Построение функций формы для изопараметрических оболочечных конечных элементов общего вида

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Общие и комплексные проблемы естественных и точных наук


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц, А Г И
Том XIV
19 8 3
№ 6
УДК 519. 3
ПОСТРОЕНИЕ ФУНКЦИЙ ФОРМЫ ДЛЯ ИЗОПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕЧНЫХ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ОБЩЕГО ВИДА
Л. Б. Кудряшов
Рассматривается вопрос о построении функций формы изопара-метрических конечных элементов общего вида, имеющих произвольное расположение и количество узлов, лежащих как на границах, так и внутри элемента. Для элементов, геометрическая форма и поле перемещений которых описываются с помощью предлагаемых функций формы, доказывается выполнение необходимых для сходимости МКЭ условий движения элементов как твердых тел и совместности перемещений вдоль границ.
При расчетах оболочечных конструкций методом конечных элементов часто используются изопараметрические конечные элементы, предложенные в [1]. Основной идеей их построения является введение В элемент криволинейной системы координат 7), область изменения которых на элементе представляет собой квадрат -Свойства элементов при этом определяются расположением его узлов и выбором соответствующих им функций формы ЛГ,(5, ?]), обладающих свойством
где /, й = 1, 2,.. , п- п — число узлов элемента- 1к, ук — координаты узла к.
По функциям формы производится аппроксимация кинематических и геометрических параметров элемента в виде
Согласно [2] необходимыми условиями сходимости конечноэлементных моделей в варианте метода перемещений является выполнение условий возможности движения элементов как твердого тела, возможности реализации в элементе постоянной дефор-
NI (?*" Г1 к) —
(1)
П
Ф (5, 7])= 2°^' г') —
(2)
мации и согласованности конечно-элементных моделей, выражающееся в совместности перемещений вдоль границ конечного элемента.
Там же показано, что для изопараметрических конечных элементов два первых условия обеспечиваются, если для совокупности функций формы элемента выполняется условие
П
?& gt-/(«, Ч)= 1. (3)
1 = 1
Оно выполняется в том случае, если аппроксимация (2) для точек, лежащих на какой-либо стороне элемента, сводится к аппроксимации по узлам, принадлежащим также этой стороне.
В настоящее время наибольшее распространение в практическом использовании получили два семейства изопараметрических конечных элементов, удовлетворяющих этим условиям — сирен-дипово и лагранжево.
Сирендипово семейство (рис. 1, а) характеризуется расположением узлов только по границам элементов. В наиболее общем
виде это семейство рассмотрено в [3], где проводится построение функций формы для элементов, число узлов на каждой из сторон которых может быть произвольным.
Лагранжево семейство характеризуется наличием у элементов также внутренних узлов, однако, в отличие от сирендипова семейства количество узлов на противоположных границах элементов должно быть одинаковым. Внутренние узлы должны при этом располагаться в каждой из точек пересечения узловых линий, проходящих через соответствующие граничные узлы (рис. 1, б).
В данной работе рассматривается общее семейство изопараметрических элементов, характеризуемое произвольным количеством узлов на каждой из границ элемента, а также произвольным количеством и расположением его внутренних узлов (рис. 2).
На этом же рисунке показана нумерация границ элемента, принятая в работе, и нумерация узлов, которая ведется последовательно вдоль каждой из границ элемента, затем нумеруются внутренние узлы. Число узлов, принадлежащих границе, а элемента равно та- число его внутренних узлов равно т0. Общее коли-
4
чество узлов элемента п = У. та — 4, количество его граничных
а = 0
4
узлов т = лт, а-4.
а=1
ф
т+1
(c)
(c)
т. ,+т2+т}~2.
Рис. 2. Изопараметрический конечный элемент общего вида. Показана нумерация сторон и угловых узлов элемента.
Общая схема построения функций формы рассматриваемых элементов заключается в следующем.
Для каждой из сторон элемента выберем совокупность функций Ь ©, обладающую свойствами
та
2 ?7(9 = 1.
/= 1
(4)
где у, к= 1, …, ма- а-1, 2, 3, 4 -номер стороны элемента- С == т] для, а = 1, 3- С =? для, а = 2, 4. и функции Ра ©, обладающие свойствами
(5)
Р1(-1) = Р2(1) = Р3(1) = Р4(-1)= 1- М1) = Р2(-1) = Рз (-1) = Р4(1) = 0-
Р1© + Р3(д=1-
р2© + р4(0 = 1,
где С =? для, а =1,3- С — ¦"] для, а =2,4.
Для граничных узлов введем в рассмотрение совокупность функций {?, т)) (г=1, 2,.. ., от), определяемых соотношениями: для узлов элемента, не лежащих в его углах,
5,(5, г!) = 11 Я-
для узлов, лежащих в углах элемента на пересечении его сторон аи^,
5Д1, г1) = 1? аРа + Ь%Р9 — Р. Рр-
Л» Ур--номера узлов на сторонах, а и (3, которым соответствует узел г элемента. Правило выбора аргументов функций и Р" было определено выше.
Функции у) удовлетворяют (1) и являются фактически
обобщением функций формы для элементов, обладающих только граничными узлами*.
Докажем, что для них выполняются условия движения твердого тела (3).
т /И--1 т,-1 та- 1 т4−1
^)= ?^ + ?^2р& gt- + 2^ +
«= 1 / = 2 / = 2 /=2 /=-2
+ (^Р1 +Я4-Я, Р4) + (^1Р, + 1Рг-Рх Р2) +
+ (Г2 А + 13тз Р3 — Р2 Рв) + (?*, Р4 + I? Р3 _ Р4 Рз) =
т1 т2 т3 т1
=Р121) + р2 Е ^+р3 X ^+р* X — (л + яз) (р,+р4) =
/=1 у=1 /=1 /=1
= (Р1 + Рз) -Н (Р2 + 1) — (Р, + Рз) (Р2 + Р4) = 1,
т. е.
т
Е-ад ч)=1- (6)
„=1
Докажем, что для совокупности функций 5-($, 7]) выполняется условие совместности для границы 1 элемента (I = - 1). Примем обозначения у ¦=т1^г I-1,? = тх-- т2 + т3 — I-1, 1 = т^ + т2 + 4- тъ + т4 — г — 2. С учетом соотношений (4) и (5), принятой нумерации узлов и введенных обозначений имеем
т т!-1 т2- 1
5& gt-Л (-1. ч) = 2 ф^!ыЛ (-1)+ Еф^?(-1)/, 2(ч) +
(=1 /=2 г=2
т3−1 т4−1
+ 1& gt-*^3(^з (-1)+? Ф/^(-1)Р4(7]) +
1=2 г=2
+ Фх [I! (7!) Р, (-1) + й (- 1) Р4 (7]) — Р, (- 1) Р4 (7,)] +
+ Ф“. [С, (71) Л (- 1) + I? (- 1) Р2 (7!) — Р, (- 1) Р2 (7))] +
+ Фт1 + тг-1 [?*, (¦»!) Рв (-1) +г (-1)Р2(г ()-Р3(-1)Р2(7])] +
+ Фт1 + т2+т3−2 [А? (71) Р3 (-1) + С, (-1) Р4 (71) — Р8 (- 1) Р* (V))] =
тх-1
=? Ф^/ Ы + Фа [^1 (71) + Р4 (71) — Р4 (7,)] + Ф", [IV (71)+ Р2 (71) — Р2 (7])],
2 = 2
откуда получается
т
2Ф/5П-1, 71)=2ф& lt--^(^ (7)
1=1 1=1
что соответствует выполнению условия совместности для стороны 1 элемента. Аналогично доказывается это свойство и для других сторон элемента.
* Если потребовать равномерного расположения узлов вдоль каждой из сторон элемента и выбрать в качестве функций ?"(?) полиномы Лагранжа, в качестве Ра © функции (1- ?)/2 и (1 ± С)/2 можно получить сирендиповы элементы и соответствующие им функции формы, которые были получены в [3] на основании иного подхода, дающего более сложные их выражения.
Помимо узлов, лежащих на границах элемента, рассмотрим также т0 внутренних узлов, имеющих координаты (5,-, ги) (1==т+1,.. ., п).
Введем функцию Р0(5, у), обращающуюся в 0 на границах элемента и не равную 0 внутри элемента.
Яо (-1, Ч) = Я0(1, ч) = /& gt-«(?, 1) = Р0а -1)-0. (8)
Функции формы внутренних узлов элемента представим в виде
N*(5, т)) = Ро (5, 7]) К{ (5, к]) (* = от + 1, л),
где г — номер внутреннего узла.
Для удовлетворения (1) функции /(- (5, т)) должны, очевидно, удовлетворять соотношению
ч (1/Рой. для г'-=у,
1 ^ & gt-'- I 0 для I фу,
(/, у = /п + 1,.. ., /г).
Очевидно, что построение функций Р0(5, т]), удовлетворяющих
(8), и совокупности функций Кг (5, т]) возможно всегда, причем
неединственным образом.
Функции формы граничных узлов такого элемента представим в виде
Ш, т)) = 5,(5, т))+ (2,(5, т))А0(5, т]),
где
П
Аго (5, 7]) = Ро (5, 7)) 2 гд, (9)
/=т+1
а Рг (5, 7]) (г=1, 2, …, та) — совокупность функций, обладающая свойствами
?& lt-?,(5. 71) = - 1-
/=1
(10)
7]^) = - 5,(5--, т]Д
где 5--, т]-. (/ = /и + 1, …, и) — координаты внутренних узлов элемента.
Очевидно, что как и Р0(5, ч),
7У0(-1, 71) = ТУ0(1, ч) =о (5, 1) = ЛА0(Е, — 1) = 0. (11)
За счет этого обеспечивается выполнение (1) для всех г. ранич-ных узлов элемента. Докажем, что такой выбор функций формы обеспечивает выполнение необходимых условий сходимости.
В силу (9), (10) и доказанного ранее свойства (6) имеем
пт п
*|)=2& gt-,(е, т])+ 2 ад7]) =
/=1 /=1 1 = т+1
т
= ХД5/(5, 7])+ С, (5, 7))А0($, 7])] + Д/о (5, 7]) =
-=1
= 1+ад ч)2 С/(5. ч)+^0(5, ч)=1,
/=1
что соответствует выполнению условия движения твердого тела. Кроме этого для стороны 1 элемента в силу (7), (9) и (11)
пт п
2& gt-*л/. (-1, т,)=?ф, лг,(- 1, ч)+ X ф|^,(-1, ч) =
* = 1 1=1 1 = т +1
т
= 2фЛ5г (- 1, ¦»!) + (3,(-1, ч) Л/о (-1, *))] =
1=1
т т
=2ф,^(-1, ч)=2^^& lt-7″).
г=1 1=1
что соответствует выполнению условия совместности для границы 1 элемента. Аналогично доказывается это свойство и для дру-
гих его сторон.
Следовательно, при построении функций формы элемента с заданным расположением узлов, существует некоторый произвол, который заключается в выборе следующих функций:
а) © (а = 1, 2, 3, 4- г = 1, 2,.. ., та) — для узлов, лежащих на границах элемента-
б) Ро (?, ч), обеспечивающей обращение в 0 на границах элемента функций формы внутренних узлов-
в) Л'-Д?, ч) (/=/га + 1,.. ., /г) — для внутренних узлов элемента- Г) & lt-3,-(6, ч) (г = 1, 2,.. ., л? г)--для узлов, лежащих на границах
элемента.
Эти функции могут выбираться из различных условий, например из условия минимизации порядка полиномов, реализующих функции формы, но в целом вопрос о выборе системы этих функций, наилучшей по каким-либо признакам и соображениям, является открытым и требует специального рассмотрения.
Рассмотрим два примера применения изложенной схемы построения функций формы элемента.
I. Элемент с равномерным расположением узлов (рис. 3, а). Если в качестве 1"© выбрать полиномы Лагранжа, а также принять
а — соответствующий лагранжеву элементу с полнкубической аппроксимацией-
б — четырехугольный элемент с тремя внутренними узлами и узлами в углах элемента
Рис. 3. Изопараметрические конечные элементы
6-«Ученые записки ЦАГИ» № 6 81
р0(6, ч) = (1-?*)(!-V).
0, = 4-(1−90 д2==__1-(1. -5) (1-ач),
4
& lt-2. =--г (1-е)(1 + Зч),
4
-?) С1 +4),
СВ = --г (1−35)(1 + ^),
& lt-?6=- 4~о + 3')(!+4).
4
^=Т (1 + -)(1 + т,)'
Ре =-гЧ1 + «)(! +3ч),
4
& lt-Э9 = - ±(1+?)(134),
4
(310=^О + 90-*)),
& lt-?,=-4 о +ад-4).
4
& lt-2"=-г (1−36)(1-ч),
а в качестве функций /(*(?, ч) для внутренних узлов взять
1
ч + т!'-
#СМЛ ч)-Ш («+т)(,'- + Т
Г1 —
то будет получена совокупность функций формы, характерная для хорошо известного лагранжева элемента с поликубическими функциями формы [2].
2. Элемент с расположением и координатами внутренних узлов, показанными на рис. 3, б (ранее такой элемент не рассматривался).
Примем
1Л © = -^-(1 — С) — /. 2© = у (1+С) («= 1, 2, 3, 4),
Р0 $, 4) = (1−5*)(1−1*),
ч)=-5,(5, г () (/= 1, 2, 3, 4),
]
в (?» т1) =
к, а '1)=ти +т
К,(6, 11)--=- 2Е-ч + т),
что приводит к совокупности функций формы элемента
ад 4)^-7-(1−9(1−4)
4
ЛГа (?, 4) = 4−0+у1)
4
Ц-_?. (1_?2)(1_Ч2)(21]_7) 1 + А (152)(^_, 12,(21Г17)
Ns (6, ч) = -J (1 + ?)(! + ri) [i + J-(i _ 52) (1 _ Yj2) (2y] - 7)],
ад ^=4- (t+1) (i-vj) [i+4- (i-s2) d-^ - 7) i,
4 L 9
A5 (S, 4) = - Y (1 — F) (1 — r?) (25 + 4 «) * w6(S. 4) = -|-(1-W-'i*) (^т)' ад 4) == -f- (1 — S*) (1 — 4s) (2S — ч + -|& quot-) —
ЛИТЕРАТУРА
1. Irons В. М., Zienkiewicz О. C. The isoparametric finite element system — a new concept in finite element analysis. — Int. J. Solids and Structure, 1968, N 4.
2. 3 e н к e в и ч О. С. Метод конечных элементов в технике.- М.: Мир, 1975.
3. В, а 11 A. A. The interpolation function of a general serendipity rectangular element. — Int. J. Num. Meth. Eng., 1980, vol. 15, N 5.
Рукопись поступила 151V 1982 г.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой