Построение модели налогообложения и решение оптимизационной задачи

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК 519
ПОСТРОЕНИЕ МОДЕЛИ НАЛОГООБЛОЖЕНИЯ И РЕШЕНИЕ ОПТИМИЗАЦИОННОЙ ЗАДАЧИ
© 2005 Б. А. Горлач, И. Б. Орлов
Самарский государственный аэрокосмический университет
Рассматривается задача нелинейного программирования, представляющая собой математическую модель минимизации величины безвозвратных потерь, которые являются следствием введения налога на покупку или продажу товара.
Построение математической модели
Пусть товары, реализуемые через рынок, разбиты по некоторым признакам на п групп. Обозначим количество товаров к-ой группы через хк (к=1, 2, …, п). Если цена товара к-ой группы до введения налога равнялась рк, то после введения налога на продажу со ставкой Хк=Х%И§§ она определится равенством Рк=р к (^ок).
Предположим, что функции спроса и предложенияр (хк) ир (хк) известны (рис. 1). Введение налога со ставкой 7 на продажу товара приведет к повышению стоимости к-го товара, что поднимет кривую предложения вверх, и точка рыночного равновесия переместится из положения Мок в положение
М
Введение налога сказывается на количестве товара, проходящего через рынок, а производитель реализует это количество товара по меньшей цене.
Разность между возросшими расходами покупателя и уменьшившимися доходами продавца і=рк-р представляет собой налог с продаж, выраженный в денежных единицах.
Площадь криволинейного треугольника МокМА
& quot-v0 к
Bk (xk) = j tk (xk)dxk
xk
представляет собой безвозвратные потери (рис. 1).
Суммируя значения Вк (хк) для всех n групп товаров на рынке, облагаемых налогом, получим суммарную величину безвозвратных потерь для рассматриваемого анклава, которую необходимо минимизировать:
П П х0 к
B (X) = Z Bk (хк) = Z j lk (xk)dxk ^ min, (1)
к=1
к=1
Хк
Рис. 1. Функции спроса и предложения 64
где X = (х, Х,…, Хп).
Предположим далее, что государство планирует собрать в виде налогов от продажи п видов товаров не менее Я денежных единиц. Тогда
(2)
к=1
Эти условия представляют собой систему ограничений. Геометрически первое неравенство системы (2) означает, что сумма площадей прямоугольников MkSkRkQk для каждого вида товара должна быть не меньше заданного числа R.
Сформулируем теперь задачу нелинейного программирования: найти минимальное значение функции В (Х), заданной равенством
(1) и удовлетворяющей системе ограничений
(2).
Решение оптимизационной задачи
Будем предполагать, что функции спроса и предложения являются монотонными. В этом случае функция B (X) монотонно убывает при стремлении xk к x0k (xk & lt- x0k). Тогда функция B (X) достигает минимального значения при условии ограничений (2) на гра-
n
нице множества Z ч (xk) • xk & gt- R, т. к. безус-
k=1
ловный минимум достигается ею в точке X0=(x01, x02, xj, лежащей вне области (2). Следовательно, задача оптимизации сводится к следующей:
П n x0k
B (X) = Z Bk (xk)=Z j *k (xk)dxk ^ ^ (3)
Получим систему
д
дх,
n 0 n
Ij Ч (хк)dxk -^IЧ (хк)•
к=1 x к=1
V к=1 хк
= 0,
14(xk) • xk- R =
к=1
Л& gt- 0.
(6)
Из первого уравнения системы получаем
Ч (хк) + ^ддк^к) • хк +Я-Ч (хк) = °.
дхк
После деления обеих частей уравнения на 1к (хк) с учетом равенства
Etk (xk) =
xk dtk (xk)
tk (xk) dxk
где Etk (xk) — эластичность функции tk (xk), получим
Etk (xk) = -1 -J = comt •
()
Последнее соотношение говорит о равенстве эластичностей для разных хк:
Егк (хк) = Еа (Хi), к, * = 1 п.
Из (7) находим 1
Я = -
к=1
к=1
Etк (xk) +1
ф (X) = Itk (xk)• xk -R = 0. xk & gt- 0 к =1n
к=1
(4)
Воспользуемся методом множителей Лагранжа и введем функцию Лагранжа
Л (X Д) = B (X) -ДФ (X), где Д ^ 0 — множитель Лагранжа.
(5)
откуда с учетом условия Л & gt- 0 приходим к неравенству: Ек (хк) +1 & lt- 0.
Итак, (6) сводится к следующей систе-
ме:
Etk (xk) = Eti (x), к, і = 1n,
ф (X) = 0,
Etk (xk)+10.
Решение оптимизационной задачи при линейных функциях спроса и предложения
Пусть функции спроса и предложения представлены соответственно линейными зависимостями:
Рс (хк)=-аЛ + Ък ,
Р, (хк) = скхк + ск, ак, Ък, ск & gt- 0, ёк & gt- 0.
Тогда величина налога находится по формуле:
tk (хк) = Рс (хк) — Р, (хк) = - (ак + ск) хк + Ък — ск.
В этом случае задача оптимизации примет вид:
П Ok
B (X) = Z i (-(a+ck) x+bk — dk) dxk
k=1 x.
x = (aL+c-^bt-dt) x k,=1-n
k ((u л -', ^
(ak + ck) (- d)
Подставим найденное значение хк во второе уравнение системы (8) и после преобразований получим квадратное уравнение
(ak + ck) Z (di)
(ък — dk)2 ?(a, + c)
(ak + ck) Z (- di)
(k- dk)2 i=1 ai + ci
¦xk —
¦xk + R = O.
(11)
mm,
Обозначим через R максимально воз-
A max
можные налоговые сборы, величина которых численно равна сумме максимальных площадей прямоугольников MkSkRkQk (рис. 1). Для случая, когда функции спроса и предложения линейны, эта сумма будет максимальной при
ф (X) = Z (-(ak + ck) xk + bk -dk)'- xk -R = °& gt-
k=1
xk & gt- O, k = 1, n
x=x/2. Поскольку x0k =
то
ak + ck
R = Zt (x)^OL = 1 Z (k dk)
max Z k k 2 4Z ak + ck
(12)
k=1
или
С учетом (12) преобразуем (11) к виду
В (X) = ZI
ak + ck x2 —
k=1
-(k -dk)xk + - Ъ dk
2(ak + ck) у
(9)
r2 bk — dk x ,
xk xk +
R (bk — dk X
ak + ck 4(ak + ck)2 Rm
= 0
и получим единственным корень, удовлетво -ряющий третьему неравенству системы (8):
ф (х)=r+z [(ak + ck) xk -(bk- dk) xk ] = °
k=1
xk =
bk- dk
2(ak + ck)
1 +. 1 —
R
Rm
(13)
•ax у
xk & gt- 0, k = 1, n.
(10)
При этом величина налога на продажу к-того вида товара определится из формулы
Найдем эластичности функций tk (xk):
Etk (xk) = -
(ak + ck) xk tk (xk)
Из первого уравнения системы (8) получим
tk
1 + 1 —
R
R
+ bk ~dk.
max у
Выражение для вычисления минимальных безвозвратных потерь определим, используя (9), (12) и (13):
Втгп Ятах 2 Ятах Я) Ятах. (14)
Постановка двойственной задачи
Пусть теперь требуется определить максимальную величину сбора налога Я (Х) с продажи п видов товаров при условии, что безвозвратные потери В (Х) не должны превышать наперед заданного значения В. Поставленная задача является двойственной по отношению к задаче (1)-(2) и записывается в виде
п
Я (Х) = Е Ч (хк) • хк ^ тах, (15)
к=1
п х0к ___
Ч (хк)Схк & lt- В, хк & gt- °, к = 1 п. (16)
к= хк
Решение задачи (15)-(16) сводится к решению системы
Ек (хк) = Е (х), к, * = 1 п,
п х0 к
& lt- Ф0(Х) = Ё | tk (хк)Схк -В = 0
к= хк
_Ек (хк) +1 & lt- 0.
При этом, если в качестве значения В взять минимальное значение функции В (X) ис-
ходной задачи (1)-(2) при заданном Я, то Я будет равно максимальному значению функции Я (Х) двойственной задачи (15)-(16).
Для случая, когда функции спроса и предложения линейные, формула (14) примет вид:
Я = -2 В + 2^/2 В • Ятах.
Итак, поставленная задача свелась к решению системы (8), в которой необходимым условием является равенство эластичностей налогов как функций от количества товара для разных видов продукции. В случае, когда функции спроса и предложения линейны, единственное решение задачи определяется формулой (13), а минимальное значение целевой функции находится по формуле (14).
Список литературы
1. Аткинсон Э. Б., Стиглиц Дж. Э. Лекции по экономической теории государственного сектора. — Издательство «Аспект Пресс», 1995. — С. 512−518.
2. Горлач Б. А. Оптимизация налогов, цен и количества производимой продукции. — Известия РАЕН, серия МММИУ, том 3. -1999. № 3−4. — С. 21−23.
3. Интрилигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория. — М.: «Айрис Пресс», 2002. — С. 256−260.
CONSTRACTION OF A TAXATION MODEL AND SOLVING OPTIMIZATION TASK
© 2005 B. A. Gorlatch, I. B. Orlov
Samara State Aerospace University
The paper deals with the task of non-linear programming representing a mathematical model of minimizing the value of irrevocable losses which result from taxes on buying or selling goods.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой