Нестационарное течение жидкости в зазоре между ротором и статором роторного аппарата

Тип работы:
Реферат
Предмет:
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Процессы и аппараты химических и других производств. Химия
УДК 532. 51
НЕСТАЦИОНАРНОЕ ТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ В ЗАЗОРЕ МЕЖДУ РОТОРОМ И СТАТОРОМ РОТОРНОГО АППАРАТА В.М. Червяков1, В.И. Галаев2, А.А. Коптев3
Кафедры: «Теория механизмов, машин и детали машин» (1), «Теоретическая механика» (2),
«Конструирование машин и аппаратов» (3), ТГТУ
Ключевые слова и фразы: дифференциальное уравнение движения- метод разделения переменных- уравнение Навье-Стокса.
Аннотация: Методом Фурье решено уравнение нестационарного течения жидкости в зазоре между ротором и статором, полученное из уравнения Навье-Стокса.
Обозначения
* *
С Ь Ог, ^ - постоянные интегриро-
вания-
п — количество каналов ротора-
Q — расход жидкости через аппарат, м3/с-
J п (гХ) — функция Бесселя 1-го рода-
-+1 2
Щ_, Яг — наружный диаметр ротора и внутренний диаметр статора, м- г, г — размерная и безразмерная координаты, цилиндрическая система-
? — площадь поперечного сечения одного канала ротора, м2-
t, t — размерное и безразмерное время-
Т — масштаб времени, с- и — окружная составляющая скорости, м/с- и — безразмерная составляющая скорости- и — масштаб окружной составляющей скорости, м/с-
Течение между вращающимися и неподвижными проницаемыми цилиндрическими поверхностями часто определяет эффективность работы некоторых циклонов и гидроциклонов [1], фильтрующих центрифуг [2], центробежных гра-нуляторов [3], роторно-пульсационных аппаратов [4].
В научной литературе известно точное решение задачи течения вязкой несжимаемой жидкости между вращающимися непроницаемыми коаксиальными цилиндрами [5]. Имеется ряд работ, посвященных исследованию движения
V — масштаб радиальной составляющей скорости, м/с-
V — радиальная составляющая скорости, м/с-
V — безразмерная радиальная составляющая скорости-
V — радиальная составляющая скорости на
входе в зазор, м/с-
Ув (гХ) — функция Неймана-
-+1
2
Х — параметр разделения переменных-
V — коэффициент кинематической вязкости, м2/с-
С, (г, t) — произвольная функция- р — плотность среды, кг/м3- ф — окружная координата, цилиндрическая система-
ю — угловая скорость ротора, с-1.
сплошной среды в зазоре между проницаемыми цилиндрами [4, 6 — 9]. В этих работах величина зазора и угловая скорость цилиндров принимается постоянной, поэтому течение в зазоре рассматривается как установившееся. Однако в работах [10, 11] показано, что в жидкостных центробежных экстракторах, вращающихся с переменной угловой скоростью, производительность сопел возрастает на 50% по сравнению с производительностью при равномерном вращении. В данной работе сделана попытка смоделировать протекание процесса течения среды в зазоре во время разгона ротора до рабочей угловой скорости вращения. Это позволит определить закономерности периода установления стационарного течения и рассмотреть возможность использования режима «ускорение — торможение» ротора для повышения эффективности работы роторного аппарата. Кроме того, эта задача представляет определенный самостоятельный научный интерес.
Рассмотрим симметричное нестационарное течение вязкой несжимаемой жидкости между проницаемыми коаксиальными цилиндрами — вращающимся (ротором) и неподвижным (статором). Сделаем следующие допущения: течение
жидкости, ввиду малого радиального зазора (8″ 10−4 м), полагаем ламинарным- составляющая скорости по оси 7 равна нулю- вдув жидкости в радиальном направлении равномерный- массовыми силами пренебрегаем.
С учетом принятых допущений дифференциальные уравнения Навье-Стокса и неразрывности в цилиндрических координатах принимают вид:
dv dv u
------+ v----------------
dt dr r
1 dP
p dr
-+v
dr
2 r dr
(1)
du du vu
dt dr r
(2)
^+v = o.
dr r
(3)
При решении уравнения (2) используются граничные условия в виде (вращаются оба цилиндра):
и п = и1, и п = и2.
1г=Я^ 19 1г=Я2 2
При постоянном расходе жидкости через роторный аппарат граничное условие для уравнения (1) имеет вид
^ г =Я = = ^ (4)
За начальное условие примем закон распределения окружной составляющей скорости в начальной момент времени и (Я, 0).
Подставив (3) в уравнение (1), после несложных преобразований [12] получим
dv
dt
r
У
1 f & lt-5)
p dr
Из уравнения неразрывности (3), используя граничное условие (4) получим
v = v -. (6)
r
Подставим (4) в уравнение (2) и получим уравнение движения для окружной составляющей скорости
du d2 u 1 / лды 1
— = v --(R1 -V)--------(viR1 +v) u. (7)
dt дГ 2 r dr r 2
Для приведения уравнения (7) к безразмерному виду введем следующие подстановки:
r = Rir, u = Uu, t = Tt. (8)
Используем критерии подобия
Яеф= URl =? (9)
^ V
— критерий Рейнольдса, характеризующий интенсивность движения в окружном направлении-
v Ri
Rer = ^ = ?i (10)
V
— критерий Рейнольдса, характеризующий интенсивность движения в радиальном направлении-
R
S^=-^ = а (11)
ф tu
— критерий Струхаля, характеризующий инерционность жидкости в зазоре в окружном направлении.
После несложных преобразований безразмерное уравнение движения в окружном направлении принимает вид (черточки для удобства отбрасываем)
8Иф ReфddU ~ -1 (Rer -1) du -T (Rer +1) u. (12)
dt dr 2 r dr r 2
Для удобства решения, учитывая (9) — (11), уравнение (12) представим в другой записи
a? dt = % -1 (?,-1)du — -2(?1 + *) u. (13)
dt dr 2 r dr r 2
Ищем решение уравнения (13) в виде
u (r, t) =Z (r, t) + u®, (14)
где u® является решением уравнения
-1 (?1 -1)du"4^ +1)u, (15)
dr r dr r
удовлетворяющему условиям:
u = Ul, u = U2.
Ir=r 1 Ir=Г2 z
Это решение имеет вид [5]
u ® = C11 + C2 r?1 +1:
/ ?l +1 ?l +1
(uir2'-1 — u2r{1)r1r2 ^ U2r2 — Uiri
где c1 =-------------------r+z--------?-+2--------, C2 =
(16)
гр1 +2 _ гр1 +2 гв1 +2 _ гв1 +2
2 Г1 2 Ч
Относительно функции ^(г, t) получается уравнение в частных производных вида (13), с заменой и (г, ^ на & lt-^(г, t)
= ^ --(Р1 _ 1) дГ «^(Р1 + 1) С. (17)
дt дг2 г дг г
Для функции ^(г, t) граничные условия:
с| г=п = 0, с| г=г2 = 0.
Решение уравнения (17) ищем методом разделения переменных [13]
с (г, t) = Т (t) Я (г). (18)
Функция Я (г) удовлетворяет граничным условиям:
я|г=п = 0, я|г=г2 = 0. (19)
Подставляя (18) в уравнение (17) получаем
я•-!(р, _ 1) я'-_4& lt-Р, +1)я о? Т. =--------г------------г2-------------=-Х2. (20)
Т Я
Для функции Я (г) получается обыкновенное дифференциальное уравнение
Я = 0. (21)
R & quot---(Р1 -1) R '- + r
X2 --2(Р1 +1)
r
Вместо переменной г введем переменную г* = гХ, тогда уравнение (21) примет вид
г*2Я& quot-_(Р1 _ 1) г* Я'- + [г*2 _(Р1 +1)]Я = 0. (22)
Решение уравнения (22) может быть представлено в форме
И
R (r) = (rX) 2
C1J pi (r X) + C2Ypi (r X)
U+1 ^+1
2 2
(23)
В соответствии с граничными условиями (19), для определения постоянных
* *
С и С2, получаем систему уравнений
C1Jpi (r1X) + C2Ypi (r1X) = 0-
-+1 -+1
2 2
C1J pi (r2 X) + C2Ypi (r2 X) = 0-+1 -+1
2 2
(24)
Так как С и С2 одновременно не равны нулю, то получаем уравнение
JpL+l (г{Х)Ур1+1 (г2Х) _ JpL+l (г2Х)Ур1+1 (ПХ) = 0.
2 2 2 2
(25)
Из уравнения (25) определяем собственные значения Х1, Х2, Х3 ,… рассматриваемой задачи. Собственные функции имеют вид
Rm (rXm) = (Xmrf/2
Jp1 (rXm)Ypj (r1Xm) Jp] (r1Xm)Ypj (rXm)
-+1 -+1 -+1 -+1
.2 2 2 2
(26)
и удовлетворяют следующим условиям:
J r1-Pl Rm (rXm)Rn (rX») dr = 0
(27)
r2
J r1-P1 [Rm (rXm)]2 dr = 1 {r22-p1 [{ (r2 Xm)]2 — r1 [Rm (r1Xm)]2 }. (28)
Для функции Т (^ из уравнения (20) получаем дифференциальное уравнение
арТ'- +Хт2Т = 0. (29)
Решением уравнения (29), соответствующим собственному значению Xm (m = 1,2,3,…), является выражение
виде
Тт = Лте «Р. (30)
В результате общее решение дифференциального уравнения (13) запишется в
і2
1 & lt-» —
и (г, О = Сі- + С2Гв1 +1 +Х Лт е ар Ят (^). (31)
г т=і
Постоянная Лт определяется по начальному условию
и|г=о = и (г, 0). (32)
Тогда
Г2
J r1 ві u (r, 0) — Qr ві - C2r2
r2
J r1_Pl [m (Xmr)]2 dr
Rm (^mr)d
Am = r-------------------------------------------------------------------------------------r-. (33)
Начальное распределение скорости в зазоре роторного аппарата можно принять, например, в виде прямой с граничными условиями:
м| = М], м| = 0, (34)
1г=г 1 ' 1г=Г2
тогда уравнением начального распределения окружной скорости является выражение
м (г, 0) = -^(Г2 — г). (35)
г2 — г1
Граничные условия (34) упрощают выражения (16) и (31).
Результаты вычислений по уравнению (31) показывают, что из-за множителя
ч 2 Лт ,
----1
е ав распределение окружных скоростей достаточно быстро приближается к известному профилю скорости для установившегося течения (16).
Список литературы
1. Баранов Д. А., Кутепов А. М., Лагуткин М. Г. Расчет сепарационных процессов в гидроциклонах // ТОХТ. — 1996. — Т. 30, № 2. — С. 117 — 123.
2. Соколов В. И. Центрифигурирование — М.: Химия, 1976. — 408с.
3. Холин Б. А. Центробежные и вибрационные грануляторы плавов и распылители жидкости. — М.: Машиностроение, 1977. — 182 с.
4. Богданов В. В., Христофоров Е. И., Клоцунг Б. А. Эффективные малообъемные смесители. — Л.: Химия, 1989. — 224 с.
5. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. — М.: Наука, 1978. — 736 с.
6. Плотников В. А., Трошкин О. А. Вихревой поток между пористыми цилиндрами // Химическое и нефтегазовое машиностроение. — 2000. — № 3. -С. 16 — 19.
7. Волк А. М. Трение вязкой жидкости в пространстве между движущимися проницаемыми поверхностями // ИФЖ. — 1993. — Т. 65, № 2. — С. 152 — 158.
8. Di Prima R.C., Stuart J.T. Flow between rotating cylinders // Trans. ASME. -1972 — F94, No. 3. — Pp. 266 — 274.
9. Gupta M., Goyai M. Unsteady flow of viscous incom steady pressible fluid between two porous coaxial rotating cylinders // Jng. Journal Pure Appl. Meth. — 1972. -V. 3, No. 4. — Pp. 547 — 555.
10. Поникаров С. И., Кафаров В. В. Истечение жидкости из сопел во вращающуюся среду другой плотности // ТОХТ. — 1997. — Т. 31, № 5. — С. 453 — 457.
11. Weinman P.D. On the spin-up and spin-down of a rotating fluid // J. Fluid Mech. — 1976. — V. 77, No. 5. — Pp. 685 — 694.
12. Червяков В. М, Галаев В. И., Коптев А. А. Нестационарное течение жидкости во вращающихся каналах роторного аппарата // Вестник ТГТУ. — 2000. — Т. 6, № 4. — С. 611 — 616.
13. Годунов С. К. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1971. -416 с.
Non-Stationary Liquid Flow in Clearance between Rotor and Stator of Rotor Apparatus
V.M. Chervyakov1, V.I. Galaev2, A.A. Koptev3
Departments: «Theory of Mechanisms, Machines and Machine Parts» (1), «TheoreticalMechanics» (2),
«Design of Machines and Apparatuses» (3), TSTU
Key words and phrases: differential movement equation- method of variables division- Navier-Stockes equation.
Abstract: Equation of non-stationary liquid flow in clearance between rotor and stator obtained through Navier-Stockes equation is solved by Fourier method.
Unstationare Flussigkeitsstromung im Spielraum zwischen dem Rotor und dem Stator vom Rotorapparat
Zusammenfassung: Mit Hilfe der Fourier-Methode ist es die aus der Navier-Stockes-Gleichung erhaltene Gleichung der unstationaren Flussigkeitsstromung im Spielraum zwischen dem Rotor und dem Stator gelost.
Ecoulement non-stationnaire du liquide dans le jeu entre le rotor et le stator de l’appareil de rotor
Resume: Par la methode de Fourier est resolue l’equation de l’ecoulement non-stationnaire du liquide dans le jeu entre le rotor et le stator recue a partir de l’equation de Navier-Stockes.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой