Необходимые нелокальные условия для диффузионно-волнового уравнения

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК 517. 95
НЕОБХОДИМЫЕ НЕЛОКАЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ ДЛЯ ДИФФУЗИОННО-ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ
© 2014 М.О. Мамчуев1
В статье исследуется диффузионно-волновое уравнение с производной дробного порядка в смысле Римана — Лиувилля. Вводятся интегральные операторы с функцией Райта в ядре, связанные с исследуемым уравнением, и исследуются свойства этих операторов. В терминах введенных операторов выписаны необходимые нелокальные условия, связывающие следы решения и его производных на границе прямоугольной области. Используя предельные свойства функции Райта, получены необходимые нелокальные условия для волнового уравнения. С помощью свойств интегральных операторов показана однозначная разрешимость задач с интегральным условием Самарского для диффузионно-волнового и волнового уравнений. Решения получены в явном виде.
Ключевые слова: диффузионно-волновое уравнение, волновое уравнение, уравнения с дробными производными, необходимые нелокальные условия, задача Самарского, производная дробного порядка.
Введение
В области И = {(х, у): 0 & lt-х & lt-1, 0 & lt-у & lt-Т} рассмотрим уравнение
ихх (х, у) — Ваи (х, у) = 0, (1)
где 0 & lt- а & lt- 2, — оператор дробного (в смысле Римана — Лиувилля) интегро-дифференцирования порядка 7 [1, с. 9].
Уравнения с производными дробного порядка возникают в математических моделях, описывающих различные процессы в средах с фрактальной геометрией (см., например [1, гл. 5]).
Уравнение (1) исследовалось в работах многих авторов. Более подробную библиографию по этому вопросу можно найти в монографии [2] и работе [3].
В работе [4] для уравнения (1) было выписано фундаментальное решение Г (х — г, у — 8), где
Г () Ув-1 (1×1^ (2)
Г (х, у) = - ув), (2)
в = а/2, в1 в (г) — функция Райта.
¦'--Мамчуев Мурат Османович (mamchuev@rambler. ru), отдел математической физики фракталов Научно-исследовательского института прикладной математики и автоматизации Кабардино-Балкарского научного центра Российской академии наук, 360 000, Российская Федерация, г. Нальчик, ул. Шортанова, 89а.
Пусть п? {1,2} выбрано из условия п — 1 & lt- а € п. Регулярным решением уравнения (1) в области П называется функция и = и (х, у) из класса Па-ки (х, у)? ? С (П), 1 € к € п, иХХ (х, у), и (х, у)? С (П), удовлетворяющая уравнению (1) во всех точках (х, у)? П [2, с. 103].
1. Интегральные операторы, связанные с диффузионно-волновым уравнением
Введем в рассмотрение операторы МХ^^ и К-О'-у, которые действуют по формулам
Х2
2 (У-^
Х2
М1ХУ V (х) = Ц и (1)у°-1ев (-?1,
К-оУм (у) = 2 У м (в)(у — в)0 Мв (- (
(у — в) в
?в.
(3)
(4)
Справедливы следующие свойства операторов М^ Х'-2У и. Свойство 1. Для любых Х1 & gt- 0, Х2 & gt- 0 справедливо равенство
(2П%Х& gt-) (22П90'-Х2) м (у) = 2П0+в'-Х 1+Х2м (у). (5)
Свойство 2. Пусть, а ^ 0, 6 + в & gt- 0, в + в & gt- 0, тогда имеет место равенство
Ь € 0,
П°0'-МЬ'-У т (х) = 1
М0+в'-Ь-а'-Ут (х),
хг0+в, а+Ь, у. кг0+в, Ь-а, у М 0Ь + МЬ1
М0+9'-а+Ь'-У т (х),
т (х), 0 & lt-Ь & lt-1,
Ь & gt- I.
Свойство 3. Пусть у1 и/л (у)? С[0, Т], V + 6 ^ 0, тогда
Кп0 ио'-Хм (у) = 1п -у0 м (у).
х0
Свойство 4. Пусть т (х)? С[0, Т], тогда
УПо Поу Мо1 т (х) = 2, к& lt-п.
1 т (х), к = п,
у^о
Свойство 5. Справедливо равенство
(6)
(7)
К-ОУКу*)^ = ±
V
в+в, а _ 0+в, а±1
м (у).
Свойство 6. Имеют место равенства
М0а±Х'-ут (х^х = ±^п, а М0+в'-а'-у -М°о+в'-а±1'-Л т (х),
N01 Х'-у т (х)йх =
М0+вО& gt-у -М0+в'--1'-у
(х),
Х
х
0
т (x)dx = - NS0+?'-°'-y -N+?'-l'-y] т (x) +
У
S+?-l
т (x)dx.
и 01 Гу°г & quot-<-н ¦ Г (г + в)
о о
Для доказательства свойств 1 и 2 достаточно изменить порядок интегрирования, воспользоваться определениями операторов и М®'-Х'-У и формулой свертки функций Райта [2, с. 30]
y
/^eй (-р) (У — ^Ч^--
Х2
(y — ?)с

S±-1e{-Sa+^-Х1У+Х), Vxi, x2 & gt- 0.
(8)
Свойство 3 доказано в [2, с. 35]. Свойство 4 следует из формул [2, с. 24−27]
DWy (-cy-?) = yS-v-1e^y (-cy-?), c& gt- 0, S +? & gt- 0,
, S-V-1″ ?-S — V
(9)
U-S { u-aS+? f, (z) = e & gt- ^
a,?
a,?
(z) —
Г (/ - a) r (S + ?)'-
1 os (t rU a ~te"?-)dt = - r (S)
(10) (11)
и оценки [2, с. 29]
-к, S-K U-S
x^ y e
a,?

& lt- Cx"-ae-1yS+?e-1
(12)
где в? [-1,1] при 6 = 0- в? [0, 2] при л = 1- в? [-1, 2] при л = 0- С — положительная константа, не зависящая от в.
Для доказательства свойств 5 и 6 достаточно воспользоваться определениями операторов К^Х и №^{Х'-У, (10) и формулой [2, с. 27]
DVVx
xr-1euaS? (-cxa) =
ea,?
(-cxa), / & gt- 0, c& gt- 0.
В силу (6) из свойств 1 и 2 следуют равенства
D-y R0v/(y) = R0vDoS/(y) = Ro+в-X/(У),
D-S N0f-y v (x) = NS+e-X-y v (x).
(13)
(14)
(15)
y
1
о
a
x
?
y
2. Необходимые нелокальные условия
для диффузионно-волнового уравнения
Справедлива следующая
Теорема 1. Пусть u = u (x, y) регулярное в области О решение уравнения (1), удовлетворяющее условию
lim D ay-k u (x, y) = тк (x), 1 & lt- к & lt- n, 0 & lt-x<-l, (16)
y^ Q y
ux? C ([0, l] x (0, T)) и ux (0,y), ux (l, y)? L[0, T]. Тогда функция u (x, y) удовлетворяет нелокальным условиям:
^(0, у) = К-к+1'-°'-Ути (г) + их (1, в) — В-их (0, в) + 2П00'-Уи (1, в), (17)
к=1 п
1(1,у) = 2^2К-к+1'-1'-уТк (г) — 2^в^их (0,в) + В-вих (1,в)+2Я°'-У-и (0,в). (18)
к = 1
Доказательство. Воспользуемся общим представлением решения уравнения (1) в прямоугольной области [2, е. 116]. Полагая в нем у (х, у- г, в) = Г (х — г, у — в), получим
Х2
пк — 1
г (х, у) = ^2(-1)к-1 Тк (г) д^т Г (х — 1, у)А+
7"_ Л & quot-
к=1 Х1
2 У
+ ^2(- 1) г ! [Г (х — Х1, у — в) щ (хи в) — Г^х — Хг, у — в) и (хг, в)]*в. (19)
г=1 о
Используя (2) и то, что в силу (9), (10), (13),
д в^п (х -г) 1 ^ / |х -г — Г (х — г, у — в) =-2--еЦ-(у-в)
-(у — в) р-у-1 (_1
двГ (х — г, у — в) = - 22 е1, р) '-
равенство (19) можно переписать в виде
П Х2
I 1 ^ С Тк (г) 1,/3-к+1 [ 1х -г1м,
(х, у) = 2 2^] у- е1 В ^-у^) *+
к=1х1
У У
+ 1- !щ (х2"веЦ (-ххи^ав — - !щ (х1веУй (- х — х1д 1*в+
2} (у — в)1-в 1'-Ч (у — в) в 2} (у — в)1-в 1-Ч (у — в) в
о о
УУ
1 [и (х2,в) 1, о { х2 — хА ,. 1 [ и (х1,в) 1,0 { х — х1 |, /опх
+2 У Т-7-е1Л-(у-вв) *в + ~2 У Т-7-е1Л-(-в) (20)
оо В терминах операторов (3) и (4) равенство (20) примет вид
& lt-(х, у) =? +1ХУ Тк (г) + ПвуХ2-Хиг (х2,в) -Пв0уХ-Х1 щ (хх, в)+
к=1
+П°о'-уХ2-Хи (х2, в) + п0'-уХ-Х1 и (х1, в). (21)
оУ
Пользуясь тем, что в силу свойства 3 преобразования
Ит К-оу^Ы = 1 Воу И (У),ОуХИ (у) = ^(у
Х^о & quot- 2 Х^о & quot-
из (21) получим
п
1 и (хл, у) =? К-Хк2+1'-Х1'-у Тк (г) + К& amp-2-Х1 щ (х2, в) —
2
к=1
п
и
-2щ (хъ 8) + КуХ2-Х1 П (Х2, 8), (22)
1 п
2и (х2,у) = ?Мвхк+1х, утк (г) — пв0уХ2-Х1 8)+ к=1
+ 1 Б-щ (х2, 8) + п0УХ2-Х1 и (хи 8). (23)
Переходя в равенствах (22) и (23) к пределам при (х1,х2) ^ (0,1), получим (17) и (18). Теорема 1 доказана.
При, а = 1 условия (17) и (18) совпадают с необходимыми нелокальными условиями для уравнения Фурье [5, с. 275].
3. Необходимые нелокальные условия для волнового уравнения
Имеет место следующая лемма [3].
Лемма 1. Пусть функция д (г) абсолютно интегрируема на любом конечном интервале полуоси г & gt- 0, непрерывна в точке г = 1 и растет при г ^ ж не быстрее, чем ехр{аг5}, а & gt- 0, 3 & lt- ¦ Тогда
^ то 1
\rnj д (г)е'-в (-г)й = д (1), irnj д (г)вв (-г)сИ = ! д (1)"1. 0 0 0 Используя лемму 1, перейдем в равенствах (17) и (18) к пределу при, а ^ 2. Для этого перепишем условия (17) и (18) в следующем виде:
I I
в лл, & lt-г. в-2 1,0−1 I ?
& gt-(0,у) = 1 Т1(0ув-1еЦ (--в) «в + 1 Т2(0Ув-2еЦ-1 (-в) «
00 у / у
Г их (1,у) 1Ф (__[_А «[ их (0,у)
+ 1(у — п) — е1вК (у — п) р) «п пв)1 (у — п) — «п+
00
у
5
+ У У-П)V (-«п = ?ш, (24)
0 г=1 I I
& lt-1,у) = ! Т1(?)ув-1е1 В (--) «в + ! Т2(С)ув-2е{'-У (- -) «?00 уу
г их (0,у) 1Ф (__[_А «п + I их (1,у) «
I (у — п)1-в е1в{ (у — п) в) «п +Т (в)] (у — п)1-в «п+
00 у5
+ / и-) — (-)в) «п = X * (у). (25)
0 г=1

Далее преобразуем интегралы 1 г (у)
I 1/ув
Ш=/ Т1(0ув-1еЦ (-ув) «С = Т1(ув п) у213−1еЦ (-п)"п =
то
= J Ti (y?n)y2?-14'-??(-n)H (l — y? n)dn,
i i
Ш = j — ?) dt = dyj T2(Oy?-le: ?? (-y?) dt,
0 0
y
'-'-? (- U-F) dn = ! — (l-y — m *) W el? {~ж
0 i/y?
TO
= j ux (l, y — (l/?)el: ?(-?)H (? — l/y?)d?,
Г и (0,П) i: 0 (l ,
l5(y) = j ei:? У-T-W) dn =
0
TO
1
Ju (l, y — (l/?)e?el: ?(-?)H (? — l/y?)d?-
0
Пользуясь леммой 1, получим следующие соотношения:
1y
?im Ii (y) = j n (yn)H (l — yV) ydV = j Ti (?)H (l — ?)d? =
Ti (?)H (y — ?)d?, (26)
lim I2(y) = d? T2(?)H (l — ?)d? = T2(y)H (l — y), (27)
?^i dy J
0 y
lim 13 (y)= f ux (l, y — l/tu h (t — l/y)d?
?^i j ?2 0
i y-i
= H (y — l) j Ux (l, y — l/?)d? = H (y — l) j ux (l, n) dn, (28)
i/y 0
lim I5(y) = u (l, y — l) H (y — l), (29)
?^i
где H (x) — функция Хевисайда.
Аналогично для слагаемых в правой части (25) получим
i
lim Ji (y)= I Ti (?)H (?)d?, (зо)
?^i J
i-y
i
lim J2(y) = d I T2(?)H (?)d? = T2(l — y) H (l — y), (31)
?^i dy J
i-y
0
0
0
0
y-l
lim J3(y) = H (y — l) f ux (0,V)dV, (32)
?^1 J
0
lim J5(y) = u (0,y — l) H (y — l). (33)
?^i
Используя соотношения (26) — (33), из (24) и (25) получим необходимые нелокальные условия для волнового уравнения:
l y-l
u (0,y) = j Ti (t)H (y — t) dt + T2(y)H (l — y)+ H (y — l) j ux (l, s) ds-
00 y
— J ux (0, s) ds + u (l, y — l) H (y — l),
0
l y-l
u (l, y)= j Ti (t)H (t)dt + T2(l — y) H (l — y) — H (y — l) j ux (0,s)ds+
l-y 0
y
+ J ux (l, s) ds + u (0,y — l) H (y — l).
0
При y ^ l условия примут вид:
yy
u (0,y)= j ti (t)dt + T2(y) — J ux (0,s)ds, (34)
00 ly
u (l, y)= J Ti (t)dt + T2(l — y)+J ux (l, s) ds. (35)
l-y 0
При y ^ l имеем
y-l y
i (0,y) = J T1(t)dt + J ux (l, s) ds — J ux (0,s)ds + u (l, y — l), (36)
ux (l, s) ds — J ux
0 0 0 l y-l y
и (1,у) = J тх^А — J ux (0,s)ds + У их (1,а)3,а + и (0,у — I). (37)
0 0 0 Для случая I = Т условия (34) и (35) получены в работе [6].
4. Задача Самарского
4.1. Постановка задачи и формулировка результата
Пользуясь доказанной теоремой 1, исследуем задачу Самарского для уравнения (1) в следующей постановке.
Задача 1. В области П найти решение и (х, у) уравнения (1), удовлетворяющее условию (16) и краевым условиям:
оЛи{0,у) + а2и (1,у) = ф (у), 0 & lt-у & lt- Т, (38)
J u (x, y) dx = p (y), 0 & lt-y & lt- T,
(39)
где Tk (x), ф (у), ц (у) — заданные функции, a1, a2 — заданные числа, причем ai = a2.
Условие (39) принято называть условием Самарского [5, с. 140].
В работе [7] в случае, когда 0 & lt- а & lt- 1, ai = 1, a2 =0, ?л (у) = const ya-1, а условие (16) задано в локальном виде, задача 1 была исследована методом Фурье.
Обозначим C1, q [0,/] - простанство непрерывно дифференцируемых на [0,/] функций, удовлетворяющих условию Гельдера с показателем q.
Имеет место следующая
Теорема 2. Пусть т1(х) € C[0,/]- т2(х) € Ci'-q[0,/], q & gt- -, при n = 2- уп-аф (у) е C[0,T], Daц (у) € C[0,T] и выполняются условия согласования
lim Dа-пф (у) = aiT"(0) + a2Tn (/),
y-у 0 y
(40)
lim Da kц (у) = Tk (x)dx, k = 1, n. y- y
(41)
Тогда существует единственное регулярное в области О решение задачи 1. Решение имеет вид
п то
Tk (x) —
k=1 т= - то
(x, y) =? ]Г Ne-k+1'-2ml+x'-y — Nel-k+1'-2ml-x'-y
то
Ы, rt Л Ty0,2ml — 2l+x Ty0,2ml — x + 2 R0y — R
г) Л Lt-^0,2ml — l+x sT-& gt-0,2ml — l — x R0y — R
m=1
0y

m=1
0y
ф0(у), (42)
где
ф0(у) = ---Ф (у) ±-1-ф (y), ф1(у) = ---Ф (у) ±-1-ф (y),
a2 — a1
n
a2 — a1
a1 — a2
a1 — a2
+
^(у) = 2Е Е К-к+1т1'-утк (о+4? ^-утЧ& gt-(у) + (43)
к=1 т= - ж т=1
Доказательство. Интегрируя обе части равенства (1) по х с учетом условия (39), придем к условию
пх (1, у) — пх (0, у) = Dayм (у), 0 & lt- у & lt- Т. (44)
Из (17) и (18) с учетом условий (38) и (44) относительно функции ф (у) = п (0,у) + + п (1, у) получим
-'- (45)
ф (у) — 2R '-уФ (п) = Ф (у),
где
Ф (у) = 2^ [Nt0'-y + Kk, l, y тк (0+2 k=1
v0,0 +v e, l
'- 0y + R0y
D°0y My),
5k = в — k +1.
Покажем, что уп-аФ (у) € C[0, T]. Поскольку Tk (x) € C[0,/], то в силу формул (13) и (10) получим
l
& lt--k+1'-x'-y Tk (t) = ?J Tk (t)y- e1S-k+1(- -1--) dt & lt-
0
0
u
n
^ М? у- е]'-в-к+1(-Х — ^
& quot- 1, в
М
2в-ке1, 2в-к+1 2 & quot- е1 • в
& amp- = - у& quot-^ '-& quot-е
х — г

г=
1=0
где М = тах Тк (х). Из последнего и оценки
же[о, г]
уа-к е1 — Гк+1 -ху-в)
& lt- Сх-ву (а-к+т+е)-1,
(46)
справедливой в силу (12), следует, что ук к+1-Х, утк (?)? С[0,Т], к = 1, п. Из
того, что П%уц (у)? С[0, Т], следует, что В-увВ^р (у), Пву1 В^р (у)? С[0,Т].
Уравнение (45) является уравнением Вольтерра второго рода. Легко видеть, что его единственное решение можно выписать в виде
ф (у) = 2^ П0Г1ф (п).
Действительно, в силу (5)
то
ф (у) — 2П0оф (п) = +22 & lt-ут1Ф (п) — 4? ^0^°0ут1Ф (п) =
т=0 уО
т=0
= Ф (у) + 2? Кут1Ф (п) — 2? п0-Г+1)1*(п) =
т=1
т=0
то
Ф (у) + 2? КУТФп) — 2? КУТФп) = ф (у).
т=1
Равенство (47) можно записать в виде
у
т=1
Ф (у) = Ф (у) + ш (у —
(47)
где
ш (у) = ?
(-1)п
е1−0 е1-в
п1

Из оценки (12) следует
уа-ке1-М
у е1-в ув
& lt- С (ш1)-вувв-1, в? [0, 2].
Из последнего получим
тото
у1-вш (у)| & lt- су1-ву2в-1? т=увС? т¦
I I I2 т2 ?2 т2
п=1 п=1
Таким образом, у1-вШ (у)? С[0,Т], а уп-аф (у)? С[0,Т].
Пользуясь (47) и свойствами 1 и 2, запишем решение уравнения (45) в виде
п
Ф (У) = 2^Т. [N0
к=1 т=0
то
+22 Ывут1 + & lt-
?к --т1-у + ^0& gt-к -(т+1)1-у
Тк (0 +
В°0у Ц (у).
у
у
0
т
0
в
у
у
п
т
Из последнего, пользуясь свойством 3, получим (43). После того как найдено ф (у), из системы
и (0, у) + и (1, у) = ф (у), а1п (0, у) + а2и (1, у) = ф (у)
при а1 = а2 однозначно находим и (0,у) и и (1,у),
и (0, у) = ф (у) + ф (у) = ф0(у), (48)
а2 — а1 а2 — а1
и (1, у) = а1 ф (у) ±1-ф (у) = Ф1(у). (49)
а1 — а2 а1 — а2
Очевидно, что функции уп-афо (у), уп-аф1(у) € С[0,Т].
Для того чтобы уп-аи (х, у) € С (О,), необходимо, чтобы выполнялись условия
lim. Ва-пф0(у) = тп (0), lim D^My) = rn (l). (50)
Покажем это. Из равенств (48) и (49) следует, что
L Т
Oy
таУ-пм. у) = тау-пфу ±Da4-nrty), (51)
у а.2 — ai & quot- а2 — ai
Т0-пФ1(у) = ^^ Т0-пф (у) ±Т0-пф (у). (52)
& quot- ai — а, 2 ai — a2
Из (43) в силу (14) и (15) имеем
п
та-пф (у) = 2 J2 Е Da0-nNs0t'-ml'-yтк (о+
п
k=1 т= - то
nn-?'-mlDo0yм (у) + D?-nDayМ (у). (53)
Равенство (53) вместе с соотношением (7) приводят к
lim Dа-пф (у) = тп (0) + тп (1), (54)
y^ O & quot-
Из (40), (51), (52) и (54) следует (50).
Таким образом, решение задачи 1 редуцируется к решению первой краевой задачи (16), (48), (49), для уравнения (1), которое имеет вид [2, с. 123]
i
dk-1
и (х, у) = ^(- 1) к-1 тк (0) ^^ С (х, у- 0, 0У%+ к=1 0 п У У
+ ! О^(х, у-0,ц)и (0,ц)^ - J О^(х, у- 1, ц)и (1,ц)^, (55)
о о
то
где О (х, у- 0, п) = 12 [Г (2т1 + х — 0, у — п) — Г (2т1 — х — 0, у — г/)].
т=-то
Очевидно, что (55) удовлетворяет уравнению (1) и условиям (16), (38). Покажем, что (55) удовлетворяет условию (39). В терминах операторов (3) и (4) решение (55) можно записать в виде (42) или
п то
и (х, у)=[м^'-2т1+х'-у-м^'-2т1-х'-у '--2т1+х'-у Тк (х)+
к = 1 т=1
m

k=1
y0,2ml-l-x уп 0,2ml-l+x — R0y
Ф1(у)+
R
m=1
0,2ml-2l+x -T-)0,2ml-x — '-Vi,
ф0(у) —
(56)
Проинтегрируем равенство (56) на отрезке [0,1] по переменной х. В силу свойств 5 и 6 получим
n ^о
i{x, y) dx = 2^ ?(-!)
m+1
k=1 m=1 l
Nl+^'-(m+1)l, y + N0+?'--ml, y
Tk (x) +
11°+& quot--1 Г
+ Тк{х)3'-Х + Жву + Ф (У), (57)
к=1 (+в) 0 т=1
где ф (у) = ф0(у) + Фч (у) решение уравнения Вольтерра (45). Из (47) имеем
2П0уоф (у) = Б-ф (у) = 2? П0ут1 Ф (у).
т=0
Преобразуем последние два слагаемых в правой части (57) с помощью (5)
то
2П0'-у0Ф (у)+^(-1)т^°о'-Г1Б--ув Ф (У) =
m=1
то
= 2? п0ут1Ф (у) + 8? (-1)тп0та^ п0у1Ф (у) =
m=0 m=1 s=0
то то m
= 2? R? yml^(y) + 8? J2(-1)SR°o^lR?0y^m-s)lФ (у) =
m=0 m=1 s=1
то то m
= 2? RoymlФ (у) + 4? П^Ф^^-У =
m=0 m=1 s=1
то то то
2П00уОФ (У) + 2? П^фу + ^ П^ФЬ) — 4? Ry2^Ф (У)
1
1
1
= 2П0у0Ф (у) + 22−1)^^) = 22(-1)т^-00УП1Ф (у) — (58)
m=1
m=1
Обозначив ?11 (у) = D-0D$y??(у) и пользуясь свойствами преобразования Rgy0, получим
то то то
2? -гпО^Фу = 2? мг^иЫ + 2? (-1)тп0у{т+1)111(у)+
m=1 m=1 m=1
то n
+2j2(-i)mR?yml2Yl [Nt0'-y+Wk, l, y] Tk (o = D-y? 11(у)+
m=0 k=1
n то
+2^J2-!)m Wm +?'--mly + +?'-(m+1)l'-y] Tk (0- (59)
k =1 m=0
m
0
m
m
m
Учитывая, что в силу аналога формулы Ньютона — Лейбница в дробном исчислении [1, с. 11],
в-И1(у) = в-уаваУку) = ку) —? у™ ва-кКу),
из (57), (58) и (59) получим, что
I I
г & quot- у& amp-к+в-1 г
у и{х, у) ах = к (у) + 22 + в) у тк (х)^х — УШ1 В^у-кк (у) о к=1 [о
Таким образом, функция и (х, у) удовлетворяет условию Самарского при выполнений условий согласования (41). Теорема 2 доказана.
4.2. Задача Самарского для волнового уравнения
Рассмотрим задачу 1 при, а = 2, а, 1 = 1, а2 =0 и Т & lt- I. В общем случае задача решается аналогично.
Задача 2. Найти решение уравнения
ихх — иуу =0, (60)
удовлетворяющее условиям
и (х, 0) = т (х), иу (х, 0) = х), 0 & lt- х & lt- I, I
и (0, у) = Фо (у), ! и (х, у) ё, х = к (у), 0 & lt- у & lt- Т & lt- I.
о
где т (х), V (х), фо (у), к (у) — заданные функции.
Для волнового уравнения задача 2 методом редукции к задаче с условием Бицадзе — Самарского исследовалась в работе [10]. Из (34) и (35) с учетом равенства
у
J [их (1, э) — их (0, = К (у) — К (0)
у
[их (1, 3) — иху
о
выразим значение и (1, у) через данные задачи 2: у I
и (1,у) = ! V (t)dt + I v (t)dt + т (у) + т (I — у)+ к (у) — К (0) — фо (у) = Ф1(у).
0 1-у
Таким образом, задача 2 свелась к смешанной краевой задаче для уравнения (60), решение которой имеет вид [11, с. 70]
х + у
и (х, у) = т (х + у) + т (х — у) +1 I v (t)dt + Фо (у — х) — ф1(у + х — I), (61)
х-у
где Фо (у) = Фо (у)Н (у), ф (у) = ф1(у)Н (у), Н (у) — функция Хевисайда, причем т (-х) = -т (х), т (21 — х) = -т (х), V (-х) = -V (х), V (21 — х) = -V (х). (62)
Очевидно, что (61) является решением уравнения (60), а также то, что выполняются первые три условия задачи 2.
Покажем, что выполняется четвертое. Проинтегрируем равенство (61) по переменной х в пределах от 0 до I
I I I х+у I
J и (х, у) йх =2 J [т (х + у) + Т (х — у) Цх +2 ^ ! V + J ф0(у — х) йх+
0 0 0 х-у 0
I
+ ^ ф (у + х — 1) йх = II + 12 + 1з + 14. (63)
0
Преобразуя интегралы I?. (к = 2, 4) с учетом равенств (62), получим
I 1+у 0 1-у 1-у
211 = ! т (г)?г — ! т (21 — г) ?г — ^ т (-г) ?г + J т (г) ?г = 2 ^ т (г) ?г, (64)
у I -у -у у
0 1-у у I
212 = J (г + у) и (ь)аъ + I (г + у) и (ь)аъ + ^?V (г)з, г +у (I — г + у) и (г)з, г+
-у 0 1-у у
1-у у 1-у I
+ У (I — г + у^(г)А = 2 ! ^(г)скь + 2 J yv (t)dt + 2 ! (I — гу (г)в, г, (65) I 0 у 1-у
уу
1з = 1 ф0(у — x) dx = ! ф0(г^г, (66)
00 у у I
14 = J фь (у + х — ^?х = ! ф1 (г)?г = !(у — гу (г^г + ^ (у + г — ?у (^?г+
00 I у у
х
1-у 0 0 1-у
у I у
+ ! т (в)?в +У т (в)?в — ! Ф0 (в) ?в + ??(у) — ??(0) — ??'-(0)у. (67)
0 1-у 0
В силу (64)-(67), из (63) получим
I / у 1-у ?
! и (х, у)?х = II +12 + 1з +14 = J + / + / | т (г)?г — ц (0)+
0 у 1-у /
/у 1-у I
+ / +1 + 1 I V (г'-^г — № + ?(у) —
у 1-у)
Из последнего видно, что при выполнении условий согласования
I I
J т^?х = [?(0), J V^?х = [(0),
00
функция (61) удовлетворяет условию
i
j u (x, y) dx = ??(у).
о
Литература
[1] Нахушев А. М. Дробное исчисление и его применение. М.: Физматлит, 2003. 272 с.
[2] Псху А. В. Уравнения в частных производных дробного порядка. М.: Наука, 2005. 199 с.
[3] Псху А. В. Фундаментальное решение диффузионно-волнового уравнения дробного порядка // Известия РАН. Серия математическая. 2009. Т. 73. № 2. С. 141−182.
[4] Геккиева С. Х. Задача Коши для обобщенного уравнения переноса с дробной по времени производной // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2000. Т. 5. № 1. С. 16−19.
[5] Нахушев А. М. Уравнения математической биологии. M.: Высш. шк., 1995. 301 с.
[6] Нахушева З. А. Об одной задаче А. А. Дезина для уравнения смешанного типа с разрывными коэффициентами // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2006. Т. 8. № 2. С. 49−56.
[7] Нахушева З. А. Видоизмененная задача Самарского для нелокального диффузионного уравнения // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 1997. Т. 2. № 2. С. 36−41.
[8] Псху А. В. Решение краевых задач для уравнения диффузии дробного порядка методом функции Грина // Дифференциальные уравнения. 2003. Т. 39. № 10. С. 1430−1433.
[9] Нахушев А. М. Задачи со смещением для уравнений в частных производных. M.: Наука, 2006. 287с.
[10] Бейлин С. А. Смешанные задачи с интегральными условиями для волнового уравнения: дис. … канд. физ. -мат. наук. Самара, 2005.
[11] Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972. 735 с.
References
[1] Nakhushev A.M. Fractional calculus and its applications. M., Fizmatlit, 2003, 272 p. (in Russian)
[2] Pskhu A.V. Fractional partial differential equations. M., Nauka, 2005, 199 p. (in Russian)
[3] Pskhu A.V. Fundamental solution of diffusion-wave equation of fractional order. Izvestiya RAN. Seriia mathemathicheskaia [Proceedings of the RAS. Mathematical Series], 2009, Vol. 73, no. 2, pp. 141−182. (in Russian)
[4] Gekkieva S. Kh. Cauchy problem for generalized equation of displacemant with fractal time derivative. Doklady Adygskoi (Cherkesskoi) Mezhdunarodnoi akademii nauk [Reports of Circassian International Academy of Sciences], 2000, Vol. 5, no. 1, pp. 16−19. (in Russian)
[5] Nakhushev A.M. Equations of mathematical biology. M.: Vysshaiia shkola, 1995, 301 p. (in Russian)
[6] Nakhusheva Z.A. On one A.A. Dezin problem for mixed type equation with disconnected coefficients. Doklady Adygskoi (Cherkesskoi) Mezhdunarodnoi akademii nauk [Reports of Circassian International Academy of Sciences], 2006, Vol. 8, no. 2, pp. 49−56. (in Russian)
[7] Nakhusheva Z.A. Modified problem of Samarskiy for non-local diffusion equation. Doklady Adygskoi (Cherkesskoi) Mezhdunarodnoi akademii nauk [Reports of Circassian International Academy of Sciences], 1997, Vol. 2, no. 2, pp. 36−41 (in Russian)
[8] Pskhu A.V. Solution of boundary value problems for fractional diffusion equation by the Green function method. Differentsial'-nye uravneniia [Differential Equations], 2003, Vol. 39, no. 10, pp. 1430−1433. (in Russian)
[9] Nakhushev A.M. Problems with shift for partial differential equations. M., Nauka, 2006, 287 p. (in Russian)
[10] Beylin S.A. Smeshannye zadachi s integral'-nymi usloviiami dlia volnovogo uravneniia: dis. … kand. fiz. -mat. nauk [Mixed problems with integral conditions for wave equation: Candidate'-s of Physico-Mathematical Sciences Thesis]. Samara, 2005, 111 p. (in Russian)
[11] Tikhonov A.N., Samarsky A.A. Equations of mathematical physics. M., Nauka, 1972. 735 p. (in Russian)
Поступила в редакцию 20/777/2014- в окончательном варианте — 20/777/2014.
NECESSARY NON-LOCAL CONDITIONS FOR A DIFFUSION-WAVE EQUATION
© 2014 M.O. Mamchuev2
In this article, diffusion-wave equation with fractional derivative in Rieman-n-Liouville sense is investigated. Integral operators with the Write function in the kernel associated with the investigational equation are introduced. In terms of these operators necessary non-local conditions binding traces of solution and its derivatives on the boundary of a rectangular domain are found. Necessary non-local conditions for the wave are obtained by using the limiting properties of Write function. By using the integral operator'-s properties the theorem of existence and uniqueness of solution of the problem with integral Samarski'-s condition for the diffusion-wave equation is proved. The solution is obtained in explicit form.
Key words: diffusion-wave equation, wave equation, fractional differential equations, necessary non-local conditions, Samarski'-s problem, derivative of fractional order.
Paper received 20/777/2014. Paper accepted 20/777/2014.
2Mamchuev Murat Osmanovich (mamchuev@rambler. ru), the Dept. of Mathematical Physics of Fractals, Research Institute of Applied Mathematics and Automation of Kabardino-Balkar Scientific Centre of RAS, Nalchik, 360 000, Russian Federation

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой