Неустойчивость типа «Змейки» компенсированного по заряду неоднородного электронного пучка

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физика


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК 537. 333
НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ТИПА «ЗМЕЙКИ» КОМПЕНСИРОВАННОГО ПО ЗАРЯДУ НЕОДНОРОДНОГО ЭЛЕКТРОННОГО ПУЧКА
В. П. Григорьев, И. Л. Звигинцев, П.Е. Кузнецов
Томский политехнический университет E-mail: grig@am. tpu. ru
Исследуется крупномасштабная поперечная неустойчивость частично компенсированного по заряду электронного пучка, обусловленная резонансом связанных поперечных колебаний потока электронов и ионного канала. Определены инкременты неустойчивости в зависимости от длины волны. Показано, что стабилизация этой неустойчивости происходит на нелинейной стадии в результате зависимости поперечной силы возмущения от смещения пучка от равновесной траектории.
Ключевые слова:
Электронный пучок, зарядовая нейтрализация, поперечные колебания, неустойчивость типа «змейки».
Key words:
Electron beam, charge neutralization, transverse oscillations, «snake» instability.
Введение
Для повышения эффективности использования низкоэнергетических электронных пучков в нанотехнологиях наряду с вопросами их формирования необходимо рассмотреть вопросы устойчивости таких пучков относительно крупномасштабных возмущений, приводящих к потерям электронов пучка при его транспортировке к мишени. Наиболее опасными в этом плане являются возмущения, приводящие к поперечному смещению пучка как целого, в результате чего пучок выпадает на элементы тракта транспортировки.
Основными представителями таких возмущений являются шланговая неустойчивость (мода колебаний с азимутальным числом единица) и неустойчивость типа «змейки».
Шланговая неустойчивость возникает при прохождении пучка по плазменному каналу для возмущений с длиной волны намного большей длины волны бетатронных колебаний электронов пучка в собственном магнитном поле [1, 2]. При таких возмущениях пучок под действием центробежной силы в поперечном направлении смещается вместе с каналом и скорость развития неустойчивости и инкремент зависят от массы плазмы, захваченной поперечным движением.
Неустойчивость типа «змейки» в отличие от шланговой связана с возмущениями, обусловленными относительным смещением электронного пучка и ионного канала без изменения формы поперечного сечения пучка, и развивается на частоте близкой к частоте бетатронных колебаний электронов пучка. Скорость развития и инкремент этой неустойчивости не зависят от массы ионного канала и превышают соответствующие параметры шланговой неустойчивости, что выделяет ее как наиболее опасную с точки зрения потерь электронного пучка. В настоящее время неустойчивость типа «змейки» достаточно полно исследована для компенсированных релятивистских кольцевых электронных пучков [3−5].
Однако следует ожидать, что неустойчивость такого типа может возникать в электронных пучках, используемых в технологических целях, для которых характерны низкие энергии и достаточно длинные импульсы. Кроме того, транспортировка таких пучков осуществляется в плазме с низкой плотностью (давление газа порядка10−4 Тор.), что приводит к слабой токовой нейтрализации электронного пучка, и основные возмущения можно связать с полем пространственного заряда.
Ниже мы рассмотрим поперечную неустойчивость компенсированного по заряду электронного пучка, когда из-за относительного смещения пучка и ионного канала пучок совершает колебания в электрическом поле ионного канала, а на канал действует поле пучка. При этом рост поперечных колебаний в системе происходит в результате наличия резонансов связанных поперечных колебаний потоков.
Исследование неустойчивости проводится на модели жестких пучков на линейной и нелинейной стадиях для неоднородного по радиусу электронного пучка.
Основные уравнения
Рассмотрим поперечные колебания в системе, состоящей из ионного канала и распространяющегося по каналу вдоль оси ъ электронного пучка с током 1Ь и скоростью иЬ. При этом полагаем, что плотности электронов пучка и ионов неоднородны и распределены по гауссовскому закону пь,і=п& lt-0)ехр (-г2/г2), где г — радиус в цилиндрической системе координат- гь — постоянная, характеризующая радиус пучка и плазменного канала- индексы Ь и і относятся к пучку и каналу соответственно. Для описания возмущений, связанных с относительным поперечным смещением электронного пучка и ионного канала введем вектор смещения пучка и ионного канала рЬі(і, г). Возникающие в результате таких возмущений поляризационные силы, действующие на электронный пучок со сто-
роны ионного канала и на ионный канал со стороны электронного пучка, запишутся в виде:
-$®1 pf + (8ть2 — s2т2) pbs1) = 0. (10)
Из уравнений (9), (10) следует дисперсионное
Fb =-e Jnb (|r± - p' |)E (|r± - p |)dr, (l) уравнение в линейном приближении для s=l:
F' = e Jn'(|r± - pb |)Eb (|r! -pb |)d?. (2)
Учитывая, что в отсутствии внешнего магнитного поля движение электронов в радиальном электрическом поле плоское, то, не теряя общности, можно считать возмущения одномерными Рь, 11, г)=Рь, 11, г)6х. При этом принимая во внимание связь цилиндрических и декартовых координат ^ ^ х «
Е = Е I 2 2 ех (3)
л/х2 + у2
и проводя интегрирование в (1) и (2) с учетом (3) [6], получим уравнения, описывающие колебания пучка и ионного канала
dt2
— = -2ne2nb0jLT p p
-^ = 2ne 2ni0 -Гьг p dt2 '0 p2
(p2 v 1 — exp I- ^
, (p2 V
1 — exp I-2fJ
(4)
(5)
С д д
где — = -+ V,-, р=рь-д, Уь — скорость распро-
са дї дг
странения электронного пучка, с — скорость света, е — элементарный заряд.
При слабой нелинейности разложим экспоненту в ряд до членов второго порядка по р2/2гь2. В результате уравнения движения для электронного пучка и ионного канала запишутся в виде:
с2Рь _ «2"(л 1 Р2^
dt2
— = -ть pi 1-т^ I,
dp dt2
I ~4 r-)'-
2 С 1 p2 Vp1 — 4 ц).
(б)
(Т)
Здесь (ob=(c/rb)(pb/y)(Ib/IA0))½ — частота колебаний центра тяжести электронного пучка в поле ионного канала, IA0)=mc3/e=l7, kA — ток Альфвена,
8=тупЬ,)/Мп (,)& lt-<-1, а=8112аь.
Анализ уравнений движения
на линейной стадии неустойчивости
Решение начальной задачи для уравнений (6), (7) представим в виде нелинейной плоско поляризованной волны с медленно меняющимися амплитудами [7]
1 от
Ра = - '-Epas (A z) exp[z'-s (kzZ -rnt)] + k.c. (8)
2 s=1
Подставляя выражение (8) в уравнения (6), (7) и отбрасывая медленные производные от pbs и pls и нелинейные члены, получим уравнения, определяющие амплитуды первого приближения
К2 — s2 (а — kzz)2p — а2pPS1 = 0, (9)
[®2 — (а — кг2)2][5ог2 — я2ю2] -8ть4 = 0, (11)
а также соотношение амплитуд и относительный сдвиг по фазе 9 колебаний электронного пучка и ионного канала:
p® =
8ть-= apb (1) =
8 т ь — я, а = ав91 рЫ) = |а| в91Ф. (12)
Заметим, что из-за отсутствия связи гармоник в первом приближении рЦ)=рЦ)=0 при я1. Уравнение (9) удобно переписать в виде
F (т) =-8"Ь
т
т
(т- kzvb)2
= 1,
(13)
которое совпадает с дисперсионным уравнением двухпучковой неустойчивости при замене плазменных частот пучка и ионов соответственно на ть и т. Уравнение (13) имеет неустойчивое решение при 0& lt-k<-(aЬ/vЬ)(1+S1/'>-Y/2.
В области волновых чисел т& lt-<-^ь<-юь (длинноволновая область) неустойчивое решение дисперсионного уравнения имеет вид
т= г---------ь--, (14)
і т:. і
I ЇМ — 1)
V2
и в пределе к2& lt-<-ю!2 неустойчивость развив-ется во времени с инкрементом ?=1шш (& amp-г)=Л0&-ги|,. В этой области возмущений сдвиг по фазе колебаний электронного пучка Ь ионного канала отсутствует, амплитуды колебаний различаются незначительно р!1)"(1-йг2и (2/т2)р (!1)~рм. Это указывает на слабость поляризационных сил в данном диапазоне длин волн. Максимальный инкремент неустойчивости достигается за счет резонансного усиления неустойчивости на длинах волн, близких к длине волны бетатронных колебаний пучка в поле
ионного канала (kг2vb2=k--vb2"mb2) и равен
=3 (8
Ят 2 12
1/3
т,
(15)
где дт и ют=ю (кт) — инкремент и частота в области резонанса. Что касается амплитуд колебаний, то в области резонанса амплитуда поперечных смещений пучка, как следует из выражений (12), (15), значительно превышает смещение ионного канала:
Р', 7РЬ1) =а '- 81' «1.
Анализ уравнений движения на нелинейной стадии неустойчивости
Во втором приближении, учитывая (11)-(15), из (6) и (7) вследствие кубической нелинейности,
обеспечивающей связь гармоник, получим рЬ2Р2)=0 для 81, 3, а для 5=3 следующую оценку
Рь
Рп-
(48)1/3) 1,15 гь
10−3.
(16)
В условиях резонансной неустойчивости, пренебрегая высшими гармониками (16), во втором приближении для амплитуд с 8=1 получим следующие уравнения
К2 — К — -к2р2)
-2(ат — К^Ь)^ф = 0.
аГ
(17)
-8ть2рЬ2) + (К- 2ш^ = 0. (18)
дГ
Умножая уравнение (17) на (8а& amp-2-тт), а (18) на ть2, в результате их сложения с учетом (11) получим уравнение для Ф в виде
дФ дФ
-Г + V& quot-•» = 7- «. Г, (19)
где и=(4а/4кг)}1г}1т~иь/3 — групповая скорость возмущений. Решение уравнения (19) при известном начальном условии Ф (г, 1=0)=Ф (г) имеет вид Ф (г, 1)=Фо (г^^) нелинейной стационарной волны, т. е. возмущения в данном приближении сносятся вдоль системы с групповой скоростью V?. При этом из уравнения (18) следует связь амплитуд колебаний электронного пучка и канала во втором приближении
. (1)
дФ
(2) (2)
р (1 -ору
2гата
8т-
К
дФ
(20)
В третьем приближении, учитывая (20), вторые производные по |, а также появление слабой явной зависимости от времени в амплитудах колебаний и соотношения (10)-(13), (17), получим следующее уравнение для Ф (?,|):
гю,
дФ. V- д& lt-Ф_ ______
~д — г К 32^
1--^| Ф Фв
2 $т*
(21)
Член, пропорциональный д2Ф/д|2, в уравнении (21) описывает диффузионное расплывание волнового пакета и несуществен для начальных возмущений со слабо неоднородной амплитудой, дФ/д?"0. Представляя Ф в виде Ф=|Ф|е9 и отделяя в уравнении (19) действительную и мнимую части, получим уравнения для модуля огибающей |Ф| и ее фазы 9 в пренебрежении расплывания пакета
д9 К -|Ф|2 в2дтГ. (22)
дГ 32 г2
д9
дГ
а
32 г2
¦|ф| 2 в25тГ.
(23)
Учитывая зависимость от времени полной амплитуды колебаний A (^,|)=|Ф (^,|)|exp (^m^), уравнение (22) перепишем в виде:
дА
дГ
СИ = -=7 IА
3 в^.
16Г
(24)
Решение уравнения (24) при А (?=0)=Ф (?=0)=Д (г) имеет вид
А = А,(7)в?тГ[1 + А2(7)(в2дтГ — 1)/16Гь2]-½. (25)
Зависимость полной амплитуды колебаний от времени при различных начальных условиях приведена на рисунке.
Рисунок Зависимость амплитуды поперечных колебаний электронного пучка от времени (А0/4гь): 1) 0,001- 2) 0,005- 3) 0,02- 4) 0,1- 5) 0,25
Из рисунка следует, что для малых начальных возмущений (Д& gt-/4гь)<-0,03 амплитуда поперечных колебаний пучка медленно растет во времени. Насыщение роста амплитуды колебаний достигается за время, равное нескольким постоянным роста д-1, и амплитуда при насыщении равна Ла=4гь. Режиму насыщения, как следует из (23), соответствует изменение частоты колебаний Лю3=Юь/2. Полученное значение амплитуды насыщения выходит за рамки применимости уравнений (6), (7). Поэтому для оценки характера движения системы при больших амплитудах вернемся к уравнениям
(4), (5). При учете в разложении правой части (4),
(5) членов более высокого порядка амплитуда насыщения сходится к величине Л3, 5гь. Это доказывает, что нелинейность колебаний стабилизирует неустойчивость типа «змейки» на достаточно больших амплитудах.
В заключение приведем некоторые оценки развития этой неустойчивости в реальных системах [8, 9]. При транспортировке электронных пучков с энергией 30 кэВ, Гь=3 см и током 1ь=170 А неустойчивость на линейной стадии развивается с инкрементом 4=2,2−106 с-1и при начальном возмущении Л0=0,02гь стабилизируется за время Т8=2,710 6 с. При токе пучка 15… 17 кА стабилизация неустойчивости происходит за время т8=(3… 2,7)10"-8 с.
Выводы
1. Резонансное усиление неустойчивости на длинах волн, близких к длине волны бетатронных колебаний нейтрализованного по заряду пучка, приводит при малом параметре 8 к значительному превышению инкремента неустойчивости
V
типа «змейки» над максимальным инкрементом шланговой неустойчивости gm& gt->-^SлlvT1/гЬ) [1−5].
2. Нелинейная стабилизация неустойчивости типа «змейки» имеет место на достаточно больших амплитудах поперечных колебаний электронного пучка.
3. Эта неустойчивость может развиваться и при инжекции пучка в плазму, если
(гЬ^уе¼с)(ІіЮ]/ 1Ь)2& lt-<-1, vef — частота столкновений электронов плазмы. В этом случае локальные зарядовые возмущения не будут компенсироваться плазменными электронами, т. к. они будут удерживаться собственным магнитным полем пучка и продвигаться вдоль его оси со скоростью дрейфа.
Работа выполнена при финансовой поддержке грантов РФФИ: № 12−08−213-а, № 12−08−251-а.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Иванов А. А., Рудаков Л. И. Мощный релятивистский пучок электронов в плазме // Журнал теоретической и экспериментальной физики. — 1970. — Т. 58. — № 4. — С. 1332−1341.
2. Михайловский А. Б. Теория плазменных неустойчивостей. Т. 1. — М.: Атомиздат, 1975. — 272 с.
3. Диденко А. Н., Григорьев В. П., Усов Ю. П. Мощные электронные пучки и их применение. — М.: Атомиздат, 1977. — 280 с.
4. Hofman I. Coherent oscillations of ring relativistic particles // Particle Accelerators. — 1979. — V. 8. — № 3. — P. 151−160.
5. Григорьев В. П., Диденко А. Н. Влияние нелинейных некогерентных колебаний частиц на поперечные размеры электронноионного кольца при развитии неустойчивости типа «змейки» // Известия вузов. Физика. — 1981. — Т. 60. — № 10. — С. 51−56.
6. Григорьев В. П., Захаров А. В. Неустойчивость типа «змейки» частично компенсированного по току электронного пучка //
Журнал технической физики. — 1990. — Т. 60. — № 4. -С. 67−71.
7. Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. — М.: Наука, 1974. -504 с.
8. Koval N.N., Grigoryev S.V., Devyatkov V.N., Teresov A.D., Schanin P.M. Effect of Intensified Beam in a Plasma-Cathode Diode // IEEE Trans. PlasmaSci. — 2009. — V. 37. — № 10. -P. 1890−1896.
9. Назаров Д. С., Озур Г. Е., Проскуровский Д. И. Генерация низ-коэнергетичных сильноточных электронных пучков в пушке с плазменным анодом // Известия вузов. Физика. — 1994. -Т. 37. — № 3. — С. 100−114.
Поступила 16. 05. 2013 г.
УДК 621. 039. 51
К РАСЧЕТУ ВОЗРАСТА НЕЙТРОНОВ В ГРАФИТЕ
А.В. Кузьмин
Томский политехнический университет E-mail: kuzminav@tpu. ru
Проведено сравнение результатов расчета возраста нейтронов деления по экспериментальным данным нейтронно-физических характеристик углерода из разных справочников. Приводятся алгоритмы расчета возраста замедляющихся нейтронов. Сравнение результатов расчета при замедлении нейтронов деления до энергии индиевого резонанса по методу групп показало хорошую сходимость с теоретическими и экспериментальными данными.
Ключевые слова:
Возраст нейтронов, сравнение справочных данных, алгоритмы расчета возраста, метод групп.
Key words:
Neutron age, comparison of the reference experimental data, solution algorithms, multigroup method.
В начале 40-х гг. прошлого века Энрико Ферми в поисках решения уравнения замедления, выраженного через поток замедления, учел функциональную связь между летаргией замедляющихся нейтронов и с возрастом т, т. е. «временем», прошедшим с момента испускания быстрого нейтрона до момента его детектирования. Он ввел новую переменную
, П (и)
ат =--------аи,
С2 х (и)
которая в интегральной форме в зависимости от летаргии
С П (и)
т (и) =777-аи (1)
О2 х (и)
позволяла оценить возраст в заданном интервале энергии по имеющимся экспериментальным данным физических свойств среды.
В выражение (1) в замедляющую способность С28(и) входят: ?(и) -среднелогарифмическая потеря энергии за одно соударение- 28(и) — эффективное макроскопическое поперечное сечение рассеяния среды, см-1. Коэффициент диффузии среды Б (и) (см) может быть определен через макроскопическое транспортное сечение рассеяния 2(г (и), см4:

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой