Помехозащищенный метод определения параметров линейной динамической системы на основе импульсной характеристики

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Общие и комплексные проблемы технических и прикладных наук и отраслей народного хозяйства


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

ВЕСТН. САМАР. ГОС. ТЕХН. УН-ТА. СЕР. ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ. 2007. № 1(14)
Математическое моделирование
УДК 519. 246 В. Е. Зотеев
ПОМЕХОЗАЩИЩЕННЫЙ МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ ЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ НА ОСНОВЕ ИМПУЛЬСНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ
Рассматривается метод параметрической идентификации линейной динамической системы, в основе которого лежит стохастическое разностное уравнение, описывающее последовательность результатов измерений мгновенных значений импульсной характеристики системы. Алгоритм метода включает итерационную процедуру, позволяющую практически устранить смещение оценок коэффициентов стохастического разностного уравнения, и тем самым существенно повысить точность вычислений параметров системы.
Проблема параметрической идентификации линейной динамической системы является одной из важнейших в математическом моделировании. При описании линейного динамического объекта в задачах управления, оптимизации или прогнозирования обычно используется его передаточная функция W (p), которая, по сути, представляет собой изображение импульсной переходной (весовой) функции — реакции системы на импульсное (ударное) воздействие [1, 2]. Динамические характеристики линейной системы, непосредственно связанные с коэффициентами соответствующего однородного дифференциального уравнения, вполне могут быть описаны через параметры импульсной переходной функции (импульсной характеристики системы). Поэтому среди известных методов параметрической идентификации особое место занимают относительно простые, но, в то же время, эффективные методы, в основе которых лежит измерение мгновенных значений импульсной характеристики системы. В частности, при определении динамических характеристик колебательных систем широко применяется метод затухающих колебаний, который заключается в записи виброграмм свободных колебаний диссипа-тивной системы и определении по ним логарифмического декремента колебаний [3]. Однако часто алгоритмы, используемые при определении параметров линейной динамической системы по мгновенным значениям импульсной или переходной характеристики, не ориентированы на применение статистических методов обработки результатов эксперимента. Вследствие этого из-за случайной помехи в результатах наблюдений эти методы обладают низкой помехозащищенностью [4]. Решить проблему качественного изменения способов определения параметров линейной системы по результатам измерения мгновенных значений ее импульсной характеристики можно на основе линейно параметрических дискретных моделей в форме стохастических разностных уравнений [5].
Пусть динамический процесс ~ (t) в линейной системе при входном воздействии x (t) описывается дифференциальным уравнением с действительными коэффициентами вида ^ dj у (t) djx (t) ^
у cj-- = у bj--. При импульсном воздействии на систему, которое описывается
j=o dt j=o dt
8 -функцией Дирака, реакция системы — весовая функция (импульсная характеристика) — при отсутствии кратных корней соответствующего характеристического уравнения может быть
р
представлена в виде у (() = у a? exp (a?t), где в общем случае a? = Rea,. + i Im a? и
i=1
a? = Re a? + i Im a? — комплексные числа. Так как коэффициенты дифференциального уравнения действительные числа, то для каждого комплексного корня характеристического уравнения ai найдется сопряженный ему корень a?, причем соответствующие им коэффициенты a? и a? также являются комплексно-сопряженными числами. В таких случаях сумма a? exp (a?t)+ a? exp (a?t) описывает затухающие колебания и может быть представлена в виде
Д. exp (Re att) cos (im att), где начальные амплитуда At = 2^/Re2 at + Im2 at и фаза Im a.
У =
arctg
Re a
Re a. & gt- 0,
Im a
p + arctg-Re at & lt- 0
Re a
— действительные числа. По найденным оценкам динамических
характеристик а1 коэффициенты дифференциального уравнения с.,. = 0,1,…, р -1, с = 1,
могут быть определены по формулам: ер-1 = -Z
c=(-1)p-1 Zaa• a& lt-Pi'- co =(-1))П a •
a i'- cp-2 = Za
i, j=1
aj. CP-3 = -Z i, j, k
i& lt-j<-k
a.a a k
& gt-1. '-2. '- & gt-p-1 I1& lt-I,<-- & lt-iP_
Рассмотрим задачу оценки параметров а, и а, (,'- = 1,2,…, р) функции ~(() = Хя, ехр (а/)
/=1
по результатам измерений ук = ~(хк) + ек ее мгновенных значений, где % - период дискретизации- ек — случайная помеха в результатах наблюдений- к = 0,1,2,*, N — 1- N — объем выборки результатов измерений.
Задача решается на основе линейно параметрической дискретной модели, связывающей р +1 последовательное значение дискретной функции
у
ук=Х я ехр (а%к К
/=1
р
которую можно представить в виде ук = X а/'-, где //., = ехр (а,%).
(1)
Применяя к дискретной функции (1) г -преобразование, имеем 2{ук }=Х а1--. От-
,=1 1 — /, г
сюда после простых алгебраических преобразований можно получить
Лр (х-1)2{ук } = Вр-, (2)
k p -p-1
где Лр (г 1)=П (- /?г 1)= 1 — X и Вр-1 (1)=ХЬ, г '- - многочлены степени р и р — 1 от-
,=1 '-=1 '-=0
носительно переменной г -1. Очевидно, что коэффициенты многочлена Лр (г-1) описываются
формулами
У У
1 =Z m& gt-. 1 = -Z mm j.
i=1 i, j
i& lt- j
p
яр-1 =(- 1) P Z m, mh • mip-1.
У
1 = Z mm j mk. •
i, j, k i& lt- j& lt-k
1P = (-1))+1 П m. •
(з)
& gt-l h& quot- ¦ ip-1
?& lt- i, & lt-• & lt- ip —
Из (2) с помощью обратного г — преобразования можно получить
~к — КУы-1 —к-2 — * - Яр~к-р = К8к + ЬА-1 + Мк-2 + * + Ьр-18к-(р-1) ,
1, при к = 0,
(4)
где 8к = & lt- - символ Кронекера, к = 0,1,…, N — 1.
[0, при к Ф 0
С учетом (1) введем обозначения
р р р
яр+1 = й =X а, яР+2 = й = X ат& lt-, 1р+3 = й = X ат, 2
яр+j = ~j-1 =Z a mi-1& gt-
1 p = ~p-1 = Z am& quot--1.
(5)
i=1
?=1

i=1
i=1
i=1

i=1
i=1
Используя (4) и (5), коэффициенты многочлена Bp-1 (z 1) можно представить в виде
Ь0 = Яр+1, Ь1 = Яр+2 — АЯр+1, Ь2 = Яр+3 — Я1Яр+2 — Я2Яр+1, '- ,
1
Ъ1 = Яр+1+1 — ЛЯр+1 — Я2Яр+1−1 — - ЯА+1 = Яр+1+1 ЯА+1+1−1, *, (6)
1=1
Р-1
Ьр-1 = Я2р — Я1Я2р-1 — Я2Я2р-2 — * - Яр-1Яр+1 = Я2р — X Я1Я2р-1 •
1=1
При этом линейно параметрическая дискретная модель, связывающая в виде рекуррентной формулы р +1 мгновенное значение дискретной функции (1), принимает вид
к = 0,1,…, р -1,
1 У к-1 + 12 У к-2 + * + 1 рУк — р, к = Р, р +1,•••, N -1,
(7)
где коэффициенты 1 ^ (] = 1, 2,2р), определяются соотношениями (3) и (5).
При экспериментальной обработке импульсной характеристики формируется выборка результатов измерений ук = ~к + ек, которые содержат случайную помеху ек, к = 0,1,…, N -1, N — объем выборки. В этом случае линейно параметрическая дискретная модель (7) принимает вид стохастического разностного уравнения
+1+к +ек, к = 0,1,… >- р -1 р 1 (8)
X }^Ук -1- X1 е к -1+ек, к=p, р+и., N -1 1=1 1=р
Ук =
или в форме обобщенной регрессионной модели:
Гй = F1 + h,
р (9)
Здесь 1 = (11,12, *, 12) т — вектор неизвестных коэффициентов линейно параметрической дискретной модели- е = (е0,е1,…, еN-1)T — N-мерный вектор случайной помехи в результатах наблюдений- & quot- = (Пр& quot-П^-,)Т — N -мерный вектор эквивалентного случайного возмущения в стохастическом разностном уравнении- Ь = (у0, у1,…, УN-1)T — N -мерный вектор правой части- F = [/1 • /2 •. • /'- • / •. • /2 ] - матрица регрессоров размера N х 2р, столбцы которой описываются формулами: / = (°Д", 0, Уp-l, Ур, УN-2)T,. /2 = (0А*, 0, Уp-2, УР-х'-, УN-з)T, * ,
/ = (0,0, —, 0, У0, У1,*, УN — p-l)т, /р+1 = (1,0, —, 0) /р+2 = (0,1, —, 0) •, /2 р = (0,0, —, 1,0, —, 0)
Матрица Р размера N х N в стохастическом разностном уравнении эквивалентного возмущения — нижняя треугольная. Первые р строк матрицы: р1 =(1,0,0,*, 0),
р2 =(0,1,0,*, 0), *, рр =(0,0,*, 1,0, —, 0) — описываются формулой р9 =Ц, 1 '-
1 = 1,2,…, р, 1 = 1,2,…, N. Остальные строки матрицы Р имеют вид:
Р,
= (-1p,-lp-1,-lp-2,'-, & quot-11,1,0,., 0), Pp+2 =(0,-1p, -1p-«-lp-2,'- ,-12,-11,1,0,», 0),
p+1 p& gt- p-1& gt- p-2& gt- & gt- 2& gt- j'--'-/? rp+2 Y& quot-'-? /up'- /up-1& gt- p-2 & gt-
pw =(0,., 0,-1p,-lp-1,-1p-2,. ,-12,-1i, 1).
В предположении, что случайные возмущения eк имеют нулевое математическое ожидание, одинаковые дисперсии и не коррелированны между собой, помехоустойчивое определение параметров импульсной характеристики ai и ai сводится к среднеквадратичному оцениванию коэффициентов 1 линейно параметрической дискретной модели (8).
При среднеквадратичном оценивании коэффициентов 1j могут быть использованы различные схемы вычислений. Наиболее простым является алгоритм, в основе которого лежит 140
I |2 N ||2
минимизация функционала h = b — Fk\ ^ min. МНК-оценки коэффициентов стохастического разностного уравнения в этом случае вычисляются по формуле
X =(FTF)-1 FTb. (10)
Однако такой подход мало эффективен из-за большого смещения оценок, обусловленного корреляцией между элементами hk эквивалентного случайного возмущения. Другой, более эффективный и помехозащищенный, метод среднеквадратичного оценивания коэффициентов стохастического разностного уравнения основан на минимизации функционала ||e|2 =|y-|2min. Главной особенностью такого подхода является применение итерационной процедуры уточнения среднеквадратичных оценок коэффициентов Xj. Это позволяет практически устранить
смещение в оценках и, тем самым, добиться высокой точности вычисления параметров исследуемой функции [5].
Рассмотрим алгоритм итерационного метода среднеквадратичного оценивания коэффициентов разностного уравнения. Из формулы (9) получаем P-lb = P- Fl + e. Элементы p- обрат-
1, j=, 0, j * i.
ной матрицы РЛ1 зависят от коэффициентов % и описываются формулами p- =
при i = 1,2,…, p, j = 1,2,…, N и p- =
p
1+E Wk, j, j=и
k=1 p
Ep-k, j, j *i
k=1
при i = p +1, p + 2,…, N,
j = 1, 2,…, N.
В основе итерационной процедуры лежит минимизация функционала ||e||2 " ?Р. -) — Px-k1)Fl|| ^ min, где P-'- - обратная матрица, при вычислении элементов которой используются оценки Xj) коэффициентов разностного уравнения, найденные на k -ой итерации. Очевидно, что данный функционал представляет собой квадратичную форму относительно искомых коэффициентов Xj. Следовательно, он достигает своего неотрицательного минимума. При этом нетрудно показать, что минимум данного функционала достигается в точке
€(k+1)=(FT Q^F)-1 FTQ^k) b, (11)
где Q, 4=(P-1)1 (P-1).
Итерационная процедура среднеквадратичного оценивания коэффициентов разностного уравнения состоит в следующем. На первом шаге по формуле (10) находится начальное приближение €(0) = (FT F)& quot-'- FTb. Затем, полагая в формуле (11) k = 0 и %к'- = Х0, вычисляется следующее приближение €(1)=(FтQ^ F) FтQ^ b. Оно вновь подставляется в правую часть
формулы (11) и находится новое приближение Х2& quot- и т. д. Процесс уточнения среднеквадратичных оценок коэффициентов стохастического разностного уравнения продолжается до тех пор,
пока выполняется условие ||Xk+1) — Xk0,01||Xk. Результаты численно-аналитических исследований показали хорошую сходимость итерационной процедуры (не более десяти итераций). Найденные среднеквадратические оценки Xj коэффициентов линейно параметрической
дискретной модели (8) лежат в основе вычисления помехозащищенных оценок параметров импульсной характеристики ai и ai, i = 1, 2,…, p.
Для этого сначала находятся корни im, i = 1, 2,…, p, алгебраического уравнения
mp + f1mp-1 + f2mp-2 + • +fp-1m+fp = 0. (12)
Затем по формулам d€ = t lnвычисляются оценки параметров ai (i = 1, 2,…, p). На заключительном этапе по найденным и im посредством решения системы линейных алгебраиче-
141
ских уравнении
к + к + • +а ь = 4+1, 1+2,
М +?12& amp-2 +• + ! РкР =
?2а1 +?22 а + +?4 = = 4+3,
?Р-1 к + ?р -1а +• + ?р- = р
вычисляются оценки коэффициентов а1 (1 = 1, 2,…, р) в функции (1).
При комплексно-сопряженных корнях алгебраического уравнения (12) ??к = Яе?? к +'- 1 т?? к и? к+1 = ?к = Яе?? к -11т ??к и соответствующих им комплексно-сопряженных коэффициентах ак = Яе к +11т к и к+1 = к = Яе к -11т к, наИденных из системы уравнении (13), пара слагаемых к ехр ((кк/) + к+1 ехр (акк+1/) в математической модели импульсной характеристики р
) = ^ к ехр (кк1), описывающая затухающие колебания, может быть представлена в виде
А ехр (Яе (кк/) 008 (1т скк/+укк),
(14)
где Яе& amp-к = '- х Яе2 ?1к + 1т2 ?1к и = 1 т (?к =
arotg
р + arotg
1 т тк Яе тк'- 1 т тк
Яе тк
Яе тк & gt- о,
Яе т к & lt- о
arotg
— оценки показателя
затухания и частоты колебаний, Д = 2д/Яе2 к + 1т2
р + arotg
1 т к
Як& quot-'-
1 т ак
Яе ак
Яе к & gt- о,, Яе, а & lt- 0
оценки начальной амплитуды и фазы колебаний.
Таким образом, в работе получены следующие результаты.
Во-первых, разработан эффективный численный метод параметрической идентификации линейной динамической системы на основе результатов измерения мгновенных значений ее импульсной характеристики.
Во-вторых, предложенная итерационная процедура среднеквадратичного оценивания коэффициентов линейно параметрической дискретной модели в форме стохастического разностного уравнения позволяет практически устранить смещение в оценках и тем самым существенно повысить точность определения параметров исследуемой системы.
В-третьих, полученные при математическом описании импульсной характеристики линейно параметрическая дискретная модель в форме стохастического разностного уравнения и формулы, связывающие коэффициенты этого уравнения с параметрами импульсной характеристики, обобщают разностное уравнение, описывающее свободные колебания диссипативной системы с линейно вязким трением [6].
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК
и
1. Эйкхофф П., Ванечек А., Савараги Е. и др. Современные методы идентификации систем / Под ред. П. Эйкхоффа. М.: Мир, 1983. 400 с.
2. Штейнберг Ш. Е. Идентификация в системах управления. М.: Энергоатомиздат, 1987. 80 с.
3. Писаренко Г. С., Яковлев А. П., Матвеев В. В. Вибропоглощающие свойства конструкционных материалов: Справочник. Киев: Наук. думка, 1971. 376 с.
4. Мелентьев В. С. Методы и средства измерения параметров электрических цепей на постоянном токе. Самара: СамГТУ, 2004. 120 с.
5. Зотеев В. Е., Попова Д. Н. Определение динамических характеристик нелинейных диссипативных систем на основе стохастического разностного уравнения // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер.: Физ. — мат. науки, 2006. Вып. 42. С. 162−168.
6. Семёнычев В. К., Зотеев В. Е. Определение параметров затухающих колебаний на основе разностных схем // Проблемы прочности, 1988. № 12. С. 101−105.
Поступила 15. 07. 2006.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой