Построение асимптотики в модели фотосинтеза и фотодыхания С3-растений

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК 551. 521+58. 03
В.В. Журавлева
Построение асимптотики в модели фотосинтеза и фотодыхания С3-растений
Ключевые слова: фотосинтез, фотодыхание, модель, асимптотическое разложение.
Key words: photosynthesis, photorespiration, model, asimptotical decomposition.
Для определения мгновенных интенсивностей фотосинтеза и фотодыхания С3-растений получена следующая сингулярно возмущенная задача на временном отрезке 0 & lt- t & lt- T [1]:
dX
dt
dY
dt
C
rx
Om
p (Оф)
p (0ф
(1-Л) X
(1-Л) X
Фм Z I-X
Ф" -Z I — Y
O,
y
y У
dZ_
dt
= (1 -X) (+SY-Х~1ФМ-Z),
dS_
dt
-•(си (Оф) — S),
(1)
где
Cm
(2)
Са — ХИЬ (гт1 + 5) + ((1 -8)УИЬ +)),
Ож = Оа + 0НЬ (X + ?У)-в (3(1 -№ь +)((+ 5)•
Начальные условия: при = 0: Х (4,) = 7(?о) = Ъ (^) = 0, 5(4,) = Бт (0). (3)
Область допустимых решений данной динамической системы ограничена неравенствами:
X & gt- 0, У & gt- 0, Ъ & gt- 0. (4)
а (2ф (г)ФМ
Функция р (0Ф) =
Фц,
зависит от вре-
м + а0ф (1)
менной переменной.
«Быстрые» переменные X = ФС/кь, У = Яо/Нь, Ъ, где ФС, Ко — мгновенные интенсивности реакций карбоксилирования и оксигенации- кь — характерный размер листа- Ъ — вспомогательная переменная.
«Медленная» переменная Б = 1, бгй + га +1,3/Дт -суммарное сопротивление потоку воздуха при прохождении в полость листа- ?= кь • [К0] - малый параметр, определяющий скорость переходных процессов- - постоянная времени переходного про-
цесса- т! г — устьичное сопротивление- га — сопротивление слоя воздуха над посевом- БТ — проводимость прилистного слоя воздуха- ^ - интенсивность темнового дыхания- тт1, гт2 — сопротивления мезофилла растворению СО2 и О2 соответственно- в — константа. Для сопротивлений реакций карбок-силирования и оксигенации выполнено постоянное соотношение гу/гх = 60,3 мкгО2/мкгСО2. Значения переменных, Са, Оа принадлежат ограниченной области & amp-.
Функция 5ст (Оф) = 1,6-г™(& lt-2ф, уь) + га +1,3/Бт — ограниченная убывающая функция очень медленной переменной 2ф (0, где гСГ (Оф,^ь) — функция
стационарного устьичного сопротивления- - вод-
ный потенциал листа.
Параметры растения: кь, а, ФМ.
В работе [2] получено приближенное решение данной задачи в виде нулевого члена асимптотики. Показано, что такого приближенного решения достаточно для вычисления суммарной суточной интенсивности фотосинтеза с удовлетворительной точностью в прикладных задачах прогнозирования урожайности зерновых культур.
В данной работе решается задача поиска первого члена асимптотики для мгновенных интенсивностей фотосинтеза и фотодыхания С3-растений.
Опишем общую постановку сингулярно возмущенных задач.
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
И^- = Г (г, у, і) — ^ = /(г, у, і) — 0 & lt- і & lt- Т, (5) аі аі
где г и Г — М-мерные вектор-функции- у и / -т-мерные вектор-функции- и& gt- 0 — малый параметр. Начальные условия: г (0,и) = г°, у (0,и) = у0. (6) Решение задачи (5)-(6) ищется в виде асимптотического разложения по малому параметру [3]: х (і, /и) = х (і, /и) + Пх (т, /и), (7)
где т = і/и, вектор х означает г и у в совокупности, т. е. х = {г, у},
х (і, и) = Х0(і) + их1(і) +… + Цкхк (і) +… (8)
есть регулярная часть асимптотики,
Пх (т, и) = П о х (т) + иПі х (т) +… + и П кх (т) +… (9) есть погранслойная часть асимптотики.
Теорема Васильевой [3] утверждает, что частичная сумма асимптотического разложения
п ,
Хп (і, и) = X и [к [) + Пкх (т) является прибли-
к=0
женным решением сингулярно возмущенной задачи (5)-(6) с точностью до 0(и+1).
Опишем кратко общий принцип поиска членов асимтпотики.
Для главного члена х0(і) = {??(і), у0 (і)} регулярной части асимптотики получим систему
0 = Fo — F ((t), yo (t), t) — ^?0 = fo — f (zo (t), yo (t), 0,
?
st
УПРАВЛЕНИЕ, ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИ КА И ИНФОРМАТИ КА
которая, очевидно, совпадает с вырожденной системой.
Для главного члена П0х (т) = {П0г (т), П0у (т)} погранслойной части выводим систему
= По F = F (7о (0) +
d П0 z dr
+По z, Уо (0) + По y, 0) _ F (о (0), Уо (0), 0) = = F (z0 (0) + П 0 z, У0 (0) + П 0 y, 0),
d П0 у
(11)
dr
= 0.
Для членов асимптотики хк (Г), Пкх (Т) при к & gt- 1 получим линейные уравнения:
& lt-%¦к -1
dt
dyk
dt
¦ = Fk = Fz (t)Zk + Fy (t) Ук + Fk (t),
(12)
= fk = fz (t)Zk + fy (t) Ук + fk (tX
d П kz
= nkF = Fz (T)nkz +
dr
+Fy (ТПky + Gk (T, d П ky = nk _if,
(13)
Tk (0) + nkz (0) = 0, yk (0) + Щу (0) = 0,
(15)
к = 1,2,…
В работе [2] найдено решение задачи (10), (11), (14), т. е. нулевой член асимптотики:
_ ~ - В -/ В 2 — 4 АС
: Х = ,
0 2 А
У = 4р (аФ)-3X, г = аф-М (+ ЗУ), (1б)
y0 = S = Sст (бф)_е
-t/т. я
•К4(5ст (Оф)),
0 ш
где обозначено
А = 10,751 +12,7335,
В = -120,6(Са — 0,5427Яш) — 3Оа --118,4185Яш — (82,5325 + 64,505)р,
С = р (723,6(Са + Яш5) + 28,944р5).
Причем П0 г (т) = 0, П 0 у (т) = 0, Г0(0) = 0,
У0 (0) = у0. (17)
Для к = 1 получаем в общем виде следующую задачу:
= Fz (t) z1 + Fy (t) Уl,
dt
-Г = fz (t) z + fy (t) y1,
dy = -dt
= Fz (г)П1 z + Fy (г)П1 y + G ®,
dT
d П1 y dr
(18)
(19)
= П0 f,
где

где функции/к (Г), как и Fk (t), рекуррентно выражаются через 1і (Г), у і (Г), і & lt- к, функции Ок (т) — через Піг (Т), Пу (т), і & lt- к, а Пк_/ - коэффициент прик-1 в разложении П/ по степеням /и, аналогичном разложению П К Начальные условия при этом будут записаны в виде:
Го (0) + По г (0) = г0, Уо (0) + По у (0) = у0, (14)
гі(0) + Піг (0) = 0, у1(0) + Піу (0) = 0, (20)
Оі (т) = (((т) — Fz (0))((0)т + гі (0)) +
+((т) — Fy (0)) (0)т+ уі(0)) +
+ (() — Ft (0)) т, (21)
п0/ = / (г0(0) + п0 z (т), у0(0) + п0 у^ 0) —
— / ((0), у& gt-(0), 0).
В силу (17) получим О1(т) = 0, П0/ = 0. Задача поиска первого члена разложения упрощается. Учтем, что Fy (т) = 0, /г (Г) = 0, /у (Г) = -1/т. Та-
ким образом, необходимо решить две задачи.
«. dy1 1 _
Задача 1: -1 =---------------у1,
d Пі y
dt rst
= 0,
(22)
dr
yi (0) = -П y (0).
Решаем задачу 1. Второе уравнение дает П1 у (т) = const, при этом у1 (0) = -П1 у (0) = 0, тогда П1 у (т) = 0. Из первого уравнения получаем у (t) = c1e~tlTst. Учтя начальное условие, получаем y1(t) = 0.
dz
Задача 2: Fz (t) = -0 _ Fy (t) y1, dt
d П^
¦ = Fz (r^z,
(23)
dr z
Пі z (0) = _ zi (0).
При y1 (t) = 0 в задаче 2 линейная система
— dz —
F (t) = -0 с невырожденной матрицей Fz (t) = dt
= Fz (z0 (t), y0 (t), t) имеет единственное решение:
zi=f_ (t) • (z,)-.
(24)
где (г0)(- вектор производных по времени нулевого члена асимптотики X'-(Г), У'- (I), Ъ'- (I), а компоненты матрицы Н = F (Г) определяются выражениями:
Нп = {(100,5(1 + 5) -2в$)кьХ --(6,03.5 + 0,6−90)НЬУ + (30 + §)вЯш --60,3(5Яш + Са) — Оа — 241,2(1 + §)кьр} / Гу ,
Н12 = ((9в- 0,6 в § - 4,025)^ X +
+24,125?) / гу,
Н13 = -301,5Фм ((1 + 5) кьХ -0,1§?й^У? -
-Я — Са)/Гу ,
Н21 = (0,333в§ кьХ + (25)
+(60,3(1 + 5) — в§)кьУ + 4в§ кьр) / гу,
Н22 = {(60,3(1 + §) — 0,8в§ - 3в)^Х --(12,06§ +1,2в§ -18в)к1У + (30 + §)вЯш --60,3(§ Я + Са) — Оа + 2,4(5? — 15) ркьр} / Гу,
Н23 = Фм (5Оа + 5вк1. ?-5 + 3(, 5 — 15) в^Г —
-5 В (§ + 30) Яш)/ Гу,
Н31 = 5/6, Н32 = ¾, Н33 =-5Фм.
Подставляя выражения для X, У, получаем при Г = 0 (учтем, что р (0) = 0) невырожденную числовую матрицу Н0 = F (0) = F (т):
H0 = 0,0207((21,818 — 59,573y0)Rd -60,3Ca -Oa Hl02 = 0,
Hl3 =-6,25Фм (y0 Rd-Ca),
H01 = 0, (26)
H02 = 0,0207((21,818−59,573y0)Rd -60,3Ca -Oa
H3 = 0,0207Фм (-3,635(y0 + 30) Rd),
H0i = 5/6, H32 = ¾, H03 =-5Фм,
где y0 = S (0) = S0- ФМ, Rd — параметры растения-
Ca, Oa — параметры окружающей среды.
Итак, получаем систему линейных уравнений
d nlz

¦ = H0 П1 z, где вектор погранслойных функций
П1 z = (П1X, nlY, nlZd, т. е. СЛУ
d П1X dт
= H101 •П1X + hi3 •П1Z,
d^ = H02 •ПіY + H203 •ПlZ,
dт d П1Z dт
(27)
= H30i •ПіX + H32 •ПіY + H303 •ПlZ,
с начальным условием
П^(0) = -(H 0)--(zoytt =0, (28)
где (z0)i It=0 = (х'-(0): Р (0), z'-(0)).
Аналитическое решение этой задачи в общем виде затруднено большим количеством параметров (тем более вектор начальных значений (28) нелинейно зависит от всех параметров). Решение системы (27) сильно зависит от выбора начального значения медленной переменной у0 (которое в свою очередь зависит от ответной реакции растения на водно-тепловой режим), так как значения других параметров ограничены небольшими интервалами. Причем при некоторых возможных значениях у0 система упрощается (H3 = 0 или H03 = 0). Для произвольных допустимых значений параметров легко найти численное решение системы (27), (28).
Итак, при заданных значениях параметров растения и окружающей среды первые члены регулярной части асимптотики для быстрых переменных исходной задачи (1)-(4) описываются формулой (24), а первые члены погранслойной части являются решением системы (27) с начальным условием (28). Определение первых членов асимптотики позволяет находить значения мгновенных интенсивностей фотосинтеза и фотодыхания С3-растений с точностью до O (i2). Такое приближенное решение можно использовать в задачах, связанных с анализом динамики состояния С3-растений в ходе вегетации.
-1
Библиографический список
1. Журавлева, В. В. Математическая модель фотосин- вегетации: дис. … канд. физ. -мат. наук / В. В. Журавлева.
теза и фотодыхания С3-растений / В. В. Журавлева // Обо- _ Барнаул, 2008.
зрение прикладной и промышленной математики. _ М., 3. Васильева, А. Б. Асимптотические методы в теории
ОППО т i г о 1
2°°o. _ 1. 15, гош. 3. сингулярных возмущений / А. Б. Васильева, В.Ф. Буту-
2. Журавлева, В. В. Математическое моделирование зов _ м 1990
процессов накопления биомассы С3-растений в процессе зов М

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой