2 — утЯ^и = 0, (6)
а на отрезке 1Г0 имеет место равенство
v (х) = Г2Г (2в) 4(х) С0-Я2 [т (х)], 0 & lt- х & lt- +~. (7)
Применяя формулу Гаусса — Остроградского по области П1г0, в силу условий (4) теоремы и ф (х) = 0 при Г0 ^ имеем
IJ ym (ux) + (ux) + Яі ymu dxdy + y т (x) v (x) dx = 0. (В)
Пі 0
Проводя аналогичные рассуждения, как и в работе [3], получим:
А = J т (х) V (х) йх = уз J г2в-(1 — ?2)-в-½й^
X & lt- b ?
к=і
2
Рі (t) cos zktdtJ + І у рі (t) sinzktdtJ
00
00
Y3 = [(2 — 4в)2 В Г (в)]/[8Г (½ — в) Г2 (20) cos ],
zk = z — (-1)k, Pi (x) = [т (x)],
lim q (x) = b, О & lt- b & lt- +& lt-*>-.
В силу условий (5) теоремы имеем, А & gt- 0. Из равенства (8) при ^ = 0 сразу следует, что и (х, у) = 0 в П1. Если Я1 = 0, то из равенства (8) получим и (х, у) =еопэ1 в области П1. Учитывая условие (2) задачи и ф (х) = 0, в этом случае получаем и (х, у) = 0 в П1. Тогда т (х) = V (х) = 0 при 0 & lt- х & lt- +& lt-*>-. Поэтому из представления решения задачи Коши [2] в области следует: и (х, у) = 0 в П2. Следовательно, и (х, у) = 0, (х, у) е П. Теорема доказана. ?
Доказательство существования решения задачи
Пользуясь представлением решения задачи ^ в области П [3], при у = 0 получаем основное функциональное соотношение между т (х) и V (х) на 1, принесенное из области П1:
где k? = (1 — 2в)2 В (|Al| /2)в / [^ЛГ (в + ½)], r2 = (x — t)2 + [2/(m + 2)]2ym+2, Ka (z)
О
— функция Макдональда [4], f (х) = - к0 / ф (г)|х — г| вК [|А11 |х — г|]Л. Исключая из
соотношений (3) и (9) функцию т (х), получаем сингулярное интегральное уравнение относительно V (х) в виде
т (x) = -koj v (t)|x — 11 вКв Pl||x — t|]dt + f (x),
(9)
О
x
P (x, t) = 72 J Q (x, z) Hl (z, t) dz + ko 72 Г (2в) dJx20 [H2 (x, t)],
О
F (x) = 72 {Г (2в) C? xA2 [f (x)] - Г (в) x0d (x)},
h, (x, t) = k? |x — 11 в Кв [|Яі I |x — 11],
|x — 11 вi0 [|*i||x — 11]
a (x) = 1 + sin пв — Г (в) Y2xe c (x), у4 = C0S пв.
п
Таким образом, задача BS» эквивалентна (в смысле разрешимости) и редуцирована к сингулярному интегральному уравнению (10). В силу условий a2 (x) — у| = 0, 0 & lt- x & lt- уравнение (10) является уравнением нормального типа [5] и его решение будем искать в классе функций, которые могут обращаться в бесконечность порядка ниже 1 — 2 В при x ^ 0 и ограниченных x ^ +& lt-^. Индекс уравнения в данном классе равен нулю. Регуляризируя его методом Карлемана — Векуа [5], получаем интегральное уравнение Фредгольма второго рода, безусловная разрешимость которого следует из единственности решения задачи BS".
Литература
1. Салахитдинов М. С., Уринов А. К. Краевые задачи смешанного типа со спектральным параметром. Ташкент: ФАН, 1997. 165 с.
2. Нахушев А. М. Уравнения математической биологии. М.: Высш. шк., 1995. 301 с.
3. Зуннунов Р. Т Задача со смещением для уравнения смешанного типа в неограниченной области // Доклады Адыгской (Черкесской) Междунар. акад. наук. 2009. Т. 11. № 1. C. 21−27.
4. Кузнецов М. С. Специальные функции. М.: Высш. шк., 1965. 424 с.
5. Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1968. 512 с.
Поступила в редакцию / Original article submitted: 11. 09. 2010

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой