Непогружаемость метрик вращения в виде геликоидальной поверхности в w-мерное евклидово пространство

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость новой

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК 513. 74
НЕПОГРУЖАЕМОСТЬ МЕТРИК ВРАЩЕНИЯ В ВИДЕ ГЕЛИКОИДАЛЬНОЙ ПОВЕРХНОСТИ В л-МЕРНОЕ ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО
А.В. Гпазырина
В данной работе доказана невозможность изометрического погружения метрики вращения в л-мерное евклидово пространство в виде геликоидальной поверхности.
Непогружаемость плоскости Лобаческого в Е3 доказана Д. Гильбертом [1], а погружаемость в Е& quot- при и & gt- 5 установлена в работах [2, 3]. Вопрос о погружении плоскости Лобачевского в Е4 (без дополнительных ограничений на вид погружения, кроме его регулярности) остается открытым. В работе [4] Э. Р. Розендорн доказал невозможность погружения плоскости Лобачевского в Е4 в виде геликоидальной поверхности. Невозможность погружения в Е4 исследовалась также в работах [5−10].
В настоящей работе рассматривается вопрос о погружении в Е" двумерных метрик вращения
сЬ2 = du2 + В1 (и)сЬ2 (1)
в виде геликоидальной поверхности. Следуя Э. Р. Розендорну [4], назовем поверхность геликоидальной, если после приведения ее метрики к виду (1) коэффициенты вторых квадратичных форм и коэффициенты кручения не зависят от координаты V. Примером может служить прямой геликоид в пространстве Е3.
Теорема. Если Ви (м) — неограниченная функция при -оо & lt- м & lt- +оо, то метрика
с1й2 = & lt-1и2 + В2 {и)ск2 не допускает изометрического погружения в Е" (я & gt-3) в виде геликоидальной поверхности.
Доказательство: Пусть Б — двумерная односвязная поверхность в Е" с внутренней метрикой неположительной кривизны. Будем считать для простоты, что на Б введена единая система коор-
дг д2г
динат (и, у), а поверхность Б задана вектор-функцией Ни,). Как обычно, гх = -г, г" = -: -г,
ди'- ди1ди]
/, У = 1,2, где и1 = и, и2 = у. Зафиксируем вдоль? ортонормированный базис нормалей еи…, е"_2. Хорошо известно, ЧТО коэффициенты первой и второй ОСНОВНЫХ форм giJ-rtrj, г, 7 = 1,2, Ма =гх2еа, Ьа =гпеа, = г22еа, ос = 1, 2,…, и-2- и так называемые коэффициенты
Зс
кручения Аарк = -|-ер, к = 1,2, удовлетворяют нижеследующей системе уравнений (2)-{5). ди
Уравнения погружения двумерной поверхности в Е" имеют вид (а = 1, 2,…, п-2): ?(АЛ-м2)=(и--. Р-2)* (2)
а-1
?*4 -|-4=г'-«ма-г'-иЪ-г^ма +§(^4^-МцЛ^п), (З)
±ма-Адг. = г'-А-г-2ма + 1(^4^. -MfA. fi). (4)
д д п~2
ар 1 — фу ^а/32 ~ ^ ~ ^а/2^/3/1) ¦*& quot- 8 р ~МаЬр) + ^ (-Л/аЛ^д — NаМр^, (5)
Уравнение погружения метрики вращения ск2 = & lt-з?м2 + В2 (и) • Л2 в Е»:
& lt-1^ = г2с! и2 + 2гиГуйи (Ь + г2& lt-Ь>-2,
Гпазырина А. В.
Непогружаемость метрик вращения в виде геликоидальной _________поверхности в п-мерное евклидово пространство
где г2 =Е = 1, 2гигу = ^ = 0, г2 = в- В2 (м) и К =-- - кривизна метрики,
2?
Ев-р2 = в2, |-1 В =|-ма =4: Л^=о И ёи =1, g22
д_м = д_
& amp- «ду
коэффициенты Кристоффеля примут вид: 0,5Еив — РРи + 0, вЕ^ п
11″» О 9
Ев-Р
г РиЕ — 0,5ЕЕХ — 0,5ЕиР п_
11& quot-" О & quot- & gt-
Ев-Р2
Н _ 0,5Еув — 0,5виР _ л 1 12 — «- и,
тогда наша система примет вид:
1М"-^) = -^2-
Я»
г2 _0Д?-0(5^ Яи 12 — =2
Ев-Р
в
, ^С-0,5СИ& lt-?-0,5С?^
22-------їеір------------
Т-.2 0,5Су?-І^Ч0,5а"^ А
1 22 -----------о------- V ,
?G-F2
5
п-2
а-
д-ма =-іма + Х (і/,^2-М1) —
5 м
д_
ди
ди
Сделаем замену: Мх = тхВ (и) —
-пхВ2(и) —
І'-х ~ '
Аху — 1

=В, В1. а +^^ + ^{м2-^/Лф) —
д л / М"Мв -М"Ы п
~^Аар2 = ^(Аа/2АРу1 ~ АауАру2) + {МаЬр -ЬаМр}+ ~2.
'- ^=1 -О
5 э
-Мх =-тхВ (и)+/И-А («) — ди ди
лгх =|-и2(„)+2"л“)-^(») —
ом 9 м
-Л =-ди арг дь
Аху2="ху2 В (и)'
Оп Аарг =-^& lt-*аргВ (М) + ааріВМ і
где х, у = а, р,
и первое, и третье уравнение разделим на В* (и), а второе и четвертое — на В (и). Система уравнений примет вид:
ч-2.
Д/вив-«?) = ¦
В,
а=1
іш.
в '
0 5
-«гв =-2та-± + ^(1раар2-траар1) —
д Ви. Ви & lt-??, ч
«а=-& quot-«у + /ау+ 2. ПРаар2 ~праар) і
ди
р=і
9 В т-?
-аар2 =-аар2-%- + УЕ{ааГ2ару -аауарГ2) + та1р-1атр+патр-тапр.
В
г=і
Умножим уравнения (2), (3) и (4) соответственно на та, па, аарг и сложим полученные
д д
уравнения:
п-2 (ъ
г 8
а=1 V.
Р*а
т» — т"+п» — п» + апЮ — а"ю «ди, а ди «ди
-_?ш2г--и2 ^- + и /- + у
— ^ та д, а В «» В 2 В '
Серия «Математика, физика, химия», выпуск 7
11
Математика
п-2 п-2
и-2 п-2
л-2
п-2
ГДЄ fc°^2 ~ Vi* 1) +Е «» '-E (mfiaafi 2 ~ Праар) + X ЛЧИ? («вгЗ^І ~ аауаРГ2) +
а=1 р=1 а=1 /(=1 а=1 у=1
Р*а
п-2
+ X аар2 (mJp ~1атр + «а™/? — таПр) = 0. а=1 Р*а
Можно заметить, что:
г ґ
0,5- ди 1('-««+"а+4) а-1 КР*а) и і Y,(ml+nl+alp2) а=1 Р*а J Л в
'-п-2 '-
2(/апа-«?)
Va=l
п-2. В п~2 /
где X (7a& quot-» — wa) = «if И обозначим? («? + «а + «а2) = f& gt- тогДа
а=1
а=1
/?#а
Д.
д • д,
В*
0,5-/2 + --/2 =• 5& quot-'5»»
ди'
(умножим на 2Д) —
Вг-1-/2+2ВВи-/г=-2ВиВт-,
ди
|-(л7г)-2ад.
В итоге мы получим: /2В2 (и) = -52 (ы) + С. Равенство не выполняется для всех значений и, если функция Ви (и) не ограничена. Теорема доказана.
Следствие. Плоскость Лобачевского I? (-1) не допускает изометрического погружения в Еп (и & gt- 3) в виде геликоидальной поверхности.
Замечание. Если Ви (и) ограничена, то метрика (1) допускает погружение в виде геликои-
3 1 1 1 Г I 1 2
дальной поверхности в Е хх = -Д (ы)собСу, = -5(м)зіпСу, х3 = - jyC -В?с1и, здесь хх,
х2, х3 — декартовы прямоугольные координаты в Е, Ви | & lt- С = const.
Литература
1. Гильберт Д. Основания геометрии. — М.- Л.: ОГИЗ, 1948.
2. BlanuSa D. Uber die Einbettung hyperbolischer Raume in euklidische Raume // Monatsh. Math. — 1955. — Bd. 59. — № 3. — S. 217−229.
3. Розендорн Э. Р. Реализация метрики ds2 =du2 + f2(u)dv2 в пятимерном евклидовом пространстве // ДАН АРМССР — 1960. — Т. 30. — № 4. — С. 197−199.
4. Оссерман Р. Минимальные поверхности // Успехи матем. наук. — 1967. — Т. 22. -Вып. 4(136). -С. 55−136.
5. Аминов Ю. А. Кручение двумерных поверхностей в евклидовых пространствах // Укр. геометр, сб. — 1974. — Вып. 17. — С. 3−14.
6. Кадомцев С. Б. Невозможность некоторых специальных изометрических погружений пространств Лобачевского // Мат. сб. — 1978. — Т. 107. — Вып. 2. — С. 175−198.
7. Розендорн Э. Р. К вопросу о погружении двумерных римановых метрик в четырехмерное евклидово пространство // Вестн. МГУ. Сер.1. Математика, механика. — 1979. — № 2. — С. 47−50.
8. Ефимов Н. В. Невозможность в трехмерном евклидовом пространстве полной регулярной поверхности с отрицательной верхней гранью гауссовой кривизны // Докл. АНСССР. — 1963. -Т. 150. -№ 6. -С. 1206−1209.
Поступила в редакцию 15 мая 2006 г.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой