Нормальные напряжения и скорости медленных процессов в многотемпературных потоках газов с химической и колебательной неравновесностью

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физика


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК 533.6. 011. 8
Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2013. Вып. 2
НОРМАЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ И СКОРОСТИ МЕДЛЕННЫХ ПРОЦЕССОВ В МНОГОТЕМПЕРАТУРНЫХ ПОТОКАХ ГАЗОВ С ХИМИЧЕСКОЙ И КОЛЕБАТЕЛЬНОЙ НЕРАВНОВЕСНОСТЬЮ*
Е. В. Кустова1, Г. П. Облапенко2
1. С. -Петербургский государственный университет, д-р физ. -мат. наук, профессор, kustova@math. spbu. ru
2. С. -Петербургский государственный университет, студент, kunstmord@gmail. com
1. Введение. В работе рассматривается течение смеси газов в условиях сильной колебательной и химической неравновесности. Учет неравновесных явлений важен, к примеру, при изучении входа в атмосферу Земли летательного аппарата, движущегося со сверхзвуковой скоростью. Для рассмотрения неравновесных течений смесей газов в работе используется метод Энскога-Чепмена в нулевом и первом приближениях.
Важными параметрами течения являются нормальные напряжения и скорости неравновесных процессов. В вязком газе при наличии быстрых и медленных процессов эти параметры не являются независимыми, однако в большинстве работ по химической кинетике выражения для скоростей реакций рассматриваются лишь в нулевом (невязком) приближении метода Энскога-Чепмена и, следовательно, не связаны с тензором напряжений. В [1] в рамках однотемпературной модели были получены выражения для скоростей реакций и нормальных напряжений в первом приближении при наличии химической неравновесности, установлена связь между этими величинами, а также показана взаимосвязь этих результатов с выводами линейной термодинамики необратимых процессов [2]. Для течений с колебательной неравновесностью связь скорости релаксации и тензора напряжений мало исследована, некоторые предварительные результаты для частных случаев обсуждаются в [3, 4].
В настоящей работе для случая произвольного числа реакций и обменов колебательной энергией в рамках многотемпературного приближения получены выражения для скоростей реакций и нормальных напряжений в симметричной форме, аналогичной представленной в [1]. Это позволяет доказать соотношения взаимности Онзагера-Казимира и установить взаимное влияние релаксационных процессов и нормальных напряжений.
2. Постановка задачи. Многотемпературное приближение справедливо при следующем отношении между временами релаксации [5]:
Ttr & lt- Trot & lt- TVV & lt- TVT & lt- Treact ~ 0, (1)
где Ttr, Trot, Treact — соответственно времена релаксации поступательных и вращательных степеней свободы и время химических реакций, tvv, tvt — средние времена
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты № 11−01−408, № 12−08−826).
© Е. В. Кустова, Г. П. Облапенко, 2013
УУ-обменов колебательной энергией и УТ-переходов колебательной энергии в поступательную, в -характерное время изменения макроскопических параметров потока.
Уравнения переноса для макропараметров в многотемпературном приближении для модели ангармонического осциллятора приведены в [5]:
НП -& gt-
с + псУ • + V • (псУ с) = Кгсеасг, с =!,… ,?, (2)
& amp-
4-*-* «
Р^ = -V • +: VI?, (4)
& lt-Ж,
Рс^ + У-Чы, с = Ес-ЖстсНгсеагЛ + ]?с7-(рсУс), с=1,…, Ьт, (5)
где пс — числовая плотность частиц сорта с, 1 — скорость потока, р — плотность смеси, V с — скорость диффузии частиц сорта с, Р — тензор напряжений, и — полная средняя энергия частиц в расчете на единицу массы, & lt-/ - поток энергии, рс — плотность частиц сорта с, Шс — среднее число колебательных квантов сорта с, & lt-/ - поток числа колебательных квантов в молекулах сорта с- Ь — число химических сортов в смеси газов, Ьт -число молекулярных сортов в смеси газов [5]. Релаксационные члены определяются следующим образом:
_ Е *с / ^ кеасг _ Е / (6)
гЗ гЗ
где г, ] -колебательные и вращательные уровни частицы сорта с, 1 — скорость частицы сорта с. Также через гс обозначаем колебательный уровень: индекс с введен, чтобы подчеркнуть принадлежность данного состояния химическому сорту с (для удобства описания многотемпературного распределения).
Оператор медленных процессов JS? j и оператор процессов, приводящих к химическим реакциям JCijlCt, представимы в следующем виде:
тв1 _ тгги | ттва^ ттва^ _ т22. т23 (7)
исЗ _ исгЧ + исгЧ, исЗ _ и сЗ + и сгз '- (7)
Оператор ^П'-, соответствующий в многотемпературной модели неупругим столкновениям с УТ-обменом, оператор бимолекулярных химических реакций J'-2J?З2 и оператор химических реакций с диссоциацией 3 задаются следующими формулами:
~ дстЦ^ШТы, (8)
I
J:
¦22 сЗ
ЕЕЕ
йс'-й'- кг'- к'- З'- I'-
с'-г'-з

к'-1'-
Ь3ЬЫ 8г'-З 8 к'-1'-
гпс'-та тс та& gt-
1съз 1йк1 I X
х '-'-(9)
3
4 Г = ???/ -х
х да^^в^в-?и-вйа, (10)
где, а — дифференциальные сечения процессов, Н — постоянная Планка, -- = -И- -г/Г — относительная скорость частиц до столкновения, тс — масса частицы сорта с, ^^ - статистический вес, /Сц — функция распределения частицы сорта с, находящейся на г-м колебательном и ^'--м вращательном уровнях (/С'-, /f'- -функции распределения атомов — продуктов диссоциации), /к1 = /йы (г, -й'-, ?), -й — скорость частицы сорта в после столкновения.
Рассматривая каждый вид реакции отдельно, представим оператор медленных процессов как сумму операторов каждой конкретной реакции и каждого УТ-перехода:
Щщ N22 N23
^ = +2^ ^сг^сгу + ?^ & quot-г^сг], (11)
= 1 Г=1 Г = 1
(р) _ у (г)
г, сг r, ci,
где игсг -глобальные стехиометрические коэффициенты (^г, сг = V г соответствуют продуктам и реагентам),, N22, N23 -число реакций УТ-обмена, бимолекулярных реакций и реакций диссоциации соответственно. Данное представление аналогично данному в [1], но является более общим, так как учитывает УТ-обмены.
Нашей задачей является изучение тензора напряжений Р и релаксационных членов Щ? и ЕГеасЛ в нулевом и первом приближениях метода Энскога-Чепмена.
3. Нулевое приближение. Функция распределения в нулевом приближении представляет собой распределение Тринора
,(о) _ (тс 3/2 пс (тсс2с ?сз
АО) _ (тс у^ пс с / тсс~ е^___ • I
*ы*-2ккт) 2кТ кТ кТ с'-1с Г [ '-
где
к — постоянная Больцмана, — статистическая сумма по внутренним степеням свободы, с с — собственная скорость частицы сорта с, ес — вращательная энергия молекулы, е — колебательная энергия молекулы, е] = е^ + ес — внутренняя энергия молекулы, Тс — температура первого колебательного уровня молекулы сорта с, которая определяет заселенность г-го колебательного уровня псг.
В нулевом приближении метода Энскога-Чепмена, благодаря максвелловскому распределению по скорости, для системы (2)-(5) имеем -- (0) = 0, -(0) = 0, — (0) = -р и, где р = пкТ, и — единичный тензор.
Вычислим скорости медленных процессов в нулевом приближении. Подставляя выражение (12) для функции распределения нулевого порядка в формулы (8)-(10) (с учетом представления (11), т. е. все колебательные переходы и реакции считаем фиксированными) и упрощая, получаем
ЛТ (0) = «? / /(0)/^]?2ш-Г, (14)
где
Jcij '- () — Гcc'-dd'-ii'-hh'-^s / fCijfdkl3acd, ijki d'-2& amp-dud, (15) ij'- i'-
jTj ^ - rf W ff grfjM d-f '-d-#, (16)
l
rcntr — 1 — exp (Ac (ic — iC)), (17) r22, r = Z^Zftnrjng, f mcmd 3/2
cc'-dd'-ii'-kk'- Zi^Zfit ncnd mc, md,) X
x + w ~ W ~ W + Xcic + Xdkd~ Xc, i'-c'-~ Xd'-k'-d'-)'-
r2f, 3-r = 1 — Z^^i^h* (-^-) exp + ^ - ^ + XrJc). (19)
ccfl c nc mc, mf, 2nkT J FkT kT kT J V '-
3/c
cCfi-^-^c — & quot- ymc, mf, 2nкт/
Функции Гв'-г (здесь и далее нижние индексы будут опускаться для упрощения записи,? — int, 2 ^ 2, 2 ^ 3) можно рассматривать как термодинамические силы, связанные с неравновесными процессами. В случае слабых отклонений от равновесия эти силы сводятся к аналогам сродства химических реакций, а для VT-обменов — к разнице колебательных температур 1/Tf — 1/T.
Если ввести интегральные сечения реакций, зависящие только от относительных скоростей частиц,
-%ы (g) — f «Zjki (g, v) Jcv, (20)
Щ43к1 (9)_ / & lt-!Мк1 2(21) (д,-1 ^'- Н-1 Н-1'-, (22)
то выражения (14)-(16) можно записать в общем виде
JCTS) _гт Е[ (23)
3'- I'-
опуская суммирование по I'- в случае УТ-обмена и по у'-, V — в случае реакции диссоциации. Здесь под af? т подразумевается огс3зк1 для реакций УТ-обмена, & lt-/33 & quot- '- - для обменных реакций и ст1® к -для реакций диссоциации. Введем коэффициенты скорости прямых реакций:
к1, г = Ко, Е / да1, тЛ1Ш^с1дмс, (24)
^ псспкк
где Ыа -число Авогадро.
Скорость реакции (с учетом того, что г, г'-, к, к'- фиксированы) вычисляется следующим образом:
Используя выражение (24), в нулевом приближении получаем
l ьс
й0) = гг4? П П (?г)(26)
с=1г=1 4
где под Гг в зависимости от типа реакции имеется в виду либо ГггЛ'-г, либо р22& gt-г, либо Г23'-г- Ьс — число колебательных уровней у компоненты сорта с.
г- (пп тугеас1 (0) (0)
С учетом (26) выражения для Кс и Кс принимают следующий вид:
'-N22 N2
u0kr + Е v -i (0)
r=1 r = 1
Rrct (0) = N^ (E vr, c4%ir +? I, (27)
(N?^1 N22 N23
V V -)(0) + V V -)(0) + V V -е (0)
Г = 1 Г=1 Г=1
, / Nint. N22 N23
Щ- ?Д*С? Е ], (28)
гг'- V г=1 г=1 г = 1
где Д"с = гс — гс.
Таким образом, благодаря представлению (11) для случая произвольного типа химических реакций и УТ-обмена удалось показать, что скорости медленных процессов и релаксационные члены являются линейными функциями величин Гг. Этот факт позволяет получить симметричные выражения для скоростей реакций и нормальных напряжений в первом приближении.
4. Первое приближение. Функция распределения в первом приближении представима в виде
* = * (°) + * (1) * (1) = * (0), л (29)
/ сгу = * с] + * с], * с] = * с] тсгу, (29)
а поправка первого порядка определяется из уравнения
-? псп^] ы = +я/^, (30)
где О/с, 0] = д/с0/дЪ + -- с ¦ V/c (гtj), а линеаризованный оператор быстрых процессов 1сг]й (& lt-р) определен в [5]. Функцию распределения первого приближения можно записать в следующем виде:
*(0) (ьт ь
/с (5 = • - • VIIIТ? — • ^ - В с,-: VI?-
1
d=1 d=1
— Fcij V • В — Е Gj rmt'-r — Е 2'-r r2& quot-2'-r — Е G2j3, r r2^r),
r r r
(31)
где d c — диффузионные термодинамические силы, а коэффициенты A cij, A drj), В cij, D& lt-dij, Fcij,, ? = int, 2 ^ 2, 2 ^ 3 — неизвестные функции собственной скорости
молекул и макропараметров. Следует отметить, что функция распределения (31) отличается от полученной в [5] для многотемпературной модели тем, что вместо члена Ссг] мы имеем комбинацию последних трех членов, в которые явно входят обобщенные термодинамические силы Гг
Г
2 ^ 2 ¦
Г
Уравнения для, А сг], А
й (1)
В,
Б'-
2 ^ 3,1
РгЛЛ, С], в = гпЪ, 2
2, 2 ^ 3 по-
1сг], -п- сг] - ^ сг] ^ сгр ± сг] - сг] ¦
лучаем, подставляя (31) в (30) и приравнивая коэффициенты при градиентах одних
и тех же макропараметров. Для, А сг], А ], В сг], Б^, Есг] уравнения полностью соответствуют тем, что приведены в [5], а для СвГ получены обобщенные уравнения

1
(0) сг]
ФвГ, г = 1,

(32)
где в = гпЪ, 2 ^ 2, 2 ^ 3 и

сг]
Ь^Ра дТ* дТ*)
+ ^
гс? 1
fcT1cJ
й=1 '- 1 ТС
дШс дТС
Е-
— тт'-гпЬ _ т
(33)
к
р
с
Ьт г, тт / ч -1
а Фо? V р* дт*дт?) йк'-г
ь

д г На] - - ы _±_ I УУУс —с — УУсЧЬс
ф° ?1 к дплУкТп т1 Удт1) V рс '-
kT1cJ
-1
N
+ ТГЕ^-^- 7 = 22, 23, (34)
кй соответствует числу колебательных квантов сорта в и
, гс = Vr, cг Е^ /йкгда/, г?2Ш- й
I]'- I
(для 7 = 2 ^ 3 суммирование по ]'-, V опускается), ] = ^ -), осреднение выполняется по формуле
& lt-Су>- = ?г Е ехР — •
с г]
Также введены следующие дополнительные обозначения:
ди Ьт ди д~№с (д'-Шс 4 -1
(35)
с= 1
ф° дТ ^ дТС дТ V Щ I '- ^
ь ьл / ч
= г П П (^) '- Т = 22, 23, (37) й=1к=1
Hcij — у I -- + -+
3 mcc
---1---
2 2 kT
2 ccc
(4 — ic? C0 '-ir?l 1 dWc
кТ — кТ1. Тс дТ
(38)
Для однозначности определения А, Аь (1), В, I, ?, Ст4'-т, С22'-т, С23'-т система уравнений для них должна быть дополнена условиями нормировки, которые также приведены в [5]. Отличие состоит в том, что вместо одного условия на Осз = Ет & amp-?'-тТыг'-т + ?т 2'-тГ22'-т + ?т 3'-тГ23'-т указанные там условия норми-
JT CIJ
ровки налагаются на каждую из функций G именно
G2^
cij '- cij
Gz^o. r
— - в отдельности, а
cij
Е / d-c ij
0, c = 1,
, L, r = 1,…, N7, y = int, 2 ^ 2, 2 ^ 3, (39)
cij
= 0. r = l,…, W7, 7 = mi, 22, 23, (40)
2 ij cij
^ / fdjaliJduc
(0)
c fcij cij
ij
0, c = 1,

r = 1,…, Ny, y = int, 2 ^ 2, 2 ^ 3. (41)
Теперь рассмотрим выражения для тензора напряжения и скоростей реакций в первом приближении. Тензор напряжений может быть выписан в следующем виде:
P = -pU / mc~c c~e cfcij^cijd~u c =
= -P
-pU + IW"c^c^c/g (^: w + FcijV • V + ]T Gif/Y^ +
cij r
+ E G2i7 v r22'-r + E G
r23, r duc.
(42)
Обозначая диагональные элементы тензора напряжений как п, получаем р + п = кТ ^ Св'-т] Гв'-т + кТ V • & quot-V,
т в
(43)
где в = int, 2 ^ 2, 2 ^ 3, а определение интегральных скобок приведено в [5].
Сравнивая полученное выражение для диагональных элементов с выражением для тензора напряжений, данном в [5], видим, что член kT [F, F] представляет собой коэффициент объемной вязкости, а kT? r? [F, G?'-r] r?'-r есть релаксационное давление, представленное в форме, явно отражающей его зависимость от физико-химических процессов, происходящих в газе.
Для скоростей реакций с учетом симметрии интегральных скобок и определения коэффициентов vr& lt-ci получаем
Natr, int = ^Е^'-^Е j Jcij'-rdu*c
Nairi22 = тЕ^Е /
(44)
(45) 117
c
c
Na? r
2 3

r duc.
(46)
Подставляя в (25) функцию распределения первого приближения и преобразовывая получившееся выражение, получаем
Na
Гr-iint.r гч2^ 2, s& quot-| Гr-iint.r гч*2^ 3, s& quot-|
+ Е --w-ir2& quot-2'-s + E1^r-ir2& quot-3'-s. (47)
Nn,
В общем виде выражение для скоростей реакции принимает следующий вид:
?(°& gt- + Sr, 7 1
Nn,
[GY'-r, F] v •В + V [G7'-r, G?'-s] re'-s
s?
(48)
где y,? = int, 2 ^ 2, 2 ^ 3.
Таким образом, получаем, что в первом приближении скорости реакций линейно зависят как от так и от дивергенции скорости потока. Определяя поправку
Д1) / Д°)
первого порядка к скорости реакции как? rY = - ?rY, получаем симметричные (в силу симметрии интегральных скобок) выражения для p + п и? r, 7, что позволяет доказать соотношения взаимности Онзагера-Казимира для случая произвольного числа реакций и VT-переходов. В случае линеаризации выражения для re'-r полученные результаты согласуются с выводами линейной термодинамики необратимых процессов [6].
5. Смесь N2, N. Рассмотрим смесь N2, N, в которой помимо реакций диссоциации-рекомбинации N2 +N2 (N) ^ 2N + N2(N) происходят многоквантовые VT-обмены колебательной энергией (число квантов при обмене равно r =1, 2,…, M). В такой смеси c = d = c'- = d'- и = mc = 2mf'- = 2mN = m. Принимаем также ic = iN2 = i. Как следствие, формулы (17)-(19) для
упрощаются:
pi^
= 1 — exp e1Ai

kT1 kT
2
3/2
= 1 _ ZintJ^_h3 f 2 V& quot-exp + Хг
nN2 mnkT)
kT
(49)
(50)
а г2 ^ 2, г = 0 (Бк2 -энергия диссоциации молекулы азота). Если считать, что при фиксированных г, к число прямых УТ-обменов равно М, то всего при фиксированных г, к имеем обменов г = 1,…, 2 М, и
Дг = (-1)Г
где [х -целая часть числа х.
Правые части уравнений (32) для Св'-& quot-'- Величины ФгП]'-г принимают следующий вид:
r + 1
(51)
(? = int, 2 ^ 3) также упрощаются.
J^f^YUnt
ф
N2 ij
V PN2 dT1j '-
i
K г.
i? 1
1
т[
H

N2ij
dU
Ф° dTi
-J,
int, rN2 ,
(52)
1
r'-, 1
2
ф
N
к эи (дшу1 ~
-Па- ^ - дат {-Щ) ~
ф°
(53)
Для молекул N2 выражение для Ф
23, т сгз
принимает вид
ф. 2гз

к — Шш
(дУ
V дт1)
-1 к
232к, т
г?1
кТ1
'- 1 НN2®^ ди Т[~ Ф0 дТг

— N
Н^2гз & quot- & quot- ди т2^3 Фо ^ V дп& lt-1
а=1 к

акл

п. к
2к, т
23, т. 2,
(54)
а для атомов
фГ3'-т
м нм к — ту то ас/ /аил
& quot- № т {от-)
ф°

, ^ ь-23 7 + -- ^
nN
iN, т
23, rN •
-1 к


к
23
а=1 к

+
(55)
Запишем выражение для Ф°:
ф°
ди ди дШ (дУ~ дТ ~ дТ 5 Т у
(56)
Если считать, что молекулы представляют собой жесткие ротаторы, а также являются гармоническими осцилляторами, то среднее число колебательных квантов Ш не зависит от температуры Т, а вращательная энергия не зависит от колебательного уровня молекулы, и тогда
ди, ч
Фо = -, (57)
Z
гпЬ
дТ
^ тоЬ ^ ъгЬт
(58)
где Zтot, ZvгЪт -неравновесные вращательные и колебательные статистические суммы молекул соответственно [5]. В таком случае
Нс
1 (3 шсс2
----1--- +
Т V 2 2кТ
кТ
(59)
где ]'- = Сз — {Сз)тot, и осреднение по вращательному спектру задается следующей формулой:
{Сгз) =
1
Zтot
ехр —
? • Л.
кТ
(60)
Для данного частного случая можно предложить следующую процедуру расчета нормальных напряжений и скорости реакций первого порядка. Сначала искомые функции Есгз, б^З раскладываются в ряды по ортогональным системам полиномов Сонина и Вальдмана-Трубенбахера- основания последних полиномов выбираются в соответствии с правыми частями интегральных уравнений, т. е. формулами (53)-(55). Далее интегральные уравнения сводятся к системам линейных алгебраических уравнений, которые, после упрощения входящих в них интегральных скобок, решаются
с
?
з
тot
численно методом Гаусса. В последующей работе мы планируем провести численный расчет нормальных напряжений и скорости реакций в вязком газе, а также анализ полученных результатов.
6. Заключение. В рамках многотемпературного приближения для смеси газов с химической неравновесностью и VT-обменами получена новая форма интегральных уравнений, определяющих нормальные напряжения и скорости медленных процессов в первом приближении метод Энскога-Чепмена. На основе этих уравнений выведены симметричные выражения для скоростей реакций и диагональных элементов тензора напряжений, показывающие зависимость этих величин от термодинамических сил. Рассмотрен частный случай смеси N2, N и получены упрощенные интегральные уравнения и выражения для термодинамических сил.
Литература
1. Kustova E. V., Giordano D. Mutual influence between flow compressibility and chemical-reaction rates in gas mixtures // Chem. Phys. 2011. Vol. 379. P. 83−91.
2. де Гроот С., Мазур П. Неравновесная термодинамика. М.: Мир, 1964. 456 с.
3. Kustova E. V., Nagnibeda E. A., Chauvin A. State-to-state nonequilibrium reaction rates // Chem. Phys. 1999. Vol. 248, N2−3. P. 221−232.
4. Kustova E. V. Thermal relaxation rate in viscous multi-temperature gas flows // Rarefied Gas Dynamics / ed. D. Levin et al. AIP Conference Proceedings. Vol. 1333. 2011. P. 1221−1226.
5. Нагнибеда Е. А., Кустова Е. В. Кинетическая теория процессов переноса и релаксации в потоках неравновесных реагирующих газов. СПб.: Изд-во С. -Петерб. ун-та, 2003. 272 с.
6. Kustova E. V. Scalar Forces/Fluxes and Reciprocity Relations in Flows with Strong Thermal and Chemical Non-Equilibrium // Rarefied Gas Dynamics / ed. A. Santos et al. AIP Conference Proceedings. Vol. 1501. 2012. P. 1078−1085.
Статья поступила в редакцию 27 декабря 2012 г.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой