Непрерывная зависимость глобальных и предельно продолженных решений от параметров управляемой системы

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Key words: functional-differential inclusion, impulses, a-priori boundness, Cauchy problem.
ЛИТЕРАТУРА
1. Samoilenko A.M., Perestyuk N.A. The differential equations with impulses. K.: High. school, 1987.
2. Zavalischin S.T., Sesekin A.N. Impulse processes. Models and applications. М.: Science, 1991.
3. Azbelev N.V., Maksimov V.P., Rahmatullina L.F. Elements of theory of functional-differential equations. М.: High. school, 1987.
4. Тихонов А. Н. Tichonov A.N. On functional equations of Volterra type and it’s applications to some problems of mathematical physics // Bulletin of Moscow University. Section A. 1938. № 8. V. 1. p. 1−25.
УДК 517. 911/517. 929
НЕПРЕРЫВНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ГЛОБАЛЬНЫХ И ПРЕДЕЛЬНО ПРОДОЛЖЕННЫХ РЕШЕНИЙ ОТ ПАРАМЕТРОВ УПРАВЛЯЕМОЙ СИСТЕМЫ
© Е.О. Бурлаков
Предлагаются утверждения о непрерывной зависимости от параметров решений функционально-дифференциальных уравнений. Полученные результаты позволяют проверять корректность моделей, представимых дифференциальными уравнениями с запаздыванием. Доказательства опираются на результаты работы [1].
Ключевые слова: управляемые системы с запаздыванием, непрерывная зависимость решений от параметров, локальная разрешимость задачи Коши, продолжение решений.
Полученные результаты позволяют проверять корректность моделей, представимых дифференциальными уравнениями с запаздыванием. Доказательства опираются на результаты работы [1].
Обозначения: Яп — пространство векторов, имеющих п действительных компонент, с
нормой | • |- ц — мера Лебега на отрезке [а, Ь]- Ь ([а, Ь], ц, Яп) — пространство измеримых
ь
суммируемых функций у: [а, Ь] -- Яп с нормой \у\ь = / 1у ($)№ 8- АС ([а, Ь], I, Еп) — про-
а
странство таких абсолютно непрерывных функций х: [а, Ь] - Яп, что х € Ь ([а, Ь], I, Яп), с нормой ||хЩс = |х (а)| + ||Х||^.
Рассмотрим задачи Коши
х (Ь) = ?(г, х (г — т (Ь)), х (Ь -т2(Ь)),…, х (Ь — тт (Ь)), и (Ь)), Ь € [а, Ь],
х (0 = ^(0,?€ [а, Ь], (1)
х (а) = а-
х (ь) = ^(ь, х (г-ти (ь)), х (ь-т2г (ь)),…, х (г-ттг (ь)), щ (г)), ь € [а, Ь],
х (0 = фг (?),^€ [а, Ь}, (1%)
х (а) = аг, % = 1, 2,… ,
где функции, т^г: [а, Ь] - [0, +ж), ] = 1, 2, …, т- % = 1, 2, … измеримы, функции и, иг:
[а, Ь] - Як, % = 1, 2, … измеримы и ограничены в существенном, функция ф: (-ж, а) —
Яп равномерно непрерывна и ограничена, функции фг: (-ж, а) — Нп ограничены и В-измеримы при каждом %, функции т + 2 аргументов /, /г: [а, Ь] х Яп х … х Яп х Як — Яп при всех % удовлетворяют условиям Каратеодори:
к) при любых х^ € Яп, ] = 1, 2, …, т, и € Як функции f (•, х, х2,…, хт, и) и
fг (•, х, х2,…, хт, и) измеримы-
к2) при почти всех Ь € [а, Ь] функции f, fi непрерывны по совокупности 2-го, …, т + 2-го аргументов-
к3) для любого числа г & gt- 0, существует такая суммируемая функция
дг € Ь ([а, Ь], 1, Яп), что для всех и € Як, х^ € Яп, ] = 1, 2, …, т, удовлетворяющих условиям |и| & lt- г, 1х^I & lt- г, ] = 1, 2, …, т выполнено ^(Ь, х, х2,…, хт, и)1 & lt- дг (Ь) при почти всех Ь € [а, Ь].
Определение. Пусть ^ € (0,Ь — а), в € (0,Ь — а]. Локальным решением задачи (1) определенным на [а, а + 7 ], будем считать функцию г1 € АС ([а, а + 7 },!, Яп), удовлетворяющую данному уравнению при почти всех Ь € [а, а + ^] и начальному условию.
Предельно продолженным решением задачи (1), определенным на [a, a + ?), будем считать функцию Z?: [a, a + ?) — Rn, сужение которой zY на [a, a + y] при всех Y & lt-? является ло-
Y
кальным решением задачи (1) и lim J XY (s)ds = то. Глобальным решением задачи (1)
Y^?-0 а
назовем функцию z Є AC ([a, b], ?, Rn), удовлетворяющую данному уравнению при почти всех t Є [a, b] и начальному условию.
Приведенные определения будем, естественно, применять и к уравнениям (1i).
m
Определим множества Mi = (J {t Є [a, b] t — Tj (t) = a, t — Tji (t) & lt- a}, i = 1, 2, ….
j=i
Теоремаї. Пусть при i — 00 выполнены следующие условия:
1) ?(Mi) — 0- либо, а = p (a — 0) —
2) последовательность функций Tji сходится к функции Tj по мере для всех j = 1, 2,…, m-
3) последовательность функций ui сходится к функции и по мере-
4) ai -- а-
5) supi (t) — p (t) — 0-
t& lt-a
6) для любых j = 1, 2,…, m, Xj Є Rn, {Xji} С Rn, если Xji — Xj, то последовательность функций fi (-, xli, x2i,…, xmi) сходится к функции f (¦, xl, x2,…, xm) по мере.
Тогда при каждом i задачи (1), (1i) локально разрешимы, всякое локальное решение продолжаемо до глобального или предельно продолженного решения. Кроме того, существует такое в & gt- 0, что
— для каждого предельно продолженного решения Z? t уравнения (1), определенного на [a, a + ?), выполнено? & gt- в-
— для любого i и для каждого предельно продолженного решения zi? i уравнения (1i), определенного на [a, a + ?), выполнено? i & gt- в-
— если для некоторого y & lt-? при каждом i произвольно выбрать определенное на [a, a + y] локальное решение ziY уравнения (1i), то полученная последовательность будет компактна в пространстве AC ([a, a + Y],?, Rn), и все ее предельные точки будут, локальными решениями уравнения (2) —
— если определенное на [a, a + y] локальное решение zY уравнения (1) единственно, то для любой последовательности определенных на [a, a + y] локальных решений ziY уравне-
a+Y
ний (1i) имеет место j'- zY (t) — ziY (t)dt — 0.
a
Для произвольных A & gt- 0 и номера I обозначим Tj (A, I) = (J {t Є [a, b]Tji (t) & lt- A}.
i& gt-I
Теорема 2. Пусть выполнены условия 1) — 5) теоремы 1 и пусть также
6) существуют такие Л G R, А & gt- 0, I, что для любых x, x2,…, xm G Rn, u G Rk и Xj G Rn при каждом i & gt- I выполнено
fi (t, Xi, X2, …, Xj,…, Xm, u) — fi (t, Xi, X2, …, Xj,…, Xm, u) ^ XXj — Xj при всех t G Tj (А, I).
Тогда при V i & gt- I задача (1i) имеет единственное глобальное решение zi G AC ([a, b], /I, Rn), являющееся продолжением всякого локального решения, задача (1) имеет единственное глобальное решение z G AC ([a, b], I, Rn), являющееся продолжением всякого локального решения, причем ||zi — z||ac — 0 при i о.
ЛИТЕРАТУРА
1. Жуковский Е. С. Непрерывная зависимость от параметров решений уравнений Воль-терра // Матем. сб. М., 2006. Т. 197, № 10. С. 33−56.
Поступила в редакцию 10 ноября 2008 г.
Statements about continuous dependence on parameters of solutions of functional-differential equations are offered. Obtained results permit investigate a correctness of models, which can be represented by differential equations with delay. All proofs are based on results of paper [1].
Keywords: Continuous dependence of solutions on parameters, controllable systems with delay, local solvability of Cauchi problem, solutions prolongation.
ЛИТЕРАТУРА
1. Zhukovskiy E.S. Continuous dependence on parameters of solutions of Volterra equations // Math. col. M. 2006. V. 197, № 10. P. 33−56.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой