Нижние оценки для константы эквивалентности жесткости кручения и момента инерции относительно границы

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Том 153, кн. 4
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
Физико-математические пауки
2011
УДК 517. 5
НИЖНИЕ ОЦЕНКИ ДЛЯ КОНСТАНТЫ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ ЖЕСТКОСТИ КРУЧЕНИЯ И МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ОТНОСИТЕЛЬНО ГРАНИЦЫ
Д.А. Абрамов
В статье рассмотрена задача приближенного вычисления коэффициента жесткости кручения для одпосвязпых областей. Сформулирован подход к определению функции расстояния, предложен численный метод вычисления момента инерции относительно границы. При помощи численного эксперимента была улучшена оценка для константы эквивалентности коэффициента жесткости кручения и момента инерции относительно границы.
Ключевые слова: жесткость кручения, момент инерции относительно границы, метод сопряженных градиентов, задача Дирихле.
Исследование задачи жесткости кручения упругих стержней имеет более чем двухсотлетнюю историю. Особый интерес для изучения представляет введенная Ш. Кулоном [1] безразмерная величина, называемая коэффициентом жесткости кручения и зависящая только от геометрической формы П поперечного сечения и размеров упругого стержня. Исследованию данной величины посвящено большое количество работ (см. например. [2 4]). В классическом труде Сен-Венана [4] коэффициент жесткости кручения стержня с односвязным поперечным сечением определяется следующим образом:
где и = и (х, у) — решение (называемое функцией напряжений) однородной задачи Дирихле для уравнения Пуассона Ди = - 2 с краевым уеловием =0.
Поскольку задача нахождения и решена только для узкоспециальных классов областей, важной проблемой, возникшей в работах Коши и Ссн-Вснана. является проблема нахождения геометрического функционала, эквивалентного коэффициенту жесткости кручения стержня с односвязным поперечным сечением.
В работе [5] предложено следующее решение данной задачи: в качестве параметра, эквивалентного Р (П), введен функционал I (дП), называемый моментом инерции области П относительно границы (евклидовым моментом инерции):
где ^^х, у) — расстояние от точки (х, у) € П до границы дП области П. Эквивалентность понимается в обычном смысле: существуют константы, А & gt- ^ & gt- 0 такие,
Аннотация
Введение
(дП) & lt- Р (П) & lt- АI (дП)
(1)
для любой односвязной области П С С. Для некоторого класса областей, А введем точную константу эквивалентности, заданную выражением
Тогда в соотношении (1) Л = А (А), если, А — класс односвязных областей.
Известно [5], что Л ^ 64, однако эта оценка является неточной. Л. В. Ковалевым было показано1, что, А & gt- 4- впоследствии в [6] приведена оценка, А & gt- 4. 08, которая справедлива для некоторых типов секторов. Легко видеть, что данная оценка может быть улучшена снизу, если найдется так называемая «экстремальная» область для которой отношение Р (°)/1 (д°) будет превосходить 4. 08. Однако функции напряжений и расстояния нельзя записать в явном виде для произвольной области, что снлыю усложняет поиск.
Целью настоящей работы является уточнение оценки константы А, а именно разработка программного комплекса для приближенного вычисления отношения Р (П)/1 (д П) произвольной области П и поиск экстремальной области среди всевозможных односвязных областей. Для удобства разобьем задачу на три этапа: вычисление функции напряжений, нахождение функции расстояния и вычисление функционалов Р (П) и I (д П).
1. Вычисление функции напряжений
Для решения задачи Дирихле воспользуемся методом конечных элементов. Исходную область разбиваем на множество треугольных элементов. После разбиения область представляет собой объединение из М треугольников, имеющих в совокупности п вершин. Эти вершины будем считать узлами разбиения. Далее, следуя [7], на каждом треугольном элементе Ат, т = 1,…, М с номерами вершин г,], к € {1,…, п} искомое решение аппроксимируем кусочно-линейной функцией & lt-^>-(т)(х, у) = а.1 + а. 2Х + азу. Коэффициенты а. 1, а. 2, аз определяются из системы ^(т)(Х8,У8) = Ф3, в = г,], к, то есть в узлах (Х3,У3) треугольника функция принимает неизвестные пока значения Фя функции напряжений. Решив полученную систему, запишем аппроксимирующую функцию в более удобном виде:
^(т) = Щ.ф. + Щ Фу + МкФк,
N = (а8 + Ь8х + е8у)/2|Ат|, в = г,], к, (2)
где |Ат| - площадь треугольного элемента Ат, а коэффициенты определяются координатами его вершин:
= XуУк — ХкУу, I, а = ХкУ- - ХгУк, I аг = ХгУу — Х0Уг, Ь = Уу — Ук, К = Ук — Уг, = У — У, (3)
Сг = Хк — Ху — [ег = Хг — Хк- [е = Ху — Хг.
В вариационной формулировке решение задачи Дирихле для уравнения = = - 2 с граничным уеловием сводится к отысканию минимума функцио-
нала
хЫ = //
п
кю+кю-*
?х ?у.
(4)
1Л.В. Ковалёв. Личная переписка с Ф. Г. Авхадиевым.
Поскольку аппроксимирующая функция у является непрерывной, интеграл в (4) можно разбить на сумму интегралов по треугольным элементам Ат, т = 1,…, М, в каждом из которых функция у (т) = у& gt-. непрерывна. Обозначим д (т) = Уу (т) и перепишем (4) в матричном виде:
м
м

-д (т)Тд (т) — 2& lt-р{т)
Сх? у.
(5)
Учитывая (3), градиент д (т) перепишем в виде:
д (т) =
[0] т (ш) [0] сЩт) [0]
дх дх дх дх
[0] т (ш) [0] дМ (ш) [0]
ду ду ду ду
[0] [0]
'-[0]'-
[0]
Ф
[0] фк
[0]
= д (т)Ф (т)
ф (т)
(т)& quot-
Уд) удовле-
/ д=1
где элементы матрицы Д (т) = (?Р^)) и вектора
творяют условиям: сСр^) = у! дт) = 0, д € {г,^, к}, 1 & lt- д & lt- п, р = 1, 2. Из (2)
следует
1
д (т)
2|А
[0] Ьг (т) [0] б (. т) [0] бкт) [0] [0] е (т) [0] е^ [0] 4т) [0]
Решая задачу минимизации функционала (5) на каждом конечном элементе, получим следующую систему линейных уравнений относительно вектора неизвестных Ф (т):
м
т=1
м
^ -°(т) ?(т)ф (т) СхСу = 2 ^ / / N (т) СхСу.
т= 1
(6)
Правую часть (6) можно упростить, используя выражение для вычисления интеграла
Ц ЩЩЩ СхСу =
2а! Ь!е!
(а + Ь + е +2)!
|Ат|, а, Ь, е € N и {0},
(7)
приведенное в [8]. Учитывая, что подынтегральное выражение в правой части (6) но зависит от переменных интегрирования, получим систему уравнений:
м
м
^ ?& gt-(т) ?& gt-(т)Ф (т) = г
Лт)
(8)
где е
(т) = Л (т)
д=1
вектор, элементы которого задаются условием:
е (т) =
ед =
1, д €{г,^'-, к},
0, д € {г,?к}
1
П
А
Рис. 1. Вычисление расстояния
Так как матрица системы (8) сильно разрежена и имеет большую размерность, для ее решения используем метод сопряженных градиентов, впервые приведенный в оригинальной работе Хестенса и Штифеля [9]. Ниже представлен алгоритм данного метода решения СЛАУ вида Ax = b, размерности n х n, с относительной погрешностью е. Алгоритм оптимизирован для программной реализации.
n
1. Инициализация: k = 0, р = ||b||2 = |bj|2, р2 = 1, x = 0, p = 0, г = b.
i=i
2. p = г + (pi/p2)p.
3. w = Ap.
4. а = pi/(p, v).
5. x = x + ap.
6. г = г — aw.
7. P2= PI, Pi = IMIi•
8. Если & gt- e||b||2, то возврат к 1. Иначе x искомое решение.
2. Вычисление расстояния
По аналогии с функцией напряжений, функцию расстояния будем аппроксими-
M м
ровать кусочно-линейной функцией 5 = ^ на множестве из M
m=1 m=1
треугольных элементов. Вектор ET = (dist2(X1, Y1),. dist2(Xn, Yn)) представляет собой квадраты расстояний от вершин (Xi, Yi) треугольных элементов области О до границы.
Рассмотрим процесс вычисления расстояния от некоторой внутренней точки
O (X, Y) до границы 3Q (см. рис. 1). Каждый сегмент границы вместе с точкой O
образует треугольник, следовательно, dist (X, Y) = min 5j, где 5j — ^^^стояние в i-м
i
треугольнике: минимум берется по всем треугольникам. Если углы при основании треугольника острые (как в ДАОВ), то расстояние 5i ^^^^^^тся вы соте Oh. Иначе (АБОС) 5i = min (OB, OC) сторона ОС не является расстоянием, так как пересекает границу, она никогда не будет учитываться, поскольку всегда существует высота, меньшая OC). Таким образом, для некоторого треугольника с длинами сторон а, ?, y (сторона длины y является сегментом границы) квадрат расстояния до границы задается следующим образом:
2 fa2 — (y2 + а2 — ?2)2/4Y2, а2 + y2 & gt- ?2 и ?2 + y2 & gt- а2, 5i2 =
I тт (а22), а2 + y2 & lt- ?2 или ?2 + y2 & lt- а2.
Рис. 2. Классы областей ЯТ и ЯМ
3. Вычисление жесткости кручения и момента инерции относительно границы
Искомые функции напряжений и расстояния мы аппроксимировали кусочно-линейными функциями ^ и 6, имеющими вид:
м
м

т= 1
т=1
где V — вектор значений функции в узлах разбиения области П. Вычислим интеграл V:
м
м
м
?ж^у = ^ // V (т) ?сйу = X) // N^^^у = ^ VМ/ N (т) ?ж^у.
Используя формулу (7). получнм выражение для вычисления интеграла:
м
^ж^у = ^ V7 / / N (т) ?ж^у
т= 1
м
м
]Т V7е (т)|Ат|/3 = + V + ^)|Ат|/3. (9)
Таким образом, жесткость кручения и. момент инерции относительно границы можно вычислить с учетом (9):
м
Р (П) = 2 ^ (Ф4 + Ф, — + Фк)|Ат|/3,
(Ю)
м
I (дП) = ]Т (Е + Е + Ей)|Ат |/3.
(Н)
Используя формулы. (10). (11). можно приближенно вычислить функционалы Р (П) и I (дП) для односвязной области П, граница которой представляет собой произвольный многоугольник.
4. Результаты численного анализа
Для оценки константы, А был разработан программный комплекс, предназна-
ченный для вычисления функционалов Р (П) и I (дП) от односвязной области П,
1
1
Рис. 3. Классы областей ЯТ (п, а) (вверху) и (п, а) (внизу)
представляющей собой произвольный многоугольник. Все основные расчеты проведены при разбиении области, содержащем порядка 105 узлов. Погрешность приближенного вычисления была оценена на областях, для которых искомые функционалы имеют аналитическое решение (см. [2, 3]). Расхождение между численным и точным решением варьируется в пределах от 0. 0004% до 1. 1%.
Целыо численного анализа было нахождение экстремальных областей, для которых значение Л существенно бы превышало 4. 08. В связи с этим интересными оказались следующие классы областей. Обозначим через БТ (п, а) класс звездообразных областей с п лучами и отношением высоты луча к его основанию, равному а- также введем масс «снежинок» (п, а) с аналогичными параметрами (см. рис. 2).
Рис. 4. Вверху: область П3. Внизу: результаты моделирования функции расстояния (слева) и функции напряжений (справа) для П3
Результаты численных расчетов, представленные на рис. 3. позволяют сделать следующие выводы:
1. В классе ЙГ найдется область П1 (п = 7, а «3. 9) такая, что Р (П1) «» 4. 64/(дП1) и выполняется следующее неравенство:
А & gt- А (ЙГ) & gt- 4. 64.
2. В классе найдется область П2 (п = 7, а «2) такая, что Р (П2) ~ «4. 8/(дП2) и выполняется следующее неравенство:
А & gt-) & gt- 4.8.
Далее был исследован класс областей, производных от имеющих вид многогранника с разрезами различных соотношений. На рис. 4 приведена область П3, а также результаты приближенного вычисления функций расстояния и напряжений для этой области, представленные в виде трехмерных поверхностей. Высота каждой точки поверхности определяется значением соответствующей функции.
Для области П3 верно приближенное неравенство Р (П3) «6/(дП3). Следовательно, в классе односвязных областей константа эквивалентности, А ^ 6.
Автор выражает глубокую благодарность доктору физико-математических наук, профессору Ф. Г. Авхадиову за предложенную задачу и ценные замечания, а также доктору физико-математических наук, профессору А. Б. Мазо за предоставленную программу триангуляции области.
Summary
D.A. Abramov. Lower Estimates for the Equivalence Constant, of the Torsional Rigidity and the Moment of Inertia about a Boundary.
In this paper, we consider the problem of approximate computation of the torsional rigidity coefficient for simply-connected domains. An approach to the distance function determination is defined: a numerical method for calculating the moment of inertia about a boundary
is proposed. Using a numerical experiment, the estimate for the equivalence constant of the torsional rigidity coefficient and the moment of inertia about a boundary is improved.
Key words: torsional rigidity, moment of inertia about a boundary, conjugate gradients method, Diriclilet. problem.
Литература
1. Coulomb C.A. Recherches theoriques et experimentales sur la force de torsion, et sur l'-elasticite de fils de metal // Mem. de l'-Acad. de Sci. 1784. P. 229 269.
2. Полна Г., Се. гё Г. Изопериметрические неравенства в математической физике. М.: Наука, 1989. 336 с.
3. Арутюияи Н. Х., Абрамян Б. Л. Кручение упругих тех. М.: ГИФМЛ, 1963. 688 с.
4. Сеи-Веиаи Б. Мемуар о кручении призм. Мемуар об изгибе призм. М.: ГИФМЛ, 1961. 519 с.
5. Aexaduee Ф. Г. Решение обобщенной задачи Сеп-Вепапа // Матем. сб. 1998. Л» 12. С. 3 12.
6. Гиииятова, Д.Х., Салахудииов Р. Г. Евклидовый момент инерции и модифицированная жесткость кручения // Труды матем. центра им. Н. И. Лобачевского. Казань: Казан, матем. о-во. 2007. Т. 35. С. 74 75.
7. Сегерлиид Л. Применение метода конечных элементов. М.: Мир, 1979. 392 с.
8. Eisenberg M.A., Malvern L.E. On finite element integration in natural co-ordinat. es // Int. J. Kurner. Met. li. Eng. 1973. V. 7, No 4. P. 574 575.
9. Hestenes M.R., Stiefel E. Methods of Conjugate Gradients for Solving Linear Systems // J. Res. Nat. Bur. Stand. 1952. V. 49, No 6. P. 409 436.
Поступила в редакцию 15. 04. 11
Абрамов Денис Александрович аспирант кафедры теории функций и приближений Казанского (Приволжского) федерального университета.
E-mail: quaerixQgmail. com

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой