Необходимые и достаточные условия разрешимости обратной задачи для оператора Штурма-Лиувилля на конечном отрезке с неинтегрируемой особенностью внутри интервала

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК 517. 927
НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ РАЗРЕШИМОСТИ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОПЕРАТОРА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ НА КОНЕЧНОМ ОТРЕЗКЕ С НЕИНТЕГРИРУЕМОЙ ОСОБЕННОСТЬЮ
ВНУТРИ ИНТЕРВАЛА
А. Е. Федосеев
Ассистент кафедры математической физики и вычислительной математики, Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского, fedoseev_ae@mail. ru
В данной статье исследуется обратная задача спектрального анализа восстановления оператора Штурма-Лиувилля на конечном отрезке с неинтегрируемой особенностью типа Бесселя внутри интервала по заданным спектральным данным. Получена конструктивная процедура решения обратной задачи, доказана единственность восстановления оператора по заданным спектральным данным, а также получены необходимые и достаточные условия разрешимости данной обратной задачи.
Ключевые слова: оператор Штурма-Лиувилля, обратная задача, неинтегрируемая особенность, функция Вейля, спектральные данные.
ВВЕДЕНИЕ
Рассмотрим дифференциальное уравнение:
1у = -у'-'- + (, Щ + ?(х))У = Ау, 0 & lt- х & lt- Т, (1)
(х — а)2 /
на конечном отрезке, с неинтегрируемой особенностью в точке, а & gt- 0. Здесь потенциал д (х) — комплекснозначная функция, ^ - комплексное число. Положим ^ = V2 — ¼ и для определенности Ие V & gt- 0, V = 1, 2,… Предположим, что д (х)|х — а|тт (0& gt-1−2Ке^ е ?(0,Т). Класс таких функций д (х) будем обозначать через Ш.
В данной статье исследуется краевая задача ^ = ^(?(х)) для дифференциального уравнения (1) с краевыми условиями:
у (0) = У (Т) = 0
и с дополнительным условием склейки решений около особой точки х = а. При этом рассматриваются произвольные в некотором смысле условия склейки, порождаемые матрицей перехода, А = [а^]'-, к=1,2, которая связывает решения уравнения (1) в окрестности особой точки (подробнее см. § 1). В частном случае, при (^ = 0) рассматриваемые условия склейки соответствуют условию
(а + 0) = А
(а — 0).
Целью данной работы является исследование нелинейной обратной задачи восстановления потенциала д (х) по заданным спектральным данным при условии что, а и матрица, А заданы и зафиксированы. Доказана единственность восстановления оператора Штурма-Лиувилля, получен алгоритм решения обратной задачи, а также необходимые и достаточные условия ее разрешимости. Метод оператора преобразования, используемый в [1,2] для классических операторов Штурма-Лиувилля, оказывается неудобным для задачи. В данной статье используется метод спектральных отображений [3,4].
1. СПЕКТРАЛЬНЫЕ ДАННЫЕ
Пусть, А = р2 и 1 т р & gt- 0. Рассмотрим функции
с (х, А) = (х — а)^'- ^ сзк (р (х — а))2к, з = 1, 2,
к=0
где ^ = (-1)'-'-V + ½, сюС20 = ^)-1, с]к = (-1)кс, о (П ((2* + ^)(2* + ^ - 1) — ^))
Здесь и в дальнейшем z^ = exp (p (ln|z| + i arg z)), argz e (-При x & gt- a и x & lt- a функции Cj (x, Л) являются решениями уравнения (1) при q (x) = 0. Пусть функции Sj (x, Л), j = 1, 2 являются решениями следующих интегральных уравнений при x & gt- a и x & lt- a:
Г x
Sj (x, Л) = Cj (x, Л) + / g (x, t, (t, Л) dt,
где д (ж, Л) = С^, Л) С2(ж, Л) — С (ж, Л) С2(^, Л). Функции Sj (ж, Л) образуют фундаментальную систему решений уравнения (1) и при каждом фиксированном ж являются целыми по Л порядка ½.
Пусть задана матрица, А = [а^]^к=1)2, det, А = 0 с комплексными а^. Введем функции {& lt-7j (ж, Л)}=1)2, ж е J- и, 3± = {±(ж — а) & gt- 0} по формуле
Oj (x, Л) = & lt-
sj
x e J-,
EakjSk (ж, Л), ж е. 1^=1
Определение 1. Будем говорить, что решение у (ж, Л) уравнения (1) удовлетворяет условию склейки порожденному матрицей перехода А, если у (ж, Л) может быть представлено в виде у (ж, Л) = ^2=1 X (А)7j (ж, Л), для всех ж е и где коэффициенты Xj (Л) не зависят от ж. Введем числа, к = 1, 2 по формуле
Си С12& quot- 1 & quot--aii e2niv + a22e-2niV -i (aiieniV — a22 e-niV)& quot-
. 61 62. 2 sin nv -i (aneniv — a22e-niv) aii — a22
Обозначим
С (ж, Л) = & lt-2 (0, Л)& lt-1 (ж, Л) — & lt-1 (0, Л)& lt-2 (ж, Л),? (ж, Л) = & lt-1 (0, Л)& lt-2 (ж, Л) — & lt-2 (0, Л)& lt-1(ж, Л).
Функции С (ж, Л), ?(ж, Л) являются решениями дифференциального уравнения (1) при ж е и удовлетворяют начальным условиям С (0, Л) = (0, Л) = 1, С'-(0, Л) = ?(0, Л) = 0.
Обозначим Д (Л) = ?(Т, Л).
Лемма 1. Функция Д (Л) является целой по Л и ее нули {Лп}п& gt-1 совпадают с собственными значениями краевой задачи.
Обозначим через тп кратность собственного значения Лп (Лп = Лп+1 = … = Лп+Шта-1) и положим
1 ди & quot- § = {п: п — 1 е N Лп-1 = Лп} и {1}, Я (ж, Л) = - дЛ^? (ж, Л), (ж) = Я (ж, Лп), п е §,
v = 0, mn — 1.
Потребуем, чтобы
aiie
2inv
= a22 •
(2)
Мы будем называть (2) условием регулярности склейки. Функция Д (Л) обладает следующими свойствами: 1) при |р| ^ го
Д (Л) = (Д"(Л) + К1)) —
где
До (Л) = - ?12 + 62е2гра + С21в2грТ — С11 е2гр (Т-а) —
(3)
(4)
2) существуют такие Н & gt- 0, С^ & gt- 0, что | Д (Л)| & gt- С^|р| 1е грТ, при 1 т р & gt- Н. Следовательно, нули функции Д (Л) лежат в полосе 1 т р & lt- Н-
3) число нулей N функции Д (Л) в прямоугольнике П = {р: 1 т р & lt- Н, Ие е [С, С + 1]} ограничено по С-
4) пусть Лп = р2п. Обозначим С5 = {р: |р — рп| & gt- 5, п & gt- 1}. Тогда |Д (Л)| & gt- С|р|-1е-грТ, р е С5-
5) существует последовательность чисел гN ^ го такая, что для достаточно малого 5 & gt- 0 окружности |р| = г N целиком лежат в С$ для всех N-
Рп = рП + О-) ¦ (5)
6) пусть {рП} - нули функции До (А) вида (4). Тогда, при п ^ ^
1
-рП -п
Пусть Ф (х, А) — решение уравнения (1) при условиях Ф (0, А) = 1, Ф (Т, А) = 0. Обозначим М (А) = Ф'-(0, А). Функции Ф (х, А) и М (А) называются решением Вейля и функцией Вейля для ^ соответственно.
Теорема 1. Зафиксируем п е 8. В окрестности точки, А = Ап функция Вейля М (А) имеет представление
т-1 М
М (А)= Е (л-^+угт + МП (А),
где шп — кратность Ап, МП (А) регулярна при, А = Ап, коэффициенты Мп+°, V = 0, шп — 1 вычисляются по формулам
— 1
а0, п а0, п
Мп+т" - 1 -V = - (& lt-п + У^ Мп+т" - 1 — к- к, п), V = 1, Шп — 1,
& quot-0,п 4 — 7
к=0
& lt-п := -1 С (°} (Т, Ап), & lt-п := (+1), Д (°+т}(Ап), V = 0, тп — 1
V• (V + Ш'-п) •
и справедливы следующие оценки:
|Мп+°|& lt- С|рп|°+2, п & gt- п*, V = 0, Шп — 1 ¦ (6)
Определение 2. Последовательность {Мп}п& gt-1 называется последовательностью Вейля, а набор О := {Ап, Мп}п& gt-1 называется спектральными данными.
Обратная задача. По заданным спектральным данным О := {Ап, Мп}п& gt-1 построить потенциал д (х).
2. РЕШЕНИЕ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ
Для исследования обратной задачи условимся, что наряду с ^ будем рассматривать краевую задачу ?? того же вида, но с другим потенциалом 7. Если некоторый символ 7 обозначает объект, относящийся к задаче, то соответствующий символ 7 с волной наверху будет обозначать аналогичный объект, относящийся к задаче ??, а 7 := 7 — 7.
Теорема 2. Если Ап = Лп, Мп = Мп, при всех п & gt- 1, то д (х) = 7(х) почти всюду при 0 & lt- х & lt- Т. Таким образом, задание спектральных данных {Ап, Мп} однозначно определяет потенциал д (х).
Перейдем теперь к построению решения обратной задачи. Будем говорить, что ^ е V, если д (х) е Ш. Обратную задачу будем решать в классе V.
Пусть заданы спектральные данные {Ап, Мп}п& gt-1 из обратной задачи и пусть ^ - некоторая модельная задача со спектральными данными О = {Лп, Мп}п& gt-1. Обозначим
Ап, 0 := АП 5 Ап, 1 := Лп 5 Мп, 0 := Мп 5 Мп, 1 := МП5
80 = 8, 81 = 8, шп 0 := шп, шп 1 := Шп,
?п+°, г (х) := Б°(х, Ап, г), & lt-Лп+°, г (х):= Л°(х, Ап,), п е, V = 0, Шп, — 1, Я = 0, 1, п (А) 1 (Б (х, А), Б (х, д)) п (А) 1 _(,)
^(х'-А'-^) := ПМ-А-й-'- (х'-А'-^) := ЯГТГдА^П (х'-А'-^)'-
тп -1
г+°, г := ^ |Мп+р, г |, п е 8, V = 0, Шп, — 1,
р=°
а
mn -1
Cn+v: — |Pn, 0 — Pn, 11 +
an+v, 0
p=v
|Mn+p, 0 — Mn+p,!
при n e S0 П S1, mn — mn, v — 0, mn — 1 и Cn : — 1 для остальных n. При i, j — 0,1, n e Sj положим
mn i — 1
1
p=v
An+v, i (x, A) ^^ Mn+p, iD0, p-v A, An, i), Pn+v, i-fc, j (x) — V! d^v A)
— 1
Bn + V, j A) : — ^ ^ ^^n+p, iSn+p- (x)7
p=v
A=An
(7)
где к & gt- 1, V = 0, тп, г — 1. Аналогично обозначим Б (ж, Л, р), Б (ж, Л, р), Ап+^г (ж, Л), Вп+^, г (ж, Л) и (ж), п & gt- 1, к & gt- 1, г, =0,1, заменяя? (ж, Л) на ?"& quot-(ж, Л) в веденных обозначениях. Выберем задачу ^ так, чтобы
Cfc («М + «м) & lt- го. Теорема 3. Имеют место следующие соотношения:
Е& lt-
k = 1
(8)
S? n, i (x) — Sn, i (x) — ^ (Pn, i-fc, 0(x)?fc, 0 (x) — pPn, i-fc, 1 (x)Sfc, 1 (x)), П & gt- 1, i — 0, 1,
(9)
k = 1
где ряд сходится абсолютно и равномерно по ж е [0, Т].
Пусть — - множество индексов и = (п, г), п & gt- 0, г = 0,1. Для каждого фиксированного ж е [0,Т] определим вектор
& quot-0(ж) = (ж))?еад = (^п, 0 (ж),^п, 1(ж))п& gt-1
(где T обозначает транспозицию) по формуле
n, 0 (xA — р0 fXn
(x)7 P4 0
Xn 1
Sn, 0 (x)N Sn, 1 (x)J '-
Xn=
Cn1, Cn — 0, 0, Cn — 0.
Если ^n& gt-0, & quot-0n>-1 даны, то Sn, 0 и Sn& gt-1 можно найти по формуле
Sn, 0(x) Sn, 1(x)
1 /Cn Л /^n, 0(x)
РП v 0 v V^n, 1(x)
(10)
Введем также блочную матрицу
Н (x) (HU-v (x))M, vGw
— / Hn, 0-k, 0 (x) Hn, 0-k, 1 (x)
Hn, 1-k, 0 (x) Hn, 1-k, 1 (x)
u — (n, i), v — (k, j),
n, k& gt-1
где
Hn, 0-k, 0 (x) Hn, 0-k, 1 (x)
Hn, 1-k, 0 (x) Hn, 1-k, 1 (x)/ pk V 0 W Pn, 1-fc, 0(x) Pn, 1-k, 1 (x^ -1
Аналогично определяются -0(x), H (x) заменой в предыдущих определениях Sn, j (x) на & lt-S, n, j (x) и
Pn, i-fc, j (x) на Pn, i-fc, j (x) —
Рассмотрим банахово пространство B ограниченных последовательностей вида v — [vu]u (Ew с нормой ||v||B — sup |vu|. При каждом фиксированном x e [0, a) U (a, T] матрицы H (x) и H (x) порождают
m? W
операторы Н (ж) и Н (ж) соответственно, действующие из В в В и являющиеся линейными ограниченными операторами.
1
Теорема 4. При каждом фиксированном x е [0, T] вектор -0(x) е B удовлетворяет соотноше-
^(x) = (I — Н (х)Жх) (11)
в банаховом пространстве B, где I — единичный оператор. В самом деле, запишем (9) в виде
те
Sn, o (x) — Sn, l (x) = Sn, 0(х) — (х) — ((pPn, 0-fc, 0(x) — Pn, 1-fc, 0(x)) (x) — Sk, i (x)) +
k = 1
+ (pPn, 0-M (x) — pPn, 1-fc, 0 (x) — Pn, 0-fc, l (x) + Pn, 1-fc, 1 (x)) Sjfe, 1 (x)) ,
те
Sn, 1 (x) = Sn, 1 (x) — ^ (-Pn, 1-fc, 0 (x)(Sk, 0 (x) — Sjfe, 1 (x)) + (-Pn, 1-fc, 0 (x) — Pn, 1-fc, 1 (x)) Sfc, 1(x)). k=1
Учитывая введенные обозначения, получаем
(x) =n, i (x) — Hn) i-fcj (x)^fc, j (x), (n, i) е w, (12)
что равносильно (11).
При каждом фиксированном x е [0, T] соотношение (11) можно рассматривать как линейное уравнение относительно -0(x). Это уравнение называется основным уравнением обратной задачи. Таким образом, нелинейная обратная задача сводится к решению линейного уравнения.
Теорема 5. При каждом фиксированном x е [0, a) U (a, T] оператор I-Н (x) имеет ограниченный обратный оператор, то есть основное уравнение (11) однозначно разрешимо. Используя решение основного уравнения, можно построить q (x). Обозначим
те
?0(x) := (?fc^x)^(x) — BM (x)Sk, 1(x^, e (x) := 2e0(x). (13)
j =1
Теорема 6. Имеет место соотношение
q (x) = g (x) + e (x). (14)
Таким образом, мы получили следующий алгоритм решения обратной задачи. Алгоритм. Заданы спектральные данные D = {An, Mn}.
(i) Выбираем L так, чтобы было справедливо (8) и строим -0(x), Н (x).
(ii) Находим -0(x) из уравнения (11)
и вычисляем Sn (x), n & gt- 1, j = 0,1 по формуле (10).
(iii) находим q (x) из формул (7), (13), (14).
Сформулируем теперь необходимые и достаточные условия разрешимости обратной задачи. Теорема 7. Для того чтобы комплексные числа {An, Mn} были спектральными данными для некоторой краевой задачи L е V, необходимо и достаточно, чтобы
1) существовала такая задача L, что справедливы (5), (6), (8) —
2) (Условие Р) при каждом фиксированном x е [0, a) U (а, T] линейный ограниченный оператор I — Н (x), действующий из B в B имеет ограниченный обратный-
3) e (x)|x — a|mm (°& gt-1−2Re v) е L (0,T), где функция e (x) строится по формуле (13).
Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект 13−01−134). Библиографический список
1. Марченко В. А. Операторы Штурма-Лиувилля и их 3. Юрко В. А. Введение в теорию обратных спектраль-приложения. Киев: Наук. думка, 1977. 330 с. ных задач. М.: Физматлит, 2007. 384 с.
4. Yurko V. A. Method of Spectral Mappings in the
2. Левитан Б. М. Обратные задачи Штурма-Лиувил- Inverse Problem Theory, Inverse and Ill-posed Problems ля. М.: Наука, 1984. 239 с. Series. Utrecht: VSP, 2002. 303 p.
Necessary and Sufficient Conditions for the Solvability of the Inverse Problem for Sturm-Liouville Operators with a Nonintegrable Singularity Inside a Finite Interval
A. E. Fedoseev
Saratov State University, Russia, 410 012, Saratov, Astrahanskaya st., 83, fedoseev_ae@mail. ru
The inverse spectral problem of recovering Sturm-Liouville operators on a finite interval with a nonintegrable Bessel-type singularity in an interior point from the given spectral data is studied. A corresponding uniqueness theorem is proved, a constructive procedure for the solution of the inverse problem is provided. Necessary and sufficient conditions for the solvability of the inverse problem are obtained.
Key words: Sturm-Liouville operators, inverse problems, nonintegrable singularity, Weyl function, spectral data.
References
1. Marchenko V. A. Sturm-Liouville operators and applications. Basel, Birkhiiser, 1986. 367 p. (Russ. ed.: Marchenko V. A. Operatory Shturma-Liuvillia i ikh prilozheniia. Kiev, Naukova Dumka, 1977. 331 p.)
2. Levitan B. M. Inverse Sturm-Liouville problems. Utrecht, VNU, 1987, 240 p. (Russ. ed.: Levitan B. M. Obratnye zadachi Shturma-Liuvillia. Moscow, Nauka, 1984, 239 p.)
3. Yurko V. A. Vvedenie v teoriiu obratnykh spekt-ral'-nykh zadach [Introduction to the theory of inverse spectral problems]. Moscow, Fizmatlit, 1984, 384 p. (in Russian).
4. Yurko V. A. Method of Spectral Mappings in the Inverse Problem Theory, Inverse and Ill-posed Problems Series. Utrecht, VSP, 2002, 303 p.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой