Нелокальные краевые задачи в цилиндрической области для одного класса многомерных эллиптических уравнений

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ (?Д Серия: Математика. Физика. 2015. № 11(208). Вып. 39 5
МАТЕМАТИКА
MS С 35J15
НЕЛОКАЛЬНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ В ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБЛАСТИ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА МНОГОМЕРНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
С.А. Алдашев
Казахский национальный педагогический университет им. Абая, Институт математики, физики и информатики, ул. Толеби, 86, Алматы, 50 012, Казахстан, e-mail: aldash51@ mail. ru
Аннотация. В работе доказана разрешимость нелокальных краевых задач в цилиндрической области для мншхшерных эллиптических уравнений с оператором Лапласа, которые являются обобщениями задач Дирихле и Пуанкаре.
Ключевые слова: нелокальные задачи, мнш'-омерные эллиптические уравнения, разрешимость.
В то время как локальные краевые задачи для многомерных эллиптических уравнений в цилиндрической области интенсивно исследовались ранее (см., например, [1 — 5]), нелокальные краевые задачи дня этих уравнений почти не исследованы. В настоящей работе доказана разрешимость нелокальных краевых задач в цилиндрической области дня многомерных эллиптических уравнений с оператором Лапласа, которые являются обобщениями задач Дирихле и Пуанкаре.
1. Постановка задач и результат. Пусть Оа — цилиндрическая область евклидова пространства Ет+1 точек (х^…, хт, ?), ограниченная цилиндром Г = {(х,?):: |х| = 1}, плоскостями? = а & gt- 0и? = 0 оде |х| - длина вектора х = (х1, …, хт).
Части этих поверхностей, образующих границу ООа облает и Оа, обозначим через Га, Ба, Б0, соответственно.
В области Оа рассмотрим многомерные эллиптические уравнения
т
Ьп = АхП + Пи + ^^ «г (х, Ь) пх1 + Ь (х, ?)щ + с (х, ?)п = 0, (1)
г=1
где Ах — оператор Лапласа по переменным х1, …, хт, т & gt- 2.
В дальнейшем нам удобно перейти от декартовых координат х1,…, хт,? к сферическим т, в1,…, вт-1,Ь, г & gt- 0, 0 & lt- в1 & lt- 2п, 0 & lt- 9 г & lt- п, г = 2, 3,…, т — 1.
Рассмотрим следующие нелокальные краевые задачи
Задача 1. Найти решение уравнения (1) в области Оа из класса С (Е& gt-а) П С 1(Оа и Бо и Ба) П С2(Ва), удовлетворяющее краевым условиям
р1п (т, в, 0) = 71п (тДа) + & lt-р1(т, в), вщ (т, в, 0) = 72ш (тДа) + (т, в), п = ф (г, в).
6 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2015. № 11(208). Вып. 39
Задача 2. Найти решение уравнения (1) в области Da из класса C (Da) П C 1(Da U So) П C2(Da), удовлетворяющее краевым условиям
п (т, в, 0) = & lt-pi (r, e), 02ut (r, e, 0) = Y2u (r, e, a) + Mr, 0), u = ф (г, в), (3)
где вз, Yj = const, Pj- + yJ = 0, j = 1, 2, которые являются обобщениями задач Дирихле и Пуанкаре.
Пусть {Y, km (0)} -система линейно независимых сферических функций порядка и, 1 & lt- k & lt- kn, (m — 2) Ыкп = (и + m — 3)!(2n + m — 2) в = (ви …, dm-i), W^(So), l = 0,1,… -
пространства Соболева.
Имеют место следующие утверждения |6|
Лемма 1. Пусть f (т, в) G Wi,(S0). Если l & gt- m — 1, то ряд
& lt-х kn
f (т, в) = ?? fk®Ykm (e), (4)
n=0 k=1
а также ряды, полученные из него дифференцированием порядка p & lt- l — m +1, сходятся абсолютно и равномерно.
Лемма 2. Для того, чтобы f (r, в) G W^So), необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты ряда (3) удовлетворяли неравенствам
те kn
l/o®| & lt- d^^n24fkk®l2 & lt- c2, C1, C2 = const
n=1 k=1
Через akn{r, t), aknr, t, b^t), c*(r, t), pkn, ^(t), обозначим коэффи-
циенты ряда (4), соответственно функций аДг, 9, t) p{9), щ-р, b (r, 9, t)p, c (r, 9, t)p, pi?), i = 1, …, m, p1(r, 9), & lt-?2(r, 9), ip (t, в), причем p (9) G C^(H), H-единичная сфера в Em.
Пусть аДг, 9, t), b (r, 9, t), c (r, 9, t) G W. ^Da) С C (Da), i = 1 ,…, m, l & gt-m+ 1, tpi (r, 0), Mr, 0) e WiiSo), 4& gt-(t, 9) G Wl (Ta), p& gt-^. Тогда справедливы:
Теорема 1. Если выполняется условие
(?iY2 + ?2Yi) ch? s, na = ?i?2 + Y1Y2, S = 1, 2…, (5)
то задача 1 разрешима.
Теорема 2. Если имеет место соотношение
Y2 sh? s, na = Ps, n?2, s = 1, 2…, (6)
то задача 2 разрешима, где? s& gt-n- положительные нули функций Бесселя первого рода
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ К Ш Серия: Математика. Физика. 2015. № 11(208). Выи. 39 7
Заметим, что в случае задачи Пуанкаре (в = 0, 72 = 0) и задачи Дирихле (в2 = = 0), соответственно условий (5) и (6) всегда выполняются, однозначные разрешимости которых показаны в [5, 4].
2. Доказательство теоремы 1. В сферических координатах уравнения (1) имеет
m — 1 ou т
Lu = u» H--ur--- + utt + ^ ck (r, 9, + 6(r, i) ut + c (r, t) u = 0, (7)
r r i=1
m-1 1 Я / Я
'- - g ^SF^SC Г& quot--"-'- = = smfi-i)2. ,>-1.
Известно [6], что спектр оператора 8 состоит го собственных чисел Лп = n (n + m--2), n = 0,1,…, каждому го которых соответствует kn ортонормированных собственных функций Yjkm (9).
Искомое решение задачи 1 будем искать в виде
те kn
«M, I) = EEUkn (r, t) Ynkim (e), (8)
n=0 k= 1
где un (r, t) — функции, подлежащие определению.
Подставляя (8) в (7), умножив затем полученное выражение на р (9) = 0 и проинтегрировав по единичной сфере H, дл я uUn получим [4,5]
Po^'-Orr + PWm + ^ ~ РО + ^ ^Ог + bo^ot + С0^'-0 +
те kn ((m 1 m ^
I ^ ^ ^ ^ S Pu11, n r Prfintt~^~ (Рп ^ ^) ^"г (9)
n=1 k=1 I V i=1 J
+
k m
'-& quot-"-"-k л P^ ^ /-^k k
Cra ~~ / - агп-1 ~ nain)
i=l
un
Теперь рассмотрим бесконечную систему дифференциальных уравнений
il il ^^ - 1 il
РоЩгг + РоЩы ^ РоЩг = о 1 (10)
г
fc- fc fc-fc 1 fc-fc fc-fc _ Pi wirr + Pium ^ ~ Pi wir~~ & quot-~jPi wi =

^ I ai0u0r + 60"0t + CX) • П=1, к = 1, h ,
0
8 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ Е Ш Серия: Математика. Физика. 2015. № 11(208). Вып. 39
к — к к — к ^ к — кп к — к Рп Y / г г '- Рп Unit '- ^ Рп Y / г ^ 2 ^ '- '-
kn-l (m
~ fc ^ ^ W"-lr + ^& gt-n-lUn-lt + К-1+ (12)
n k=1 k г=1
m
I ^ ] (ain-2 ~ (П ~ Г i к = 1, kn, '-/?. = 2, 3, ….
i=1)
Суммируя уравнение (11) от 1 до к1, а уравнение (12) — от 1 до kn, а затем сложив полученные выражения вместо с (10), приходим к уравнению (9).
Отсюда следует, что если {й^}, к = 1, кп, п = 0,1,… — решение системы (10)-(12), то оно является решением уравнения (9).
Нетрудно заметить, что каждое уравнение системы (10)-(12) можно представить в виде
— k ^^ 1 — k ^n_ki _k rk (& lt- /-,
Unrr ^ Unr 2 Un Untt = JnVi4, (13)
Г r 2
где f'-k (r, t) определяются го предыдущих уравнений этой системы, при этом f1(r, t) = = 0.
Далее, из краевого условия (2) в силу (8), с учетом леммы 1 будем иметь
PiUn (r, 0) = ъип (г, а) + & lt-pn®, 0) = 72*4 (r, a) + tp%n®
w?(l, t) = k=l, kn, n = 0,1,…
В (13), (14) произведя замену v^(r, t) = v! n (r, t) — (t) получим
(14)
vknrr + ~^nr — + '-•'--// = fuir, t), (i5)
r
PiVnir, 0) = ъv*{r, a) + ^"®, p2v*t{r, 0) = j2a) + pk2n{r)
vkn (1,t) = 0, к = 1, kn, n = 0,1,
vL ® = & lt-pL ® + 72Ф& amp-Н — fa ФПМ
(16)
fuir, t) = fk (r, t) — itt + & lt-® = Ф1(г) + 1Ща) — /5^(0)
Произведя замену vk (r, t) = r 2 vk (r, t) задачу (15), (16) приведем к следующей задаче
Lvk = V^rr + V^tt + = /га (Y t), (17)
(r, 0) = (r, a) + ®, l32Vnt (Y 0) = 72*4(r, a) + ®,
u^(l, i) = 0, k= l, kn, /? = 0,1,…, 1 —

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой