Непараксиальные гипергеометрические моды

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физика


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

НЕПАРАКСИАЛЬНЫЕ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МОДЫ
В.В. Котляр1'-2, А.А. Ковалев12 1 Институт систем обработки изображений РАН, 2 Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П. Королева
Аннотация
Получено явное аналитическое выражение, описывающее точное решение уравнения Гельмгольца в цилиндрических координатах в виде произведения двух функций Куммера. Это решение представлено в виде суммы двух слагаемых, которые описывают непараксиальные гипергеометрические световые пучки, распространяющиеся вдоль оптической оси в прямом и обратном направлениях. При удалении от начальной плоскости на расстояние много большее длины волны полученное выражение для непараксиального гипергеометрического пучка совпадает с выражением для параксиальной гипергеометрической моды.
Ключевые слова: уравнение Шредингера, уравнение Гельмгольца, непараксиальная теория дифракции, угловой спектр плоских волн, конфлюэнтная функция (функция Куммера), гипергеометрический пучок, гипергеометрическая мода.
Введение
В последнее время возрос интерес к точным решениям параксиального уравнения типа Шредингера в цилиндрической системе координат. Так в [1] рассмотрены гипергеометрические (ГГ) моды. Эти пучки вскоре были обобщены и появились гипергео-метрические-гауссовые (ГГГ) моды [2], ГГ пучки [3] и круговые пучки (КП) [4]. В [4] указано, что частными случаями круговых пучков являются многие известные световые пучки, например, стандартные [5] и элегантные [6] моды Лагерра-Гаусса, квадратичные Бессель-Гауссовые пучки [7], гауссовые оптические вихри [8,9].
Однако уравнение типа Шредингера описывает распространение света в параксиальном приближении, от которого в некоторых случаях приходится отказываться, как, например, в задачах, требующих острой фокусировки лазерного излучения (острая фокусировка может использоваться, например, для уплотнения информации при лазерной записи, в хирургии, для лазерного напыления паров кремния, для сварки в труднодоступных местах).
В данной работе рассматриваются ГГ моды в непараксиальном случае. Получено аналитическое выражение, являющееся точным решением уравнения Гельмгольца в цилиндрических координатах. Это решение пропорционально произведению двух функций Куммера. Далее это решение представлено в виде суммы двух слагаемых, описывающих прямую непараксиальную гипергеометрическую (нГГ+) моду и обратную непараксиальную гипергеометрическую (нГГ-) моду. Эти световые пучки распространяются вдоль оптической оси в прямом и обратном направлениях. Показано, что при больших расстояниях от начальной плоскости (много больших длины волны) нГГ+ мода совпадает с точностью до константы с параксиальной ГГ модой из [1,3].
1. Угловой спектр плоских волн для непараксиальных гипергеометрических мод
Известно, что любое решение уравнения Гельм-гольца
(Д + k 2) Е (х, у, 2) = 0, (1)
где k — волновое число, можно представить в виде углового спектра плоских волн
Е (х, у, 2) =
= i i f ф) еХР [-'-k (х sin 8 C0s Ф + ,
-п 0
+y sin 8 sin ф + z cos 8)] sin 8d8d& lt-p
(2)
где (в, р) — углы Эйлера, определяющие точку на сфере, задающую направление распространения плоской волны. Рассмотрим конкретный вид углового спектра
f (в, р)=tan 2) sin-1 (в) exp (2in (), (3)
где n — целое и в — действительное числа. Подставив (3) в (2), получим:
E (r, ф, z) = (-l)n exp ^'-2пф)х
i exp (-ikz cos8)1 tan-2 | J2n (kr sin8) d8
(4)
где Jv (х) — функция Бесселя. С помощью справочного интеграла [10] вместо (4) можно получить явное аналитическое выражение:
E (r, ф, z) =
(-1)& quot- [(2& quot-)!]
-exp ('-2& quot-ф + ikz)& gt-
xr, 2& quot-±?±1 ^ j (kr у
«i2n-? +1 » ,
& gt-j F---, 2n +1, x+ |x
2n-? +1 " ,
Xj Fjj---, 2n +1, x
(5)
где x± = -ik
z ±(z2 + r2)½
(r, q, z) — цилиндрические
координаты, Г (x) — гамма-функция, j Fl (a, b, x) -функция Куммера [10]. Выражение (5) является точ-
X
0
X
(7)
ным решением уравнения (1) и описывает сумму двух непараксиальных гипергеометрических пучков:
Е (г, Ф, г) = Е + (г, Ф, г- Р) + Е- (г, ф, г- Р), (6)
где Е+ - прямая нГГ+ мода, которая описывается выражением (4), в котором интеграл по в вычисляется от 0 до ж/2, а Е — обратная нГГ- мода, которая описывается выражением (4), в котором интеграл по в вычисляется от п/2 до п. Можно показать, что Е- (г, ф, г- Р) = Е + (г, ф, — г- -Р). Отсюда, в частности, следует, что при г = в = 0 прямая и обратная нГГ моды совпадают и равны выражению:
Е- (г, ф, 0−0) = Е + (г, ф, 0- 0) = 0,5Е (г, ф, г) = = (-1)& quot- (п/2)ехр (/'-2пф) Jи2(kr/2). Из этого выражения следует, что основная нГГ мода при г = в = & quot- = 0 порождается квадратом функции Бесселя нулевого порядка и имеет диаметр центрального светового пятна 1,53Х, где X — длина волны (под диаметром понимается удвоенное расстояние от максимума до первого корня функции Бесселя).
2. Прямые и обратные непараксиальные гипергеометрические моды В общем случае, когда г ф 0 или р ф 0, из (5) нужно выделить в явном виде составляющие, описывающие прямые и обратные моды.
Для конфлюэнтных функций известно ассимпто-тическое разложение [11]:
jF1 (a, b, z) exp (±ina) z r (b) & quot- r (b — a)
(8)
4-J (a) (1 + a — b) / ,
-)jL (-z) + O (|z|)
n=0 n•
exp (z) za-b
±W-x
Г (a)
g (b — a) n (1 — a) n z-n + O (|z|-*)
П=0 n! V 1 '-
где верхний знак берется для случая -л/2 & lt- arg z & lt- 3л/2 и нижний — для — 3л/2 & lt- arg z & lt- -л/2. Устремляя R к бесконечности, получим, что
1 Fl (a, b, z) exp (±ina) z Г (Ь) & quot- Г (Ь — a)
x| a, 1 + a -b,-1 | +
¦ 2 Fo x
(9)
exp (z) za-i (1
±--2 F01 b — a, 1 — a —
Г (a) 2 0 ^ z
Подставим (9) в (5) вместо конфлюэнтной функции с аргументом x+:
E (r, ф, z) = (-1)& quot- exp (i2nф)г| 2п±в±1]г (^^zUI) [(2n)!]-J (kr)2n 1F1 (^^, 2n +1, x- |x
2
2
1
Г
2n+p+:
^ exp (ikz) +ikz + ik (z2 + r2)12
2n-p+1 /
F
21 0
2n-? +1 -2n-? +1 1
2
2
(10)
1
2n-? +1
2
exp
-ik (z2 + r2)12 -ikz — ik (z2 + r2)12
-2n-p-1 /
F
2 F0
2n +? +1 -2n +? +1 1
2
2 x+
где 2F0 (a, b, x) — гипергеометрическая функция [10]. Применив преобразование Куммера
1 °F (a, b, z) = exp (z) 1F1 (b — a, b, -z), получим:
E (r, ф, z) = (-1)n exp (, 2пф) Г|^^Vi^^|[(2n)!]-1 (kr)2n x
exi
p (+ikz)
Г
2n +? +1
ikz + ik (z2 + r2)12
2 J l 2
-2n+?-1 ?
F
21 0
2n-? +1 -2n-? +1 1
2
2
2n-? +1 " ,
1 Fj--, 2n +1,x | +
(11)
(12)
exp (-ikz)
2n-? +1
-ikz — ik (z2 + r2)12
2n-?-1 ^
^ F 20
2n +? +1 -2n +? +1 1
2
2 x+
1F11---, 2n +1, — x
a
x
+
x
z
+
x
x
+
2
+
Г
2
x
x
+
+
Г
Обозначив q± = ±ik
z + (z2 + r2)12
запишем
выражение для комплексных амплитуд нГГ мод:
E± (r, ф, z) =
ИГ
(2n)!
exi
p (12пф± ikz)(kr)2
xri Vf |х
хГ-11 ^^ I q±-(2& quot-+e+1)/2 x (13)
x2 °F (,-2n±P±1,q±-i |x
^ 2п + В +1 " ,
х1 Fl I--, 2п +1, ±х_
Выражение для Е (г, ф, 2) из (12) является суммой Е+(г, ф, 2) и Е (г, ф, 2) из (13).
Если в выражении (13) для прямой волны Е + (г, ф, 2) устремить 2 к бесконечности, то получим асимптотическое выражение:
E + (г, ф, z & gt->- Л) ^ [(2n)!]-'-:
,, 2n-в +1N х exp (i2пф+ ikz + it) r-|x
x (2ikz)(e-1)/2tn 1 °F f 2П +в +1,2n +1,-t
(14)
где t = ikrУ (22). Выражение (14) с точностью до
постоянного множителя совпадает с выражением для комплексной амплитуды параксиальной ГГ моды [1,3] при условии, что т = -1, /у = Р, ^ = k-1 и п заменить на 2п.
3. Моделирование При распространении вблизи начальной плоскости 2 = 0 распределение интенсивности для нГГ+ пучка изменяется в основном в области боковых лепестков (периферийных световых колец картины дифракции) (рис. 1а, б). При 2 & gt->- X, когда нГГ+ пучок совпадает с ГГ модой, изменения интенсивности происходят только масштабно, а вид дифракционной картины пучка сохраняется (рис. 1е).
I
0,14 0,07
а)
А

г, мкм
I
4×10'-5 2×105
30
г, мкм
150
Рис. 1. Распределения интенсивности нГГ+ моды при X = 633 нм, в = 0, n = 2 на расстояниях z: 0 (а), 1 мкм (б), 1 мм (
На рис. 1 показана интенсивность
I |2 I |2 | |2
I = Е + E + E
в относительных единицах при Л=633 нм, /3=0, n=1 при разных расстояниях от z=0, рассчитанная с помощью уравнения (4) при интегрировании от 0 до п/2. На рис. 1б пунктирная линия — результат расчета по формуле (13).
Для проверки расчетов (рис. 1б) было проведено численное моделирование с использованием программы FullWave 6.0 (производитель RSoft Design, USA, http: //www. rsoftdesign. com), предназначенной для решения уравнений Масквелла методом FDTD (finite-difference time-domain). В плоскости z=0 было задано электромагнитное линейно поляризованное вдоль оси х поле (7) при n=1, Л=633 нм, с дискретизацией Л/20. На рис. 2а показана картина дифракции
такого поля в плоскости 2 = 1 мкм. Размер картины 5×5 мкм. На рис. 2б показано сечение картины дифракции. Из сравнения рисунков 1б и 2б видно, что они хорошо согласуются между собой, хотя на
I |2
рис. 1б показана величина |Ех|, а на рис. 2б
I |2 I |2 | |2
I = Е + Е + Е.
Заключение
Итак, в работе получены точные аналитические выражения для непараксиальных гипергеометрических мод, распространяющихся в прямом и обратном направлениях вдоль оптической оси. При больших расстояниях от начальной плоскости прямая непараксиальная гипергеометрическая мода совпадает с точностью до постоянной с параксиальной модой из [1,3].
x
2
2
Рис. 2. Картина дифракции I = Ех + +|Ег| (а)
и ее горизонтальное сечение (плоскостью у=0) (б) для непараксиального гипергеометрического пучка с начальной (г=0) комплексной амплитудой (7) на расстоянии г=1 мкм
Благодарности
Работа поддержана российско-американской программой «Фундаментальные исследования и высшее образование» (грант CRDF RUX0−014-SA-06), Российским фондом фундаментальных исследований (грант 08−07−99 007) и грантом Президента Р Ф поддержки ведущих научных школ (НШ-3086. 2008. 9).
Литература
1. Kotlyar, V.V. Hypergeometric modes / V.V. Kotlyar [and other] // Opt. Lett. 2007. — Vol. 32. — p. 742−744.
2. Karimi, E. Hypergeometric-Gaussian modes / E. Karimi [and other] // Opt. Lett. 2007. — Vol. 32. — p. 3053−3055.
3. Kotlyar, V.V. Family of hypergeometric laser beams / V.V. Kotlyar, A.A. Kovalev // J. Opt. Soc. Am. A 2008. -Vol. 25. — p. 262−270.
4. Bandres, M.A. Circular beams / M.A. Bandres, J.C. Gutierrez-Vega // Opt. Lett. 2008.- Vol. 33. — p. 177−179.
5. Siegman, A.E. Lasers / A.E. Siegman — University Science, 1986.
6. Takenaka, T. Propagation of light beams beyond the paraxial approximation / T. Takenaka, M. Yokota, O. Fuku-mitsu // J. Opt. Soc. Am. A 1985.- Vol. 2. — p. 826−829.
7. Caron, C.F.R. Bessel-modulated Gaussian beams with quadratic radial dependence / C.F.R. Caron, R.M. Pot-vliege // Opt. Commun. 1999.- Vol. 164. — p. 83−93.
8. Rozas, D. Propagation dynamics of optical vortices / D. Rozas, C.T. Law, G.A. Swartzlander // J. Opt. Soc. Am. B 1997.- Vol. 14. — p. 3054−3065.
9. Kotlyar, V.V. Generation of phase singularity through diffracting a plane or Gaussian beam by a spiral phase plate / V.V. Kotlyar [and other] // J. Opt. Soc. Am. A 2005.- Vol. 22. — p. 849−861.
10. Прудников, А. П. Интегралы и ряды. Специальные функции / А. П. Прудников, Ю. А. Брычков, О.И. Мари-чев. — М. :Наука, 1983.
11. Handbook of Mathematical Functions / ed. by. M. Abra-movitz, I.A. Stegun.- National Bureau of Standards, Applied Math. Series, 1965.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой