Использование обобщенного неравенства Левина—Стечкина в теории локального взаимодействия

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК 533. 601
Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2013. Вып. 3
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ОБОБЩЕННОГО НЕРАВЕНСТВА ЛЕВИНА-СТЕЧКИНА В ТЕОРИИ ЛОКАЛЬНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
Р. Н. Мирошин
С. -Петербургский государственный университет,
д-р физ. -мат. наук, профессор, miroshin-roman1938@yandex. ru
Теория локального взаимодействия (ТЛВ) — полуэмпирическая теория для расчета аэродинамических сил и моментов без решения задачи обтекания тела потоком. Она используется на этапе эскизного проектирования летательного аппарата, когда требуется выбрать оптимальную его форму среди множества вариантов. Исток этой теории — знаменитая формула Исаака Ньютона для давления при неупругом отражении атомов газа поверхностью, применяемая два столетия при определении ветровой нагрузки на здания и сооружения [1]. В связи с развитием сверхзвуковой авиации и космонавтики потребовалось уточнить формулу Ньютона, что было сделано в СССР в середине минувшего столетия [2−4]. ТЛВ нашла себе также применение в задачах проникания ударника в преграду [5].
В настоящей статье показано, как в рамках ТЛВ оценить аэродинамический коэффициент снизу посредством неравенства, обобщающего классическое неравенство Левина-Стечкина, на примере коэффициента лобового сопротивления.
Далее рассматриваются осесимметричные выпуклые летательные аппараты, образующая которых определяется параметрически как (1(7), г (7)}, 7 а & lt- 7 ^ 7 В.
Согласно ТЛВ, безразмерный коэффициент С (а) реакции среды на движущееся в ней тело (например, коэффициент аэродинамического сопротивления) выглядит следующим образом [3, с. 116]:
где Бм — характерная площадь тела (выбирается так, чтобы коэффициент выражался в единицах, а не в десятках), tg в = г'-/1'-, а С в (а) -коэффициент реакции острого кругового конуса с углом полураствора в под углом атаки, а с единичным радиусом основания. Угол атаки, а — угол между осью тела и направлением набегающего потока. Формула (1) отражает тот факт, что ТЛВ — частный случай метода касательных конусов.
Коэффициент реакции Св (а) для упомянутого конуса известен [3, с. 116]:
(1)
(2)
где 1 (Я) = 1 при Я & gt- 0, J (Я) = 0 при Я & lt- 0,
я = (^ - Ро)(Р1 — ро = 8 т (в — а), Р1 = 8 т (в + а),
(3)
© Р. Н. Мирошин, 2013
а / (4) -так называемая функция реакции, аккумулирующая в себе физику взаимодействия газа и поверхности обтекаемого тела. Например, для (модифицированной) формулы Ньютона при вычислении коэффициента лобового сопротивления функция реакции имеет вид
если 0 & lt- 4 & lt- 1, ро & gt- 0,
/ (4) Нп, (4)
I 0, если — 1 & lt- 4 & lt- 0.
Другие модели /(4) см. в [2−5]. Здесь 4 = сов (п, V), т. е. косинус местного угла падения (угла между внутренней нормалью «(7) к поверхности и вектором скорости V набегающего потока).
Представление (1) ранее использовалось нами для выяснения причин, объясняющих хорошее совпадение экспериментальных данных и формулы Ньютона (4) (см. [6]). Далее мы найдем нижнюю границу для Сд (а), а тем самым по (1) и для С (а) любого другого выпуклого тела. В качестве модели функции реакции берем модели типа (4), когда / (4) = 0 при -1 & lt- 4 & lt- 0, т. е. обращающиеся в нуль в области собственной тени. Кроме того, ограничимся такими, а и в, чтобы 0 & lt- ро & lt- Р1. В этом случае
Св (а) = -!- ГЩ*. (5)
^ 7 7Г81П/?. ]ро л/Д У ^
Инструментом для оценки интеграла (5) послужит прием, разработанный при выводе неравенства Левина-Стечкина в теории функций вещественного переменного [8], а для примера возьмем модель (4). Изложим этот прием, модифицировав его для интеграла по интервалу [а, 6] вместо [0,1] первоисточника [8] и дополнив процессом ортогонализации.
Напомним, что две функции у (4) и ^(4) называются ортогональными в [а, 6], если
/ у& gt-(г) л = 0.
Рассмотрим интеграл
I = I /(4) 9(4) А, 0 & lt- а & lt- 6,
«/ а
предполагая, что 9(4) -выпуклая непрерывная в (а, 6) функция, т. е.
и (4) =
1 1 1
?о ?1 4 9(4о) 9(41) 9(4)
& gt- 0 при, а & lt- 4о & lt- & lt- 6. (6)
С помощью процесса ортогонализации [9, с. 157] из системы функций {1,4, /(4)} построим систему {1,М (4), у (4)} ортогональных функций в [а, 6]. Сначала строим ортогональный к 1 полином М (4) = ац + 4, полагая
ро рЪ
/ М (4) = 0, / М2 (4) = ^
аа
откуда получаем
а + 6. а + 6 (6 — а)3..
«ю =--М (*) = (7)
На втором шаге включим в процесс ортогонализации функцию /(г):
у (г) = Я20 + а21М (г) — /(г). (8)
Коэффициенты 020 и а21 в (8) определяются из условий ортогональности у (г) к 1 и к М (?):
Ь р ь
/ у (г) ?г = 0, / у (г) м (г) ?г = о, (9)
«/а «/а
т. е.
ЬЬ а2о (6 — а) = /(г) а211 = м (г) /(г) (10)
аа
Очевидно, функция (6) и (г) имеет только два нуля в (а, 6) -это ?о и г 1, причем в [а, ?о) и в (?1,6] она положительна, а в (?о ,?1) -отрицательна. Если у у (г) тоже только два нуля, г*, и у (г) & lt- 0 в [а, го) и (?*, 6), а в интервале (?*, г*) функция у (г) положительна, то, отождествив г* и г* соответственно с? о и ?1, получим
ЬЬ
/ и (г) у (г) ?г = (г1 — ?о)/ д (г) у (г) ?г & lt- о.
аа
Подставив (8) в это неравенство, заключаем, что
р Ь р Ь р ь
/ д (г) /(г) ?г & gt- а2о / д (г) ?г + а21 / м (г) д (г) ?г. (11)
. /а. /а. /а
Неравенство (11) обобщает известное неравенство Левина-Стечкина [10, Д. 8]. То, что у у (г) есть по крайней мере два нуля, следует из наличия у у (г) двух соотношений ортогональности (9) (см. [8, с. 408]). Поэтому неравенство (11) окажется справедливым, если, исходя из свойств /(г), удастся доказать, что у у (г) нулей на самом деле не более двух.
Применим неравенство (11) к интегралу
Г Р1
I = п всв (а)=/ /(?) 9(г) ?г,
¦'- Р0
где, а = ро & gt- 0 и 6 = р1 & lt- 1 определены в (3), С в (а) задается формулой (5), а / (г) — формулой Ньютона (4),
^?у = -*)• (12)
Дважды дифференцируя д (г) в (12) по г, убеждаемся, что #'-'-(г) & gt- 0 при г € (ро, Р1), т. е. функция д (г) в (ро, р1) выпуклая. Подставив а, 6 и /(г) из (4) в (7)-(10), находим, что в системе ортогональных функций {1, М (г), у (г)}
Р0(2, , N 12Р0 А Р0 + Р1
а20 = у (р0 +/91Д/9о + /91), а21 = _ з (С1----с0
где
/¦Р1 р4 — /& quot-Р1 р5 —
С0 = / ^ = Р^Л0) С1= = Р^Л0 _
Ло 4 Ло 5
Так как
получаем
у (4) =2ро (- 43 + В4 — С),
где
13 С=-(р? + 4р? р0+4р1р§ + рЗ) & gt-0, в = -(3р2+4р1р0 + 3р2) & gt-0.
По правилу знаков Декарта [11], так как у (4) имеет две перемены знака, у у (4) при 4 & gt- 0 или два нуля, или ни одного. Поскольку у (4) удовлетворяет двум соотношениям ортогональности, у нее как минимум есть два нуля в (ро, Р1), т. е. у у (4) точно два нуля, 4* и 4*, в (ро, Р1). Имеющийся максимум у (4) в (ро, р1) положительный. Таким образом, у (4) & lt- 0 в (ро, 4*) и (4*, р*) и у (4) & gt- 0 в (4*, 4*). Следовательно, справедливо неравенство (11) для 9(4) в виде (12) и /(4) в виде (4):
/• Р1 Г Р1
I & gt- а2о / 9(4) + а21 / 9(4) М (4) ?4. (13)
^ Р0 ^ Р0
Так как
/• Р1 /• Р1
/ 9(4) ?4 = п, / 9(4) М (4) ?4 = 0,
& quot-'-Рп & quot-'-Рп
'- Р0 ^ Р0
неравенство (13) принимает окончательный вид
I & gt- 2роп (р2 + р2)(р1 + ро). (14)
Сравним это неравенство с неравенством, получающимся при замене 9(4) на шт 9(4) = 2/(р1 — ро):
1& gt- 4ро (р2 + ро)(р1 + ро), (15)
т. е. неравенство (14) точнее неравенства (15).
Таким образом, по крайней мере для модели Ньютона (4) в теории локального взаимодействия мы получили нижнюю границу для коэффициента лобового сопротивления конуса практически без вычислений. Для любой другой модели ТЛВ на указанном пути получается неравенство (11), если удастся доказать, что у (4) имеет только два нуля в (ро, р1). Известные пока модели ТЛВ все представляются полиномами второй, третьей или четвертой степени (см. [2−4]) по 4, так что решать вопрос о количестве нулей можно после небольших выкладок также по правилу знаков Декарта.
Литература
1. Черный Г. Г. Течения газа с большой сверхзвуковой скоростью. М.: Физматгиз, 1959. 220 с.
2. Мирошин Р. Н., Халидов И. А. Теория локального взаимодействия. Л.: Изд-во Ле-нингр. ун-та, 1991. 276 с.
3. Мирошин Р. Н., Халидов И. А. Локальные методы в механике сплошных сред. СПб.: Изд-во С. -Петерб. ун-та, 2002. 304 с.
4. Бунимович А. И., Дубинский А. В. Развитие теории локального взаимодействия // Исследования по истории физики и механики, 1991−1992. М., 1997. С. 198−219.
5. Ben-Dor G., Dubinsky A., Elperin T. Applied high-speed plate penetration dynamics. Dordrecht: Springer, 2006. 357 p.
6. Мирошин Р. Н. Асимптотика по малому углу атаки коэффициента реакции осесим-метричного тела в теории локального взаимодействия // Аэродинамика: Сб. статей / под ред. Р. Н. Мирошина. СПб.: Изд-во НИИ Химии СПбГУ, 2002. С. 120−129.
7. Мирошин Р. Н. Метод моментов в аэродинамике. СПб.: Изд-во ВВМ, 2012. 141 с.
8. Карлин С., Стадден В. Чебышёвские системы и их применение в анализе и статистике / пер. с англ.- под ред. С. М. Ермакова. М.: Мир, 1976. 568 с.
9. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции: в 2 т. / пер. с англ. Н. Я. Виленкина. М.: Наука, 1966. Т. 2. 205 с.
10. Харди Г. Г., Литтльвуд Дж. Е., Полиа Г. Неравенства / пер. с англ. В. И. Левина с доп. В. И. Левина и С. Б. Стечкина. М.: Гос. изд-во иностр. лит., 1948. 456 с.
11. Полиа Г., Сеге Г. Задачи и теоремы из анализа: в 2 т. / пер. с нем. Д. А. Райкова. М.: Наука, 1978. Т. 2. 431 с.
Статья поступила в редакцию 28 марта 2012 г.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой